精品解析：广东省深圳市红山中学2024-2025学年高二下学期第一次段考数学试卷

深圳市红山中学2024-2025学年第二学期高二第一次段考 数学试题 命题人：刘巧茹 审题人：吴启海 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、学号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先进行复数乘法运算，再由复数概念找虚部. 【详解】， 所以的虚部为. 故选：C 2. 一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有这些小球的颜色互不相同.从两个袋子中分别取1个球，共有多少种不同的取法（ ） A. 11 B. 110 C. 30 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】利用分步计数原理计数即可. 【详解】分两步进行：第一个口袋内取一个球有5种取法，另一个口袋内取一个球有6种取法； 从两个口袋内分别取1个小球，共有：种取法. 故选：C. 3. 已知等差数列的前项和为，，，则等差数列的公差为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题根据等差数列的前n项和公式将用表示，解方程即可． 【详解】设公差为，则由题知： ， 故选：A． 4. 的展开式的第7项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二项式的通项公式求解． 【详解】的展开式的第7项为：， 则第7项的系数为：， 故选：B 5. 函数，的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再结合特殊点利用排除法即可求解. 【详解】因为，， 所以，即， 所以为奇函数，故排除A、B； 又，，且， 所以，故排除C. 故选：D. 6. 函数的单调递增区间是（ ） A. 和 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数，由确定增区间． 【详解】，的定义域为， 由，得， ∴的单调递增区间为． 故选：B． 7. 设为双曲线曲线的左、右焦点，过直线与第一象限相交于点，且直线倾斜角的余弦值为，的离心率为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的定义以及可将的三边用表示出来，再由余弦定理和倾斜角的余弦值列关于的方程，即可得到离心率的值. 【详解】由在第一象限内，且，则，且， 由余弦定理可得cos∠PF1F2＝， 整理得，等式两边同除，则，解得或 (舍去). 故选：A 8. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，有两个变号零点，由，可得，设，求出函数的单调性及取值情况即可得解． 【详解】解：依题意，有两个变号零点， 令，即，则， 显然，则， 设，则， 设，则， ∴在上单调递减， 又， ∴当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， ∴，且时，，时，， ∴，解得． 故选：B． 【点睛】方法点睛：函数零点问题的求解常用的方法有：（1）方程法（直接解方程求解）；（2）图象法（画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令得，分析函数的图象得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分） 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据组合数及排列数个数计算判断各个选项即可. 【详解】对于A：，A选项正确； 对于B：，B选项正确； 对于C：，C选项正确； 对于D：，D选项错误. 故选：ABC. 10. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，下列关于函数的结论正确的是（ ） A. 函数的极值点的个数为 B. 函数在区间和单调递减 C. 函数在区间和单调递减 D. 当时，有最小值 【答案】AC 【解析】 【分析】由导函数的正负与函数之间的关系可知，函数的单调性及极值，分析判断各个选项即可. 【详解】由导函数的正负与函数之间的关系可知， 和单调递增，和单调递减，故B选项错误，C选项正确； 由的图象可知，，，是函数的极值点，所以函数的极值点的个数为3，故A选项正确； 当时，单调递减，单调递增， 当时，有极小值， 单调递增，单调递减，但是不确定是最小值，故D选项错误. 故选：AC. 11. 对于无穷数列，定义：，称数列是的“倒差数列”，下列叙述正确的有（ ） A. 若数列单调递增，则数列单调递增 B. 若数列是常数列，，则数列是周期数列 C. 若，则数列没有最小值 D. 若，则数列有最大值 【答案】BD 【解析】 【分析】可通过反例说明A错误；令，可推导得到，由此整理得，知B正确；分别在为偶数和为奇数两种情况下，根据的单调性可确定的单调性和正负，由此确定最大值和最小值，知CD的正误. 【详解】对于选项：例如，则，， 可知，故错误； 对于选项：因为是常数列，可设， 则， 可得， 又因为不是常数列，则， 可得，整理得：， 所以，可知数列是以为周期的周期数列，故B正确； 对于选项CD：若，则， ①当为偶数时，且单调递增，则， 所以且单调递增，此时； ②当为奇数时，且单调递减，则， 所以且单调递减，此时； 综上所述：既有最大值，又有最小值，C错误；D正确. 故选：BD. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 圆的半径为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可. 【详解】圆的标准方程为，则半径为. 故答案为： 13. 若圆锥曲线且的一个焦点与抛物线的焦点重合，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】先计算抛物线焦点，再分析圆锥曲线为椭圆，利用焦点重合即可求解. 【详解】抛物线的焦点为， 则圆锥曲线：为焦点在轴上的椭圆，且， 故，得. 故答案为：. 14. 设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则成立时的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】设函数，则，即函数在上单调递减； 因为为奇函数，所以为偶函数，因此在上也单调递增； 又，所以， 当时，；当时，； 当时；当时，； 故应填答案． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答中应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，角，，的对边分别为，，，，， 且的面积为. (1)求； (2)求的周长 . 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦，余弦定理对式子化简求解即可； （2）利用余弦定理以及三角形的面积，求解三角形的周长即可． 【详解】（1），由正弦定理可得：，即：，由余弦定理得. （2）∵，所以，，又，且 ，，的周长为 【点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的面积公式，也考查计算能力，属于基础题. 16. 如图，四棱锥的底面是正方形，且，侧面是等腰直角三角形，其中.四棱锥的体积为. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）计算四棱锥与的高，得线面垂直，再由面面垂直的判定得证； （2）根据（1）的垂直关系建系，求出两个平面的法向量，计算向量夹角余弦值的绝对值，得平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 取的中点，连接，因为，， 所以， 又四棱锥的底面是正方形，所以， 设到平面的距离为， 则，所以， 所以，即平面，又平面，所以平面平面； 【小问2详解】 取的中点，连接，则，即， 如图建立空间直角坐标系，则，，， 所以，， 设平面的法向量为，则，取， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知抛物线：（），是的焦点，为上的一动点，且的最小值为1. （1）求的方程； （2）直线（不过坐标原点）交于、两点，且满足，证明过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1） （2）显然直线的斜率存在，设方程为，则, 即，设，由韦达定理得，则， 因为，所以，解得（舍），，故的方程为：，故恒过点. 【解析】 【分析】（1）由抛物线中的最小值为1，所以，即，即可得到方程. （2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到，由得到，即可求得结果. 【小问1详解】 因为的最小值为1，故，即，所以抛物线方程为 【小问2详解】 略 18. 数列的前项和为，已知. （1）试写出； （2）设，求证：数列是等比数列； （3）求出数列的前项和为及数列的通项公式. 【答案】（1）； （2） 由，可得， 整理， 所以，又有， 所以数列是等比数列，首项是1，公比为2. （3），. 【解析】 【分析】（1）根据递推式求即可； （2）根据递推式及关系得，再由等差数列的定义即可证； （3）根据（2）可得，再应用关系求通项公式. 【小问1详解】 由题设，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知，且，进而， 所以数列的前项和， 当，， 当时，也满足. 所以，. 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，讨论函数在上的单调性； （3）证明：对任意的，有． 【答案】（1） （2）在上单调递增. （3）证明如下： 原不等式等价于， 令，， 即证， ∵， ， 由（2）知在上单调递增， ∴， ∴ ∴在上单调递增，又因为， ∴，所以命题得证. 【解析】 【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程； （2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解； （3）令，，即证，由第二问结论可知在[0,+∞）上单调递增，即得证. 【小问1详解】 因为，所以， 即切点坐标为， 又， ∴切线斜率 ∴切线方程为： 【小问2详解】 因为， 所以， 令， 则， ∴在上单调递增， ∴ ∴在上恒成立， ∴在上单调递增. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市红山中学2024-2025学年第二学期高二第一次段考 数学试题 命题人：刘巧茹 审题人：吴启海 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、学号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有这些小球的颜色互不相同.从两个袋子中分别取1个球，共有多少种不同的取法（ ） A. 11 B. 110 C. 30 D. 25 3. 已知等差数列的前项和为，，，则等差数列的公差为（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式的第7项的系数为（ ） A. B. C. D. 5. 函数，的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的单调递增区间是（ ） A. 和 B. C. D. 7. 设为双曲线曲线的左、右焦点，过直线与第一象限相交于点，且直线倾斜角的余弦值为，的离心率为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 8. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分） 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，下列关于函数的结论正确的是（ ） A. 函数的极值点的个数为 B. 函数在区间和单调递减 C. 函数在区间和单调递减 D. 当时，有最小值 11. 对于无穷数列，定义：，称数列是的“倒差数列”，下列叙述正确的有（ ） A. 若数列单调递增，则数列单调递增 B. 若数列是常数列，，则数列是周期数列 C. 若，则数列没有最小值 D. 若，则数列有最大值 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 圆的半径为__________. 13. 若圆锥曲线且的一个焦点与抛物线的焦点重合，则实数__________. 14. 设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则成立时的取值范围是__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答中应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，角，，的对边分别为，，，，， 且的面积为. (1)求； (2)求的周长 . 16. 如图，四棱锥的底面是正方形，且，侧面是等腰直角三角形，其中.四棱锥的体积为. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知抛物线：（），是的焦点，为上的一动点，且的最小值为1. （1）求的方程； （2）直线（不过坐标原点）交于、两点，且满足，证明过定点，并求出该定点的坐标. 18. 数列的前项和为，已知. （1）试写出； （2）设，求证：数列是等比数列； （3）求出数列的前项和为及数列的通项公式. 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，讨论函数在上的单调性； （3）证明：对任意的，有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $