精品解析：北京市平谷区第五中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

平谷区第五中学2024-2025学年度第二学期高一数学3月月考 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 化简后等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量加减法的运算律化简即可得. 【详解】. 故选：C 2. 已知函数和在区间I上都是减函数，那么区间I可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数和余弦函数的单调性判断． 【详解】在和上递增，在上递减，在上递减，在上递增，因此在上都递减． 故选：B． 3. 函数的图象（ ） A. 关于原点对称 B. 关于点对称 C. 关于轴对称 D. 关于直线对称 【答案】B 【解析】 【分析】根据时，，可得选项不正确；由时，，可得选项正确；由和的函数值不相等，可知选项不正确；由的函数值不等于最值，可知选项不正确. 【详解】当时，，所以选项不正确； 当时，，所以选项正确； 因为，所以选项不正确； 因，所以选项不正确. 故选：B 【点睛】本题考查了正弦型函数的奇偶性，考查了正弦型函数的对称中心，考查了正弦型函数的对称轴，属于基础题. 4. 将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先根据周期变换和平移变换的原则得出函数的解析式，再将代入即可. 【详解】将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得， 再向右平移个单位长度，得， 即， 所以. 故选：B. 5. 在中，若为边上的中线，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形法则和平行四边形法则表示向量. 【详解】如图所示，在中， 因为为边上的中线， 所以为的中点， 所以由平行四边形法则有： ， 又点在上，且 所以， 所以 ， 故选：A. 6. 向量与夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量夹角公式、逆用两角差的余弦公式直接求解即可. 【详解】设向量与的夹角为， 所以有， 因为，所以， 故选：B 7. 向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图可得，，即可求出，再根据平面向量基本定理求出、，即可得解. 【详解】依题意可得，， 所以， 又与不共线，且， 所以，所以. 故选：D 8. 已知，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】对两边平方结合可得，结合数量积夹角公式即可求解. 【详解】因， 所以，即， 所以. 故选：A. 9. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则的值为（ ） A. 1 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】以所在直线为轴，以为原点，建立坐标系，结合已知条件求出，，从而可求出数量积. 【详解】解：以所在直线为轴，以为原点，如图建立坐标系，则， 则，所以，，则. 故选:A 【点睛】关键点睛: 本题的关键是建立坐标系，写出两向量的坐标. 10. 设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：若，使，则两向量反向，夹角是，那么；若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分而不必要条件，故选A. 【名师点睛】判断充分必要条件的方法：（1）根据定义，若，那么是的充分不必要条件，同时是的必要不充分条件；若，那么，互为充要条件；若，那么就是既不充分也不必要条件.（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知 ,若，那么是的充分不必要条件，同时是的必要不充分条件；若，那么，互为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.（3）命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将是条件的判断，转化为是条件的判断. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 向量，，且，则实数_____________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，，且， 所以，即，解得. 故答案为： 12. 已知，且，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式可得，再利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题. 13. 已知，均为锐角，则___ ． 【答案】 【解析】 【分析】由两角和的正弦公式结合同角三角函数的关系求解即可． 【详解】因为，均为锐角，所以， 则， 所以. 故答案为： ． 14. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，若角的终边经过点，角的终边与角的终边关于原点对称，则__________，__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据角终边经过点，从而可求出，，再根据角的终边与角的终边关于原点对称，从而可求解. 【详解】对空：由点在角的终边上，所以，. 对空：由角的终边与角的终边关于原点对称，所以. 故答案为：；. 15. 已知三点共线，则P的值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】得到后借助向量共线计算即可得出结果. 【详解】∵， ∴ ∵，∴，解得：. 故答案为：2 16. 如图，是三个边长为1的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边上有5个不同的点，设，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知有为等腰三角形，，，延长交于点，则，应用向量数量积的运算律有，即可求. 【详解】由是三个边长为1的等边三角形， 所以为等腰三角形，，， 所以，， 延长交于点，如下图示，易知， 所以，故， 所以 ， 所以. 故答案为： 三、解答题：本题共6小题，共80分． 17. 已知向量，满足，且的夹角为． （1）求和的夹角的余弦值． （2）若，求实数的值． 【答案】（1）； （2）0 【解析】 【分析】（1）应用向量数量积的运算律求得、，再应用向量夹角公式求和的夹角的余弦值； （2）由题设有，即可得参数值. 【小问1详解】 由且， 所以. 【小问2详解】 由题设，即. 18. 已知向量，，向量，. （1）求； （2）求向量、的坐标； （3）判断向量与是否平行，并说明理由. 【答案】（1） （2）， （3）向量与平行，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的模长公式可求得的值； （2）利用平面向量线性运算的坐标表示可求得向量、的坐标； （3）利用共线向量的基本定理判断可得出结论. 【小问1详解】 解：因为，则. 【小问2详解】 解：因为向量，，则， . 【小问3详解】 解：，. 19. 已知：函数． （1）求的最小正周期； （2）求函数在上的单调区间． 【答案】（1）; （2）单调减区间为:,单调增区间为:. 【解析】 【分析】(1)用诱导公式与二倍角公式，辅助角公式将化为一个角的一个三角函数形式，再用公式求最小正周期即可； (2) 令解出在内的解集，从而判断出单调减区间，进而得到另一部分为单调增区间即可． 【小问1详解】 故最小正周期为． 【小问2详解】 ， 令 解得： 又，得， 即单调减区间为：，单调增区间为：． 20. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的值； （2）若对任意都有，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数图像确定周期，从而求出再代入图像中的一个点即可求出； （2）将恒成立问题，转化为最值问题即可. 【小问1详解】 设函数最小正周期为， 由图可知，， 所以． 又，， 所以； 又， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以； 【小问2详解】 函数在的最大值为，最小值为， 所以对任意，都有， 且当，时，取到最大值． 因为对任意，都有成立， 所以，即的取值范围是． 21. 设函数，且． （1）求的值； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值及的零点． 条件①：是奇函数； 条件②：图象的两条相邻对称轴之间的距离是； 条件③：在区间上单调递增，在区间上单调递减． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式结合辅助角公式化简函数解析式，进而可得参数值； （2）若选①，，与已知矛盾，不存在；若选②，可得进而可得与零点；若选③，求得函数的单调区间，结合函数的单调性可得，进而可得零点. 【小问1详解】 由已知， 又， 解得； 【小问2详解】 由（1）得，， 若选①：是奇函数，则，与已知矛盾，不存在； 若选②：图象的两条相邻对称轴之间的距离是， 所以，则，所以，， 则， 令，则，， 解得，； 即的零点为，； 若选③：对于函数，， 令，， 解得，， 即函数的单调递增区间为，， 再令，， 解得，， 即函数的单调递减区间为，， 又函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，解得， 所以， 令，则，， 解得，， 所以函数的零点为，. 22. 对于数集，其中．定义向量集．若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P． （1）已知数集．请你写出数集对应的向量集，是否具有性质P? （2）若，且具有性质P，求x的值． 【答案】（1），具有性质P； （2）． 【解析】 【分析】(1)根据定义，写出，再对任意，寻找是否存在，使得判断即可； (2) 取，依题意判断出的横坐标或纵坐标必然含有，再对或，其中，逐一验证即可求出x的值，注意最后要检验充分性即可． 【小问1详解】 由题， ， 若，存在，使得， 若，存在，使得， 若，存在，使得， 若，存在，使得， 若，存，使得， 若，存在，使得， 若，存在，使得， 若，存在，使得， 若，存在，使得， 综上可知， 对于任意，存在，使得，所以具有性质P． 【小问2详解】 由题具有性质P， 取，而，若存在，使得，则的横坐标或纵坐标不能全是在中选取，否则，即的横坐标或纵坐标必然含有， 即或，其中， 若，则即：，又，所以； 若，则即：， 又，故不存在； 综上：，经检验，此时具有性质P， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平谷区第五中学2024-2025学年度第二学期高一数学3月月考 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 化简后等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数和在区间I上都是减函数，那么区间I可以是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象（ ） A. 关于原点对称 B. 关于点对称 C. 关于轴对称 D. 关于直线对称 4. 将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 在中，若为边上的中线，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 向量与夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则（ ） A. 3 B. C. D. 8. 已知，则与夹角余弦值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 9. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则的值为（ ） A. 1 B. C. 5 D. 10. 设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的 A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 向量，，且，则实数_____________. 12. 已知，且，则_________. 13. 已知，均为锐角，则___ ． 14. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，若角的终边经过点，角的终边与角的终边关于原点对称，则__________，__________． 15. 已知三点共线，则P的值为_________． 16. 如图，是三个边长为1的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边上有5个不同的点，设，则_________． 三、解答题：本题共6小题，共80分． 17. 已知向量，满足，且的夹角为． （1）求和的夹角的余弦值． （2）若，求实数的值． 18. 已知向量，，向量，. （1）求； （2）求向量、坐标； （3）判断向量与是否平行，并说明理由. 19. 已知：函数． （1）求的最小正周期； （2）求函数在上的单调区间． 20. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的值； （2）若对任意都有，求实数m的取值范围． 21. 设函数，且． （1）求的值； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求值及的零点． 条件①：是奇函数； 条件②：图象的两条相邻对称轴之间的距离是； 条件③：在区间上单调递增，在区间上单调递减． 22. 对于数集，其中．定义向量集．若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P． （1）已知数集．请你写出数集对应的向量集，是否具有性质P? （2）若，且具有性质P，求x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$