精品解析：湖南省岳阳市岳阳县十校2024-2025学年九年级下学期第一次作业考试数学试题

2025年第一次作业检测卷 九年级数学 时量:120分钟 总分:120分 一、选择题（ 本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 信阳毛尖是中国十大名茶之一．如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查简单几何体的三视图，根据主视图的定义求解即可． 从正面看，在后面的部分会被遮挡，看见的为矩形，注意有两条侧棱出现在正面． 【详解】解：主视图从前往后看（即从正面看）时，能看得见的棱，则主视图中对应为实线，且图形为矩形，左右两边各有一个小矩形； 故选A． 3. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法可判断A，根据幂的乘方可判断B，根据积的乘方可判断C，根据合并同类项可判断D，从而可得答案． 【详解】解：，故A符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； 不是同类项，不能合并，故D不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方运算，积的乘方运算，合并同类项，掌握以上基础运算是解本题的关键． 4. 若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可． 【详解】解：两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是， 故选：D． 5. 如图，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质得，由邻补角性质得，然后求解即可，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 6. 一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( ) A. 2π B. 4π C. 12π D. 24π 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式S=计算即可． 【详解】S=， 故选C． 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S=是解题的关键． 7. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式，顶点坐标是，对称轴是已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标． 【详解】解：是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为． 故选A． 【点睛】本题主要考查抛物线的顶点式，关键是要牢记抛物线的顶点式的特点． 8. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据反比例函数性质即可判断． 【详解】解：， 反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限 随 的增大而减小， 点，都在反比例函数的图象上，， ． ∵，在反比例函数的图象上， ∴， ∴. 故选：B． 9. 如图， 中，，以点 为圆心，适当长为半径画弧，交 于点 ，交 于点 ；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在 的内部相交于点；画射线，与 相交于点 ，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案 【详解】解：∵， ∴， 由作图知，平分 ， ∴， 又 ∴ 故选：B 10. 如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与 轴交于点，与 轴的交点 在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（ ） ①； ②； ③； ④若方程两根为，则． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得 ，，，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为，即可判断②正确；将c和b用a表示，即可得到，即可判断③正确；结合抛物线和直线与 轴得交点，即可判断④正确． 【详解】解：由图可知 ， ∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与 轴交于点， ∴，， 则， ∵抛物线与 轴的交点 在，之间， ∴， 则，故①错误； 设抛物线与 轴另一个交点， ∵对称轴为直线，且该抛物线与 轴交于点， ∴，解得 ， 则，故②正确； ∵，，， ∴，解得，故③正确； 根据抛物线与 轴交于点和，直线过点和，如图， 方程两根为满足，故④正确； 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了提公因式分解因式，提公因式a即可解答． 【详解】解： 故答案为： 12. 2024年5月3日嫦娥六号成功发射，它将在相距约的地月之间完成月壤样品的“空中接力”．数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 这里． 【详解】解：； 故答案为：． 13. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____． 【答案】9 【解析】 【详解】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9． 故答案为：9． 14. 已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m， ∵方程有一个根为， ∴， 解得：． 故答案为：4． 15. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得： 故答案为：2 16. 如图， 是 的直径， 与 相切，A为切点，连接．已知，则的度数为__________ 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键． 【详解】解：∵ 与 相切， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 17. 如图， 是 的内接三角形，，为________________． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理．熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．因为，且，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 18. 已知关于 的方程有两个不同的实数根，则的取值范围________________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，把方程的解的问题转化为图象的交点问题是解题的关键． 作出和的图象，再根据图象判断 的范围即可． 【详解】解：∵关于 的方程有两个不同的实数根， ∴和的图象有两个交点， 如图，当经过 点左面和 之间时，和的图象有两个交点， 当经过 点时，于相切于点 ， 令，整理得：， ∵和有一个交点， ∴，解得， ∴当时，和的图象有两个交点； 令， ∴与 轴交于1，5两点，即，， 当经过时，，解得 ， 当经过时，，解得， ∴当时，和的图象有两个交点； 综上所述，当或时， 的方程有两个不同的实数根， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，第19-20题每小题6分，第21-22题每小题8分，第23-24题每小题9分，第25-26题每小题10分，共66分） 19. 计算： 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，零次幂，负整数指数幂，绝对值，先化简特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂，绝对值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，先根据整式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 21. 如图，已知二次函数的图象与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，其中． （1）求二次函数的表达式； （2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交 轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等. （1）根据待定系数法求解即可； （2）设，因为点在第二象限，所以．依题意，得，即可得出，求出，由，求出，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：将代入， 得， 解得， 所以，二次函数的表达式为． 【小问2详解】 设，因为点在第二象限，所以． 依题意，得，即，所以． 由已知，得， 所以． 由， 解得（舍去）， 所以点坐标为． 22. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图 类型 人数 百分比 纯电 m 混动 n 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了_____人；表中______，______； （2）请补全条形统计图； （3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； （4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 【答案】（1）50；30，6 （2） 补全条形统计图如图所示： （3） （4）人 【解析】 【分析】本题考查统计表、条形统计图和扇形统计图的综合，理解题意，能从统计图中获取有用信息是解答的关键． （1）用喜欢油车人数除以其所占的百分比可求得调查人数，用喜欢氢燃料人数除以调查人数可求得b，进而用1减去喜欢其他车型所占的百分比可求解a； （2）先求得n，进而可补全条形统计图； （3）用360度乘以喜欢混动所占的百分比即可求解； （4）用总人数乘以样本中喜欢新能源汽车所占的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查活动随机抽取人数为（人）， ，则， ，则， 故答案为：50；30，6； 【小问2详解】 解：∵， 【小问3详解】 解：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为； 【小问4详解】 解：（人）． 答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人． 23. 某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量 （件）与每件售价 （元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价 /元 日销售量 /件 （1）求 与 之间的函数关系式（不要求写出自变量 的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2） 该商品日销售额不能达到元，理由如下： 依题意得， 整理得， ∴， ∴该商品日销售额不能达到元． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出 与 之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出 与 之间的函数表达式； （2）利用销售额 每件售价销售量，即可得出关于 的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：设 与 之间的函数表达式为， 将，代入得 ， 解得， 与 之间的函数表达式为； 【小问2详解】 略 24. 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔 的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为 ．在 处测得桥塔顶部 的仰角（）为，测得桥塔底部 的俯角（）为，又在 处测得桥塔顶部 的仰角（）为． （1）求线段的长（结果取整数）； （2）求桥塔 的高度（结果取整数）．参考数据：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键． （1）设，在中，．在中，．则．解方程即可； （2）求出 ，根据即可得到答案． 【小问1详解】 解：设，由，得． ，垂足为 ， ． 在中，， ． 在中，， ． ． 得． 答：线段的长约为． 【小问2详解】 在中，， ． ． 答：桥塔 的高度约为． 25. 如图， 是 的直径， 是的中点，过点 作 的垂线，垂足为点 ． （1）求证：； （2）求证： 是 的切线； （3）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：∵ 是 的直径 ∴ ， 又∵ ， ∴， ∴， ∵ 是的中点， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：连接 AI    ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵ 是 的半径， ∴ 是 的切线； （3） 【解析】 【分析】+（1）分别证明，，从而可得结论； （2）连接 ，证明，可得，再进一步可得结论； （3）连接、 ，证明四边形是矩形，可得，再证明，可得，可得，利用可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接、 ∵ 是 的直径， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵ 是半径， 是的中点， ∴，， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定及扇形的面积公式，熟练地掌握相似三角形的判定和切线的判定是解决本题的关键。 26. 如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为．点C为 的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段 的长． （3）点D为线段上一动点（O点除外），在 右侧作平行四边形． ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标； ②如图3，连接 ，，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）①② 【解析】 【分析】（1）根据顶点为．设抛物线，把代入解析式，计算求解即可； （2）根据顶点为．点C为 的中点，得到，当时，，得到．结合，垂足为H，得到的长． （3）①根据题意，得，结合四边形是平行四边形，设，结合点F落在抛物线上，得到，解得即可； ②过点B作轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接 ，，，利用平行四边形的判定和性质，勾股定理，矩形判定和性质，计算解答即可． 【小问1详解】 ∵抛物线的顶点坐标为． 设抛物线， 把代入解析式，得， 解得， ∴． 【小问2详解】 ∵顶点为．点C为 的中点， ∴， ∵， ∴轴， ∴E的横坐标为1， 设， 当时，， ∴． ∴． 【小问3详解】 ①根据题意，得， ∵四边形是平行四边形， ∴点C，点F的纵坐标相同， 设， ∵点F落在抛物线上， ∴， 解得，(舍去)； 故． ②过点B作轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接 ，，， 则四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， 故当三点共线时，取得最小值， ∵， ∴的最小值，就是的最小值，且最小值就是， 延长交y轴于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故的最小值是． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，中点坐标公式，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称的性质求线段和的最小值，熟练掌握平行四边形的性质，轴对称的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年第一次作业检测卷 九年级数学 时量:120分钟 总分:120分 一、选择题（ 本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 信阳毛尖是中国十大名茶之一．如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( ) A. 2π B. 4π C. 12π D. 24π 7. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图， 中，，以点 为圆心，适当长为半径画弧，交 于点 ，交 于点 ；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在 的内部相交于点；画射线，与 相交于点 ，则的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与 轴交于点，与 轴的交点 在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（ ） ①； ②； ③； ④若方程两根为，则． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 分解因式：______． 12. 2024年5月3日嫦娥六号成功发射，它将在相距约的地月之间完成月壤样品的“空中接力”．数据用科学记数法表示为______． 13. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____． 14. 已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 15. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 16. 如图， 是 的直径， 与 相切，A为切点，连接．已知，则的度数为__________ 17. 如图， 是 的内接三角形，，为________________． 18. 已知关于 的方程有两个不同的实数根，则的取值范围________________ 三、解答题（本大题共8小题，第19-20题每小题6分，第21-22题每小题8分，第23-24题每小题9分，第25-26题每小题10分，共66分） 19. 计算： 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，已知二次函数的图象与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，其中． （1）求二次函数的表达式； （2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交 轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 22. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图 类型 人数 百分比 纯电 m 混动 n 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了_____人；表中______，______； （2）请补全条形统计图； （3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； （4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 23. 某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量 （件）与每件售价 （元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价 /元 日销售量 /件 （1）求 与 之间的函数关系式（不要求写出自变量 的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 24. 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔 的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为 ．在 处测得桥塔顶部 的仰角（）为，测得桥塔底部 的俯角（）为，又在 处测得桥塔顶部 的仰角（）为． （1）求线段的长（结果取整数）； （2）求桥塔 的高度（结果取整数）．参考数据：． 25. 如图， 是 的直径， 是的中点，过点 作 的垂线，垂足为点 ． （1）求证：； （2）求证： 是 的切线； （3）若，，求阴影部分的面积． 26. 如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为．点C为 的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段 的长． （3）点D为线段上一动点（O点除外），在 右侧作平行四边形． ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标； ②如图3，连接 ，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $