精品解析：上海市徐汇区位育初级中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2024学年第二学期4月阶段练习 初三数学试卷 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 上海国际赛车场的赛道长度约为5.451公里，2025年中国大奖赛现场观众数达22万人次左右，创造新纪录，用科学记数法表示人次正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段。请根据如下某组数据的方差计算式：．你不能得到的有效信息是（ ）． A. 这组数据的中位数是 B. 这组数据的平均数是 C. 这组数据的众数是 D. 这组数据的方差是 5. 下列三角形纸片中，用一条平行于三角形一边的直线，把它分割成一个四边形和一个小三角形，得到的四边形可能是等腰梯形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，把剪成三部分，边，，放在同一直线上，点都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）． 7. 2025的倒数是________． 8. 计算：________________． 9. 函数的定义域为________________． 10. 方程的解是________________． 11. 已知关于x的方程没有实数根，那么m的取值范围是______. 12. 若点，在正比例函数图象上，则________________（填，或） 13. 在一个不透明的盒子里放有大小相同的红球2个，白球2个，甲、乙两人先后从盒中取出1个小球，两人所取球颜色相同的概率为________________． 14. 2025年3月21日“神舟”十九号航天员乘组圆满完成第3次出舱任务，如图，当“神舟”十九号运行到地球表面点的正上方的点处时，从点能直接看到的地球表面最远的点记为点，已知，，，则圆心角所对的弧长约为________________ （结果保留 ）． 15. 如图，直线分别交直线 于点P和点Q，点R在直线上，且，如果，那么___________度． 16. 已知与内切，的半径为2，的长等于6，那么的半径等于_________． 17. 如图，在梯形中， ， ， ， ，，点是边上一点，以为圆心，为半径的，与边只有一个公共点时，则的取值范围是____________． 18. 如图，在中，，，点D在边上（不与点B，点C重合），连接，点E在边上，．已知点H在射线上，连接交线段于点G，当，且时，则________． 三、（本大题共7题，第19-22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分） 19. 计算：． 20. 解不等式组：，并写出它的最大整数解． 21. 如图已知⊙O经过A、B两点，AB＝6，C是的中点，联结OC交弦AB于点D，CD＝1． （1）求圆⊙O的半径； （2）过点B、点O分别作AO、AB的平行线，交于点G，E是⊙O上一点，联结EG交⊙O于点F，当EF＝AB，求sin∠OGE的值． 22. 清朝康熙年间编校的《全唐诗》包含四万多首诗歌，逾三百万字，是后人研究唐诗的重要资源．小云利用统计知识分析《全唐诗》中李白和杜甫作品的风格差异，下面给出了部分信息： ．在《全唐诗》中，李白和杜甫分别有896和1158首作品： ．二人作品中与“风”相关的词语频数统计表如表： 词语 频数 诗人 春风 东风 清风 悲风 秋风 北风 李白 72 24 28 6 26 8 杜甫 19 4 6 10 30 14 ．通过统计二人的个性化用字，可绘制一种视觉效果更强的“词云图”，出现次数较多的关键字被予以视觉上的突出． 注：在文学作品中，东风即春风，常含有生机勃勃之意和喜春之情，如：等闲识得东风面，万紫千红总是春；北风通常寄寓诗人凄苦的情怀，抒写伤别之情，如：千里黄云白日曛，北风吹雁雪纷纷． 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）在与“风”相关的词语中，李白最常使用的词语是__________，大约每__________首诗歌中就会出现一次该词语（结果取整数），而杜甫最常使用的词语是：__________； （3）有同学认为相较于杜甫，与“风”有关的词语在李白的诗歌中更常见，请用数学语言解释． 23. 如图，四边形是菱形，过点A作 、 ，垂足分别为点E、F， 分别交于点G、H． （1）求证： ； （2）延长 相交于点P，当 时，求证： ． 24. 许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称． 分米，点A到x轴的距离是 分米，A，B两点之间的距离是4分米． （1）求抛物线的表达式； （2）分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离； （3）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求m的值． 25. 如果三角形中一个内角的两条夹边中有一条边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形为“奇异三角形”，角叫做“奇异角”，这条边叫做“角的奇异边”. （1）如图，已知在中，，，求证：是“奇异三角形”； （2）已知 是“奇异三角形”， ，，当是“的奇异边”时，请在图上作出 并求出的长；（不必写作法，保留作图痕迹） （3）如图，已知在边长为的正方形中，点、同时从点出发，以相同的速度分别沿折线和向终点运动，记点所经过的路程为，当为“奇异三角形”时，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期4月阶段练习 初三数学试卷 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、与不是同类二次根式，不符合题意； D、与是同类二次根式，符合题意； 故选：D． 2. 上海国际赛车场的赛道长度约为5.451公里，2025年中国大奖赛现场观众数达22万人次左右，创造新纪录，用科学记数法表示人次正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：22万． 故选B． 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方、合并同类项、因式分解，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据幂的乘方、合并同类项、因式分解分别计算即可判断求解． 【详解】解： 、，该选项错误，不合题意； 、不是同类项，不能合并，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 故选： ． 4. 数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段。请根据如下某组数据的方差计算式：．你不能得到的有效信息是（ ）． A. 这组数据的中位数是 B. 这组数据的平均数是 C. 这组数据的众数是 D. 这组数据的方差是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位数，平均数，众数和方差，根据方差公式可得这一组数据为，，，，，再由中位数，平均数，众数和方差的定义逐项即可求解，熟练掌握相关概念是解题的关键． 【详解】根据方差公式可得这一组数据为，，，，， 、这组数据的中位数是，原选项不符合题意； 、这组数据的平均数是，原选项不符合题意； 、由于出现次数最多，则这组数据的众数是，原选项不符合题意； 、∵这组数据的平均数是， ∴， ∴原选项符合题意； 故选： ． 5. 下列三角形纸片中，用一条平行于三角形一边的直线，把它分割成一个四边形和一个小三角形，得到的四边形可能是等腰梯形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求得第三个角的度数，结合等腰梯形的性质即可求解． 【详解】解：A、，没有相等的角，故不合题意， B、，有2个 的角，符合题意； C、，没有相等的角，故不合题意； D、，没有相等的角，故不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰梯形的性质，熟练掌握等腰梯形的性质是解题的关键． 6. 如图，把剪成三部分，边，，放在同一直线上，点都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形内心，三角形内角和定理，读懂题意，熟练掌握三角形内心的判定及性质是解决问题的关键． 过点分别作 于， 于， 于，如图所示，得到点是的内心，即点为三个内角平分线的交点，然后根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：过点分别作 于， 于， 于，如图所示： ∵直线， ∴， ∴点是的内心，即点为三个内角平分线的交点， ∵ ∴ ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）． 7. 2025的倒数是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查倒数的概念，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 根据乘积为1的两个数互为倒数，即可求解． 【详解】2025的倒数是， 故答案为． 8. 计算：________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查同分母分式的加减运算，根据同分母分式的加减运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 9. 函数的定义域为________________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，注意二次根式被开方数非负，分母不为零是求函数自变量取值范围时常常要考虑的． 根据二次根式的被开方数非负，分母不为零即可确定函数的定义域． 【详解】由题意得：且， 且， 故答案为：且． 10. 方程的解是________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理方程的解法，解一元二次方程，解含未知数的二次根式只有一个的无理方程时，一般步骤是：①移项，使方程左边只保留含有根号的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根． 把两边平方，化为整式方程求解，然后检验即可． 【详解】∵， ∴ 整理得， 或 解得，． 经检验不符合题意，舍去；是原方程的解． ∴方程的解是． 故答案为：． 11. 已知关于x的方程没有实数根，那么m的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】一元二次方程没有实数根，则根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】∵一元二次方程没有实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (，a，b，c为常数)的根的判别式 ，解题的关键是理解根的判别式对应的根的三种情况．当 时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根． 12. 若点，在正比例函数图象上，则________________（填，或） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键．点，代入，比较大小比较即可． 【详解】解：∵点，在正比例函数图象上， ∴将点，代入得：， ∴， 故答案为：． 13. 在一个不透明的盒子里放有大小相同的红球2个，白球2个，甲、乙两人先后从盒中取出1个小球，两人所取球颜色相同的概率为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解题的关键是明确题意，画出相应的树状图、求出相应的概率． 列表表示出所有等可能得情况，然后得到两人所取球颜色相同的情况数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】列表如下： 红 红 白 白 红 （红，红） （白，红） （白，红） 红 （红，红） （白，红） （白，红） 白 （红，白） （红，白） （白，白） 白 （红，白） （红，白） （白，白） 由列表可得共有12种等可能的情况，其中所摸球的颜色相同的有4种情况， 则所摸球的颜色相同的概率是． 故答案为：． 14. 2025年3月21日“神舟”十九号航天员乘组圆满完成第3次出舱任务，如图，当“神舟”十九号运行到地球表面点的正上方的点处时，从点能直接看到的地球表面最远的点记为点，已知，，，则圆心角所对的弧长约为________________ （结果保留 ）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，弧长公式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程求解． 设，由 是的切线，可得，由此构建方程求出半径，再利用弧长公式求解． 【详解】解：设， 由题意， 是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长． 故答案为：． 15. 如图，直线分别交直线 于点P和点Q，点R在直线上，且，如果，那么___________度． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，邻补角，根据等腰三角形的性质得到，由平行线的性质得到，进而得到，再根据，由邻补角的定义即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：70． 16. 已知与内切，的半径为2，的长等于6，那么的半径等于_________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查两圆的位置关系．根据圆心距和两圆半径之间的关系：即可得出． 【详解】解：∵与内切，的半径为2，设的半径为，的长等于6， ∵， ∴只可能是 ∴的半径为． 故答案为：8． 17. 如图，在梯形中， ， ， ， ，，点是边上一点，以为圆心，为半径的，与边只有一个公共点时，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】作 于E，找到两个临界状态，一个是恰好与相切时，此时点D是切点，得到半径为，另一个是经过点A时，则 ，建立方程求解即可． 【详解】解：作 于E，则，如图所示： ∵ ， ， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵ ∴， 当点运动到点E时， ，此时与相切， ∴， 当经过点A时， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ∴以为圆心，为半径的，与边只有一个公共点时，则的取值范围是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、直角梯形的性质、勾股定理，矩形的判定与性质等知识，注意分情况讨论是解题的关键． 18. 如图，在中，，，点D在边上（不与点B，点C重合），连接，点E在边上，．已知点H在射线上，连接交线段于点G，当，且时，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．根据点H在射线上，，有以下两种情况：①当点H在线段上时，过点A作 交延长线于F，则，过点D作于M，证四边形为矩形得 ，证，推出，再证，由此可得的值；②当点H在的延长线上时，过点A作 交延长线于F，同理可得的值． 【详解】解：∵点H在射线上，， ∴有以下两种情况： ①当点H在线段上时，过点A作 交延长线于F，过点D作于M，如图1所示： ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴ ， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵ ， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵ ，，， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴； ②当点H在的延长线上时，过点A作 交延长线于F，如图2所示： 则， 同理可证：，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 三、（本大题共7题，第19-22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分） 19. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，代入特殊角的三角函数值，先计算负整数指数幂，零指数幂，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 20. 解不等式组：，并写出它的最大整数解． 【答案】，最大整数解为 【解析】 【分析】本题考查了求不等式组的整数解，掌握不等式组的解集由所构成的几个不等式解集的公共部分组成是解题关键． 分别解不等式，求解集的公共部分，再找出整数解即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴原不等式组的解集为：， ∴最大整数解为． 21. 如图已知⊙O经过A、B两点，AB＝6，C是的中点，联结OC交弦AB于点D，CD＝1． （1）求圆⊙O的半径； （2）过点B、点O分别作AO、AB的平行线，交于点G，E是⊙O上一点，联结EG交⊙O于点F，当EF＝AB，求sin∠OGE的值． 【答案】（1）⊙的半径为5；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意和垂径定理，可知∠ODA＝90°，AD＝3，设OA＝r，则OD＝r﹣1，然后根据勾股定理即可得到r的长； （2）根据AB＝EF，可知OD＝OH，然后平行四边形的判定和性质，可以得到OG的长，从而可以求得sin∠OGE的值． 【详解】解：（1）∵AB＝6，C是的中点，CD＝1， ∴OC⊥AB且OC平分AB， ∴AD＝3，∠ODA＝90°， 设OA＝r，则OD＝r﹣1， ∴r2＝32+（r﹣1）2， 解得，r＝5， 即圆⊙O的半径为5； （2）作OH⊥EF于点H， ∵AB＝EF，OD＝r﹣1＝4， ∴OH＝OD＝4，∠OHG＝90°， ∵OA∥BG，OG∥AB， ∴四边形OABG是平行四边形， ∴OG＝AB， ∵AB＝6， ∴OG＝6， ∴sin∠OGH＝， 即sin∠OGE＝． 【点睛】本题考查圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系、勾股定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 22. 清朝康熙年间编校的《全唐诗》包含四万多首诗歌，逾三百万字，是后人研究唐诗的重要资源．小云利用统计知识分析《全唐诗》中李白和杜甫作品的风格差异，下面给出了部分信息： ．在《全唐诗》中，李白和杜甫分别有896和1158首作品： ．二人作品中与“风”相关的词语频数统计表如表： 词语 频数 诗人 春风 东风 清风 悲风 秋风 北风 李白 72 24 28 6 26 8 杜甫 19 4 6 10 30 14 ．通过统计二人的个性化用字，可绘制一种视觉效果更强的“词云图”，出现次数较多的关键字被予以视觉上的突出． 注：在文学作品中，东风即春风，常含有生机勃勃之意和喜春之情，如：等闲识得东风面，万紫千红总是春；北风通常寄寓诗人凄苦的情怀，抒写伤别之情，如：千里黄云白日曛，北风吹雁雪纷纷． 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）在与“风”相关的词语中，李白最常使用的词语是__________，大约每__________首诗歌中就会出现一次该词语（结果取整数），而杜甫最常使用的词语是：__________； （3）有同学认为相较于杜甫，与“风”有关的词语在李白的诗歌中更常见，请用数学语言解释． 【答案】（1）图见解析 （2）春风，12，秋风 （3）①③ 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、统计表等知识点，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）根据频数统计表补全条形统计图即可； （2）分别找出统计表中李白和杜甫的最大数即可得李白和杜甫最常使用的词语，再利用896除以李白最常使用的词语的频数即可得； （3）根据杜甫和李白与“风”有关的词语的频率即可判断． 【小问1详解】 解：根据频数统计表补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：李白：在与“风”相关的词语中，春风出现的次数最多，为72次， 所以在与“风”相关的词语中，李白最常使用的词语是春风， ， 则在李白的诗歌作品中，大约每12首诗歌中就会出现一次春风； 杜甫：在与“风”相关的词语中，秋风出现的次数最多，为30次， 所以在与“风”相关的词语中，杜甫最常使用的词语是秋风， 故答案为：春风，12，秋风． 【小问3详解】 解：与“风”有关的词语在李白的诗歌中出现的总频数为， 则频率为 与“风”有关的词语在杜甫的诗歌中出现的总频数为， 则频率为 则相较于杜甫，与“风”有关的词语在李白的诗歌中更常见． 23. 如图，四边形是菱形，过点A作 、 ，垂足分别为点E、F， 分别交于点G、H． （1）求证： ； （2）延长 相交于点P，当 时，求证： ． 【答案】（1） 证明： 四边形 是菱形， ， ， ， ； （2） 证明： ， 是直角三角形 斜边 的中点， 由(1)知： ， 是等边三角形， 如图，连接 ， ∵四边形是菱形， 是等边三角形， 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质． (1)根据菱形的性质即可解决问题； (2)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明 是等边三角形， 是等边三角形，进而可以解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称． 分米，点A到x轴的距离是 分米，A，B两点之间的距离是4分米． （1）求抛物线的表达式； （2）分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离； （3）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求m的值． 【答案】（1）； （2） （3）2或4； 【解析】 【分析】（1）根据题意得到 ，，，设抛物线的解析式为代入求解即可得到答案； （2）分别求出，所在直线的解析式，求出与抛物线的交点F，E即可得到答案； （3）求出抛物线与坐标轴的交点得到，表示出新抛物线找到交点得到，根据面积公式列方程求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为，由题意可得， ，，， ∴，， 把点A坐标代入所设解析式中得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：设的解析式为： ，的解析式为：， 分别将，代入得， ，， 解得：，， ∴的解析式为：，的解析式为：， 联立直线解析式与抛物线得：， 解得（舍去）， 同理，解，得（舍去）， ∴，， ∴E，F两点之间的距离为：； 【小问3详解】 解：当时，， 解得：， ∴， ∵抛物线向右平移个单位， ∴， 当时，， 当时，，解得：， ∴， ∵， ∴， 解得：，（不符合题意舍去），，（不符合题意舍去）， 综上所述：m等于2或4； 【点睛】本题考查二次函数综合应用，解题的关键是熟练掌握函数与坐标轴的交点求法及平移的规律：左加右减，上加下减． 25. 如果三角形中一个内角的两条夹边中有一条边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形为“奇异三角形”，角叫做“奇异角”，这条边叫做“角的奇异边”. （1）如图，已知在中，，，求证：是“奇异三角形”； （2）已知 是“奇异三角形”， ，，当是“的奇异边”时，请在图上作出 并求出的长；（不必写作法，保留作图痕迹） （3）如图，已知在边长为的正方形中，点、同时从点出发，以相同的速度分别沿折线和向终点运动，记点所经过的路程为，当为“奇异三角形”时，求的值. 【答案】（1）见解析； （2）作图见解析；DF=； （3）的值为或． 【解析】 【分析】（1）取AC的中点D，连接BD，设BC=x，则AC=2x，最后求得AC=BD即可； （2）作DE的垂直平分线交DE于点H，以点H为圆心，DE的长为半径作弧交DG于点F，连接HF，EF， 即为所作的三角形，再求出DF的长即可； （3）分两种情况讨论，点在上时，是等腰直角三角形，不可能是“奇异三角形”，当在上时，延长交 的延长线于点，可以求出分情况讨论，就可以求出，再分情况讨论就可以求出当时，的值，当时，可以求出的值． 【小问1详解】 如图1，取AC的中点D，连接BD， 图1 ∵， ∴， ∴设BC=x，则AC=2x， ∵D是AC的中点， ∴CD=AC=x， ∴， ∴AC=BD， ∴△ABC是“奇异三角形”； 【小问2详解】 如图2， 即为所作的三角形， 图2 如下图，过点H作HM⊥DF，垂足为点M， ∵ ， ∴DH=HE=1，HF=2， ∵Rt△DMH中，，DH=1， ∴， ∴Rt△MHF中，， ∴DF=； 【小问3详解】 如图3，当点在上时， ， 是等腰直角三角形，不可能是“奇异三角形”， 当在上时，连接交于点，延长交 的延长线于点，如图4， ， ，， ， ， ， ， ①当底边与它的中线相等时，即时， ， ． ②当腰与它的中线 相等，即时，作于，如图5， 图5 当AP=QM时，可得QM=AP=AQ， ∵， ． 设AN=MN=x，则AM=2x，AQ=AP=4x， 则， ， ， ， ． 综上所述，的值为或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了相似三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等腰直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，锐角三角形函数值的运用，解答时灵活运用三角函数值建立方程求解是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $