专题18 函数的角度存在性问题 2025年中考数学复习专题分类强化训练（重庆专用）

专题18 二次函数角度存在性问题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 目录 命题角度一：特殊角的存在性问题 1 命题角度二：等角的存在性问题 6 命题角度三：二倍角的存在性问题 11 命题角度四：角度的和差关系 13 命题角度五：相似三角形的存在性问题（有序） 23 命题角度六：相似三角形的存在性问题（无序） 29 命题角度七：折叠问题 31 命题角度八：最大张角 33 命题角度九：其他存在性问题 34 命题角度一：特殊角的存在性问题 1．如图，抛物线交x轴于、两点，交轴于点．    (1)求出抛物线的解析式； (2)如图，点是直线上方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图，将抛物线的图像先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，在平移后的抛物线上有一点，连接，射线绕点顺时针旋转交直线于点，若时，请写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个值的求解过程． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)若是线段上一点（与不重合），是点关于轴的对称点，是轴负半轴上一点，连接、，且；延长至点，使．连接，若，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 3．平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点为直线上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作交直线于，求的最大值以及此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线向右平移2个单位得到新抛物线，在新抛物线上找一点，使得与的面积之比为，请直接写出满足条件的所有点的横坐标，并写出其中一个横坐标的求解过程． 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线交轴于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，若点M是第四象限内抛物线上一点，轴交于点N，求的最大值； (3)如图2，在轴上取一点，抛物线沿方向平移个单位得新抛物线，新抛物线与轴交于点，，交轴于点，点在线段上运动，线段关于线段的对称线段所在直线交新抛物线于点，直线与直线所成夹角为，直接写出点的横坐标． 5．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交坐标轴于点，，抛物线过，两点，且与轴的另一交点为点．    (1)求抛物线解析式； (2)如图2，点是第二象限内抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，连接，将该抛物线沿射线方向平移后过点，点为平移后抛物线对称轴上的一个动点，连接，，若中有一个内角为，请写出所有符合条件的点坐标，并写出其中一个点的求解过程． 6．如图1：平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，点是抛物线上一点， (1)求抛物线表达式． (2)如图2，点是y轴上一点，连接，点P是直线上方抛物线上一个动点，过点P作轴交直线于点E，在射线上取一点F，使得，求周长的最大值及此时点P的坐标． (3)如图3，将原抛物线沿射线方向平移4个单位长度，平移后抛物线的对称轴与x轴交于点N，射线上有一点G，连接，过点G作的垂线与抛物线交于点M，连接，若，请直接写出点M的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点且交轴于点，点，交轴于点，顶点为，连接，． (1)求抛物线的表达式． (2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作交轴于点，轴交于点，求的最大值，以及此时点的坐标． (3)连接，把原抛物线沿射线方向平移个单位长度后交轴于，两点在右侧），在新抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点E，过点P作交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，平移后的抛物线上一点G，使得，请直接写出所有符合条件的点G的横坐标． 命题角度二：等角的存在性问题 9．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接，，请求出面积的最大值； (3)点在抛物线上移动，连接，存在，请直接写出点的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，且满足．连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是线段上一点，过点D作交x轴于点E，连接．求面积的最大值及此时点D的坐标； (3)如图2，在（2）的面积取得最大的前提下，将该抛物线沿射线的方向移动个单位长度，得到新的抛物线，在新抛物线上是否存在一点P，使得，若存在直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．已知如图1，抛物线：交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中，．点D为y轴上一点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)过点A、D的直线上有一点E，点P为位于下方抛物线上一点，顺次连接点E、C、P、B，求四边形面积最大值，并求此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移一定单位后得到新抛物线，新抛物线经过点，点M为新抛物线上一点，当时，写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程． 12．已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求的值和点的坐标； (2)如图1，点为直线上方抛物线上的一点，过点作轴交于点，再过点作于点，求周长的最大值以及此时点的坐标； (3)如图2，平移该抛物线，平移后的抛物线经过点．且与轴交于两点，连接，．点是抛物线上一点，连接，若，直接写出所有符合条件的点的坐标．并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 13．如图1，已知抛物线（为常数，）经过点，与轴交于点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)如图2，若点为第二象限内抛物线上一点，连接，当与的面积和最大时，求点的坐标及此时与的面积和； (3)如图3，点是抛物线上一点，连接，当时，求点的坐标． 14．如图1，已知抛物线与x轴交于A，B两点，A点在B点的左侧，与y轴交于点C．连接点D是的中点，连接． (1)求直线的解析式； (2)已知P是直线上方抛物线上的一个动点，连接，求面积的最大值及此时P点的坐标； (3)如图2，将过点D的直线l绕点D旋转，旋转过程中，直线l分别交y轴和抛物线于点M、N，当的时候，请写出符合条件的点N的横坐标，并写出其中一个点横坐标的求解过程． 15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上位于直线下方一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，点是抛物线上一点，连接，当线段的中点恰好在轴上时，探究抛物线上是否存在点，使．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 16．如图，地物线与轴相交于点，点（在的左侧），与轴相交于点，连接，． (1)求的周长； (2)如图，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，交直线于点，当有最大值时，求的最大值与点的坐标； (3)将抛物线向右平移2个单位得到新抛物线，点为原抛物线与新抛物线的交点，点是原抛物线上一点，当时，直接写出点的坐标． 17．如图，在平面直角坐标系中抛物线与轴交于，两点在的左侧），与轴交于点其中，连接，，． (1)求该抛物线的表达式： (2)线段位于第一象限，且在线段上移动，轴交抛物线于点，连接．若，求的面积的最大值及此时点的坐标； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的面积取得最大值时对应的点处，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，．    (1)求抛物线的表达式； (2)为直线上方抛物线上一点，过点作于点，过点作轴交抛物线于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)点关于抛物线对称轴对称的点为，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴交于点，新抛物线的对称轴与轴交于点，连接，，点在直线上，连接．当与一边平行时，直接写出点的坐标，并写出其中一种符合条件的解答过程． 命题角度三：二倍角的存在性问题 19．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交x轴于点和点B，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作交于点M，过点P作轴交于点N，求周长的最大值及此时点P的坐标； (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在新抛物线上是否存在一点H，使得．若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，抛物线与轴交于点和点(点在原点的左侧，点在原点的右侧)，与轴交于点，． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)如图1，连接，点是直线上方抛物线上的点，连接，．交于点，当时，求点的坐标． (3)如图2，点的坐标为，点是抛物线上的点，连接形成的中，是否存在点，使或等于？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．直线经过点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为平移后的抛物线与轴负半轴的交点，将点向下平移一个单位得到点，在直线上确定一点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 22．如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交拋物线于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）问条件下，将原拋物线向右平移，再次经过（2）问条件下的点时，新拋物线与轴交于点（在左侧），与轴交于点．点为新拋物线上的一点，连接交直线于点，使得，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 命题角度四：角度的和差关系 23．如图，在平而直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点和点，交轴于点． (1)求拋物线的解析式； (2)如图，点是直线下方拋物线上一动点，过点作轴交于点，过点作交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新拋物线，新拋物线与轴的负半轴交于点，请问在新拋物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，其中，与轴交于，且过．连接，作直线． (1)求该抛物线的解析式： (2)已知直线下方抛物线上有一动点，过点作轴交直线于，过作轴交轴于，求的最大值和此时点坐标； (3)将原抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，已知点是新抛物线上一动点，且，求所有符合条件的点的坐标并写出其中一种情况的求解过程． 25．如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C，连接、，已知． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)P是直线上方抛物线上一个动点，过点P作交于点F，过点P作轴交于点E，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，在平面直角坐标系内，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，上有一动点M，连接，当时，写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的其中一种情况过程． 26．如图，抛物线交轴于和两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作交轴上一点，直线交直线于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）问的条件下，将拋物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，点是新抛物线上一点，当时，写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标其中一种情况的过程． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线下方抛物线上一动点，过点作交于点，求最大值及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得新到抛物线，新抛物线与直线交于点，（在的左侧），是新抛物线上一动点，当时，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 28．如图1，抛物线与x轴交于、，与y轴交于点C，连接、． (1)求抛物线解析式． (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一点，过点P作交于点K，交x轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标． (3)如图2，将原抛物线沿x轴向右平移2个单位得到新抛物线，新抛物线交x轴于点、，点G为新抛物线对称轴与x轴的交点，点M为新抛物线上一动点，使得，请直接写出所有满足条件的点M的坐标． 29．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点Р是直线下方抛物线上一点，连接，设和的面积分别为，请求出的最大值及取得最大值时点P的坐标； (3)如图2，作点C关于x轴的对称点，将抛物线沿射线方向平移单位长度得新抛物线，点D是新抛物线的顶点，点E是新抛物线对称轴上一点，在新抛物线上确定一点Q，使得，写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出求解点Q的横坐标的其中一种情况的过程． 30．在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，交轴于两点（点在点的左侧）．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点为线段下方抛物线上一动点，过点作交于点，作轴交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，问在平移后的拋物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 31．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，，与轴交于，连接，作直线． (1)求该抛物线的解析式： (2)已知直线上方抛物线上有一动点，过点作轴交于，过作轴交轴于，求的最大值和此时点坐标； (3)将原抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，已知点是新抛物线上一动点，且，求所有符合条件的点的横坐标并写出其中一种情况的求解过程． 32．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，过点作交轴于点，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，平移后抛物线上一点G，使得，请写出所有符合条件的点G的坐标．并写出求解点G的坐标的其中一种情况的过程． 33．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与y轴交于点，连接、． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线下方抛物线上的一动点，过点作直线交轴于点，过点作于点，求出的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，连接交于点，将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，在新抛物线上存在一点，使，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 34．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，如图所示．点D为抛物线的顶点，点是抛物线上的一点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P分别作交x轴于点M，轴交直线于点N．求的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，点是新抛物线的顶点，点F是点E平移后的对应点，点G是新抛物线上一动点，连接．当时，请直接写出所有符合条件的点G的坐标． 35．已知如图1，抛物线：交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中．点D为y轴上一点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为位于下方抛物线上一点，过P作y轴平行线交于点E，再过点E作直线的垂线交其于点F，求的最大值，并求此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度后得到新抛物线y'，点M为新抛物线y'上一点，当时，写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M横坐标的其中一种情况的过程． 36．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、，与轴交于点．已知点为轴上一点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，作的角平分线交轴于点，点为直线上方抛物线上的一个动点，过点作交直线于点，过点作轴交直线于点，求的最大值，并求出此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线沿轴向左平移个单位得到新抛物线，新抛物线交轴于点、，点为新抛物线的对称轴与轴的交点，点为新抛物线上一动点，使得，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 37．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P为第二象限抛物线上的一点，过点P作轴交直线于点D，过点P作轴交直线于点E，F为y轴上一点，且满足，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线进行平移，平移后的抛物线与x轴交于点M，N，顶点为，轴于H，在平移后的抛物线上是否存在点R，使得，若存在，请直接写出R的坐标，若不存在，请说明理由． 38．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，点是抛物线上一点．                                 (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点P是直线上方抛物线上一点，过点P作交直线于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)连接，过点A作，交于点F，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点Q为新抛物线上一点，直线与射线交于点G，连接．当时，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标． 39．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点为直线上方抛物线上的一个动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将原抛物线向左平移，使新抛物线经过原点，平移后点对应点为，过点作轴于点，为直线上一点，且满足，在轴下方新抛物线上确定一点，使的角平分线与轴所成钝角与互补，直接写出所有符合条件的点的坐标． 40．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，连接，，． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，点M为线段（不含端点O，C）上一点，连接并延长交抛物线于点P，连接，，当面积最大时，求点M的坐标及面积的最大值； (3)如图2，将该抛物线沿射线方向平移，当它过点B时得到新抛物线，点F为新抛物线与x轴的另一个交点，点G为新抛物线的顶点，连接，，过点B作交新抛物线于点H，连接．在新抛物线上确定一点N，使得，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 41．如图，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P为直线BC下方抛物线上一点，过点P作轴交直线BC于点D，过点D作交x轴于点E，求的最大值，并求此时点P的坐标； (3)如图2，将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到新抛物线，新抛物线交y轴于点G，点H为新抛物线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点H的横坐标，并写出求点H横坐标的其中一种情况的过程． 命题角度五：相似三角形的存在性问题（有序） 42．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点且交x轴于点，两点，交y轴于点C，点D是线段的中点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点M，过P作于点N，点Q为线段的中点，求周长的最大值及此时点P的坐标； (3)将原抛物线y沿射线方向平移后得到新抛物线经过原点，点E为y轴上一点，点F为原抛物线对称轴上一点，点Q为新抛物线上一点，若，请写出所有符合条件的点Q的坐标，并把求解其中一个点Q的坐标的过程写出来． 43．如图1，抛物线经过点，与y轴交于点C，直线l：经过点C，与抛物线交于点A，与x轴交于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为直线l上方抛物线上一点，作于点Q，求的最大值以及此时点P的坐标． (3)如图2，将抛物线沿着射线方向平移个单位得到抛物线，与x轴分别交于点D、点E，与y轴交于点F，连接，与对称轴交于点N．点M是抛物线对称轴上一点，当时，求点M的坐标． 44．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作PE轴交BC于点，在轴上取一点，使得，求的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上确定一点，过点作轴于点，使得，请直接写出点的横坐标． 45．如图，过点的抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)连接，，点为直线下方抛物线上一动点，点与点关于轴对称，分别过，作轴的平行线交于点，，求的最大值及此时点的坐标； (3)另一条过点的抛物线的顶点位于直线上，该抛物线与轴的另一交点为点，连接，，若，请直接写出满足条件的点的坐标． 46．在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． (1)求抛物线y的函数表达式； (2)如图1，点P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作交于点E，作轴交抛物线于点F，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将抛物线y沿射线的方向平移个单位长度得到新抛物线，的对称轴交x轴于点H，D为的顶点，M为对称轴右侧图象上的一点，N为对称轴上的一点，当时，直接写出的面积． 47．若抛物线经过，与轴交另一点． (1)求的值； (2)如图1，当点是直线上的动点时，点，若直线平分，求点的坐标； (3)当点在对称轴右侧的抛物线上运动时，交对称轴于点，且点、关于抛物线顶点对称，连结，若点到直线的距离为，试探究是否存在最大值，若存在，求出的最大值和此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 48．如图，在平面直角坐标系中，抛物线两点，过点，且交x 轴于点，B交y 轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P 是抛物线对称轴右侧，直线上方抛物线上的一动点，过点P 作于点M， 过点P 作 x 轴的平行线交抛物线于点N，求的最大值及此时点P 的坐标； (3)将该抛物线沿射线平移个单位长度，Q 为平移后的抛物线上一点，使得，直接写出 Q 点的横坐标． 49．如图1，已知抛物线与轴交于、两点（点在点左边），与轴交于点，其中． (1)求线段的长度． (2)如图，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点，作轴交于点，为中点，连接，请求出的最大值以及此时点的坐标． (3)将抛物线水平向右平移个单位后得到抛物线，点、点的对应点分别为点、点，抛物线与轴交于点（点不与原点重合），连接、．在平移过程中，当时，请直接写出的值． 50．如图1，二次函数的图象与轴相交于、两点，其中点的坐标为，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求该二次函数的解析式； (2)是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接交于点，连接，，．若和的面积分别为、，请求出的最大值及取得最大值时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线平移个单位得新抛物线，为新抛物线上一点，作直线，当点到直线的距离是点到直线的距离的倍时，直接写出点的横坐标． 51．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，直线交轴于点，点为线段下方抛物线上的一点，过点作轴交直线于点，在直线上取点，连接，使得，求的最大值及此时点的坐标； (3)连接，把原抛物线沿射线方向平移个单位长度，点是平移后新抛物线上的一点，过点作垂直轴于点，连接，直接写出所有使得的点的横坐标． 命题角度六：相似三角形的存在性问题（无序） 52．抛物线 经过点和点．该抛物线与直线 相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线轴，分别与x轴和直线交于点 M、N． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)连接，如图1，在点P运动过程中，的面积是否存在最大值？ 若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由； (3)连接，过点 C作垂足为点 Q，如图2，是否存在点 P，使得与相似？ 若存在，求出满足条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由． 53．如图，二次函数 顶点， 与x轴交A，B两点， 交y轴于点C，点，    (1)求二次函数的解析式； (2)如图，连接，点P为线段上方抛物线上一动点，过点P作直线分别交y轴于点E，x轴于点F，求的最大值以及此时点P的坐标 (3)连接， 将抛物线沿射线平移 个单位长度得到新抛物线 的顶点为H，过点H作 轴于点N，连接，在新抛物线对称轴右侧平面内是否存在点Q，使得 与 相似，若存在，请直接写出所有符合题意点Q的坐标，若不存在，请说明理由 54．如图，顶点为的抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线的表达式为． （1）求抛物线的解析式． （2）点满足到四点距离之和最小，求点的坐标． （3）在坐标轴上是否存在一点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 55．如图，抛物线经过点和．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点为第二象限内抛物线上一点，连接，点P为线段下方抛物线上一点，过点P作交y轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，连接、，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，若点M为平移后新抛物线上一点，过点M作轴于点N，直接写出所有使得相似于的点M的横坐标． 命题角度七：折叠问题 56．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，， 两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，连接，过点作交于点，求线段长的最大值及此时的坐标； (3)在（）中线段长取得最大值的条件下，过点作的平行线，交轴于点，将该抛物线向左平移个单位长度，再向上平移 个单位得到抛物线，点为上的一动点，过点作轴的平行线，交直线于点，连接，将线段沿直线翻折得到线段，当点在轴上时，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 57．如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知，抛物线的对称轴为：．    (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴左侧，第三象限抛物线上一动点，点为抛物线的顶点，过点作直线交对称轴于点，连接．求的最大值以及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）成立的情况下，连接，将抛物线沿着射线方向平移个单位得抛物线．点是抛物线的顶点，点是抛物线与轴的交点，直线与轴交于点，过抛物线上一点（不与点重合）作轴于点，直线交于点，连接．若点关于直线的对称点恰好落在轴上，请直接写出点的横坐标． 58．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点A在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，点直线上方抛物线上（不与重合）的一动点，过点作交轴于点，轴交直线于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物，点为新抛物上轴左侧的一动点，过点作轴，过点作轴，直线与直线相交于点，连接，将沿直线翻折，若点的对应点恰好落在坐标轴上，请直接写出点的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程；若不存在，请说明理由． 59．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点M，过点P作交于点N，求的最大值及此时点P的坐标； (3)把原抛物线）沿射线方向平移8个单位，点E为平移后新抛物线对称轴上的一点，连接，将沿直线翻折，使得点E的对应点点Q落在坐标轴上．写出所有符合条件的点E的坐标，并写出求解点E的坐标的其中一种情况的过程． 命题角度八：最大张角 60．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线（）过点、，与轴交于点．    (1)求抛物线的表达式： (2)点为第四象限内抛物线上一动点，过点作轴交直线于，为直线上一点，且，求的最大值及此时点的坐标： (3)在（2）问的前提下，在抛物线对称轴上是否存在点，使的度数最大，若存在，请写出点的坐标，并做详细解答． 命题角度九：其他存在性问题 61．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点且交x轴于点，点B，交y轴于点C，顶点为D，连接，．    (1)求抛物线的表达式． (2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作交x轴于点M，轴交于点H，求的最大值，以及此时点P的坐标． (3)连接，把原抛物线沿射线方向平移个单位长度后交x轴于，两点（在右侧），直线l为新抛物线的对称轴且交x轴于点F．若点G为x轴下方新抛物线上一动点，连接，且直线，分别交直线l于点T，R，连接，，记，的面积分别为，．试探究：在点G运动的过程中，是否为定值？若是，请求出该定值并说明理由；若不是，请说明理由． 62．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点是直线下方抛物线上一动点，点是线段上一动点，直线交轴于点．若，求的最大值及此时点的坐标； (3)另有抛物线的顶点在线段上，经过点，将抛物线平移得到新的抛物线，点，平移后的对应点分别是点，，连接．若轴，点在轴上，经过点，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 63．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 交x轴于，， 交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2， 连接，点P是直线上方抛物线上的一动点， 过点 P作轴交于点E，过点P作 交x轴于点 F， 求 的最大值及此时点P坐标； (3)将抛物线沿y轴方向向下平移，平移后所得新抛物线与y轴交于点 D，过点D作轴交新抛物线于点M，射线交新抛物线于点 N，如果请写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 64．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，直线与抛物线交于两点，点是下方抛物线上的一点．过点作，垂足为．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)当取得最大值时，求点的坐标和的最大值； (3)将抛物线向右平移3个单位得到新抛物线，为原抛物线对称轴上一点；点为新抛物线上一点．当(2)中最大时，直接写出所有使得以点为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来． 65．已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，点为直线上方抛物线上的一点，连接，过点作轴交于点，再过点作交轴于点，求的最大值以及此时点的坐标； (3)如图2，将该抛物线沿着射线方向平移，使平移后的抛物线经过（2）中取得最大值时的点．点是抛物线上的一个定点，点是直线上的动点，连接，若的面积是一个定值，求出所有符合条件的点的坐标． 66．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x＋c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，直线AC与y轴交于点C，与抛物线交于点D，OA＝OC． （1）求该抛物线与直线AC的解析式； （2）若点E是x轴下方抛物线上一动点，连接AE、CE．求△ACE面积的最大值及此时点E的坐标； （3）将原抛物线沿射线AD方向平移2个单位长度，得到新抛物线：y1＝a1x2＋b1x＋c1（a≠0），新抛物线与原抛物线交于点F，在直线AD上是否存在点P，使以点P、D、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 67．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P为线段下方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点E，F为上一点，且，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，得到新抛物线，新抛物线和原抛物线交于点，与y轴交于点Q，点M是新抛物线对称轴上的一点，若是以为腰的等腰三角形，写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程． 68．已知抛物线与x轴交于点B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A．    (1)判断的形状，并说明理由． (2)设点是抛物线在第一象限部分上的点，过点P作轴于H，交于点Q，设四边形的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标和的面积； (3)在（2）的条件下，点N是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点M的坐标． 69．如图1，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P为直线上方抛物线上的动点，连接，，求四边形面积的的最大值及此时P的坐标； (3)在（2）的条件下，将原抛物线沿射线方向平移个单位，点M是新抛物线与原抛物线的交点，N是平面内任意一点，若以P、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标． 70．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）与x轴交于点和点B（点B在点A右侧），与y轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，点P为直线上方抛物线上的一动点，过点P作交直线于点D，过点P作轴交直线于点E．求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，点N为平移后的抛物线上的一点，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的解答过程． 71．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，点P是反比例函数的图象上一动点，过点P作直线轴交直线于点Q，设点P的横坐标为t，且，连接 (1)求k，b的值. (2)当的面积为3时，求点P的坐标. (3)设的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 函数角度存在性问题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 命题角度一：特殊角的存在性问题 1．（23-24九年级下·重庆大足·期末）如图，抛物线交x轴于、两点，交轴于点．    (1)求出抛物线的解析式； (2)如图，点是直线上方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图，将抛物线的图像先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，在平移后的抛物线上有一点，连接，射线绕点顺时针旋转交直线于点，若时，请写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个值的求解过程． 【答案】(1)； (2)点的坐标为，的最大值为； (3)或． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）求出直线的解析式为，当过点的直线平行并且与抛物线只有一个交点时，的值最大，设过点的直线的解析式为，利用根的判别式可得，即得过点的直线解析式为，联立函数式可求出点的坐标为，连接，可得，据此即可求出的最大值； （）求出平移后的抛物线解析式为，画图象如下，过点作轴于，过点作轴于点，可证，得到，，分在第二象限和第一第二象限解答即可求解； 本题考查了二次函数的几何问题，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的平移，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：、把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：把代入得，， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得， ， ∴， ∴直线的解析式为， 当过点的直线平行并且与抛物线只有一个交点时，的值最大， 设过点的直线的解析式为， 由得，， 整理得，， ∴， 解得， ∴过点的直线解析式为， 由，解得， ∴点的坐标为， 连接， ∵，， ∴轴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为；    （3）解：∵， ∴平移后的抛物线解析式为， 画图象如下，过点作轴于，过点作轴于点，则， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 设， 当在第二象限时，点在第一象限，，， ∴， 把代入得，， 整理得，， 解得或（不合题意，舍去）； 当点在第一象限时，点在第四象限，，， ∴， 把代入得，， 整理得，， 解得或（不合题意，舍去）； ∴点的横坐标为或．    2．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)若是线段上一点（与不重合），是点关于轴的对称点，是轴负半轴上一点，连接、，且；延长至点，使．连接，若，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)或，见解析 【分析】（1）运用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点P作轴于点G，求出直线的解析式，然后设点P的坐标为，则点G的坐标为，然后表示长，然后根据相似三角形和解直角三角形得到的长，然后根据二次函数的最值解题即可； （3）求出直线的解析式，然后过点E作轴于点K，设点E的坐标为，点D的坐标为，解得，证明，然后得到，，设与x轴交于点G，过点A作于点H，然后根据，，得到，，然后根据，列方程解题即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过点P作轴于点G， 当，则， ∴点C的坐标为， ∴， 设直线的解析式为，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为 设点P的坐标为，则点G的坐标为， ∴， 又∵轴， ∴， ∴，即， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴当时，最大，最大值为，这时点P的坐标为； （3）解：由对称可得点Q的坐标为， 由（2）得直线的解析式为， 过点E作轴于点K，设点E的坐标为，点D的坐标为， ∵， ∴，解得， ∴点D的坐标为， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设与x轴交于点G，过点A作于点H， ∵， ∴， ∴，即， 解得，DG=， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， 又∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴点E的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式，二次函数的线段问题和特殊角问题，相似三角形的判定和性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 3．（2024·重庆九龙坡·三模）平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点为直线上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作交直线于，求的最大值以及此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线向右平移2个单位得到新抛物线，在新抛物线上找一点，使得与的面积之比为，请直接写出满足条件的所有点的横坐标，并写出其中一个横坐标的求解过程． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)最大为，此时点 (3)，，或 【分析】（1）利用交点式即可求解； （2）利用铅锤法，过点作轴交于，设，表示出，，将转化为，最后利用二次函数最值问题求解即可； （3）关键是将与的面积之比为，转换为点到直线和直线的距离相等，再分当点在的角平分线上时；点在的外角平分线上时，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴设抛物线表达式为， ∵抛物线表达式为， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）如图，过点作轴交于， ∵当时，， ∴， ∴， 设直线解析式为， 代入，， 得， 解得， ∴直线：， 同理得直线：， 设， 则， 对于直线：，当时， 得， ∴， ∴，， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，开口向下， ∴当时，最大为，此时点； （3）过点作于，于， ∵抛物线向右平移2个单位得， ∴， 由与的面积之比为，且， ∴， ∴点到直线和直线的距离相等， ①当点在的角平分线上时，如图： 作的平分线交轴于，交于，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， 即， 易得直线：， ∴， 解得或， 即点横坐标为或； ②当点在的外角平分线上时，如图： 同理可得，直线：， ∴， 解得或， 即点横坐标为或； 综上所示，点横坐标为、、或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，涉及待定系数法求二次函数解析式，三角函数，二次函数的最值，直线与二次函数交点，三角形角平分线性质与判定，勾股定理，熟练掌握这些性质是解题的关键． 4．（2024年四川省成都市天府新区多校联合中考数学二模模拟试题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线交轴于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，若点M是第四象限内抛物线上一点，轴交于点N，求的最大值； (3)如图2，在轴上取一点，抛物线沿方向平移个单位得新抛物线，新抛物线与轴交于点，，交轴于点，点在线段上运动，线段关于线段的对称线段所在直线交新抛物线于点，直线与直线所成夹角为，直接写出点的横坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)有最大值； (3)点的横坐标为或6或或． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴交于点，可得四边形是平行四边形，再由，，推导出，设，，可得，当时，有最大值； （3）求出平移后的函数解析式为，直线的解析式为，设，当轴时，直线与直线所成夹角为，求出，可得直线的解析式为，直线与抛物线的交点即为点；当轴时，直线与直线所成夹角为，求出，可得直线的解析式为，直线与抛物线的交点即为点． 【详解】（1）解：将点，代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ， 设直线的解析式为， 将点代入，可得， 解得， 直线的解析式为， 过点作轴交于点， ∵轴， ∴， ∵， 四边形是平行四边形， ， ∵， ， ， ， ， ， 设，， ， 当时，有最大值； （3）解：抛物线沿方向平移个单位， 抛物线沿轴负半轴平移2个单位，沿轴正方向平移2个单位， 平移后的函数解析式为， 当时，， 解得或， ，， 当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 设， ， ， 当轴时，直线与直线所成夹角为， ，， ， ， 解得或（舍， ， 直线的解析式为， 当时，解得或， 点横坐标为或6； 当轴时，直线与直线所成夹角为， ，， ， ， ， 解得（舍或， ， 直线的解析式为， 当时，解得或， 点的横坐标为或； 综上所述：点的横坐标为或6或或． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查二次函数的图象及性质，解直角三角形，二次函数的平移，勾股定理，平行四边形的判定和性质．熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，轴对称的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 5．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交坐标轴于点，，抛物线过，两点，且与轴的另一交点为点．    (1)求抛物线解析式； (2)如图2，点是第二象限内抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，连接，将该抛物线沿射线方向平移后过点，点为平移后抛物线对称轴上的一个动点，连接，，若中有一个内角为，请写出所有符合条件的点坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】(1) (2)； (3)或或 【分析】（1）根据直线分别交坐标轴于点，，得到,代入抛物线的解析式中，计算即可． （2）设直线与直线的交点为点，计算，得即，设，则，，配方计算即可． （3）根据确定对称轴为，结合该抛物线沿射线方向平移后过点，需要将抛物线向右平移3个单位，向上平移个单位，此时新抛物线的对称轴为直线，分，，，计算即可． 【详解】（1）∵直线分别交坐标轴于点，， ∴, 把代入抛物线的解析式中，得 ， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）设直线与直线的交点为点， ∵直线分别交坐标轴于点，， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ， ∵, ∴有最大值，且当时，最大，最大值为， 当时，． 故点P的坐标为．    （3）∵， ∴对称轴为， ∵该抛物线沿射线方向平移后过点， ∴需要将抛物线向右平移3个单位，向上平移个单位， ∴新抛物线的对称轴为直线，设对称轴与x轴的交点为M， 则， ∴， 当时， 过点A作于点N， ∵， ∴，，    ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故； 当时，平行于对称轴，无解； 当时， 过点B作于点G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 以点G为圆心，以为半径作，交对称轴于点Q，点N， 根据题意，得, ∴， ∴，    ∴, 当点E与点Q，点N重合时，就是所求， 综上所述，满足条件的点E的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，构造二次函数求最值，利用定弦定角求坐标，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握待定系数法，准确构造二次函数，构造辅助圆是解题的关键． 6．（23-24九年级上·重庆渝中·期末）如图1：平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，点是抛物线上一点， (1)求抛物线表达式． (2)如图2，点是y轴上一点，连接，点P是直线上方抛物线上一个动点，过点P作轴交直线于点E，在射线上取一点F，使得，求周长的最大值及此时点P的坐标． (3)如图3，将原抛物线沿射线方向平移4个单位长度，平移后抛物线的对称轴与x轴交于点N，射线上有一点G，连接，过点G作的垂线与抛物线交于点M，连接，若，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)周长的最大值为：， (3)点M的坐标为：，， 【分析】（1）利用待定系数法可求解析式； （2）延长交x轴于点于点H，由待定系数法求出直线的解析式，设，则，根据，根据二次函数的性质即可得到答案． （3）根据，得到抛物线沿射线方向平移4个单位长度即将抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，确定解析式后分点M在第一象限和第三象限解答即可． 【详解】（1）∵点，是抛物线上的点， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）延长交x轴于点于点H， ∵点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴ 设的周长为w， 则 ∵轴， ∴轴， 设直线的解析式为：， 将点，， 代入直线的解析式得：， 解得， 直线的解析式为：， 设，则， ∴ ， ， ∴， 由可得，w有最大值， 且当，的周长的最大值为， 当时，， ∴点． （3）∵， ∴抛物线沿射线方向平移4个单位长度即将抛物线向右平移个单位，向上平移个单位， 得， 故， 故抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵点G是直线的解析式为：， 设， 当点M在第一象限时， 过点G作于点L，过点M作于点T， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵在上， ∴， 解得， ∴或； 当点M在第三象限时， 过点G作于点L，过点M作于点T， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点在上， ∴， ∴； 综上所述，符合题意的点坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法，抛物线的最值，等腰直角三角形性质，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，特殊角的三角函数，熟练掌握抛物线的最值是解题的关键． 7．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点且交轴于点，点，交轴于点，顶点为，连接，． (1)求抛物线的表达式． (2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作交轴于点，轴交于点，求的最大值，以及此时点的坐标． (3)连接，把原抛物线沿射线方向平移个单位长度后交轴于，两点在右侧），在新抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为， (3)， 【分析】（1）运用待定系数法求出函数解析式； （2）求出直线的解析式，设，则得到H的坐标，表示出证明，得到一个关于m的二次函数表达式，利用二次函数的性质求出最值和此时P点坐标即可；； （3）先求出新的抛物线的表达式为：，先求出，，分两种情况进行讨论：当点在轴上方时，当点在轴下方时，分别画出图形进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点且交x轴于点， 把点、代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过点P作轴于点N，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 令， ， ， 设直线为， 把代入， 得， 解得， ， 设， ， 轴交于点H， 的纵坐标为，得， ， ， ， ， 时，有最大值，是， 此时， 此时点P的坐标为． （3）解：过点D作轴于点P，如图所示： ∵抛物线， ∴顶点， ， ， ， ∴原抛物线沿射线方向平移个单位长度时，相当于向上平移个单位，向右平移个单位， ∴新的抛物线的表达式为： ， 令， 解得：，， ∴，， 当点在轴上方时，如图所示： ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令， 解得：，（舍去）， 把代入得， ∴此时G点坐标为； 当点在轴下方时，如图所示： ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令， 解得：，（舍去）， 把代入得， ∴此时G点坐标为； 综上分析可知，点G的坐标为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角函数的定义，二次函数与最值问题，二次函数的平移，相似三角形的性质和判定等知识，本题的关键是熟练掌握角的转换，结合三角函数转换线段从而求出最值问题，同时熟悉二次函数的特殊值和对称轴公式，发现联系列出方程解题． 8．（2024·重庆大渡口·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点E，过点P作交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，平移后的抛物线上一点G，使得，请直接写出所有符合条件的点G的横坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，P的坐标为 (3)G的横坐标为或 【分析】（1）把A、B坐标代入解析式求解即可； （2）解：设，过A作于G，先求出点C的坐标，然后求出，证明，，可得，求出，则，待定系数法求出直线解析式为，进而求出直线解析式可设为，可求出，，然后利二次函数的性质求解即可； （3）先求平移后的函数解析式，当G在x轴上方时，设直线与y轴交于H点，取，连接，过T作于K，可证明，利用同角的三角函数值相等，可求，利用待定系数法求出直线解析式为，然后求直线与平移后抛物线的交点G坐标即可；当点G在x轴下方时， 作H关于直线的对称点Q，连接，过点M作x轴的平行线，过点A作x轴的垂线，两线相交于M，过Q作于N，可证，求出，利用待定系数法求出直线解析式为，然后求直线与平移后抛物线的交点G坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴； （2）解：设， 过A作于G， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， ∵， ∴直线解析式可设为， 把代入，得， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为， 此时，P的坐标为； （3）解：， ∵原抛物线沿射线方向平移个单位长度， ∴抛物线沿x轴负半轴平移2个单位，沿y轴正半轴平移个单位， ∴平移后抛物线解析式为， 当G在x轴上方时， 设直线与y轴交于H点，取，连接，过T作于K， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可求直线解析式为， 联立方程组， 整理得， 解得，（舍去）， ∴G的横坐标为； 当点G在x轴下方时， 作H关于直线的对称点Q，连接， ∴，， 过点M作x轴的平行线，过点A作x轴的垂线，两线相交于M，过Q作于N， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 同理可求直线解析式为， 联立方程组， 整理得， 解得，（舍去）， ∴G的横坐标为； 综上，G的横坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图形与性质，待定系数法，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角形函数等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 评卷人 得分 二、角度相等 9．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接，，请求出面积的最大值； (3)点在抛物线上移动，连接，存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)4 (3)点的坐标为：或． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由面积，即可求解； （3）当点在轴上方时，则点和点关于抛物线对称轴对称，即可求解；当点在轴下方时，由，求出点，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的表达式为：， 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：①； （2）解：过点作轴交于点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则面积， ， 故面积有最大值，当时，面积的最大值为4； （3）解：当点在轴上方时， 所以平行于x轴 则点和点关于抛物线对称轴对称， 则点； 当点在轴下方时， 设交轴于点，设点， ， 则， 则， 解得：， 即点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：②， 联立①②得：， 解得：（舍去）或， 即点的坐标为：； 综上，点的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，分类求解是解题的关键． 10．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，且满足．连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是线段上一点，过点D作交x轴于点E，连接．求面积的最大值及此时点D的坐标； (3)如图2，在（2）的面积取得最大的前提下，将该抛物线沿射线的方向移动个单位长度，得到新的抛物线，在新抛物线上是否存在一点P，使得，若存在直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大为，点的坐标为 (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）设点E的坐标为，根据相似三角形的性质得到，然后利用解题求出最大值，然后求出点的坐标即可； （3）分点P在的上方和点P在的下方两种情况分别利用相似三角形进行求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为， 又∵， ∴，， ∴点B的坐标为，点A的坐标为， 把和代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点B的坐标为，点A的坐标为， ∴， 设点E的坐标为，则， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴当时，最大，最大为， 这时点E为的中点，即点D为的中点， 根据中点坐标公式可得点的坐标为； （3）解：∵抛物线沿射线的方向移动个单位长度， 即向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， 解析式为， ∵点E的坐标为，点C的坐标为， ∴， 如图，当点P在的上方时，设与交于点F，过点F作轴于点G， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得， ∵轴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点F的坐标为， 设的解析式为，把点和代入得： ，解得， ∴的解析式为， 解方程组得或， ∴点P的坐标为或；    当点P在的下方时，如图，设直线与y轴交于点M，过点E作轴交于点N， 则，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，解得， ∴， ∴点的坐标为， 根据（1）中可以得到的解析式为， 解方程组得， ∴点P的坐标为，    综上所述，点P的坐标为：或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，待定系数法求函数解析式，二次函数的图像和性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 11．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）已知如图1，抛物线：交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中，．点D为y轴上一点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)过点A、D的直线上有一点E，点P为位于下方抛物线上一点，顺次连接点E、C、P、B，求四边形面积最大值，并求此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移一定单位后得到新抛物线，新抛物线经过点，点M为新抛物线上一点，当时，写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)四边形面积最大值为32， (3)或 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）过点B作于G，先证明，再证明，求出，从而求出，根据， ∴当最大时，最大，再根据，由二次函数的性质求解即可； （3）设抛物线顶点为S，平移后抛物线顶点为T，连接，先求出抛物线沿射线平移后的抛物线解析式为：，再分两种情况：当M在射线右侧时，当M在射线左侧时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把，分别代入，得 ，解得：， ∴； （2）解：令，则， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点B作于G，如图， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴当最大时，最大， ∵点P为位于下方抛物线上一点， ∴设， 过点P作轴于H， 则，， ∵ ， ∵， ∴抛物线开口向上，当时，有最大值，最大值为8， ∴最大值， 当时，， ∴． （3）解：设直线解析式为：， 把，，代入，得 ，解得：， ∴直线解析式为：， 设抛物线顶点为S，平移后抛物线顶点为T，连接， ∴， 设直线解析式为：， ∵抛物线：， ∴， 把代入， 得， 解得：， ∴直线解析式为：； 设，则抛物线沿射线平移后的抛物线解析式为， 把代入，得， 解得：，（舍去）， ∴抛物线解析式为：， 当M在射线右侧时，如图， 由（2）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点M横坐标为4， 把代入，得 ∴； 当M在射线左侧时，如图，设直线交y轴于点N， 同理， ∴， 设，在中，由勾股定理，得 ，解得：， ∴， ∴； 设直线解析式为：， 把，代入，得 ，解得：， ∴直线解析式为： 联立，得，解得：，（舍去）， ∴ 综上，点M的坐标为：或． 【点睛】本题属二次函数综合题，主要考查用待定系数法求一次函数、二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象平移，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数与图形面积解法是解题的关键． 12．（2024·重庆·二模）已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求的值和点的坐标； (2)如图1，点为直线上方抛物线上的一点，过点作轴交于点，再过点作于点，求周长的最大值以及此时点的坐标； (3)如图2，平移该抛物线，平移后的抛物线经过点．且与轴交于两点，连接，．点是抛物线上一点，连接，若，直接写出所有符合条件的点的坐标．并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)， (2), (3)或 【分析】(1) 根据抛物线与轴交于点，代入解析式求解即可． (2) 设直线的解析式为：，确定直线的解析式为：，设，则，，延长交x轴于点E，确定，，得到的周长为，借以构造二次函数，用函数思想求最值即可． (3)先运用平移思想确定新抛物线的解析式，后运用分类思想，构造出符合题意的直线，确定直线与抛物线的交点，运用解析式交点法确定坐标即可． 【详解】（1）∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为， 解方程， 解得， 故． （2）∵抛物线的解析式为，， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为：， 将，代入直线的解析式得：， 解得， 直线的解析式为：， ∴设，则， ∴， 延长交x轴于点E， ∵轴,, ， ∴， ∴， ∴的周长为 ∵， ∴的周长有最大值，且当时，取得最大值，最大值为， 此时，故点． （3）∵抛物线的解析式为， 设平移后抛物线的解析式为， ∵抛物线经过， ∴， 解得， 整理，得抛物线的解析式为， 作于点M， ∵抛物线经过， ∴， ∴， ∴直线是线段的垂直平分线，且， 设直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得． ∴直线的解析式为：， 设直线与直线交于点N， 则， 此时， 延长交抛物线于点F， 则， 设直线的解析式为：， 把代入解析式，得， 解得． ∴直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得， 故； 设直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得， ∴直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得（舍去）， 此时 故点； 过点E作，交抛物线于点F， 则； ∵直线的解析式为：， 不妨设直线的解析式为：， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得，， 故点； 综上所述，符合题意的点或． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，，平移思想，等腰直角三角形的判定和性质，三角函数的灵活应用，二次函数的最值，熟练掌握待定系数法求抛物线的解析式，平移思想，三角函数的应用，二次函数的最值是解题的关键． 13．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图1，已知抛物线（为常数，）经过点，与轴交于点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)如图2，若点为第二象限内抛物线上一点，连接，当与的面积和最大时，求点的坐标及此时与的面积和； (3)如图3，点是抛物线上一点，连接，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或． 【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）由，，设，，，再建立面积和的函数关系式，利用二次函数的性质可得答案； （3）如图，连接，记，的交点为，过作于，证明，可得，求解，可得直线为，再求解函数交点坐标即可，同理关于轴对称的点，此时与抛物线的交点Q也符合题意；同理可得：直线的解析式为：，再求解函数交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线点，， ∴， 解方程组得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图，连接，，    由， ∴，而，， ∴，， 设， ∴，， ， ∴与的面积和 ， 当时，面积和最大， 最大面积为：； ∴； （3）如图，连接，记，的交点为，过作于，    ∵，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设为， ∴，解得：， ∴直线为， ∴， 解得：或， ∴， ∵关于轴对称的点， 此时与抛物线的交点Q也符合题意； 同理可得：直线的解析式为：， ∴， 解得：或， ∴， 综上：或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，函数交点坐标的含义，作出合适的辅助线是解本题的关键． 14．（23-24九年级下·重庆巴南·阶段练习）如图1，已知抛物线与x轴交于A，B两点，A点在B点的左侧，与y轴交于点C．连接点D是的中点，连接． (1)求直线的解析式； (2)已知P是直线上方抛物线上的一个动点，连接，求面积的最大值及此时P点的坐标； (3)如图2，将过点D的直线l绕点D旋转，旋转过程中，直线l分别交y轴和抛物线于点M、N，当的时候，请写出符合条件的点N的横坐标，并写出其中一个点横坐标的求解过程． 【答案】(1) (2)， (3)符合条件的点N的横坐标为，过程见详解 【分析】（1）先根据题意，得，当时，则，算出，根据中点，得，再运用待定系数法求解析式，即可作答． （2）连接，运用割补法进行列式，即面积，把数值代入，化简得面积，结合二次函数的性质，即可作答． （3）在抛物线上取点H，使得连接，使得，根据，运用正切的定义进行列式得，化简得或（舍去）；同理算出 ，即，即可作答． 【详解】（1）解：∵已知抛物线与x轴交于A，B两点，A点在B点的左侧，与y轴交于点C． ∴，当时，则 解得 ∴ ∵点D是的中点， ∴ 设直线的解析式为 把和代入 得 解得 ∴直线的解析式为 （2）解：连接，如图： 依题意，设点 面积 ∵，当时，有最大值，且为 则时， ∴ （3）解：符合条件的点N的横坐标为，过程如下： 如图：在抛物线上取点H，使得连接，使得 设 ∵，且 ∴ 即 解得或（舍去）； 设点 ∵ ∴ ∴ 即 解得或（舍去）； 综上：符合条件的点N的横坐标为 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求一次函数的解析式，面积最大值，三角函数等内容，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 15．（23-24九年级下·重庆大渡口·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上位于直线下方一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，点是抛物线上一点，连接，当线段的中点恰好在轴上时，探究抛物线上是否存在点，使．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)有最大值为，此时点，； (3)存在，点的坐标为：或． 【分析】 （1）设抛物线的表达式为：，用待定系数法即可求解； （2）证明，即可求解； （3）当时，则，即可求解． 【详解】（1）抛物线与轴交于、两点， 设抛物线的表达式为：， 将代入得： 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2） 过点作轴于点，如图1， 由点、的坐标得，， ，则， 则， 设直线的表达式为：， 将、代入得， ，解得：， 所以直线的表达式为：， 设点，则点， 则， ， 则有最大值为，此时点，； （3） 存在，理由： 如图2，当线段的中点恰好在轴上时，由中点坐标公式得：， 即点， 设直线交于点， 设点， 当时， 则， 即， 解得：， 即点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 联立直线和抛物线的表达式得： 解得：（舍弃）或， 当和平行时，直线的解析式为：， 与抛物线解析式联立可求的坐标为：． 即点的坐标为：或． 【点睛】 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、一次函数的性质、等腰三角形的性质等，综合性强，难度适中． 16．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，地物线与轴相交于点，点（在的左侧），与轴相交于点，连接，． (1)求的周长； (2)如图，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，交直线于点，当有最大值时，求的最大值与点的坐标； (3)将抛物线向右平移2个单位得到新抛物线，点为原抛物线与新抛物线的交点，点是原抛物线上一点，当时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，点 (3)或 【分析】（1）先求出点，和的坐标，然后根据勾股定理求出和长，即可求解； (2)由，即可求解； （3）求出点的坐标，设点，根据列方程解题即可. 【详解】（1）对于 ①， 当 时, 即点， 令 则 或， 即点的坐标分别为：， ∴，， 则的周长为； （2）在中，， ∴ ， 设直线的表达式为：，把和代入得： ，解得， ∴直线的表达式为， 设点 则点， ∴ ， 的最大值为，此时，点； （3） ②, 联立①②得:，解得：， 则点， 设点，过点F作轴，过点M作轴，如图所示， 而点， ∴， 又∵， ∴， 解得：，，（舍去）， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 17．（2024·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中抛物线与轴交于，两点在的左侧），与轴交于点其中，连接，，． (1)求该抛物线的表达式： (2)线段位于第一象限，且在线段上移动，轴交抛物线于点，连接．若，求的面积的最大值及此时点的坐标； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的面积取得最大值时对应的点处，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)的面积的最大值为， (3)点的坐标为或 【分析】（1）先求出，，然后用待定系数法求解即可． （2）过点D点作于G，先求得，即可由勾股定理求出，再用待定系数法求得直线解析式为，设，则，从而求得，利用三角形面积公式得，然后利用二次函数最值求解即可． （3）分两种情况，①当点P在直线下方时，②当点P在直线上方时，分别 求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，，分别代入，得 ， 解得：， ∴； （2）解：过点D点作于G，如图， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 设直线解析式为：， 把，分别代入，得 ， 解得：， ∴直线解析式为：， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴D的横坐标为， 把代入，得， ∴． （3）解：设直线解析式为， 把，分别代入，得 ， 解得：， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过， 又∵， ∴抛物线是向下平移了2个单位，向右平移2个单位，得到新抛物线的解析式为：， 即平移后新抛物线解析式为， 分两种情况：①当点P在直线下方时，如图， ， ∴， ∴设的解析式为， 把点代入，得 ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点， 把代入新抛物线解析式为，得 ， 解得：，， ∴当时， ， 当时，， ∴； ②当点P在直线上方时，作点P关于直线的对称点Q，连接交于E，连接交新抛物线 于，如图， ∵点P关于直线的对称点Q， ∴，， ， ∴， ∴点是符合要求的点， 设点， ∵点P关于直线的对称点Q， ∴点E为线段的中点， ∴， 把代入直线解析式，得 ， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 化简整理，得， 解得：，， 当时，， ∴， 当时，， ∴（舍去）， 设直线解析式为， 把，代入，得 ， 解得：， ∴直线解析式为， 联立，， 解得：，， ∴． 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线与一次函数解析式，抛物线的图象性质，抛物线平移，一次函数的图象性质，抛物线与直线交点，三角形的面积，勾股定理，轴对称的性质，平行线的判定等，此题属抛物线综合题目，难度较大，综合运用相关知识是解题的关键． 18．（2024·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，．    (1)求抛物线的表达式； (2)为直线上方抛物线上一点，过点作于点，过点作轴交抛物线于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)点关于抛物线对称轴对称的点为，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴交于点，新抛物线的对称轴与轴交于点，连接，，点在直线上，连接．当与一边平行时，直接写出点的坐标，并写出其中一种符合条件的解答过程． 【答案】(1)； (2)当时，的最大值，， (3)点的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可； （2）先求得的对称轴为，过点作轴交于点，利用勾股定理求得，又证，得即，从而得求出设直线的解析式后，设，则，从而，当点P在E点右侧时，从而得利用二次函数的性质即可求解；当点P在E点左侧时：时，同理可求．然后比较的最大值即可得出答案. （3）先求得，，，设抛物线的顶点平移后为，过点作直线，则，得，进而得平移后的抛物线，从而求得，，然后分，，三种情况，利用二次函数的性质及一次函数的与二元一次方程的关系求解即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，两点，代入坐标得 ， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）解：∵， ∴的对称轴为，顶点为 过点作轴交于点，    当时，， ∴ ∵ ∴ ∵轴，，轴轴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴即， ∴ ∴ 设直线：， 把，代入得 ， 解得， ∴直线：， 设，则， ∴ ∵的对称轴为，轴， ∴ 当点P在E点右侧时：， 当时： ∴ ∴当时，的最大值 ∴， ∴； 当点P在E点左侧时：时， ∴ ， ∴当时，的最大值． ∴ ∴， ∵ 综上所诉，当点P在E点右侧时：即时，的最大值，， （3）解：设直线：，把，， ∴， ∴ 设抛物线的顶点平移后为， 过点作直线，则，    ∴ ∴， ∴即， ∴平移后的抛物线， ∴ 令，， ∴ 如图，当时，      设直线的解析式为：，把，代入得 解得， ∴直线的解析式为：， ∴设直线的解析式为： ∵，和关于对称， ∴ 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为： 联立直线的解析式与直线：，得 ， 解得， ∴ 同理可得：当时， 当时， 所有符合条件的点的坐标为或或． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，勾股定理，抛物线的性质，抛物线平移，一次函数的平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，掌握待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，利用辅助线画出准确图形是解题关键． 评卷人 得分 三、角度二倍 19．（23-24九年级下·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交x轴于点和点B，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作交于点M，过点P作轴交于点N，求周长的最大值及此时点P的坐标； (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在新抛物线上是否存在一点H，使得．若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)周长的最大值为， (3)存在，或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）先判断是直角三角形，，再由，可得，分别求出，，则周长，设，则， ，当时，有最大值2，可求周长的最大值为，此时； （3）先求平移后的函数解析式，作C点关于x轴的对称点E，则，连接，过点C作交于F点，利用等积法求，则，由此可得，过H点作轴交于M点，设，根据方程，求出或． 【详解】（1）解：将点代入抛物线， ∴ 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得或， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴周长， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， 当时，有最大值2， ∴周长的最大值为，此时； （3）解：存在点H，使得，理由如下： ∵， ∴， ∵将原抛物线沿射线方向平移个单位长度， ∴原抛物线沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴正方向平移2个单位长度， ∴， 作C点关于x轴的对称点E，则，连接，过点C作交于F点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过H点作轴交于M点， 设， ∴， ∴或， 解得或， ∴或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质是解题的关键． 20．（18-19八年级下·湖南长沙·期末）如图，抛物线与轴交于点和点(点在原点的左侧，点在原点的右侧)，与轴交于点，． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)如图1，连接，点是直线上方抛物线上的点，连接，．交于点，当时，求点的坐标． (3)如图2，点的坐标为，点是抛物线上的点，连接形成的中，是否存在点，使或等于？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）点的坐标为或；（3）点的坐标为：或或或． 【分析】（1）由及图像可得B、C两点坐标，然后利用待定系数法直接进行求解即可； （2）由题意易得，进而得到点D、F横坐标之间的关系为，设点横坐标为，则点横坐标为，则有直线BC的解析式为，然后可直接求解； （3）分∠PBE或∠PEB等于2∠OBE两种情况分别进行求解即可． 【详解】解：(1)，则：， 把坐标代入抛物线方程， 解得抛物线方程为：①； (2)∵， ∴，即：， 设点横坐标为，则点横坐标为， 点在直线上， 而所在的直线表达式为：，则， 则直线所在的直线表达式为：， 则点， 把点坐标代入抛物线解析式，解得：或， 则点的坐标为或； (3)①当时， 当在轴上方时， 如图2，设交轴于点， ∴ ， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴， ∴点， 直线过点，则其直线方程为：②， 联立①②并解得： ， 故点P1的坐标为； 当在轴下方时， 如图2，过点作交于点，则， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 直线可以看成直线平移而得，其值为， 则其直线表达式为： ， 设点，过点作轴交于点，作于点， 则点，， ∵，则， 即：， 解得：， 则点， 则直线表达式为：…③， 联立①③并解得：或3(舍去3)， 则点； ②当时， 当在上方时，如图3，点为图2所求， 设交于点， ∵， ∴ ， ∴ ， 由①知，直线的表达式为：， 设点，， 由，同理可得：， 故点， 则直线的表达式为：④， 联立①④并解得：或 (舍去负值)， ∴ ； 当在下方时， 同理可得： (舍去负值)， 故点． 故点的坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，关键是熟练掌握二次函数的性质与一次函数的性质，利用数形结合及分类讨论思想进行求解． 21．（2024·重庆·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．直线经过点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为平移后的抛物线与轴负半轴的交点，将点向下平移一个单位得到点，在直线上确定一点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为，点P的坐标为 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）求出直线和的解析式，然后过点P作轴，交，于点G，F，设点P的坐标为，表示出，的值，利用三角函数计算即可解题； （3）根据题意得到即抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得到抛物线，即可得到的解析式，然后求出点E的坐标，当点Q在点A右侧时，根据计算；当点Q在点A左侧时，根据对称性计算解题． 【详解】（1）解：把，代入可得： ，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线的解析式为，把，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为：， 解方程组得， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴，， 过点P作轴，交，于点G，F， 则， ∴，， 设点P的坐标为，则，， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴当时，最大，最大为，这时点P的坐标为； （3）解：， 由题意可得：抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，即抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得到抛物线， ∴平移后， 令，则， 解得：，， ∴点D的坐标为， ∵将点向下平移一个单位得到点， ∴点的坐标为， ∴直线的解析式为， 设点Q的坐标为， 如图，当点Q在点A右侧时，由于， 则， ∴，即， 解得：，（舍去）， ∴点Q的坐标为； 当点在点A左侧时， 则， 设直线交y轴于点H，过B作于点K， 则点H坐标为， ∴，， ∵， ∴， 根据点Q的解法同理可得点的坐标， 根据可得点的坐标为， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式，二次函数与线段和特殊三角形的综合，勾股定理，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 22．（2024·重庆·二模）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交拋物线于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）问条件下，将原拋物线向右平移，再次经过（2）问条件下的点时，新拋物线与轴交于点（在左侧），与轴交于点．点为新拋物线上的一点，连接交直线于点，使得，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，点的坐标为； (3)点的坐标为或，过程见解析． 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可解题； （2）设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，根据平行设直线的解析式为，利用抛物线为得到，将代入求得直线的解析式，设，则，过点作交于点，记交于点，证明为等腰直角三角形，，再根据面积公式得到 ，最后利用二次函数的最值，即可解题； （3）设原拋物线向右平移个单位，利用平移的特点得到平移后的拋物线解析式为，以及，，，①连接，作的垂直平分线交于点，利用垂直平分线性质，等腰三角形性质，以及三角形外角定理得到，设，利用勾股定理建立等式，得到点，利用待定系数法求直线的解析式，根据点为新拋物线上的一点，连接交直线于点，联立平移后的拋物线解析式和直线的解析式求解，即可解题，②作关于的对称点，连接，求解过程与①类似． 【详解】（1）解：抛物线与直线交于点， ，解得， 抛物线为； （2）解：设直线的解析式为， 过点点， ，解得， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为， 当时，，解得，， ， ，解得， 设，则， 过点作交于点，记交于点， 由平移的性质可知， ， ， 即， ，轴交直线于点， ， ， 即为等腰直角三角形， ， ， ， 当时，面积的最大值为，点的坐标为； （3）解：设原拋物线向右平移个单位， 平移后的拋物线解析式为， 平移后的拋物线解析式过点， ，解得，（不符合题意的根舍去） 平移后的拋物线解析式为，，，， ①连接，作的垂直平分线交于点， 有， ， ， 设直线的解析式为， 过点， ，解得， 直线的解析式为， 设，则，， ，解得， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 点为新拋物线上的一点，连接交直线于点， ， 整理得， 解得，， 当时，， 点的坐标为， ②作关于的对称点，连接、，交抛物线于点， ，，， ， ， 由对称性可知， ， 设， ，， ， 整理得， 解得，， 当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ， 整理得， 解得，， 当时，， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解函数解析式，一次函数与反比例函数交点情况，等腰三角形性质，对称的性质，勾股定理求两点间距离，垂直平分线性质，三角形外角定理，函数平移的规律，熟练掌握相关性质是解题的关键． 评卷人 得分 四、角度和差 23．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，在平而直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点和点，交轴于点． (1)求拋物线的解析式； (2)如图，点是直线下方拋物线上一动点，过点作轴交于点，过点作交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新拋物线，新拋物线与轴的负半轴交于点，请问在新拋物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由． 【答案】(1) (2)最大值， (3)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点B作，交y轴于点F，根据，易证，再证明 ，是等腰直角三角形，求出，，根据，利用三角形相似的性质得到，进而得到，求出直线的解析式为，设点，则，利用二次函数的性质求解即可； （3）由点B，点C的坐标得出的长，原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新拋物线，即原抛物线向右平移1个单位，向上平移3个单位，得到新拋物线，令，求出，分为点T在x轴上方和下方两种情况，利用直角三角形的特征及解直角三角形解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 拋物线的解析式为：； （2）解：如图，过点B作，交y轴于点F， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 也是等腰直角三角形， 在中，令，则， 或， ， ， 也是等腰直角三角形 ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点，则， ，， 当时，由最大值，最大值为， 取得最大值，此时； （3）解：存在点，使得，理由如下： ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度，，， ∴，， ∴， ∴抛物线向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到新抛物线， ， ∴， 如图，当点T在x轴下方时，延长交于点Q，过点T作轴，垂足为R， ，， ，， ， ， ， 设，则， ， ， ，即， 整理得：， 解得：或（与点N重合，舍去）， ； 如图，当点T在x轴上方时，过点T作轴，垂足为K， 同理得， ，， ， ， 设，则， ，即， 整理得： 解得：或（与点N重合，舍去）， ； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法确定二次函数及一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，二次函数的最值，平移及对称的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点．熟练掌握二次函数的图像及性质，锐角三角函数的定义，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 24．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，其中，与轴交于，且过．连接，作直线． (1)求该抛物线的解析式： (2)已知直线下方抛物线上有一动点，过点作轴交直线于，过作轴交轴于，求的最大值和此时点坐标； (3)将原抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，已知点是新抛物线上一动点，且，求所有符合条件的点的坐标并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】(1) (2)，点坐标为 (3)或，过程见解析 【分析】（1）将点，，代入抛物线，利用待定系数法解答即可得解； （2）首先利用待定系数法求得直线的解析式为；设，进而求得，的坐标，利用两点间的距离公式得到，，从而得到，利用二次函数的性质解答即可； （3）首先求得新抛物线的解析式为，分四种情况，利用已知条件及相似三角形的判定与性质得比例式，代入线段长解方程即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：将点，，代入抛物线，可得，解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：抛物线与x轴交于两点， 当时，解得或， ， 设直线的解析式为，将点，代入可得，解得， 直线的解析式为， 设， 轴交于， 点的纵坐标为， 点的横坐标为，即， 轴交轴于， ， ，， ， 当时，取最大值，最大值为，此时点坐标为； （3）解：，，， ，， ， 将原抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线， 原抛物线向右，向上平移了2个单位长度， 新抛物线的解析式为， 若点在上方，且在点左侧，过点作轴于点，如图所示： 设， 则，， ， 又， ， ， ， ，即，整理得，解得或（正值舍去）， 点的坐标为； 若点在下方，且在点左侧，如图所示： ， 此情况不存在； 若点在下方，且在点右侧，过点作轴，过点作轴于点，如图所示： 轴，则， 设， 则，， ， 又， ， ， ， ， ， ，即，整理得，解得或（舍去）， 点的坐标为； 若点在下方，且在点右侧，如图所示： ， 此情况不存在； 综上所述，或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，难度较大，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、待定系数法确定一次函数解析式、点的坐标特征、两点距离的坐标表示、函数图象平移、相似三角形的判定与性质、解二元一次方程等知识，解答本题的关键是作出辅助线，构造相似三角形列比例式求解． 25．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C，连接、，已知． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)P是直线上方抛物线上一个动点，过点P作交于点F，过点P作轴交于点E，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，在平面直角坐标系内，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，上有一动点M，连接，当时，写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的其中一种情况过程． 【答案】(1) (2)最大值为；P点的坐标为 (3)点M的横坐标为或或或． 【分析】（1）由可得点C的坐标；设，把点C的坐标代入即可求得a的值，从而求得函数解析式； （2）过点F作于G，则得，，则；又，则，只要求出的最大值即可；由B、C的坐标可求得直线的解析式，设，则可得点的坐标，从而表示出，并求得其最大值，即可求得点P的坐标； （3）由抛物线的平移确定出平移后的解析式为；作A点关于y轴的对称点Q，连接，交于点H，过H作轴；设，则可得，从而可证明，则可求得；由，得，从而可求得点H的坐标，进而求出直线，联立直线与抛物线解析式即可求得点M的横坐标；当点H关于x轴对称时，同理也可求得点M的横坐标． 【详解】（1）解：，， ； ； 由于抛物线与x轴交于点、两点， 故设， 把点C的坐标代入中，得， ， 故， 化为一般式为：； （2）解：如图，过点F作于G， 轴， ， ， ； ， ， ； 轴， ， ， ， ， ； ，即， 由勾股定理得：， ， 则， 当取最大值时，取最大值； 设直线的解析式为，把B、C两点坐标分别代入得：， 解得：， 即直线的解析式为； 因点P在抛物线上，设， 轴， ， 则， ， 当时，取最大值，从而取得最大值； 当时，， 故点P的坐标为； （3）解：， 抛物线的顶点坐标为； ，， 抛物线沿方向先向下平移个单位，再向左平移个单位， ， 故平移后的解析式为； 如图，作A点关于y轴的对称点Q，连接，交直线于点H，过H作轴； 则，，； 设，则， ， ，，， ， ， ， ； ， ， ，即， 由勾股定理得，则， ， 点H的坐标； 设直线的解析式为， 把点B、H的坐标代入得：，解得：， 即直线的解析式为； 令， 整理得：， 解得：； 即点M的横坐标为或； 当点H关于x轴对称点为，则， 同理，直线的解析式为； 令， 整理得：， 解得：； 即点M的横坐标为或； 综上，满足条件的点M的横坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了求函数解析式，二次函数图象的平移，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数，解一元二次方程等知识，综合性强，运算量较大，灵活掌握相关知识，添加适当辅助线是解题的关键． 26．（2024·重庆九龙坡·二模）如图，抛物线交轴于和两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作交轴上一点，直线交直线于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）问的条件下，将拋物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，点是新抛物线上一点，当时，写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)或，过程见解析 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出直线的解析式，然后根据平移得到直线的表达式为，然后根据当直线与抛物线只有一个交点时，最大，得到的解析式，进而得到点P的坐标，过点作交于点，利用解题即可； （3）由题可知抛物线沿方向平移个单位长度，相当于原抛物线向左平移个单位，再向上平移3个单位长度，即可得到新的抛物线解析式，分两种情况：当点G在左侧时，当点G在右侧时，分别求出直线的解析式，然后联立方程组，求出点G的横坐标即可． 【详解】（1）解：把和代入得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， 解得：，， ∴． 过点作交轴于点，过点P作于点H， 设直线的解析式为，代入得： ， 解得， ∴直线， 设直线的表达式为， ∵， ∴， ∴， 当直线与抛物线只有一个交点时，最大，即最大， ， ， ，即， ， ， ，， ， ， ． 过点作交于点， ， ，则是平行四边形， ，， ， ， ； （3）解：设直线的解析式为， 把代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， ， ， 抛物线沿方向平移个单位长度，相当于原抛物线向左平移个单位，再向上平移3个单位长度， 新抛物线为． 当点G在左侧时，如图所示： 由（2）知，得， ， ， ， 设直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， 则， 解方程组：得，（正值舍去）， 此时的横坐标为； 当点G在右侧时，设直线与交于点E，过点E作于点F，如图所示： ∵， ∴， 即点F为的中点， ∵,， ∴， ∵点E在上， ∴设点E的坐标为， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，（舍去）， ∴此时的横坐标为； 综上分析可知，点G的横坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，掌握待定系数法，相似三角形的判定和性质以及抛物线的平移是解题的关键． 27．（2024·重庆·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线下方抛物线上一动点，过点作交于点，求最大值及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得新到抛物线，新抛物线与直线交于点，（在的左侧），是新抛物线上一动点，当时，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时，点的坐标为 (3)或 【分析】（1）将，代入，利用待定系数法即可求解； （2）由，可知，根据，，求得直线的解析式为，可知，，过点作，可知，，求得，过点作，交于，进而可知，再证，可证得，得，设，则，可知，进而求得，结合二次函数的性质即可求解； （3）根据平移得新到抛物线，求得，，得，在上取，证，进而可知，分两种情况：在下方取，且轴，根据，可知在直线与抛物线的交点即为点，再证，求得，得直线的解析式为，联立抛物线与直线可得即可求得；在上方取，且轴，同理，可求得． 【详解】（1）解：将，代入， 可得，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）对于，当时，或， ∴， 设直线的解析式为，将，代入其中， 得，解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∵，则， ∴， 过点作，则，， 则为等腰直角三角形， ∴，则， 过点作，交于，则，即：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 则， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时，点的坐标为， 综上，的最大值为，此时，点的坐标为； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得新到抛物线， 即：将抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度， 得新到抛物线， 联立抛物线与直线可得：， 解得：或，即：，， ∴， ∵，， ∴，即， 在上取， ∵，， ∴， ∴， 则， 在下方取，且轴， ∵， ∴在直线与抛物线的交点即为点， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将，代入其中， 可得，解得：， ∴直线的解析式为， 联立抛物线与直线可得：，解得：或， 此时； 在上方取，且轴， 同理，可求得； 综上：点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数与线段的综合问题，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握二次函数的性质和相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，分类讨论是解题关键． 28．（23-24九年级下·重庆江北·阶段练习）如图1，抛物线与x轴交于、，与y轴交于点C，连接、． (1)求抛物线解析式． (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一点，过点P作交于点K，交x轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标． (3)如图2，将原抛物线沿x轴向右平移2个单位得到新抛物线，新抛物线交x轴于点、，点G为新抛物线对称轴与x轴的交点，点M为新抛物线上一动点，使得，请直接写出所有满足条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过P作轴于H，交于Q，先根据坐标与图形性质和锐角三角函数关系以及平行线的性质求得，，求得直线的表达式为，设，，则，， 进而可得，利用二次函数的性质求解即可； （3）由平移性质得，，，进而可得，，利用锐角三角函数关系结合已知可求得，设，且，分点M在x轴上方时和点M在x轴下方时，利用解方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于、， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：过P作轴于H，交于Q，如图1， 当时，，则，， ∵，， ∴，， ∴，则， ∴，则， ∵， ∴，， ∴， 则，， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 设，则， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为，此时； （3）解：如图2， 由平移性质得，，， ∴，， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，且， 则， 当点M在x轴上方时，， 整理，得，解得，（舍去）， ∴，则； 当M在x轴下方时，， 整理，得，解得，（舍去）， ∴，则， 综上，满足条件的点M坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、坐标与图形、锐角三角函数、平移性质、三角形的外角性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和转化思想求解是解答的关键． 29．（2024·重庆·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点Р是直线下方抛物线上一点，连接，设和的面积分别为，请求出的最大值及取得最大值时点P的坐标； (3)如图2，作点C关于x轴的对称点，将抛物线沿射线方向平移单位长度得新抛物线，点D是新抛物线的顶点，点E是新抛物线对称轴上一点，在新抛物线上确定一点Q，使得，写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出求解点Q的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)； (2)当时，有最大值，此时点； (3)点Q的横坐标为或或． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式等知识，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）直接用待定系数法求解即可； （2）过点作轴交于点，交延长线于点，求出点，再求出，解析式，设点 ，，，得到即可求解； （3）根据平移的性质得到新抛物线的解析式为，由，得到，从而得出，，再由可知，分当时，当且与不平行时，即可求解． 【详解】（1）解：把两点代入抛物线得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为：． （2）解：过点作轴交于点，交延长线于点，如图 由（1）得，， 当时，， ∴点， ∴设的解析式为， 把点代入得， ∴的解析式为， 同理的解析式为， ∴设点 ，，， 设的解析式为，把，代入得： ， 解得： ∴的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 当时，有最大值，此时点． （3）解：如图：    由题可知，平移后抛物线的解析式为， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ①当时，满足条件， ∵点， ∴点的横坐标为． ②当时，如图 设与交于点M，此时， 设，则， ∴，解得：， ∴，即， 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立，解得：或， ∴点Q的横坐标为或或． 30．（2024·重庆·一模）在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，交轴于两点（点在点的左侧）．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点为线段下方抛物线上一动点，过点作交于点，作轴交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，问在平移后的拋物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)最大值为16，； (3)． 【分析】（1）把代入，再解方程组即可得到答案； （2）如图，作轴交于点，交轴于，  证明则可得：，设，可得，可得，再进一步可得答案； （3）如图， 求解平移后的抛物线为： ，如图，连接，过作轴于，证明，当在右边时，则，求解为，如图，当在的左边时，作关于的对称点，连接并延长交新抛物线于，连接，，可得，，设，求解，再进一步可得答案． 【详解】（1）解： ∵过   ， ， ； （2）如图，作轴交于点，交轴于，      ∵，， ， ∵的对称轴为直线， 当时，当时， 解得：，， ， ∴当，则， ∴， ∴， 由可得：    ， ， 设直线为， ∴，解得：， ∴ 设， ，    开口向下  对称轴为直线    当时， 的最大值为． （3）如图，∵，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线， ∴抛物线向右，向下都平移了2个单位长度， ∴平移后的抛物线为：， 即：， 如图，连接，过作轴于，    ∵，， ∴， 根据抛物线的对称性可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 当在右边时，则， ∵在直线上， ∴设直线为， ∴，则， ∴为， ∴， 解得：，（不符合题意的根舍去） ∴， 如图，当在的左边时，作关于的对称点，连接并延长交新抛物线于， 则，连接，， ∴，，    设， ∴， 解得：，（不符合题意的根舍去）， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：，（不符合题意的根舍去）， ∴， 综上的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用，锐角三角函数的应用，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，二次函数的平移，一元二次方程的解法，本题难度大，计算量大，属于中考压轴题． 31．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，，与轴交于，连接，作直线． (1)求该抛物线的解析式： (2)已知直线上方抛物线上有一动点，过点作轴交于，过作轴交轴于，求的最大值和此时点坐标； (3)将原抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，已知点是新抛物线上一动点，且，求所有符合条件的点的横坐标并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】(1) (2)， (3)点的横坐标为或，求解过程见详解 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）首先求得直线的解析式，设，结合题意确定点，的坐标，易得，的值，进而可得，然后根据二次函数的图像与性质确定答案即可； （3）首先根据点的坐标可知，，易得，根据抛物线平移方式确定新抛物线的解析式，过点作轴于点，设，易得，，证明，由相似三角形的性质可得，进而可得关于的一元二次方程，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：将点，，代入抛物线， 可得， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为， 将点，代入， 可得， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴交于， ∴点的纵坐标为， ∴点的横坐标为， ∴， ∵轴交轴于， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，取最大值，最大值为， 此时点坐标为； （3）∵，，， ∴，， ∴， ∵将原抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴原抛物线，向右，向上平移了2个单位长度， ∴新抛物线的解析式为， 如下图，过点作轴于点， 设， 则，， ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理可得， 解得， ∴点的横坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数与一次函数综合应用、二次函数的平移、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． 32．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，过点作交轴于点，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，平移后抛物线上一点G，使得，请写出所有符合条件的点G的坐标．并写出求解点G的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)有最大值，此时 (3)或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴交直线于点，交轴于点，过点作交于点，分别求得，，则，设，则，可得，当时，有最大值，此时； （3）平移后的抛物线解析式为，在轴上取点，连接，能推导出，过点作交于点，利用等积法能求，则，可得，过点作轴交于点，设，由方程，求得或． 【详解】（1）解：将，代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过点作轴交直线于点，交轴于点，过点作交于点，如图1， ， ， ，， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∵ ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 设，则， ， ， 当时，有最大值，此时； （3）解：原抛物线沿射线方向平移个单位长度， 抛物线沿着轴负半轴平移2个单位长度，沿着轴正半轴平移个单位长度， 平移后的抛物线解析式为， 在轴上取点，连接，过点作交于点，如图2， ， ， ， ， ， ，， ， 解得， ， ， ， 过点作轴交于点，设， ， 解得或， ∴或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，待定系数法求一次函数解析式，直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 33．（23-24九年级下·重庆潼南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与y轴交于点，连接、． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线下方抛物线上的一动点，过点作直线交轴于点，过点作于点，求出的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，连接交于点，将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，在新抛物线上存在一点，使，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】(1) (2)有最大值6，此时； (3)点M的横坐标为或． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）运用待定系数法可得直线的解析式为，过点作轴交于，过点作轴交于，设，则，可证得，求得，再证得，可得，再运用二次函数的性质即可求得答案； （3）将原抛物线沿射线方向平移个单位，即向右平移2个单位，向上平移1个单位得到新抛物线，可得新抛物线的解析式为，过点作轴交轴于，过点作轴于，根据三角函数定义可得，过点作的垂线，在该垂线上分别截取，使或，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，再证得，可得，，即，再利用待定系数法求得直线、的解析式，联立方程组求解即可求得答案． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点和点， ， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）解：在中，令，得， ， 设直线的解析式为，把、代入， 得， 解得：， 直线的解析式为， 在中，，， ， 如图1，过点作轴交于，过点作轴交于， 则， 设，则， ， ， ， ， ， ， ∵，， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ，即， ， ， ， 当时，取得最大值，最大值为6，此时点的坐标为； （3）解：由，可得原抛物线的顶点为， 将原抛物线沿射线方向平移个单位，即向右平移2个单位，向上平移1个单位得到新抛物线， 新抛物线的解析式为， 如图，过点作轴交轴于，过点作轴于， 则，，，， ，， ， ， ，， ， ， ， 过点作的垂线，在该垂线上分别截取，使或， 分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、， ， ， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为，把，代入， 得， 解得：， 直线的解析式为， 联立方程组得， 整理得， （不合题意的已舍去）； 同理可得，直线的解析式为， 联立方程组得， 整理得， （不合题意的已舍去）； 综上所述，所有符合条件的点的横坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标的特征，平行四边形的性质与判定，三角函数的定义，相似三角形的性质与判定等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 34．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，如图所示．点D为抛物线的顶点，点是抛物线上的一点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P分别作交x轴于点M，轴交直线于点N．求的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，点是新抛物线的顶点，点F是点E平移后的对应点，点G是新抛物线上一动点，连接．当时，请直接写出所有符合条件的点G的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)的最大值为， (3)点G的坐标为或． 【分析】（1）将、两点的坐标代入抛物线的解析式，求得，，进一步得出结果； （2）作于，设，可求得，的值及的解析式，根据得，进而求得，根据得出，从而表示出，进一步得出结果； （3）作于，可求得，，进而得出轴，从而求得符合条件的，作关于的对称点，作射线，作轴于点，可求得，从而得出的解析式为，进一步得出结果． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， 抛物线的解析式为； （2）解：如图1， 作于，设， 由得， ，， ， ， 设的解析式为：， ， ， ， 由得， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， 时，的最大值为， 当时，， ； （3）解：如图2， 作于， ， ，， ， ，， ，， ，即， ， ， ， 如图3， ， 轴， ， 新抛物线与轴右交点满足条件， 由得， ，（舍去）， ， 作关于的对称点，作射线，作轴于点， ，， ， ， ， 设，则， ， 在中，，，， ， ，， ，， ， 的解析式为：， 由得， （舍去），， 当时，， ， 综上所述：点G的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是较强的计算能力． 35．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）已知如图1，抛物线：交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中．点D为y轴上一点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为位于下方抛物线上一点，过P作y轴平行线交于点E，再过点E作直线的垂线交其于点F，求的最大值，并求此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度后得到新抛物线y'，点M为新抛物线y'上一点，当时，写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求直线解析式，设，，进而求的最大值和点的坐标，作交直线于点，证明，根据相似三角形的性质求出，再相加即可； （3）先求出平移后抛物线的解析式，再分两种情况画出图形，利用平行线和等量三角形的判定求出的解析式，联立求解即可． 【详解】（1）把，分别代入，得 ，解得：， ∴； （2）令，则， ∴， 设直线解析式为：， 把，，代入，得 ，解得：， ∴直线解析式为：， 设，， ， ∵， ∴当时，的最大值=4， 此时，点的坐标为， 作交直线于点 ∵，， ∴， ∴。 ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴的最大值为 （3）∵， ∴设抛物线沿射线方向平移个单位长度相当于向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， 则， 解得：（负根舍去）， ∴抛物线沿射线方向平移个单位长度相当于向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∵原抛物线：， ∴平移后的抛物线： 由(2)知：， ∴， ∴， 分两种情况： 当射线在的下方时，如图所示： ∵， ∴， 设的解析式为， 则， 解得：， ∴的解析式为， ∴设的解析式为， 则， 解得：， ∴的解析式为， 联立，得， 解得：，（舍去） 当射线在的上方时，交于点，如图所示： ∵， ∴， 设， 则， 解得： ∴， 设的解析式为， 则 解得： ∴的解析式为， 联立，得， 解得：，（舍去） 综上可得，符合条件的点M的横坐标为：或 【点睛】本题属二次函数综合题，主要考查用待定系数法求一次函数、二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象平移，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数与图形面积解法是解题的关键． 36．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、，与轴交于点．已知点为轴上一点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，作的角平分线交轴于点，点为直线上方抛物线上的一个动点，过点作交直线于点，过点作轴交直线于点，求的最大值，并求出此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线沿轴向左平移个单位得到新抛物线，新抛物线交轴于点、，点为新抛物线的对称轴与轴的交点，点为新抛物线上一动点，使得，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)，； (3)或． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法，即可求解； （2）交直线于，过点作于，可得出是正三角形，只需求的最大值即可； （3）求出平移后的函数解析式为，求出、，分点在的上方和下方两种情况讨论； 【详解】（1）解：将点、代入， 得：， 解得， ； （2）如图1，交直线于，过点作于， 在中，， ，， 平分， ， ， ， 轴， ，， ， ， ， ， 在中，， 是正三角形， 平分， ， 在，， 在正中，， 是中线， ， ， ， 故当取最大值时，最大， ， 在中，且， ， 或（舍去）， ， 设直线解析式为， ， ， ， 设，则， ， 当时，最大， ， ， 即， 当时，有最大值； （3）， 对称轴为， 将向左平移个单位后新抛物线， 、，的对称轴为直线， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， 则， ， ， ， 与重合， 当在下方时， ，， ， ，， ， 设直线的解析式为：， ， ， 直线的解析式为：， 联立得：， 解得：或（舍去）， ， 点的坐标为或． 37．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P为第二象限抛物线上的一点，过点P作轴交直线于点D，过点P作轴交直线于点E，F为y轴上一点，且满足，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线进行平移，平移后的抛物线与x轴交于点M，N，顶点为，轴于H，在平移后的抛物线上是否存在点R，使得，若存在，请直接写出R的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)取得最大值2，此时 (3)存在，或 【分析】 （1）用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式，由得，从而．设，则，，表示出，的长，代入，整理后利用用二次函数的性质即可求解； （3）先求出平移后的解析式，证明是等腰直角三角形，然后分当在的左侧和当在的右侧两种情况求解即可． 【详解】（1）∵抛物线与x轴交于两点， ∴， ∴， ∴； （2）如图，故点D作轴于点Q， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 设， 则，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，取得最大值2，此时； （3）∵平移后的抛物线顶点为， ∴平移后解析式为． 当时，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 连接，并延长交直线于点K， ①当在的左侧时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把点，点代入，得， ∴， ∴直线的解析式为：， 解得，（舍去）， ∴． ②当在的右侧时 ∵，， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， 用待定系数法可求出． 解得，（舍去）， ∴． 综上可知，R的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，锐角三角函数的知识，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的平移，相似三角形的判定与性质，数形结合是解答本题的关键． 38．（23-24九年级下·重庆北碚·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，点是抛物线上一点．                                 (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点P是直线上方抛物线上一点，过点P作交直线于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)连接，过点A作，交于点F，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点Q为新抛物线上一点，直线与射线交于点G，连接．当时，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标． 【答案】(1) (2)当时，的最大值为 (3)或或或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交轴于点，交于点，根据锐角三角函数得到，将转化为二次函数求最值即可； （3）先求出，进而得到为的中点，推出抛物线的平移规则，求出新的抛物线的解析式，根据，当点在右侧时，得到四点共圆，推出，利用锐角三角函数求出的长，进而求出点坐标，得到直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标即可，当点在左侧，点是中点时，，根据中点坐标公式，求出点的坐标，得到直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标即可． 【详解】（1）解：把，，代入函数解析式，得： ，解得：， ∴； （2）∵， ∴当时，， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 过点作轴，交轴于点，交于点， ∵， ∴， 又：， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴当时，有最大值为，此时最大为； ∴当时，的最大值为． （3）∵， ∴， ∴， ∵， ∴点为的中点， ∴， 过点作轴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，即将原抛物线先向右平移1个单位，再向上平移1个单位， 则新抛物线的的解析式为：， 即： ∵垂直平分，且点在上， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， 当点在右侧时，， ∴， 过点作交于点 ∵， ∴， ∴， 即：， ∴， 过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为：，把代入，得：，解得：， ∴， 联立，解得：或， ∴点的横坐标为：或， 当点在左侧时，点是中点时，， 设点，则：解得：， ∴， 设的解析式为：，把代入，得：，解得：， ∴， 联立，解得：或， ∴点的横坐标为：或， 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式，解直角三角形，四点共圆，二次函数求最值，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 39．（2024·重庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点为直线上方抛物线上的一个动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将原抛物线向左平移，使新抛物线经过原点，平移后点对应点为，过点作轴于点，为直线上一点，且满足，在轴下方新抛物线上确定一点，使的角平分线与轴所成钝角与互补，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)抛物线解折式为 (2)当时，有最大值为，此时 (3)所有符合条件的点M的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得得到，推出，设，得到，利用二次函数的性质求解即可； （3）过作于，设交x轴与点F，得到平移后新抛物线的解析式为，设，证明，得到，据此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：将，代入抛物线得： 解得：， ∴抛物线解折式为； （2）解：过点作轴交于点， 在中， 令，则， 解得或， 则， ∴在中， ，， ， ∵， ， ， ， 设直线解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线解析式为， 设，则， ， ∵，开口向下， ， ∴当时，有最大值为， 此时； （3）解：过作于，设交x轴与点F， 平移后新抛物线的解析式为， 设， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∵， ∴都是等腰直角三角形， ∴， 由题意得， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ， ， ， 或（舍）， ， ∴点M的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，坐标与图形，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，二次函数的平移，解直角三角形等知识，注意数形结合思想的运用． 40．（2024·重庆沙坪坝·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，连接，，． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，点M为线段（不含端点O，C）上一点，连接并延长交抛物线于点P，连接，，当面积最大时，求点M的坐标及面积的最大值； (3)如图2，将该抛物线沿射线方向平移，当它过点B时得到新抛物线，点F为新抛物线与x轴的另一个交点，点G为新抛物线的顶点，连接，，过点B作交新抛物线于点H，连接．在新抛物线上确定一点N，使得，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)的面积有最大值，； (3)或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴交于点，设，则，，当时，的面积有最大值，此时，求出直线的解析式为，即可求； （3）求出平移后的函数解析式为，再分别求出直线的解析式为，直线的解析式为，，过点作轴的垂线与的延长线交于点，与轴交于点，过点作交于点，过点作轴的平行线，过点作交于点，推导出，先求，再由，得到，根据，推导出，当点在点上方时，，设，求出；当点在点下方时，设与直线交于点，过点作交于点，求出，则，利用等积法求，可得，设，求出点，则直线的解析式为，设点关于直线的对称点为，根据，求出，则直线的解析式为，直线与抛物线的交点为． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ， ， ， 将、、三点代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 过点作轴交于点，如图1， 设，则， ， ， 当时，的面积有最大值，此时， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ； （3）解：设抛物线沿轴正半轴方向平移个单位，则沿轴正方形平移个单位， 平移后的函数解析式为， 经过点， ， 解得（舍或， 平移后的函数解析式为， 当时，， 解得或， ， 是顶点， ， 直线的解析式为， ， 直线的解析式为， 当时，解得或， ， 过点作轴的垂线与的延长线交于点，与轴交于点，过点作交于点，过点作轴的平行线，过点作交于点，如图2， 直线与轴的交点，， ， ，， ， ， ， ， 直线的解析式为， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， 当点在点上方时， ， ， ， ， ， 设， ， 解得（舍或， ∴； 当点在点下方时，设与直线交于点，过点作交于点， ∴， ， ， ， ， ， 设， ， 解得， ∴， 直线的解析式为， 设点关于直线的对称点为， ， ， 解得或（舍， ∴， 直线的解析式为， 当时，解得或（舍； ∴； 综上所述：点坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数图象平移，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，准确地计算是解题的关键．本题词属二次函数综合题目，难度较大． 41．（2024·重庆·一模）如图，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P为直线BC下方抛物线上一点，过点P作轴交直线BC于点D，过点D作交x轴于点E，求的最大值，并求此时点P的坐标； (3)如图2，将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到新抛物线，新抛物线交y轴于点G，点H为新抛物线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点H的横坐标，并写出求点H横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】(1)利用待定系数法把点，点代入抛物线，确定解析式即可． (2)先求得直线的解析式，设，则，求得，结合，利用两点间距离公式和点的位置求得，结合三角形函数求得，构造二次函数计算即可． (3)利用平移思想确定新的抛物线解析式，在结合分类讨论思想求得对应点的坐标即可． 【详解】（1）把点，点，代入抛物线， 得， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）∵,, 设点，则， 解得， 故； 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，则， 则 ∵，， ∴，， ∵点P在直线下方的抛物线上， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴有最大值，且当时，取得最大值，且最大值为， 此时，， 故． （3）∵， ∴先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到新抛物线的解析式为： ， ∴， ∴点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故过点A作，交于点， ∴； ∵直线的解析式为：． 设直线的解析式为：， 把代入解析式，得， 解得． ∴直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得（舍去）， 故点的横坐标为， 过点B作于点M， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 延长到点N使，连接， 则直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴； 点A作，交于点， ∴； ∴； ∴； ∵， ∴， ∴， 过点N作于点Q， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得． ∴直线的解析式为：， ∵， 设直线的解析式为：， 把代入解析式，得， 解得． ∴直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得（舍去）， 故点的横坐标为， 综上所述，符合题意的点H的横坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，构造二次函数求最值，等腰三角形的判定和性质，三角函数的应用，一次函数解析式确定，解方程组，熟练掌握二次函数性质和分类讨论思想是解题的关键． 评卷人 得分 五、相似有序 42．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点且交x轴于点，两点，交y轴于点C，点D是线段的中点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点M，过P作于点N，点Q为线段的中点，求周长的最大值及此时点P的坐标； (3)将原抛物线y沿射线方向平移后得到新抛物线经过原点，点E为y轴上一点，点F为原抛物线对称轴上一点，点Q为新抛物线上一点，若，请写出所有符合条件的点Q的坐标，并把求解其中一个点Q的坐标的过程写出来． 【答案】(1) (2)最大值为：，； (3)或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可； （2）求解，，，为，设，可得，可得，证明，证明，可得，再建立二次函数求解即可； （3）求解抛物线的对称轴为直线，而原抛物线y沿射线方向平移后得到新抛物线经过原点，可得原抛物线的平移方式可看作每次向左平移2个单位，同时向上平移4个单位，求解新抛物线为，由，可得，，，再分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点且交x轴于点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：当时， 解得：，， ∴， 当时，， ∴， ∵点D是线段的中点． ∴， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴为， 设， ∴， ∴， ∵，点Q为线段的中点， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 当时，的周长取最大值， 最大值为：， 此时； （3）解：∵抛物线的对称轴为直线， 而原抛物线y沿射线方向平移后得到新抛物线经过原点， 而， ∴原抛物线的平移方式可看作每次向左平移2个单位，同时向上平移4个单位， 设原抛物线y平移后的抛物线为， 当时，， ∴， 解得：（不符合题意的根舍去）， ∴新抛物线为， ∵， ∴，，， 如图，过作轴于，过作轴于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴， 解得：，（不符合题意的根舍去）， ∴， ∴； 如图，同理可得：， ∴， ∴， ∴， 综上：或 【点睛】本题属于二次函数的综合题，难度很大，涉及待定系数法，二次函数的平移，二次函数的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，清晰的分类讨论，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 43．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1，抛物线经过点，与y轴交于点C，直线l：经过点C，与抛物线交于点A，与x轴交于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为直线l上方抛物线上一点，作于点Q，求的最大值以及此时点P的坐标． (3)如图2，将抛物线沿着射线方向平移个单位得到抛物线，与x轴分别交于点D、点E，与y轴交于点F，连接，与对称轴交于点N．点M是抛物线对称轴上一点，当时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)最大值 ， (3)，或者 【分析】（1）先求出，结合，利用待定系数法即可求解； （2）先求出，根据，即，是等腰直角三角形，即，过Q点轴于点G，过P点作轴，交直线于点H，可得是等腰直角三角形，，同理有，根据题意设，且，根据，可设直线的解析式为：，利用点可得直线的解析式为：，联立，即可求出，则有，再表示出点H的横坐标为：，即，即有，问题得解； （3）在（2）中已得，即直线与x轴的夹角为，根据抛物线沿着射线AB方向平移个单位得到抛物线，可得抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，即可得到抛物线，即有，即抛物线对称轴为：，设点，先求出，，，求出直线的解析式为，即可得，则有，，，证明，可得，即有，问题得解． 【详解】（1）当时，， ∴， ∵抛物线经过点，与y轴交于点C， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）当时，，解， ∴， ∴，即，是等腰直角三角形， ∴， 过Q点轴于点G，过P点作轴，交直线于点H， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 即， ∵轴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 根据题意设，且， ∵，直线的解析式为：， ∴设直线的解析式为：， 将点代入， 有：，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立，解得：， ∴点Q的横坐标为：， 当时，， ∴， ∴， 当时，有， 解得：， ∴点H的横坐标为：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 最大值为：， ∴； （3）在（2）中已得， 即直线与x轴的夹角为， ∵抛物线沿着射线AB方向平移个单位得到抛物线， ∴抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，即可得到抛物线， ∵， ∴抛物线解析式为：， 即抛物线对称轴为：， 设点， 当时，，或者， ∴，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∵，，，， ∴，，， 如图， ∵，， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴，或者． 【点睛】本题是一道二次函数的综合题，考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程的应用，待定系数法，直角等腰三角形的判定与性质，二次函数的平移以及相似三角形的判定与性质等知识，问题的难点在第（2）小问，表示出直线的解析式为：，是解答本题的关键． 44．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作PE轴交BC于点，在轴上取一点，使得，求的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上确定一点，过点作轴于点，使得，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1)； (2)，； (3)，． 【分析】 （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）过点作于点，先求出，进而可得，设，则，，根据二次函数性质，即可求解； （3）根据题意得出平移后的抛物线解析式为，根据，，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵点，在抛物线图象上， ∴　解得 ∴抛物线的表达式为 （2）过点作于点， 当时，， 解得： ∴ ， 为等腰三角形 ， 设 设直线的解析式为，将点代入， 得， 解得：， ∴，， ∴ ∵，开口向下，且， ∴当时，， 此时 （3）解：∵ ∴ ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度， ∴将抛物线向上移动个单位向左平移个单位； ∵抛物线解析式为 ∴平移后的抛物线解析式为 ∵ 当 ∴ ∴ 解得：或 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，线段周长问题，正切的定义，抛物线的平移，相似三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 45．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，过点的抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)连接，，点为直线下方抛物线上一动点，点与点关于轴对称，分别过，作轴的平行线交于点，，求的最大值及此时点的坐标； (3)另一条过点的抛物线的顶点位于直线上，该抛物线与轴的另一交点为点，连接，，若，请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)点坐标为 (3)或 【分析】 本题考查了二次函数的综合应用，解直角三角形，面积问题； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得直线的解析式为，设点坐标为，则点坐坐为点坐标为点坐标为，过作，交于点，可得．进而表示出，根据二次函数的性质，即可求解； （3）设抛物线的顶点坐标为，根据题意可得，过点作轴于点，则是等腰直角三角形，得出，进而求得，进而即可求解． 【详解】（1）设抛物线解析式为，将代入得 ， 解得：， 则抛物线的解析式为； （2）设直线， 将代入得 解得， 故直线的解析式为， 假设点坐标为， 根据对称性，点坐坐为 轴，轴， 点坐标为点坐标为， 则， 过作，交于点，可得． 即是等腰直角三角形， ∴， 即， ， ∴当时，取最大值为，此时点纵坐标为， 点坐标为． （3）解：∵直线的解析式为，设抛物线的顶点坐标为 设直线交轴于点，则，则是等腰直角三角形， ∴， 过点作轴于点， 则是等腰直角三角形， ∵关于对称，又 ∴ 如图所示，为等腰直角三角形，，设，则 ∴ 如图所示，当在点的左侧，且抛物线开口向下时， ∴ 解得：， 则 当在点的右侧，且抛物线开口向下时， ∴ 解得：， 则 如图所示，当抛物线开口向上，且在的右侧时，如图所示， ∴ ∴此情形不存在 综上所述，或 46．（23-24九年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． (1)求抛物线y的函数表达式； (2)如图1，点P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作交于点E，作轴交抛物线于点F，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将抛物线y沿射线的方向平移个单位长度得到新抛物线，的对称轴交x轴于点H，D为的顶点，M为对称轴右侧图象上的一点，N为对称轴上的一点，当时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)的最大值，此时 (3)或 【分析】（1）把点和点代入求解即可； （2）先求出直线解析式，设直线与相交于点G，与y轴相交于点Q，判断是等腰直角三角形，得出，设，则可求，点F的横坐标为，得出，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）先求出新抛物线的解析式，从而求出D、H的坐标，则可判断是等腰直角三角形，得出，，根据相似的性质求出，然后分情况讨论：当M在x轴下方时，过M作于K，则是等腰直角三角形，得出，，可设，则，代入新抛物线解析式求出m的值，然后根据相似三角形的性质求解即可；M在x轴上方，同理求解即可． 【详解】（1）解：把点和点代入， 得， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴顶点C的坐标为，对称轴为， 当时，， 解得，， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 设直线与相交于点G，与y轴相交于点Q， 当时，，则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 则G的纵坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴点F的横坐标为， ∴， ∴ ， ∴当时，有最大值为， 此时， ∴； （3）解：∵将抛物线y沿射线的方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴将抛物线向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 当M在x轴下方时，则， 过M作于K， 则是等腰直角三角形， ∴， 设， 则， ∴， 解得，（舍去） ∴， ∵， ∴，即， ∴； 当M在x轴上方时， 过M作于K， 则是等腰直角三角形， ∴， 设， 则， ∴， 解得，（舍去） ∴， ∵， ∴，即， ∴； 综上，的面积为或． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的性质，解一元二次方程等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造等腰直角三角形求解是解题的关键． 47．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）若抛物线经过，与轴交另一点． (1)求的值； (2)如图1，当点是直线上的动点时，点，若直线平分，求点的坐标； (3)当点在对称轴右侧的抛物线上运动时，交对称轴于点，且点、关于抛物线顶点对称，连结，若点到直线的距离为，试探究是否存在最大值，若存在，求出的最大值和此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标 (3)的最大值为，点N的坐标为． 【分析】（1）将代入求解即可； （2）首先根据题意求出，，然后过点O作交延长线于点M，过点O作交于点N，设，得到，，然后利用得到，然后代入求解即可； （3）根据题意画出图形，然后根据直角三角形的性质得到当点F与点O重合时，取得最大值，即的长度，进而根据二次函数的性质和对称的性质求解即可． 【详解】（1）∵抛物线经过， ∴， 解得； （2）∵ ∴对称轴为 ∵抛物线经过， ∴抛物线与x轴的另一个交点为 ∴ ∵ ∴， 如图所示，过点O作交延长线于点M，过点O作交于点N， ∵直线平分， ∴ ∴ ∵点是直线上的动点 ∴设 ∴， ∴ ∴，即 ∴ 整理得， 解得，（舍去） ∴点的坐标； （3）如图所示， ∴为点到直线的距离，即， ∴在直角三角形中，， ∴当点F与点O重合时，取得最大值，即的长度， ∵， ∴， ∴的最大值为， ∴此时点P与点A重合，点M为的中点 ∴ ∵ ∴顶点坐标为， ∵点、关于抛物线顶点对称， ∴点N的坐标为． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，轴对称的性质，勾股定理，角平分线的性质等知识，综合应用这些知识点是解题关键． 48．（2024·重庆渝中·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线两点，过点，且交x 轴于点，B交y 轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P 是抛物线对称轴右侧，直线上方抛物线上的一动点，过点P 作于点M， 过点P 作 x 轴的平行线交抛物线于点N，求的最大值及此时点P 的坐标； (3)将该抛物线沿射线平移个单位长度，Q 为平移后的抛物线上一点，使得，直接写出 Q 点的横坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)最大值为，此时点P的坐标为 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，进而求出；直线的解析式为；如图所示，过点P作轴，分别交轴于D、H，证明，得到；设，则，可得；根据对称轴求出，则，据此求解即可； （3）如图所示，当点Q在x轴上方时，设直线与y轴交于H，分别过点B、C作直线的垂线，垂足分别为F、E，根据，得到，设，，证明，求出，则，再证明，得到，则，可得，则同理可得直线解析式为；利用勾股定理求出，则将该抛物线沿射线平移个单位长度，相当于把抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，进而得到平移后的抛物线解析式为，联立得，解得，即点Q的横坐标为；同理求出当点Q在x轴下方时，点Q的横坐标即可． 【详解】（1）解：把和代入中得：， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：在中，当，解得或，当时，， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点P作轴，分别交轴于D、H， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 设，则， ∴； ∵轴， ∴点P与点N关于对称轴对称，即关于直线， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 当时，， ∴点P的坐标为 （3）解：如图所示，当点Q在x轴上方时，设直线与y轴交于H，分别过点B、C作直线的垂线，垂足分别为F、E， ∵， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴，即，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 同理可得直线解析式为； 在中，， ∴， ∴将该抛物线沿射线平移个单位长度，相当于把抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度， ∴平移后的抛物线解析式为， 联立得， 解得， ∴点Q的横坐标为； 如图所示，当点Q在x轴下方时，设直线与y轴交于H，分别过点B、C作直线的垂线，垂足分别为F、E， ∵， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 同理可得直线解析式为； 联立得， 解得， ∴点Q的横坐标为 综上所述，点Q的横坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，解（2）的关键在于把线段的长转换成的长，解（3）的关键在于通过构造相似三角形求出直线的解析式． 49．（2024·重庆九龙坡·一模）如图1，已知抛物线与轴交于、两点（点在点左边），与轴交于点，其中． (1)求线段的长度． (2)如图，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点，作轴交于点，为中点，连接，请求出的最大值以及此时点的坐标． (3)将抛物线水平向右平移个单位后得到抛物线，点、点的对应点分别为点、点，抛物线与轴交于点（点不与原点重合），连接、．在平移过程中，当时，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)；； (3)，． 【分析】（）根据抛物线过点即可求出，然后令求出点即可或根据对称轴求解即可； （）由题意和三角函数先证为等边三角形，得，即有最大时，也取最大值，设，，得出即可； （）设抛物线（，），则， 令，求出，，，又得，从而，即，再分情况讨论即可求解； 本题考查了二次函数的图象与性质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）将代入抛物线，得到解析式为， 法一：令解出， ∴， ∴； 法二：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 又∵， ∴， ∴； （2）由（）得解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得是直角三角形， ∵为中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 设， 由题意可得，解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴当，即时，， ∴时，的最大值为； （3）①设抛物线（，），则， 令，求出，， 、点； 令，求出， ， ②时，，从而，即； ③情况，当时，如备用图1，，，， 代入得：， ， 又， ， ， ， ， ， ； 情况2，当时，如备用图，，，， 代入得：， ， 又， ， ， ， ， ， ． 综上：或． 50．（2024·重庆·一模）如图1，二次函数的图象与轴相交于、两点，其中点的坐标为，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求该二次函数的解析式； (2)是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接交于点，连接，，．若和的面积分别为、，请求出的最大值及取得最大值时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线平移个单位得新抛物线，为新抛物线上一点，作直线，当点到直线的距离是点到直线的距离的倍时，直接写出点的横坐标． 【答案】(1) (2)； (3) 或 【分析】 本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图像上点坐标的特征，相似三角形等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）直接将点坐标带入即可求解； （2）过作轴平行线交直线于，过作轴平行线交直线于，设出点坐标，进而求出、长度，用其表达，即可求解； （3）利用相似三角形性质即可求解． 【详解】（1）解：抛物线过点，，对称轴， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）由（1）知，，，， 设直线为， ， ， ， 设直线为， ， ， ， 设， 如图1，过作轴平行线交直线于，过作轴平行线交直线于， ，， ， ， ， , ， ， 当时有最大值， 此时， ； （3）设平移到点，则，作轴于， 如图2 则， ， 即， ，即将抛物线向左平移个单位，向上平移个单位， 又， 则新抛物线顶点为， 新抛物线为， 如图3作于，于，直线交直线于， ， ， ， 分类讨论：当在线段上，过点作轴于点， ， ， ， ， ，， ， ， 设直线为， ，解得， ，联立， ， ， ， ， 当在线段的延长线上时，如图4过点作轴于， ， ， ， ， ， ， ，， ， 设直线为， ，解得， ，联立， ， ， ， ， ， 综上点横坐标为或． 51．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，直线交轴于点，点为线段下方抛物线上的一点，过点作轴交直线于点，在直线上取点，连接，使得，求的最大值及此时点的坐标； (3)连接，把原抛物线沿射线方向平移个单位长度，点是平移后新抛物线上的一点，过点作垂直轴于点，连接，直接写出所有使得的点的横坐标． 【答案】(1) (2)取得最大值， (3)或0或或 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）作于点E，由三线合一得，证明得．求出直线的解析式，设，则，表示出，进而得出关于m的函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）先利用推出，再求出平移后的解析式，然后设，得出，求出n即可． 【详解】（1）∵抛物线与轴交于、两点， ∴， ∴， ∴； （2）作于点E，    ∵，， ∴点E是的中点， 当时，， ∴， ∴， ∵轴， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 设直线的解析式， 把代入，得， 解得， ∴， 设，则， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，取得最大值，， ∴； （3）∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度， ∴抛物线向右平移了2个单位，向下平移了4个单位， ∵， ∴平移后的解析式为， ∵，， ∵， ∴，， ∴， ∴ 设，则，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得：，，，， 综上可知，点M的横坐标为或0或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数的平移，二次函数与坐标轴的交点，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，二次函数与几何综合，熟悉二次函数的性质和推导是解答本题的关键． 评卷人 得分 六、相似无序 52．（22-23九年级下·重庆·阶段练习）抛物线 经过点和点．该抛物线与直线 相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线轴，分别与x轴和直线交于点 M、N． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)连接，如图1，在点P运动过程中，的面积是否存在最大值？ 若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由； (3)连接，过点 C作垂足为点 Q，如图2，是否存在点 P，使得与相似？ 若存在，求出满足条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)在点P运动过程中，的面积存在最大值，最大值为 (3)或 【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）联立抛物线与直线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点C、D的坐标，设点P的坐标为，则点N的坐标为，，根据三角形面积公式可得，利用二次函数的性质即可解决最值问题； （3）利用相似三角形的性质可得出：若与相似，则有或，设点P的坐标为，则点N的坐标为，点M的坐标为，点Q的坐标为，进而可得出，，，，将其代入或中即可求出x的值，结合即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ， 解得， 该抛物线对应的函数解析式为； （2）解：联立抛物线与直线的解析式成方程组，得：， 解得：，， 点C的坐标为，点D的坐标为． 设点P的坐标为，则点N的坐标为， ， ， 当时，取最大值，最大值为 ， 在点P运动过程中，的面积存在最大值，最大值为． （3）解：， 若与相似，则有或． 设点P的坐标为，则点N的坐标为，点M的坐标为，点Q的坐标为， ，，，． 当时，则， 解得：，舍去， 点P的坐标为； 当时，有， 解得：，舍去， 点P的坐标为． 综上所述：存在点P，使得与相似，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）利用三角形的面积公式找出；（3）分、两种情况求出x的值． 53．（2024·重庆·模拟预测）如图，二次函数 顶点， 与x轴交A，B两点， 交y轴于点C，点，    (1)求二次函数的解析式； (2)如图，连接，点P为线段上方抛物线上一动点，过点P作直线分别交y轴于点E，x轴于点F，求的最大值以及此时点P的坐标 (3)连接， 将抛物线沿射线平移 个单位长度得到新抛物线 的顶点为H，过点H作 轴于点N，连接，在新抛物线对称轴右侧平面内是否存在点Q，使得 与 相似，若存在，请直接写出所有符合题意点Q的坐标，若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2)的最大值为，此时点P的坐标为 (3)存在；或或或 【分析】（1）求出点B的坐标，可得抛物线解析式为，再把代入，求出a的值，即可求解； （2）过点C作轴交于点G，证明是等腰直角三角形，可得到是等腰直角三角形，从而得到，进而得到当点P与点G重合时，最大，最大值为的长，然后求出直线的解析式，即可求解； （3）分四种情况讨论，结合相似三角形的判定和性质，即可求解． 【详解】（1）解：是顶点，是抛物线与轴的交点 设抛物线为： 是抛物线与轴的交点， 将代入得： 解得： 二次函数的解析式 （2）解：如图，过点C作轴交于点G，    由（1）得：点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴当点P与点G重合时，最大，最大值为的长， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∵轴，点，抛物线的对称轴为直线， ∴点P的坐标为， 把代入，得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∴点， ∴， ∴， 综上所述，的最大值为，此时点P的坐标为； （3）解：∵点，， ∴， ∵将抛物线沿射线平移 个单位长度得到新抛物线 ， ∴将抛物线沿x轴向右平移4个单位，再向上平移8个单位得到新抛物线 ， ∴新抛物的顶点坐标为，对称轴为直线， ∵轴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设点Q的坐标为， 如图，若，，即，分别过点D，Q作轴，轴，垂足分别为M，K，则，，此时， ∴，    ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为； 如图，若，，即分别过点D，Q作轴，轴，垂足分别为M，K，则，，此时，    ∴， ∴， ∴， ∴，， 同理点Q的坐标为； 如图，若，，即过点D作直线轴于点M，过点Q作于点L，此时，，    同理， ∴， ∴， 解得：， ∴点Q的坐标为； 如图，若，，即过点Q作直线轴于点K，过点D作于点P，此时，，    同理， ∴， ∴， 解得：， ∴点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 54．（19-20九年级上·河南周口·期末）如图，顶点为的抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线的表达式为． （1）求抛物线的解析式． （2）点满足到四点距离之和最小，求点的坐标． （3）在坐标轴上是否存在一点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）P(，)；（3）Q1(0，0)，Q2(9，0)，Q3(0，)． 【分析】（1）先求得点和点的坐标，然后将点和点的坐标代入抛物线的解析式得到关于、的方程，从而可求得、的值； （2）连接AD，交BC相交，交点即为所求点P，点满足到四点距离之和最小，先求出A、D点坐标，然后求得的解析式，最后可求得点的坐标； （3）先根据坐标求出、、的长，依据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，然后分为和三种情况求解即可． 【详解】解：（1）把代入，得：， ． 把代入得：， ， 将、代入得：，解得，． 抛物线的解析式为． （2）如图所示：连接AD，交BC相交于点P， ∵，， ∴ 当点在AD与BC的交点上时，点满足到四点距离之和最小． ∵点D是抛物线的顶点， ∴对称轴为，点D为， ∵点A、B抛物线与x轴交点， ∴点A为， 设的解析式为，则，解得：，． 的解析式为． 联立解析式得： 解得：， 点的坐标为． （3）又，3，， ，，． ， ． ，， ，．， ． 又， ． 当的坐标为时，． 如图所示：连接，过点作，交轴与点． 为直角三角形，， ． 又， ． ，即，解得：． ． 如图所示：连接，过点A作，交轴与点． 为直角三角形，， ． 又， ． ，即，解得：． ∴ ． 综上所述，当的坐标为或或时，以、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定，分类讨论对以点为顶点的三角形与相似的对应关系进行分类讨论是解答本题的关键． 55．（2024·重庆·模拟预测）如图，抛物线经过点和．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点为第二象限内抛物线上一点，连接，点P为线段下方抛物线上一点，过点P作交y轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，连接、，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，若点M为平移后新抛物线上一点，过点M作轴于点N，直接写出所有使得相似于的点M的横坐标． 【答案】(1) (2)，最大值为； (3)的横坐标为：或或6或． 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先求解，可得为，如图，过作轴于，证明，，可得，设，可得，再利用二次函数的性质解答即可； （3）先求解，可得直线为，可得新的抛物线为：，证明，，设，如图，当在轴的左侧时，，如图，当在轴的右侧时，，再利用相似三角形的判定方法建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和． ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）∵点为第二象限内抛物线上一点， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∵， 设为， ∴，解得：， ∴为， 如图，过作轴于，    ∵， ∴，， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴当时，最大值为， 此时； （3）∵， ∴，而， 同理可得直线为， ∴将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于将原抛物线往右，往上都平移2个单位； ∴新的抛物线为：， ∵，，， ∴， ， ， ∴，， 设， 如图，，        ∴当时，相似于， ∴， 整理得：或， 解得：或（不符合题意，舍去）， 当时，相似于，如图所示：    ∴， 整理得：或， 解得：或（不符合题意舍去）， 综上：的横坐标为：或或6或． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，二次函数图象的平移，相似三角形的判定与性质，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键． 评卷人 得分 七、折叠 56．（2024·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，， 两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，连接，过点作交于点，求线段长的最大值及此时的坐标； (3)在（）中线段长取得最大值的条件下，过点作的平行线，交轴于点，将该抛物线向左平移个单位长度，再向上平移 个单位得到抛物线，点为上的一动点，过点作轴的平行线，交直线于点，连接，将线段沿直线翻折得到线段，当点在轴上时，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)或，过程见解析 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （2）由得，，设直线的解析式为，把、代入得到直线的解析式：，过点作直线的平行线，当直线与抛物线只有一个交点时，的长最大，由，得到，平行线的解析式为，与抛物线联立，得到，设直线的解析式为，把、代入，得到直线的解析式：，由， 设直线的解析式为，把代入得，直线的解析式为，与直线的解析式联立得到，根据两点间距离公式，即可求解， （3）由（2）得，解析式为，，由，根据平移变换得到，根据翻折的性质得，作，轴，根据角平分线的性质得到，由轴，，得到，，即：，设，则，，，，代入，解得：或或，依次得到点坐标，长度，长度，长度，即可求解， 【详解】（1）解：把代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由得，， 设直线的解析式为，把、代入得，，解得：， ∴直线的解析式为， 过点作直线的平行线，设平行线的解析式为， 当直线与抛物线只有一个交点时，的长最大， 由得，， ∵， ∴， ∴平行线的解析式为， 由，解得， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为，把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 由，解得， ∴， ∴， 故答案为：，， （3）解：由（2）得，解析式为， ∴， ∵， 根据题意得， 当点在轴上时，由翻折的性质可得， 作，垂足为点，轴，垂足为点， ∴， ∵轴，， ∴， ∵，，， ∴，即：， 设，则， ∴，，， ∵， ∴或，解得：或或， ∴，，或， ∴，或，或， ∴，或， ，或， ∴或． 【点睛】本题考查了，求抛物线解析式，两点间距离公式，翻折的性质，平移变换及解直角三角形，解题的关键是：通过翻折的性质得到，进而得到． 57．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·期中）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知，抛物线的对称轴为：．    (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴左侧，第三象限抛物线上一动点，点为抛物线的顶点，过点作直线交对称轴于点，连接．求的最大值以及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）成立的情况下，连接，将抛物线沿着射线方向平移个单位得抛物线．点是抛物线的顶点，点是抛物线与轴的交点，直线与轴交于点，过抛物线上一点（不与点重合）作轴于点，直线交于点，连接．若点关于直线的对称点恰好落在轴上，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时点P的坐标为 (3)或或或 【分析】（1）先根据对称轴计算公式求出，再把代入抛物线解析式中进行求解即可； （2）先求出，得到，则；如图所示，过点P作于E，设与x轴交于F，由平行线的性质可得，则是等腰直角三角形，可得；求出顶点D的坐标为；设，则，，，进而得到，则，据此利用二次函数的性质求解即可； （3）先求出，进而求出，则可求出，进而求出，利用待定系数法求出直线解析式为，则；再分，当点G在点E右侧时，当点G在点H和点E之间时，当点G在x轴下方且在点H右侧时，当点G在点H左侧且在x轴上方时，四则情况，设，则 ，表示出，通过证明，进而建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 把代入中得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点P作于E，设与x轴交于F， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵抛物线解析式为， ∴顶点D的坐标为； 设， ∴，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，此时点P的坐标为；    （3）解：在中，当时，解得或， ∴， ∴， ∴， ∴将抛物线沿着射线方向平移个单位得抛物线相当于将抛物线向右移动2个单位长度，向下移动1个单位长度得到抛物线， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； 如图所示，当点G在点E右侧时，设，则 ，交于T， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴点G的横坐标为；      如图所示，当点G在点H和点E之间时，同理有， 此时，， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴点G的横坐标为；    如图所示，当点G在x轴下方且在点H左侧时，同理有， 此时，， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴点G的横坐标为；    如图所示，当点G在点H左侧且在x轴上方时，同理有， 此时，， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴点G的横坐标为；      综上所述，点G的横坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于推出是等腰直角三角形，解（3）的关键在于证明． 58．（2024·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点A在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，点直线上方抛物线上（不与重合）的一动点，过点作交轴于点，轴交直线于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物，点为新抛物上轴左侧的一动点，过点作轴，过点作轴，直线与直线相交于点，连接，将沿直线翻折，若点的对应点恰好落在坐标轴上，请直接写出点的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)有最大值，此时P的坐标为 (3) 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求出，再求出直线的解析式为，即：；然后证明四边形是平行四边形可得；设，则可得；如图：过作，即，，证明可得，进而得到，则，最后根据二次函数的性质求最值即可； （3）先求出平移后的解析式为，再证明四边形是正方形可得；设、可得，进而得到可得，进而确定点的坐标即可． 【详解】（1）解：把，代入抛物线解析式得：，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵抛物线的表达式为， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有：，解得：， ∴设直线的解析式为，即： ∵，， ∴,， ∴四边形是平行四边形， ∴, 设，则， ∴， 如图：过作，即，, ∴, ∴,即，解得：, ∴， ∴， 当时， 有最大值，此时P的坐标为． （3）解：抛物线的解析式， ∵将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物， ∴将原抛物线向左平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到新抛物， ∴到新抛物的解析式为， ∵将沿直线翻折，若点的对应点恰好落在坐标轴上， ∴垂直平分, ∴, ∵，, ∴，,， ∴四边形是正方形， ∴ 设，， ∴, ∵， ∴，解得：或0（舍弃）， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了求函数解析式、一次函数与二次函数的综合、二次函数与几何图形的综合、平行四边形的性质、正方形的性质等知识点，根据题意正确画出图像成为解题的关键． 59．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点M，过点P作交于点N，求的最大值及此时点P的坐标； (3)把原抛物线）沿射线方向平移8个单位，点E为平移后新抛物线对称轴上的一点，连接，将沿直线翻折，使得点E的对应点点Q落在坐标轴上．写出所有符合条件的点E的坐标，并写出求解点E的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时点P的坐标为 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，一次函数与几何综合等等： （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，则；再求出直线解析式为；解直角三角形得到，则，同理可得，则，进而得到，则，则，设，则，可得，则，据此可得答案； （3）先推出把原抛物线）沿射线方向平移8个单位，相当于把抛物线向右移动4个单位，向上移动个单位，则可求出平移后的抛物线对称轴为直线；再分当点E在x轴上下且点Q在y轴上时，在 当点E在x轴下方，且点Q恰好在x轴上时，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵当时，有最大值，最大值为， ∴此时点P的坐标为； （3）解：由（2）得， ∴把原抛物线）沿射线方向平移8个单位，相当于把抛物线向右移动4个单位，向上移动个单位， ∵原抛物线对称轴为直线， ∴平移后的抛物线对称轴为直线； 如下图所示，当点E在x轴上下且点Q在y轴上时，设直线于直线交于H， 在中，当时，， ∴； 由（2）得， ∵， ∴， 由翻折的性质可得， ∴是等边三角形， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴；    如下图所示，当点E在x轴下方，且点Q恰好在x轴上时，设直线于轴交于H， 由翻折的性质可得， 由（2）得，即， ∴， ∴直线与y轴所夹的锐角和直线与直线所夹的锐角相同， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴；    综上所述，点E的坐标为或． 评卷人 得分 八、最大张角 60．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线（）过点、，与轴交于点．    (1)求抛物线的表达式： (2)点为第四象限内抛物线上一动点，过点作轴交直线于，为直线上一点，且，求的最大值及此时点的坐标： (3)在（2）问的前提下，在抛物线对称轴上是否存在点，使的度数最大，若存在，请写出点的坐标，并做详细解答． 【答案】(1) (2)的最大值为， (3) 【分析】（1）用待定系数法，将点，点坐标代入，即可求解， （2）先证明，得出，设，求出，则，然后证明是等腰直角三角形，得出，，则可求，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）利用圆周角定理判断出当的外接圆与对称轴相切时，的度数最大，然后设，，利用相等构造方程组求解即可． 【详解】（1）解：将点，点代入可得： ，解得：， 故抛物线的解析式为：； （2）解：当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 设直线解析式为， 则，解得， ∴直线解析式为， 过点F作于H，    ∴， 又， ∴， ∴， 设， ∵轴， ∴点E的纵坐标为， 代入，得，解得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，取最大值为， 此时， ∴的最大值为，； （3）解：∵， ∴对称轴为， 作的外接圆，记为，    ∵点M在对称轴上运动， ∴对称轴与相交或相切， 设与对称轴相切于M，在对称轴上另取一点，连接，，，，与相交于点N， 则， 由， ∴， ∴当与对称轴相切时，的度数最大， 此时， 设，，则 ∵， ∴， 整理得， 解得（舍去），， ∴ 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，解题的关键是： （1）熟练掌握待定系数法求二次函数解析式， （2）用含字母的式子表示点坐标和相关线段的长度，熟练掌握求二次函数最值， （3）利用圆周角定理找到符合已知条件的点M的位置． 评卷人 得分 九、其他 61．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点且交x轴于点，点B，交y轴于点C，顶点为D，连接，．    (1)求抛物线的表达式． (2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作交x轴于点M，轴交于点H，求的最大值，以及此时点P的坐标． (3)连接，把原抛物线沿射线方向平移个单位长度后交x轴于，两点（在右侧），直线l为新抛物线的对称轴且交x轴于点F．若点G为x轴下方新抛物线上一动点，连接，且直线，分别交直线l于点T，R，连接，，记，的面积分别为，．试探究：在点G运动的过程中，是否为定值？若是，请求出该定值并说明理由；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值，为 【分析】（1）运用待定系数法求出函数解析式； （2）求出直线的解析式，设，则得到H的坐标，表示出证明，得到一个关于m的二次函数表达式，利用二次函数的性质求出最值和此时P点坐标即可；； （3）过G点作x轴的垂线，构造相似三角形，然后根据相似三角形的性质表示出的长，计算即可得出结论． 【详解】（1）解：∵抛物线过点且交x轴于点， 把点、代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）    解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 令， ， ， 设直线为， 把代入， 得， 解得， ， 设， ， 轴交于点H， 的纵坐标为，得， ， ， ， ， 时，有最大值，是， 此时， 此时点P的坐标为． （3）解：当点G在l左侧时， ∵抛物线的顶点，    作于P， ， ， ， ∴原抛物线沿射线方向平移个单位长度时，相当于向上平移个单位，向右平移个单位， ∴新的抛物线的表达式为， 对称轴为直线l∶， 作轴，交x轴于点H， ， ， ， ，同理可证， 令， 解得， ， 设 ， ， ，， ， 当点G在l右侧时，同理可求．   是定值，为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角函数的定义，二次函数与最值问题，二次函数的对称轴，相似三角形的性质和判定等知识，本题的关键是熟练掌握角的转换，结合三角函数转换线段从而求出最值问题，同时熟悉二次函数的特殊值和对称轴公式，发现联系列出方程解题． 62．（2024·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点是直线下方抛物线上一动点，点是线段上一动点，直线交轴于点．若，求的最大值及此时点的坐标； (3)另有抛物线的顶点在线段上，经过点，将抛物线平移得到新的抛物线，点，平移后的对应点分别是点，，连接．若轴，点在轴上，经过点，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时点坐标为 (3)或 【分析】（1）根据对称轴的定义，求出与的关系，再将点代入抛物线解析式，从而求出的值，即可求函数的解析式； （2）连接，根据内错角相等得到，过点与平行的直线解析式为，当直线与抛物线有一个交点时，点到直线的距离最大，此时的值也最大，建立方程，利用，求出，此时直线的解析式，与轴的交点，，过作交于点，过点作交于点，过点交于点，利用等积法求，在中，，则； （3）设，抛物线，将点代入，可得，根据题意可知点纵坐标为，点纵坐标为0，根据平移的性质可得，解得，则抛物线，设平移后，则，将点代入，可得，从而求出点坐标． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， ，即， 点在抛物线上， ， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图所示： 当时，，解得或， ， ，， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 过点与平行的直线解析式为， 当直线与抛物线有一个交点时，点到直线的距离最大，此时的值也最大， ，即， 当时，，解得， 此时直线的解析式，与轴的交点， 由，解得， ， 过作交于点，过点作交于点，过点交于点，如图所示： ，， ， ， ， ，解得， 在中，， ， ， ， 的最大值为，此时点坐标为； （3）解：设，抛物线， 将点代入，可得，解得（舍或， 平移后点，平移后的对应点分别是点，，轴， 点纵坐标为， 点在轴上， 点纵坐标为0， ，解得， 抛物线， 设平移后，则，将点代入，可得， 或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，平行线的性质，直角三角形的三角函数值是解题的关键． 63．（2024·重庆·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 交x轴于，， 交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2， 连接，点P是直线上方抛物线上的一动点， 过点 P作轴交于点E，过点P作 交x轴于点 F， 求 的最大值及此时点P坐标； (3)将抛物线沿y轴方向向下平移，平移后所得新抛物线与y轴交于点 D，过点D作轴交新抛物线于点M，射线交新抛物线于点 N，如果请写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)最大值，此时 (3)或 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）延长交x轴于点Q，证明，进而可得，求出直线的解析式为，设，则，则，然后代入，得出关于m的解析式求解即可； （3）分点M在x轴的上方和点M在x轴的下方两种情况求解即可． 【详解】（1）∵抛物线 交x轴于，， ∴， ∴， ∴； （2）延长交x轴于点Q， ∵轴， ∴轴． ∵当时，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴． 设，则， ∴ ， ∴ ， ∵，， ∴当时，取得最大值，此时； （3）当点M在x轴的上方时，如图， 过点C作x轴的平行线交抛物线与点G， ∵， ∴对称轴为直线， ∴． 设，则， ∴平移后的解析式为， ∵， ∴， 把代入，得 ， ∴， ∴； 当点M在x轴的下方时，如图，同理可求． 综上可知，点N的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，锐角三角函数的知识，二次函数与几何综合，二次函数的平移，勾股定理，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 64．（2023·重庆九龙坡·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，直线与抛物线交于两点，点是下方抛物线上的一点．过点作，垂足为．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)当取得最大值时，求点的坐标和的最大值； (3)将抛物线向右平移3个单位得到新抛物线，为原抛物线对称轴上一点；点为新抛物线上一点．当(2)中最大时，直接写出所有使得以点为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来． 【答案】(1) (2)，最大值为 (3)点的坐标为或或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）过点P作轴交于点，由直线的表达式知，其与轴正半轴的夹角为，则，则即可求解； （3）当是对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解，当或为对角线时，同理可解，即可得到答案． 【详解】（1）解：将，代入二次函数得， ， 解得：， 二次函数的解析式为：； （2）解：过点P作轴交于点，    由直线的表达式知，其与轴正半轴的夹角为，则，则， 设点，则， 则， 的最大值为，此时点的坐标为； （3）解：平移后的抛物线的表达式为：， 设点，， 当是对角线时，由中点坐标公式可得： ， 解得：， 即点的坐标为， 当或为对角线时，由中点坐标公式得： 或， 解得：或， 即点的坐标为或， 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题为二次函数综合题，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、平行四边形的性质、解直角三角形等，有一定综合性，难度适中． 65．（23-24九年级下·重庆·期中）已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，点为直线上方抛物线上的一点，连接，过点作轴交于点，再过点作交轴于点，求的最大值以及此时点的坐标； (3)如图2，将该抛物线沿着射线方向平移，使平移后的抛物线经过（2）中取得最大值时的点．点是抛物线上的一个定点，点是直线上的动点，连接，若的面积是一个定值，求出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时点的坐标为 (3)或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）由，对称轴为直线，可得，待定系数法求直线的解析式为，由勾股定理得，，则，如图1，作轴于，则，，，，设，则，，由，，可知当时，最大，，然后求解作答即可； （3）由题意知，由该抛物线沿着射线方向平移，设该抛物线沿着轴正方向平移个单位，抛物线沿着轴负方向平移个单位，则平移后的解析式为，将代入，可求满足要求的解，则平移后的解析式为，设到的距离为，则，由的面积是一个定值，可知为定值，即在过点且平行于的直线上运动，则直线的解析式为，联立，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：将，代入得，， 解得，， ∴； （2）解：∵，对称轴为直线， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 由勾股定理得，， ∴， 如图1，作轴于， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴当时，最大，值为， ∴， ∴的最大值为，此时点的坐标为； （3）解：由题意知， ∵该抛物线沿着射线方向平移， 设该抛物线沿着轴正方向平移个单位，抛物线沿着轴负方向平移个单位， ∴平移后的解析式为， 将代入得，， 解得，或（舍去）， ∴平移后的解析式为， 设到的距离为， ∴， ∵的面积是一个定值， ∴为定值，即在过点且平行于的直线上运动， ∴直线的解析式为， 联立， 解得，或， ∴或． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，平行线的性质，勾股定理，正弦，一次函数解析式，二次函数的综合，二次函数的最值，二次函数图象的平移等知识．熟练掌握二次函数解析式，平行线的性质，勾股定理，正弦，一次函数解析式，二次函数的综合，二次函数的最值，二次函数图象的平移是解题的关键． 66．（2021·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x＋c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，直线AC与y轴交于点C，与抛物线交于点D，OA＝OC． （1）求该抛物线与直线AC的解析式； （2）若点E是x轴下方抛物线上一动点，连接AE、CE．求△ACE面积的最大值及此时点E的坐标； （3）将原抛物线沿射线AD方向平移2个单位长度，得到新抛物线：y1＝a1x2＋b1x＋c1（a≠0），新抛物线与原抛物线交于点F，在直线AD上是否存在点P，使以点P、D、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）面积的最大值为，此时点的坐标为；（3）存在，点的坐标为，，， 【分析】（1）用待定系数法即可求解抛物线与直线AC的解析式； （2）过点作，交直线AD于点M,交轴于； 过点作于.，用点E的横坐标t分别表示线段ME的长，得出△ACE面积关于t的函数解析式，再利用二次函数的性质求出△ACE面积的最大值及点E的坐标； （3）先求出点D的坐标及线段BD的长，再按BD为腰或底边分别求出相应的情况下点P的坐标． 【详解】解：（1） 与轴交于、两点, ∴. ∴ . ∴. 设直线为：， ， ∴， ∴， ∴， ∴. ∴抛物线的解析式为：，直线的解析式：. （2）过点作，交直线AD于点M,交轴于； 过点作于. , ∴四边形是矩形. ∴. 设点E的坐标为：，则M的坐标为：, ∴ . ∴ . ∴ . ，, ∴当时，. ∴. ∴点的坐标为：. ∴当时，面积的最大值为，此时点的坐标为：． （3）存在．如图2，在直线AC上取一点A′，使它的横坐标为1，则 ，， ∴点 即为抛物线平移后点A的对应点， 可知抛物线向右、向上各平移2个单位长度， ∵， ∴平移后的抛物线为，其顶点坐标为（3，0）； ∵原抛物线与新抛物线都经过点B（3，0）， ∴点B即为新抛物线与原抛物线的交点F． 作 轴于点K，则 ， ， ∴ ， ∴ ． ∵， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴． ∴． ①当 时，则点 与点D关于点A′对称， ∴ ； ②当时， ∵， ∴， ∴ ∴ ． ③当时, ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴． ④当时,则， ∴ ∴， 点的坐标为：，，,． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质、用待定系数法求函数解析式、求函数图象的交点坐标、等腰三角形存在性问题，解题时应注意数形结合、分类讨论等数学思想的运用，难度较大，属于中考压轴题． 67．（2023·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P为线段下方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点E，F为上一点，且，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，得到新抛物线，新抛物线和原抛物线交于点，与y轴交于点Q，点M是新抛物线对称轴上的一点，若是以为腰的等腰三角形，写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为； (2)的最大值为，此时点P的坐标是； (3)点的坐标为或或． 【分析】 （1）利用待定系数法把，代入即可求出、的值，即可求得抛物线的函数表达式； （2）求出，可得，，，直线函数表达式为，设，，证明，根据相似三角形对应变成比例列出比例式可求得，最后由二次函数的性质即可得到答案； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于向右平移个单位，再向上平移个单位，设新抛物线函数表达式为，可得，求出的值得新抛物线函数表达式为中，设，可得 ，故，，，分两种情况， ①若为腰， ②若为腰， 解方程求出的值，可得答案． 【详解】（1）解：把，代入得： 解得： 抛物线的函数表达式为； （2）如图：    在中，令，得， ， ，， ，，， 设直线函数表达式为， 将，代入得： ， 解得：， 直线函数表达式为， 设， 点在直线上，令，则， 得， 则， ， 轴， ， ， ， ，即， ， ， 当时，取最大值，最大值为， 当时，， ； （3）直线函数表达式为， 将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于向右平移个单位，再向上平移个单位， 新抛物线函数表达式为 新抛物线和原抛物线交于点 解得（舍去）或， 新抛物线解析式为 新抛物线对称轴是直线 点M是新抛物线对称轴上的一点， 设 在中，令，得 ， ，， ①若为腰，则 解得 ②若为腰，则 解得或 或 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，利用待定系数法求解析式，三角形相似的判定与性质，等腰三角形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 68．（23-24九年级下·重庆南川·期中）已知抛物线与x轴交于点B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A．    (1)判断的形状，并说明理由． (2)设点是抛物线在第一象限部分上的点，过点P作轴于H，交于点Q，设四边形的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标和的面积； (3)在（2）的条件下，点N是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点M的坐标． 【答案】(1)直角三角形，见解析 (2)，，1 (3)存在，点M坐标为或或或或 【分析】（1）根据二次函数解析式求出点A，B，C的坐标，表示出，，的长度，利用勾股定理逆定理可得结论； （2）根据A，C的坐标可得出直线的解析式，由点P的坐标表示出点Q的坐标，根据可表示出四边形的面积，利用二次函数的性质可得结论； （3）由菱形的对称性可知，若以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，则是等腰三角形，分三种情况讨论，列出方程解之即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： x轴交于点B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A． 当时，， 当时，， 则或， ，，， ，，， ，，， ，即， 是直角三角形，且． （2）设直线的解析式的解析式为：， ， ， ， 解得：， 直线的解析式的解析式为：， ∵点是抛物线在第一象限部分上的点，轴， ，，， ， ， ， ， 当时，的最大值为8，此时， ，， ； （3）点M坐标为或或或或 ，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线，则可设， 由（1）（2）可知：，， ，，， 由菱形的对称性可知，若以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，则是等腰三角形，则需要分以下三种情况： ①当时，则， 解得， ∴或； ②当时，则， 解得， ∴或； ③当时，则， 解得：， ∴． 综上，存在点M，使得以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，点坐标为或或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，菱形的性质及勾股定理的逆定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 69．（23-24九年级下·重庆开州·期中）如图1，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P为直线上方抛物线上的动点，连接，，求四边形面积的的最大值及此时P的坐标； (3)在（2）的条件下，将原抛物线沿射线方向平移个单位，点M是新抛物线与原抛物线的交点，N是平面内任意一点，若以P、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为18， (3)或或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键． （1）把，代入，求出a和b的值，即可得出函数解析式； （2）先求出，用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，则，即可得出， ，则，根据二次函数的性质，即可解答； （3）先根据题意得出平移后的抛物线的解析式为，求出，设，然后进行分类讨论：①当为平行四边形的对角线时，②当为平行四边形的对角线时，③当为平行四边形的对角线时，即可解答． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：由令， ∴， 解得：， ∴ 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，四边形的面积最大，最大值为18， 此时； （3）解：∵原抛物线沿射线方向平移个单位， ∴原抛物线沿x轴正方向平移2个单位，沿y轴正方向平移8个单位， ∴平移后的抛物线的解析式为， 联立方程组， 解得， ∴， 设， ①当为平行四边形的对角线时， ， 解得， ∴； ②当为平行四边形的对角线时， ， 解得． ∴； ③当为平行四边形的对角线时， ， 解得， ∴； 综上所述：N点坐标为或或． 70．（2023·重庆南岸·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）与x轴交于点和点B（点B在点A右侧），与y轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，点P为直线上方抛物线上的一动点，过点P作交直线于点D，过点P作轴交直线于点E．求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，点N为平移后的抛物线上的一点，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的解答过程． 【答案】(1) (2)的最大值为， (3)或或 【分析】 （1）待定系数法求解即可； （2）令，求得，则，，，证明，则，即，解得，，待定系数法求直线的解析式为，设，则，，，根据二次函数的性质进行求最值以及点坐标即可； （3）由题意知，，，将抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于向右平移2个单位并向上平移2个单位；即平移后的抛物线解析式为，则对称轴为直线，设，，由题意知，以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形，分为边和为对角线两种情况求解：①当为边时，如图1，当四边形是平行四边形，当四边形是平行四边形，根据对角线的中点坐标相同求解即可；②当为对角线时，如图2，当四边形是平行四边形，根据对角线的中点坐标相同求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得，，解得， ∴， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：当，则，整理得， 解得或， ∴， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即，解得， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，，解得， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴时，有最大值， ∴的最大值为，； （3）解：， ∵， ∴， 将抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于向右平移2个单位并向上平移2个单位； ∴平移后的抛物线解析式为，即， ∴对称轴为直线， 设，， 由题意知，以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形，分为边和为对角线两种情况求解： ①当为边时，如图1， 当四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，与的中点坐标相同， ∴，解得， ∴； 当四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，与的中点坐标相同， ∴，解得， ∴； ②当为对角线时，如图2， 当四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可知，与的中点坐标相同， ∴，解得， ∴； 综上所述，以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，点坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数图象的平移，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数与平行四边形综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 71．（2022·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，点P是反比例函数的图象上一动点，过点P作直线轴交直线于点Q，设点P的横坐标为t，且，连接 (1)求k，b的值. (2)当的面积为3时，求点P的坐标. (3)设的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标. 【答案】(1) (2) (3)或， 【分析】（1）将点B代入求得进而求得将A点坐标代入求得n； （2）表示出的长，根据求得进而得出点P的坐标； （3）分为是边，点D在x轴正半轴上和在负半轴上，以及为对角线．当为边时，点D在x轴正半轴上时，过点C作轴，作，证明，进而得出，从而求得t的值，另外两种情况类似方法求得． 【详解】（1）∵直线过点， ∴， ∴， ∵直线过点， ∴， ∴， ∵过点， ∴； （2）∵点P的横坐标为t， ∴， ∴ ∴， ∵， 又， ∴， ∴， ∴； （3）如图1， ∵，， ∴ 当是边，点D在x轴正半轴上， 作于F，作于G， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（舍去）， ∴ 如图2， 当点D在x轴的负半轴上时， 由上知：， ∴， ∴， 当是对角线时， 当是对角线时，点D在x轴负半轴上时， 可得：， ∴， ∴， ∴， 如图4， ， ∴， ∴，（舍去）， 当时，， ∴， 综上所述： 或，. 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，找出列方程的等量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$