精品解析：2025年福建省泉州市泉州实验中学中考数学模拟阶段考（三）

2025届初三下数学阶段考（三） 一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列四个数中，无理数是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、1是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； B、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； C、0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； D、是无限不循环小数，是无理数，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 围棋在古代被列为“琴棋书画”四大文化之一，蕴含着中华文化的丰富内涵，如图所示是一个无盖的围棋罐，其主视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断几何体的三视图，从正面看物体所得到的视图是主视图，熟知定义是解题的关键． 【详解】解：这个立体图形的主视图为： 故选：B． 3. 某公司运用技术，下载一个的文件大约需要秒，将数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 4. 下图是描述某校篮球队员年龄的条形图，则这个篮球队员年龄的众数和中位数分别为（ ） A. 14，15 B. 15，14 C. 15，15 D. 15， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数，掌握中位数、众数的计算方法是正确判断的前提．根据中位数、众数的定义进行计算即可求解． 【详解】解：这20名篮球队员年龄出现次数最多的是15岁，共出现8次，因此众数是15岁； 将这20名篮球队员的年龄从小到大排列，处在中间位置的2个数是14岁和15岁，因此中位数是岁． 故选：D． 5. 如图①，天窗打开后，天窗边缘 与窗框 夹角为，它的示意图如图②所示．若 长为米，则窗角到窗框 的距离的大小为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角函数关系在直角三角形中的应用．熟练掌握直角三角形中得边角关系是解题得关键，在中，由三角函数关系即可得解． 【详解】解：在中， ∵， ∴米， 故选：D． 6. 一次函数 的图象一定经过（　　） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，先对进行分别讨论，再结合，得出一次函数的图象一定经过第一、二象限，即可作答． 【详解】解：当时， ∵， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限； 当时， ∵， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限． 综上所述，一次函数的图象一定经过第一、二象限． 故选：A． 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集． 分别求出两不等式的解集，进而求出不等式组的解集，最后在数轴上表示即可． 【详解】解：解不等式得： 解不等式得： 解得， 在数轴上表示为： 故选：A． 8. 如图，是 的两条切线，切点分别为交 于点．下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据切线长定理和半径相等，得到是线段 的中垂线，逐一进行判断即可． 【详解】解：连接， 则：， ∵是 的两条切线， ∴ ， ∴是线段 的中垂线， ∴， ∴ ； ∴， 条件不足，无法得到， ∴； 综上，只有选项D错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查切线长定理：从圆外一点，引圆的两条切线，则该点到两个切点间的距离相等． 9. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据： ）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程． 设每天遗忘的百分比为 ，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为 ， 则， 解得：． 故选：C． 10. 已知抛物线过点，，，，其中，，若，则下列式了一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，可得当时， 随 增大而减小，当时， 随 增大而增大，由，，，可知，进而可判断答案． 【详解】解：∵，，，，， ∴抛物线的对称轴为：， 则当时， 随 增大而减小，当时， 随 增大而增大， ∵，，， ∴， ∵，的正负不能确定， ∴的值可能为负， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键． 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 比较大小：___5（选填“ ”、“ ”、“ ” ）． 【答案】＜ 【解析】 【分析】先把两数值化成带根号的形式，再根据实数的大小比较方法即可求解． 【详解】解：∵，， 而24＜25， ∴＜5． 故答案为：＜． 【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，当一个带根号的无理数和一个有理数进行比较时，首选的方法就是把它们还原成带根号的形式，然后比较被开方数即可解决问题． 12. 一个袋子中有5个红球和4个黑球，它们除了颜色外都相同.随机从中摸一个球，恰好摸到黑球的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，根据概率公式先求出总的球数，再进行计算即可． 【详解】解：∵袋子里装有5个红球和4个黑球，共9个球， ∴随机从中摸出一个球，摸到黑球的概率是， 故答案为： 13. 已知，则的值是__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据分式的减法法则将已知等式进行变形，然后利用整体思想代入求解． 【详解】∵， ∴， 即， ∴＝2×3＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查分式的减法运算，掌握异分母分式减法的运算法则，利用整体思想解题是关键． 14. 若从一多边形的一个顶点出发，最多可引 条对角线，则它是______边形． 【答案】七 【解析】 【分析】本题考查了多边形边数与对角线的关系，设多边形有 条边，根据 边形从一个顶点最多可以引条对角线，然后列方程求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设多边形有 条边，根据 边形从一个顶点最多可以引条对角线， 则， 解得：， 故答案为：七． 15. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为，交 轴于点．若 的面积为5，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据图形的面积求值．设点C的坐标为，进而得到，，根据 的面积为5，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵点C在反比例函数上， ∴设点C的坐标为， ∵轴，， ∴，， ∴， ∵ 的面积为5， ∴， 解得： 故答案为：． 16. 由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中 的长应是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据裁剪和拼接的线段关系可知，，在中应用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵地毯平均分成了3份， ∴每一份的边长为， ∴， 在中，根据勾股定理可得， 根据裁剪可知， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，根据裁剪找出对应面积和线段的关系是解题的关键． 三．解答题（共9小题，共86分） 17. 计算： 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先化简正弦值、负整数指数幂、绝对值，零次幂，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 18. 如图，在菱形 中，E、F分别是 和 上的点，且 ．求证：． 【答案】 证明：∵四边形 是菱形， ∴， ∵ ， ∴，即 ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，通过菱形的性质证明，从而证明得到是解题的关键． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，平方差公式，熟练掌握分式的化简求值计算法则是解题的关键； 先将原式化简，再将代入，即可求解； 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 20. 近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了142亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进7件A种娃娃和购进10件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多3元． （1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元? （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1600元的资金购进A、B两种娃娃共200个，那么最多购买A种娃娃多少个? 【答案】（1）每个A种娃娃进价10元，每个B种娃娃进价7元 （2）最多购买A种娃娃66个 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程和一元一次不等式解实际应用，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题意，设每个B种娃娃的进价是x元，则每个A种娃娃的进价是元，根据题意列出一元一次方程即可得到答案； （2）设购买A种娃娃m个，则购买B种娃娃个，根据题意列出一元一次不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每个B种娃娃的进价是x元，则每个A种娃娃的进价是元． 由题意可得， 解得， 则． 即每个A种娃娃进价10元，每个B种娃娃进价7元； 【小问2详解】 解：设购买A种娃娃m个，则购买B种娃娃个． ， 解得， 因为m为整数，所以m最大为66， 即最多购买A种娃娃66个． 21. 如图， 的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，连结OC、AC、BD． （1）求证：； （2）若，，求弧AD的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）弧AD的长为 【解析】 【分析】（1）利用半径相等，构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质，同弧上的圆周角相等，证明即可； （2）连结OD，利用三角函数求得圆心角的度数，后利用胡长庚公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连结OD，设 的半径为r， ∵ 的直径AB垂直于弦CD，， ∴，， 在中，， 即， 解得，， ∵， ∴， ∴， ∴弧AD的长． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，三角函数，弧长公式，熟练掌握三角函数，弧长公式是解题的关键． 22. 我们约定：若关于 的二次函数与同时满足，，则称函数与函数互为“必胜”函数．根据该约定，解答下列问题： （1）若关于 的二次函数与互为“必胜”函数，求的值； （2）对于任意非零实数，点与点始终在关于 的函数的图象上运动，函数与互为“必胜”函数． 求函数的图象的对称轴； 函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由． 【答案】（1）k的值为 ，m的值为3，n的值为2 （2）①；②是，， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质以及新定义，理解新定义是解题的关键． （1）根据非负性及新定义即可得出答案； （2）①根据新定义求出解析式，再求出对称轴即可； ②将解析式变形令求解即可得出答案． 【小问1详解】 由题意可知，，，， ∴，，． k的值为 ，m的值为3，n的值为2． 【小问2详解】 ① 点与点始终在关于 的函数的图象上运动， 对称轴为， ， ， 对称轴为， 函数的图象的对称轴为； ②， 令， 解得：，， 过定点，． 23. 如图，在 中，点 从点出发沿 方向运动，到达点时停止运动，连接 ，点关于直线 的对称点为，连接，． （1）点 位于何处时，？请用直尺和圆规在图 中作出此时的（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，求点 运动过程中，点到直线 距离的最大值． 【答案】（1） 如图所示，即为所求 （2） 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，点与圆的位置关系，解直角三角形，熟练掌握以上内容是解题关键． （1）作 的垂直平分线，可得，连接，，可得由对称可知可得，所以 ，,即可得出，即可得出 （2）作 于点 ，从而由条件可知△为等腰直角三角形，利用三角函数可求，，，再推断点的运动轨迹为圆弧，从而可得当直线 于点 时，此时点到直线 距离 最大．根据，故，故． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作 于点 ，如图1， ，则△为等腰直角三角形， ，， ，， 故， 由题意知，故点的运动轨迹为圆弧，如图2所示： 当直线 于点 时，此时点到直线 距离 最大． ，， ， 故， 故答案为：． 24. ［综合探究］运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点 的坐标； 【探究二】研究心形叶片的宽度： （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与 轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线 于点 ．求叶片此处的宽度； 【探究三】探究幼苗叶片的长度 （3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．已知直线 （点 为叶尖）与水平线的夹角为 ，求幼苗叶片的长度 ． 【答案】（1），顶点 的坐标为；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）把原点代入解析式，求得值，将抛物线化成顶点式即可确定顶点坐标； （2）先求出点的坐标为，再求出的解析式为：．然后求出点 的坐标为，最后求出结果即可； （3）作抛物线的对称轴于点 ，则，设点 的横坐标为 ，得出，根据点 在抛物线上，列出方程，得出点 的坐标为，最后求出 即可． 【详解】解：（1） 抛物线经过原点， ． 解得：． 抛物线的解析式为：． 顶点 的坐标为； （2）取，， 解得：，， 点的坐标为， 心形叶片的对称轴是直线，点，是叶片上的一对对称点， 设的解析式为：． 经过点， ． 解得： ． 的解析式为：． ， 解得： 点 的坐标为． ． ． （3）作抛物线的对称轴于点 ，则， 直线 与水平线的夹角为 ， ． 设点 的横坐标为 ， 抛物线的对称轴为直线， ． 顶点 的坐标为， 点 的纵坐标为． 点 在抛物线上， ． 解得：． 点 的坐标为． ． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，抛物线与坐标轴的交点，对称思想，两点间的距离公式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 25. 已知：在正方形 中，M在 上，点N在上，把正方形 沿 翻折，使点B落在边 上的点E处，点C的对应点为P，交于F． （1）连 ，求证： 平分； （2）过点B作交 于点G，连接 交 与点H． ①求证：； ②若，求的值． 【答案】（1） 证明：正方形 中， ∴ 由对称性得 ∴ ∴ 平分 （2）①如图1，过点B作交 于点Q，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ② 【解析】 【分析】（1）正方形的性质，推出，对称性得到 ，进而得到，即可得证； （2）①过点B作交 于点Q，则，证明，得到，再证明，得到，进而推出，根据对称，得到，进而求出即可；②证明，得到，证明，得到，过点 作，交 于点 ，证明，得到，推出，设，则，，得到，进一步求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②如图2，∵翻折， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 由①可知：， 过点 作，交 于点 ，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 设，则， ∴ ∴． 【点睛】本题考查正方形与折叠，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等和相似三角形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届初三下数学阶段考（三） 一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列四个数中，无理数是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2. 围棋在古代被列为“琴棋书画”四大文化之一，蕴含着中华文化的丰富内涵，如图所示是一个无盖的围棋罐，其主视图为（　　） A. B. C. D. 3. 某公司运用技术，下载一个的文件大约需要秒，将数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下图是描述某校篮球队员年龄的条形图，则这个篮球队员年龄的众数和中位数分别为（ ） A. 14，15 B. 15，14 C. 15，15 D. 15， 5. 如图①，天窗打开后，天窗边缘 与窗框 夹角为，它的示意图如图②所示．若 长为 米，则窗角 到窗框 的距离 的大小为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 一次函数 的图象一定经过（　　） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是 的两条切线，切点分别为交 于点 ．下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线过点，，，，其中，，若，则下列式了一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 比较大小：___5（选填“ ”、“ ”、“ ” ）． 12. 一个袋子中有5个红球和4个黑球，它们除了颜色外都相同.随机从中摸一个球，恰好摸到黑球的概率是_____． 13. 已知，则的值是__________． 14. 若从一多边形的一个顶点出发，最多可引 条对角线，则它是______边形． 15. 如图，点 在反比例函数的图象上，点 在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为 ，交 轴于点 ．若 的面积为5，则__________． 16. 由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中 的长应是______． 三．解答题（共9小题，共86分） 17. 计算： 18. 如图，在菱形 中，E、F分别是 和 上的点，且．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了142亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进7件A种娃娃和购进10件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多3元． （1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元? （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1600元的资金购进A、B两种娃娃共200个，那么最多购买A种娃娃多少个? 21. 如图， 的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，连结OC、AC、BD． （1）求证：； （2）若，，求弧AD的长． 22. 我们约定：若关于 的二次函数与同时满足，，则称函数与函数互为“必胜”函数．根据该约定，解答下列问题： （1）若关于 的二次函数与互为“必胜”函数，求的值； （2）对于任意非零实数，点与点始终在关于 的函数的图象上运动，函数与互为“必胜”函数． 求函数的图象的对称轴； 函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由． 23. 如图 ，在 中，点 从点 出发沿 方向运动，到达点 时停止运动，连接 ，点 关于直线 的对称点为，连接，． （1）点 位于何处时，？请用直尺和圆规在图 中作出此时的（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，求点 运动过程中，点到直线 距离的最大值． 24. ［综合探究］运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点 的坐标； 【探究二】研究心形叶片的宽度： （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于 ， 两点，抛物线与 轴交于另一点 ，点 ，是叶片上的一对对称点，交直线 于点 ．求叶片此处的宽度； 【探究三】探究幼苗叶片的长度 （3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．已知直线 （点 为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度 ． 25. 已知：在正方形 中，M在 上，点N在 上，把正方形 沿 翻折，使点B落在边 上的点E处，点C的对应点为P，交 于F． （1）连 ，求证： 平分； （2）过点B作交 于点G，连接 交 与点H． ①求证：； ②若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $