精品解析：辽宁省鞍山市岫岩满族自治县2024-2025学年九年级下学期4月月考数学试题

2024～2025下学期第五周阶段检测 九年级数学 （考试时间：120分钟；试卷满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，物体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形． 【详解】解：从物体上面看，是横行并排的三个正方形， 故选D． 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体上面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项． 2. 液体沸腾时的温度叫做沸点，下表是几种物质在标准大气压下的沸点，则沸点最低的物质是（ ） 物质 酒精 液态甲醛 液态一氧化碳 花生油 沸点 A. 液态一氧化碳 B. 液态甲醛 C. 酒精 D. 花生油 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，根据有理数比较大小的办法，正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴沸点最低的液体是液态一氧化碳． 故选A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据积的乘方运算法则、合并同类项法则、完全平方公式、平方差公式，逐一计算各选项即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 4. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 绿色饮品 B. 绿色食品 C. 有机食品 D. 速冻食品 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念分别判断选项即可得出答案． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称图形以及中心对称图形的判断，熟练掌握两种特殊图形的概念是解题关键，做题时注意看清楚题目要选的是哪种图形. 5. 绿色出行，健康出行，你我同行．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图是其示意图，其中，都与地面平行，，．已知与平行，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行公理，平行线的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 首先根据平行公理可证得，于是根据平行线的性质可求得，由三角形的内角和定理可求得，最后根据平行线的性质即可求得的度数 【详解】解：，都与地面平行， ， ， ， ， 又， ， 故选：． 6. 密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示．则下列说法正确的是（ ） A. 函数解析式为 B. 容器内气体的质量是 C. 当时， D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题关键．利用待定系数法求出函数解析式为，再逐项求解即可． 【详解】解：密度与体积是反比例函数关系， 设， 由图象可知，反比例函数图象可知，当时，， ， ， 函数解析式为，A选项正确； 质量密度体积， 容器内气体的质量，B选项错误； 当时，， 解得：，C选项错误； 当时，， 解得：，D选项错误， 故选：A． 7. 在某校“人工智能与人类未来”的演讲比赛中，前6名同学的成绩（分）依次为：98、96、96、96、95、93，这组数据的众数、中位数依次为（ ） A 98、93 B. 96、96 C. 96、95 D. 95，96 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数，众数的定义，掌握相关定义是解题的关键．根据众数，中位数的定义求解． 【详解】解：将各数从大到小排列后得：98、96、96、96、95、93，其中96出现次数最多，众数为96，处于中间的两个数为96、96，中位数为． 故选：B． 8. 现有甲，乙两种机器人都被用来搬运某体育馆室内装潢材料甲型机器人比乙型机器人每小时少搬运30千克，甲型机器人搬运600千克所用的时间与乙型机器人搬运800千克所用的时间相同，两种机器人每小时分别搬运多少千克？设甲型机器人每小时搬运x千克，根据题意，可列方程为(　　) A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ 【答案】A 【解析】 【分析】设甲型机器人每小时搬运x千克，则乙型机器人每小时搬运（x+30）千克，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲型机器人搬运600千克所用的时间与乙型机器人搬运800千克所用的时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：设甲型机器人每小时搬运x千克，则乙型机器人每小时搬运（x+30）千克， 依题意，得：． 故选A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 9. 如图，为等边三角形，BO为中线，延长BA至D，使，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由△ABC为等边三角形，可求出∠BOA=90°，由△ADO是等腰三角形求出∠ADO=∠AOD=30°，即可求出∠BOD的度数． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形，BO为中线， ∴∠BOA＝90°，∠BAC＝60° ∴∠CAD＝180°﹣∠BAC＝180°﹣60°＝120°， ∵AD＝AO， ∴∠ADO=∠AOD=30°， ∴∠BOD＝∠BOA+∠AOD＝90°+30°＝120°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是熟记等边三角形的性质及等腰三角形的性质． 10. 如图，在矩形中，，，是边上一动点，是对角线上一动点，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等．依据题意，延长到，使，连接，，由四边形是矩形，从而，，，，先证，进而，故，所以当点、、共线时，最小，最小值为，最后利用勾股定理进行计算可以得解． 【详解】解：延长到，使，连接，， 四边形是矩形， ∴，，，． ． ，， ． ， ， 当点、、共线时，最小，最小值为． 最小值为． ， ． 在中，，， ． 最小值为4． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在十四届全国人大三次会议上，李强总理所做的政府工作报告指出，国内生产总值达到134.9万亿元，数据134.9万亿用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据134.9万亿用科学记数法表示为， 故答案为：． 12. 如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点：④过点作射线交于点．若与四边形的面积比为，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据作图可得，然后得出，可证明，进而根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴， ∴， ∵与四边形的面积比为， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的性质与判定是解题的关键． 13. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，．分别以点A，点C为圆心，AO，CO长为半径画弧交AB，AD，CD，CB于点E，F，G，H，则图中阴影部分面积为______．（结果保留根号和） 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，∠AB0=∠ABC=30°，∠BAD=∠BCD=60°，根据直角三角形的性质求出AC、BD，再根据扇形面积公式、菱形面积公式计算即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠BAO=∠DAB=30°，∠DAB=∠DCB=60°， ∴BO=AB=2， 由勾股定理得，， ∴AC=4，BD=4， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为． 【点睛】本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键． 14. 如图，二次函数的图象与轴交于点、两点，与轴交于点，对称轴为直线，点的坐标为，则的长是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．观察图象得：二次函数的对称轴为直线，可得A、B两点关于直线对称，即可求解． 【详解】解：观察图象得：二次函数的对称轴为直线， ∵二次函数的图象与x轴交于A、B两点， ∴A、B两点关于直线对称， ∵点的坐标为， ∴． 故答案为：4 15. 如图，正方形的边长为 5，将正方形绕点 A 旋转得到正方形，连接，，当为直角三角形时，的长是_____________． 【答案】5或或 【解析】 【分析】分三种情况讨论，由正方形的性质和旋转的性质可得，由勾股定理可求解． 【详解】解：如图，当时，即点与点重合， ； 如图，当时，过点作于， 将正方形绕点旋转得到正方形， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ； 如图，当时，则点在直线上， ， 综上所述：的长5或或． 故答案为：5或或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理及正方形的性质，分类讨论是本题的关键． 三、解答题（共75分，解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，分式的混合运算； （1）先计算负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，零次幂，化简二次根式，再合并即可； （2）先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算即可． 【详解】解：（1）原式， （2）原式； 17. 新修订的《中华人民共和国体育法》于2023年1月1日施行，其中将青少年和学校体育置于重要地位．学校为鼓励学生多锻炼，促进学生健康成长，准备购进排球和足球两种体育器材．已知购买3个排球和2个足球需要208元，购买2个排球和5个足球需要234元． （1）每个排球和每个足球的价格各是多少元？ （2）如果该学校计划购买足球的个数比购买排球的个数的2倍多20个，且用于购买排球和足球的总经费不超过5720元，那么该学校最多可以购买多少个足球？ 【答案】（1）每个排球和每个足球的售价分别为52元，26元 （2）120个 【解析】 【分析】（1）设每个排球和每个足球的售价分别为x元、y元，根据等量关系“购买3个排球和2个足球需要208元” 和“购买2个排球和5个足球需要234元”列二元一次方程组求解即可； （2）设排球购买a个，则足球购买个，根据“购买排球和足球的总经费不超过5720元”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每个排球和每个足球的售价分别为x元，y元， 根据题意得： 解得： ． 答：每个排球和每个足球的售价分别为52元，26元． 【小问2详解】 解：设排球购买a个，则足球购买个， 根据题意得：， 整理得：，解得：， ∴． 答：最多可购买120个足球． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、不等式的应用等知识点，根据题意正确列出方程组和不等式是解答本题的关键． 18. 打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据图中信息，请回答下列问题； （1）条形图中的________，________，文学类书籍对应扇形圆心角等于________度； （2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数； （3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 【答案】（1）18，6， （2）480人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据选择“E：其他类”的人数及比例求出总人数，总人数乘以A占的比例即为m，总人数减去A，B，C ，E的人数即为n，360度乘以B占的比例即为文学类书籍对应扇形圆心角； （2）利用样本估计总体思想求解； （3）通过列表或画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，再利用概率公式计算． 【小问1详解】 解：参与调查的总人数为：（人）， ， ， 文学类书籍对应扇形圆心角， 故答案为：18，6，； 【小问2详解】 解：（人）， 因此估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数为480人； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由图可知，共有9种等可能的情况，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的情况有2种， 因此甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为：． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体、利用画树状图或者列表法求概率等，解题的关键是将条形统计图与扇形统计图的信息进行关联，掌握画树状图或者列表法求概率的原理． 19. 某果园今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市15天全部售完，该果园果农对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x天时，日销售量P（单位：千克）与x之间的函数关系式为，草莓单价y（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示． （1）当时，求y与x之间的函数关系式； （2）设日销售额为元，当时，求的最大值． 【答案】（1） （2）最大值为800元 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质． （1）由题意可得当时，；当时，设函数解析式为，把点，代入即可求解； （2）当时，日销售额为．当时，日销售额为，根据二次函数图象及性质即可解答． 【小问1详解】 解：由题意，当时，； 当时，设函数解析式为， ∵该图象过， ， 该函数解析式为． 综上，当时，． 【小问2详解】 解：由题意，当时，单价为，此时销量， 日销售额为． 当时，销量，单价为， ∴日销售额为， ∵， 当时，W随x的增大而增大． 当时，取最大值，最大值为． 综上，当时，取最大值，最大值为800元． 20. 钓鱼岛位于我国东海，是我国自古以来的固有领土，有“花鸟岛”之美称．如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．请问海监船继续航行多少海里与钓鱼岛A的距离最近？ 【答案】50海里 【解析】 【分析】过点A作AD⊥BC于D，根据题意得∠ABC=30°，∠ACD=60°，∠BAC =30°，可证CA=CB，由CB=50×2=100(海里)，可求CA=100(海里)，在直角△ADC中，CD=AC=100×=50(海里)即可． 【详解】解：过点A作AD⊥BC于D， 根据题意得∠ABC=90°-60°=30°， ∴∠ACD=90°-30°=60°， ∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=30°， ∴CA=CB， ∵CB=50×2=100(海里)， ∴CA=100(海里)， 在直角△ADC中，∠ACD=60°， ∴CD=AC=100×=50(海里)． 答：船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近． 【点睛】本题考查特殊角三角函数在解直角三角形中的应用，等腰三角形的判定与性质，掌握三角函数的定义，关键是作出正确的图形． 21. 如图，内接于，，过点A作，交的直径的延长线于点E，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求和的长． 【答案】（1）见解析 （2），． 【解析】 【分析】（1）延长交于点F，连接，根据等边对等角可得，，，，继而可得是的角平分线，根据等边三角形“三线合一”的性质可得，由平行线的性质可得，继而根据切线判定定理即可求证结论； （2）连接，先求得，利用圆周角定理结合勾股定理求得直径的长，利用垂径定理结合勾股定理得到，代入数据计算求得，利用勾股定理可求得的长，证明，利用相似三角形的性质计算即可求得． 【小问1详解】 证明：延长交于点F，连接， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即是的角平分线， ∵， ∴，且平分线段， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， 设， ∴， ∴， 解得，即， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵是的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 22. 将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． （1）填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______； （2）若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图②，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1） （2）①；；② 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出结合勾股定理，即可作答． （2）①由折叠得，，再证明是等边三角形，运用线段的和差关系列式化简，，考虑当与点重合时，和当与点B重合时，分别作图，得出的取值范围，即可作答． ②根据①的结论，根据解直角三角形的性质得出，再分别以时，时，，分别作图，运用数形结合思路列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：如图：过点C作 ∵四边形是平行四边形，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：， 【小问2详解】 解：①∵过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴； 当与点重合时， 此时与交点为E与A重合， 如图：当与点B重合时， 此时与的交点为E与B重合， ∴的取值范围为； ②如图：过点C作 由（1）得出， ∴， ∴ 当时， ∴，开口向上，对称轴直线 ∴在时，随着的增大而增大 ∴； 当时，如图： ∴，随着的增大而增大 ∴在时；在时； ∴当时， ∵当时，过点E作，如图： ∵由①得出是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴开口向下，在时，有最大值 ∴ ∴在时， ∴ 则在时，； 当时，如图， ∴，随着增大而减小 ∴在时，则把分别代入 得出， ∴在时， 综上： 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形的性质，折叠性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 23. 【定义】在平面直角坐标系中，对“经纬值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“经纬值”．函数图象上所有点的“经纬值”中的最大值称为函数的“最优经纬值”． 【举例】已知点在函数图象上．点的“经纬值”为；函数图象上所有点的“经纬值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优经纬值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： （1）①点的“经纬值”为 ； ②求出函数（k为常数且，）的“最优经纬值”； （2）若二次函数的顶点在直线上，且最优经纬值为8，求c的值； （3）若二次函数，当时，二次函数的最优经纬值为3，直接写出b的值． 【答案】（1）①9；②当时，“最优经纬值”为；当时，“最优经纬值”为； （2） （3）b的值为5或． 【解析】 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解最优经纬值的定义是解题的关键． （1）①根据定义直接求解即可；②根据定义先求出，分和两种情况讨论，即可求解； （2）先确定函数的解析式为，再由的最优经纬值为8，得到，即可求解； （3）先求，再分类讨论若，若，两种情况即可求解； 【小问1详解】 解：①由题意得：点的“经纬值”为， 故答案为：9； ②， ∵， 当时，的“最优经纬值”为； 当时，的“最优经纬值”为； 【小问2详解】 解：由题意得：抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵最优经纬值为8， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：， 当时，二次函数最优经纬值为3， 若，则当时，； 即：， 解得：或（舍去）； 若，则当时，； 即：， 解得（舍）或； 综上所述：b的值为5或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025下学期第五周阶段检测 九年级数学 （考试时间：120分钟；试卷满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，物体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 液体沸腾时的温度叫做沸点，下表是几种物质在标准大气压下的沸点，则沸点最低的物质是（ ） 物质 酒精 液态甲醛 液态一氧化碳 花生油 沸点 A. 液态一氧化碳 B. 液态甲醛 C. 酒精 D. 花生油 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 绿色饮品 B. 绿色食品 C. 有机食品 D. 速冻食品 5. 绿色出行，健康出行，你我同行．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图是其示意图，其中，都与地面平行，，．已知与平行，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 密闭容器内有一定质量气体，当容器的体积（单位：变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示．则下列说法正确的是（ ） A. 函数解析式为 B. 容器内气体质量是 C. 当时， D. 当时， 7. 在某校“人工智能与人类未来”的演讲比赛中，前6名同学的成绩（分）依次为：98、96、96、96、95、93，这组数据的众数、中位数依次为（ ） A. 98、93 B. 96、96 C. 96、95 D. 95，96 8. 现有甲，乙两种机器人都被用来搬运某体育馆室内装潢材料甲型机器人比乙型机器人每小时少搬运30千克，甲型机器人搬运600千克所用的时间与乙型机器人搬运800千克所用的时间相同，两种机器人每小时分别搬运多少千克？设甲型机器人每小时搬运x千克，根据题意，可列方程为(　　) A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ 9. 如图，为等边三角形，BO为中线，延长BA至D，使，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，是边上一动点，是对角线上一动点，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在十四届全国人大三次会议上，李强总理所做的政府工作报告指出，国内生产总值达到134.9万亿元，数据134.9万亿用科学记数法表示为_____． 12. 如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点：④过点作射线交于点．若与四边形的面积比为，则的值为___________． 13. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，．分别以点A，点C为圆心，AO，CO长为半径画弧交AB，AD，CD，CB于点E，F，G，H，则图中阴影部分面积为______．（结果保留根号和） 14. 如图，二次函数的图象与轴交于点、两点，与轴交于点，对称轴为直线，点的坐标为，则的长是_____． 15. 如图，正方形边长为 5，将正方形绕点 A 旋转得到正方形，连接，，当为直角三角形时，的长是_____________． 三、解答题（共75分，解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： （2）计算： 17. 新修订《中华人民共和国体育法》于2023年1月1日施行，其中将青少年和学校体育置于重要地位．学校为鼓励学生多锻炼，促进学生健康成长，准备购进排球和足球两种体育器材．已知购买3个排球和2个足球需要208元，购买2个排球和5个足球需要234元． （1）每个排球和每个足球的价格各是多少元？ （2）如果该学校计划购买足球的个数比购买排球的个数的2倍多20个，且用于购买排球和足球的总经费不超过5720元，那么该学校最多可以购买多少个足球？ 18. 打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据图中信息，请回答下列问题； （1）条形图中的________，________，文学类书籍对应扇形圆心角等于________度； （2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数； （3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 19. 某果园今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市15天全部售完，该果园果农对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x天时，日销售量P（单位：千克）与x之间的函数关系式为，草莓单价y（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示． （1）当时，求y与x之间的函数关系式； （2）设日销售额为元，当时，求的最大值． 20. 钓鱼岛位于我国东海，是我国自古以来的固有领土，有“花鸟岛”之美称．如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．请问海监船继续航行多少海里与钓鱼岛A的距离最近？ 21. 如图，内接于，，过点A作，交的直径的延长线于点E，连接． （1）求证：是切线； （2）若，求和的长． 22. 将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． （1）填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______； （2）若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图②，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 23. 【定义】在平面直角坐标系中，对“经纬值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“经纬值”．函数图象上所有点的“经纬值”中的最大值称为函数的“最优经纬值”． 【举例】已知点在函数图象上．点的“经纬值”为；函数图象上所有点的“经纬值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优经纬值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： （1）①点的“经纬值”为 ； ②求出函数（k为常数且，）的“最优经纬值”； （2）若二次函数的顶点在直线上，且最优经纬值为8，求c的值； （3）若二次函数，当时，二次函数的最优经纬值为3，直接写出b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $