第九章 平面直角坐标系章末培优测试卷（必考点分类集训）-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册必考点分类集训系列（人教版2024）

第九章 平面直角坐标系章末测试卷 能力提升培优测 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．测试范围：平面直角坐标系（人教版2024）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）在平面直角坐标系中，若点A（a，b）在第二象限，则点B（ab，﹣b）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（3分）如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端A，B两点的坐标分别为（﹣1，3），（1，0），则叶柄底部点C的坐标为（　　） A．（4，0） B．（5，1） C．（1，0） D．（4，1） 3．（3分）在平面直角坐标系中，点M坐标为（﹣2，3），若MN∥x轴，且线段MN＝2，则点N坐标为（　　） A．（0，3） B．（﹣4，3） C．（0，3）或（﹣4，3） D．（3，0）或（﹣3，﹣4） 4．（3分）在平面直角坐标系中，A（3，m），B（7，m），将线段AB向下平移2m（m＞0）个单位后得到A1B1，A、B的对应点分别为A1、B1，恰好构成的四边形AA1B1B为正方形，则m的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（3分）如图，已知直线l1⊥l2，且在某平面直角坐标系中，x轴∥l1，y轴∥l2，若点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（﹣1，﹣2），则点C在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（3分）某景区有A，B，C三个景点（如图所示），以志愿者服务站O为坐标原点建立直角坐标系（以南北方向为纵轴，东西方向为横轴），则A，B，C三个景点的坐标分别为（0，3），（﹣4，1），（0，﹣3）．若要使志愿者服务站O到三个景点的距离都相等，则该志愿者服务站O需要（　　） A．向上平移2个单位长度 B．向下平移2个单位长度 C．向右平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度 7．（3分）已知点P的坐标为（a，b），其中a，b均为实数，若a，b满足3a＝2b+5，则称点P为“和谐点”．若点M（m﹣1，3m+2）是“和谐点”，则点M所在的象限是（　　） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 8．（3分）在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点A（2，﹣a﹣1），点B（2，3﹣a），点C（﹣2，﹣a﹣1），则△ABC的面积为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 9．（3分）在平面直角坐标系xOy中，A（a2+3，0），B（a2+3，a2+3），C（a2+6，b2+9），连接AB，AC，BC．若∠OAB＝∠ABC，则a2﹣b2的平方根为（　　） A．±1 B． C． D． 10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（a，a），B（a+3，a），其中a为整数．点C在线段AB上，且点C的横、纵坐标均为整数．若点C在y轴上，则满足条件的点C的坐标有（　　）个． A．3 B．4 C．6 D．7 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（2m﹣3，3m﹣1）在一、三象限角分线上，则P点坐标为 　 　 ． 12．（3分）已知点P（2﹣a，3a+6）到两坐标轴的距离相等，则a的值为 　 　 ． 13．（3分）如图，A（﹣2，0），B（0，3），C（2，4），D（3，0），点P在x轴上，直线CP平分四边形ABCD的面积，则PD的长为 　 　 ． 14．（3分）在平面直角坐标系中，已知点M（2m+5，n﹣6）在x轴上，点N（3m+9，2n+3）在y轴上，则将点A（m，n）先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到点A'，则点A'的坐标为 　 　 ． 15．（3分）在平面直角坐标系内，有一个动点P（a+1，2a﹣3），若点P到x轴的距离为m，到y轴距离为n，则m+n的最小值为 　 　 ． 16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B（0，10），线段AB向右平移4个单位到线段CD，线段CD与y轴交于点E，若图中阴影部分面积为24，则C点坐标为　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）在平面直角坐标系中，已知点P（2m﹣7，n﹣6）在第四象限，且点P到x轴和y轴的距离分别为3和1． （1）分别求m的平方根和3n的平方根． （2）设4m+3n+2的立方根为t，在同一个平面直角坐标系中还有一点Q，点Q（t，t2﹣2），请指出点Q是怎样由点P平移得到的？ 18．（8分）如图，三角形A′B′C′是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′分别对应，且这六个点都在格点（小正方形的顶点）上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题： （1）分别写出点B和点B′的坐标，并说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的． （2）若M（a﹣2，2b﹣3）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为N（2a﹣7，9﹣b），分别求a和b的值． （3）求线段AB扫过的面积． 19．（8分）五子棋和象棋、围棋一样深受广大棋友的喜爱，其规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，轮流弈子，在任一方向（横向，竖向或者是斜着的方向）上先连成五子者为胜，如图是两个五子棋爱好者甲和乙的对弈图（部分），甲执黑子先行．白①的位置是（﹣1，2），白③的位置是（0，﹣1）．若将白①向下平移2个单位，再向右平移3个单位后到白②的位置． （1）请根据题意，画出平面直角坐标系xOy并直接写出白②的坐标； （2）若甲的下一步落子可以在某个方向上连成四子，请写出符合题意的其中两个落子处的坐标． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与坐标轴相交于点A，B，点A，B的坐标分别为（a，0），（0，b），且a，b满足，在平面直角坐标系内还有一点C（﹣3，m）． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）若点C在x轴上，则△ABC的面积为 　 　 ； （3）当点C在第三象限时，求出△ABC的面积（用含m的式子表示）． 21．（8分）在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足，，那么称点T是点A和B的衍生点．例如：M（﹣2，5），N（8，﹣2），则点是点M和N的衍生点． （1）已知点D（2，0），点E（m，m﹣3），点T（x，y）是点D和E的衍生点． ①当m＝4时，点T的坐标为 　 　 ； ②一般地，点T的坐标为 　 　 （用m表示）； （2）在（1）的条件下，若直线ET交x轴于点H，当∠TDH＝90°时，求点E的坐标． 22．（10分）已知点A（a，0）、B（b，0），且|b﹣2|＝0． （1）求a、b的值． （2）在y轴的正半轴上找一点C，使得三角形ABC的面积是15，求出点C的坐标． （3）过（2）中的点C作直线MN∥x轴，在直线MN上是否存在点D，使得三角形ACD的面积是三角形ABC面积的？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，a），点B的坐标为（4，b），连接AB． （1）若a＝b＝5，求线段AB的长度； （2）若b﹣a＝3且a＞0． ①当点A在直线OB上时，求a的值； ②当点A不在直线OB上时，连接OA，OB，记△AOB的面积为S，若S＝1，求a的值． 24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，0）向右平移4个单位得到点B，将线段AB向上平移m个单位，再向右平移1个单位得到线段DC（点A与点D对应，点B与点C对应）且四边形ABCD的面积为8． （1）直接写出m的值及点B，C的坐标； （2）连接AC与y轴交于点E，求的值； （3）如图2，若点P从O点出发，以每秒n个单位的速度向上平移运动，同时点Q从B点出发，以每秒2n个单位的速度向左平移运动，当点P到达点D后停止运动．若射线CQ交y轴于点F，设△CFP与△OFQ的面积差为S，问：S是否为定值？如果S是定值，请求出它的值；如果S不是定值，请说明理由． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第九章 平面直角坐标系章末测试卷 能力提升培优测 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．测试范围：平面直角坐标系（人教版2024）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）在平面直角坐标系中，若点A（a，b）在第二象限，则点B（ab，﹣b）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据题意可得a＜0，b＞0，从而可得ab＜0，﹣b＜0，然后根据平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征，即可解答． 【解答】解：∵点A（a，b）在第二象限， ∴a＜0，b＞0， ∴ab＜0，﹣b＜0， ∴点B（ab，﹣b）所在的象限是第三象限， 故选：C． 2．（3分）如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端A，B两点的坐标分别为（﹣1，3），（1，0），则叶柄底部点C的坐标为（　　） A．（4，0） B．（5，1） C．（1，0） D．（4，1） 【分析】根据点与点的相对位置即可求解． 【解答】解：由图可知：点B向右移动3个单位长度，向上移动1个单位长度即可得到点C， 故点C的坐标为（1+3，0+1），即：（4，1）， 故选：D． 3．（3分）在平面直角坐标系中，点M坐标为（﹣2，3），若MN∥x轴，且线段MN＝2，则点N坐标为（　　） A．（0，3） B．（﹣4，3） C．（0，3）或（﹣4，3） D．（3，0）或（﹣3，﹣4） 【分析】根据点M坐标为（﹣2，3），MN∥x轴，且线段MN＝2，可以得到点N的纵坐标为3，横坐标为﹣2﹣2＝﹣4或﹣2+2＝0，然后即可写出点N的坐标． 【解答】解：∵点M坐标为（﹣2，3），MN∥x轴， ∴点N的纵坐标为3， 又∵线段MN＝2， ∴点N的横坐标为﹣2﹣2＝﹣4或﹣2+2＝0， ∴点N的坐标为（﹣4，3）或（0，3）， 故选：C． 4．（3分）在平面直角坐标系中，A（3，m），B（7，m），将线段AB向下平移2m（m＞0）个单位后得到A1B1，A、B的对应点分别为A1、B1，恰好构成的四边形AA1B1B为正方形，则m的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据平移的性质即可得到结论． 【解答】解：∵四边形AA1B1B为正方形， ∴AB＝AA1， ∴2m＝7﹣3， ∴m＝2， 故选：B． 5．（3分）如图，已知直线l1⊥l2，且在某平面直角坐标系中，x轴∥l1，y轴∥l2，若点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（﹣1，﹣2），则点C在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据题意作出平面直角坐标系，根据图象可以直接得到答案． 【解答】解：∵点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（﹣1，﹣2）， ∴第A在第一象限，点B在第三象限， ∵x轴∥l1，y轴∥l2， ∴可以建立如下坐标系， ∴点C在第四象限， 故选：D． 6．（3分）某景区有A，B，C三个景点（如图所示），以志愿者服务站O为坐标原点建立直角坐标系（以南北方向为纵轴，东西方向为横轴），则A，B，C三个景点的坐标分别为（0，3），（﹣4，1），（0，﹣3）．若要使志愿者服务站O到三个景点的距离都相等，则该志愿者服务站O需要（　　） A．向上平移2个单位长度 B．向下平移2个单位长度 C．向右平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度 【分析】根据题意，画出平面直角坐标系，再根据点O到A，B，C三个点的距离相等，得出点O在△ABC三边的垂直平分线上，据此可解决问题． 【解答】解：如图所示， ∵点O到A，B，C三个点的距离相等， ∴点O需在△ABC三边的垂直平分线上． 分别作出AC和BC边的垂直平分线，相交于点M， ∴点O需要向左平移1个单位长度． 故选：D． 7．（3分）已知点P的坐标为（a，b），其中a，b均为实数，若a，b满足3a＝2b+5，则称点P为“和谐点”．若点M（m﹣1，3m+2）是“和谐点”，则点M所在的象限是（　　） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【分析】直接利用“和谐点”的定义得出m的值，进而得出答案． 【解答】解：点M在第三象限， 理由如下： ∵点M（m﹣1，3m+2）是“和谐点”， ∴3（m﹣1）＝2（3m+2）+5， 解得m＝﹣4， ∴m﹣1＝﹣5，3m+2＝﹣10， ∴点M在第三象限． 故选：B． 8．（3分）在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点A（2，﹣a﹣1），点B（2，3﹣a），点C（﹣2，﹣a﹣1），则△ABC的面积为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【分析】根据A（2，﹣a﹣1），C（﹣2，﹣a﹣1）得点A，C关于y轴对称，进而得AB⊥y轴，且AC＝4，再根据点A（2，﹣a﹣1），点B（2，3﹣a）得点A，B在直线x＝2上，进而得AB⊥AC，且AB＝4，据此可得△ABC的面积． 【解答】解：∵点A（2，﹣a﹣1），C（﹣2，﹣a﹣1）的横坐标互为相反数，纵坐标相同， ∴点A，C关于y轴对称， ∴AB⊥y轴， 又∵点A在第一象限， ∴点C在第二象限， ∴AC＝|2﹣（﹣2）|＝4， ∵A（2，﹣a﹣1），点B（2，3﹣a）的横坐标相同， ∴点A，B在直线x＝2上， ∵直线x＝2与y轴平行， ∴AB⊥AC，且AB＝|﹣a﹣1﹣（3﹣a）|＝4， ∴S△ABCAB•AC4×4＝8． 故选：B． 9．（3分）在平面直角坐标系xOy中，A（a2+3，0），B（a2+3，a2+3），C（a2+6，b2+9），连接AB，AC，BC．若∠OAB＝∠ABC，则a2﹣b2的平方根为（　　） A．±1 B． C． D． 【分析】根据点A，B的坐标可知，点A，B在垂直于x轴的一条直线上，于是∠OAB＝∠ABC＝90°，进而可知点B，C在平行于x的轴的一条直线上，得到b2+9＝a2+3，即a2﹣b2＝6，再利用平方根的定义求解即可． 【解答】解：∵A（a2+3，0），B（a2+3，a2+3）， ∴点A，B在垂直于x轴的一条直线上， ∴AB⊥x轴， ∴∠OAB＝90°， 若∠OAB＝∠ABC，则∠ABC＝90°，如图， ∴点B，C在平行于x的轴的一条直线上， ∴b2+9＝a2+3，即a2﹣b2＝6， ∴a2﹣b2的平方根为． 故选：D． 10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（a，a），B（a+3，a），其中a为整数．点C在线段AB上，且点C的横、纵坐标均为整数．若点C在y轴上，则满足条件的点C的坐标有（　　）个． A．3 B．4 C．6 D．7 【分析】由题意知，点A，B在平行x轴的同一条直线上，分a＞0，﹣3≤a≤0和a＜﹣3三种情况讨论，分别作出不同情况下的图形，结合a为整数即可求解． 【解答】解：如图，当a＞0时， 此时，在线段AB上不存在点C在y轴上； 如图，当﹣3≤a≤0时， 此时，在线段AB上存在点C在y轴上， ∵a为整数， ∴a的所有取值为﹣3，﹣2，﹣1，0， ∴满足条件的点C的坐标有4个； 如图，当a＜﹣3时， 此时，在线段AB上不存在点C在y轴上． 综上，满足条件的点C的坐标有4个． 故选：B． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（2m﹣3，3m﹣1）在一、三象限角分线上，则P点坐标为 　（﹣7，﹣7）　 ． 【分析】根据平面直角坐标系中，第一、三象限角分线上点的横纵坐标相等，列出关于m的方程，求出m，再求出点P的坐标即可． 【解答】解：∵点P（2m﹣3，3m﹣1）在一、三象限角分线上， ∴2m﹣3＝3m﹣1， 2m﹣3m＝3﹣1， ﹣m＝2， m＝﹣2， ∴2m﹣3＝2×（﹣2）﹣3＝﹣7，3m﹣1＝3×（﹣2）﹣1＝﹣7， ∴点P的坐标为（﹣7，﹣7）， 故答案为：（﹣7，﹣7）． 12．（3分）已知点P（2﹣a，3a+6）到两坐标轴的距离相等，则a的值为 　﹣1或﹣4　 ． 【分析】根据到两坐标轴的距离相等，可得方程，解方程即可得出答案． 【解答】解：∵点P（2﹣a，3a+6）到两坐标轴的距离相等， ∴点P的横、纵坐标可能相等也可能互为相反数， ∴2﹣a＝3a+6或2﹣a+3a+6＝0， 解得：a＝﹣1或a＝﹣4， 故答案为：﹣1或﹣4． 13．（3分）如图，A（﹣2，0），B（0，3），C（2，4），D（3，0），点P在x轴上，直线CP平分四边形ABCD的面积，则PD的长为 　3　 ． 【分析】作CE⊥x轴，根据四边形ABCD的面积＝S△AOB+S梯形OBCE+S△CDE求得四边形的面积，设点P（x，0），则PD＝3﹣x，由直线CP平分四边形ABCD的面积列出方程求解可得． 【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E， ∵A（﹣2，0），B（0，3），C（2，4），D（3，0）， ∴AO＝2，OB＝3，OE＝2，CE＝4，DE＝1， ∴四边形ABCD的面积＝S△AOB+S梯形OBCE+S△CDE ＝12， 设点P（x，0）， 则PD＝3﹣x， ∵直线CP平分四边形ABCD的面积， ∴， ∴， ∴x＝0， ∴PD＝3． 故答案为：3． 14．（3分）在平面直角坐标系中，已知点M（2m+5，n﹣6）在x轴上，点N（3m+9，2n+3）在y轴上，则将点A（m，n）先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到点A'，则点A'的坐标为 　（﹣5，2）　 ． 【分析】先根据题意得出n，m的值，再由点平移的性质即可得出结论． 【解答】解：∵点M（2m+5，n﹣6）在x轴上，点N（3m+9，2n+3）在y轴上， ∴n﹣6＝0，3m+9＝0， 解得n＝6，m＝﹣3， ∴A（﹣3，6）， ∴将点A（m，n）先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到点A'（﹣3﹣2，6﹣4），即A′（﹣5，2）． 故答案为：（﹣5，2）． 15．（3分）在平面直角坐标系内，有一个动点P（a+1，2a﹣3），若点P到x轴的距离为m，到y轴距离为n，则m+n的最小值为 　　 ． 【分析】用含a的式子表示出m+n，分3种情况讨论：①a≤﹣1，②﹣1＜a，③a，算出最小值． 【解答】解：∵P（a+1，2a﹣3），其中a为任意实数，m，n分别表示点P到x轴和y轴的距离， ∴m＝|2a﹣3|，n＝|a+1|， ∴m+n＝|2a﹣3|+|a+1|， ∴m+n的最小值即为|2a﹣3|+|a+1|的最小值， ∴①当a≤﹣1时，m+n＝|2a﹣3|+|a+1|＝﹣3a+2≥5； ②当﹣1＜a时，m+n＝|2a﹣3|+|a+1|＝4﹣a， 此时4﹣a＜5； ③当a时，m+n＝|2a﹣3|+|a+1|＝a﹣3+a+1＝3a﹣2； 综上，m+n， ∴m+n的最小值为， 故答案为：． 16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B（0，10），线段AB向右平移4个单位到线段CD，线段CD与y轴交于点E，若图中阴影部分面积为24，则C点坐标为　（﹣1，0）　 ． 【分析】过点D作DF⊥x轴，根据平移的性质，得，求出OE，设OC＝m，根据，求出m的值，即可得出结果． 【解答】解：过点D作DF⊥x轴， ∵线段AB向右平移4个单位到线段CD，B（0，10）， ∴D（4，10），AB＝CD， ∴OB＝DF＝10， ∵∠F＝∠AOB＝90°， ∴△AOB≌△CFD， ∴S△AOB＝S△CFD， ∴， ∴OE＝2， 设OC＝m，则：OA＝m+4， ∴， ∴m＝1， ∴C（﹣1，0）； 故答案为：（﹣1，0）． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）在平面直角坐标系中，已知点P（2m﹣7，n﹣6）在第四象限，且点P到x轴和y轴的距离分别为3和1． （1）分别求m的平方根和3n的平方根． （2）设4m+3n+2的立方根为t，在同一个平面直角坐标系中还有一点Q，点Q（t，t2﹣2），请指出点Q是怎样由点P平移得到的？ 【分析】（1）根据第四象限内的点的坐标的特征，以及点到坐标轴的距离求出m、n的值，进而求出m，3n的平方根即可； （2）求出4m+3n+2的值，由立方根的定义求出t的值，确定点Q的坐标，由点P的坐标，点Q的坐标之间的关系以及平移坐标的变化规律得出答案即可． 【解答】解：（1）∵点P（2m﹣7，n﹣6）在第四象限，且点P到x轴和y轴的距离分别为3和1， ∴2m﹣7＝1，n﹣6＝﹣3， 解得m＝4，n＝3， ∴m的平方根为±±2，3n的平方根为±±3； （2）当m＝4，n＝3时，4m+3n+2＝4×4+3×3+2＝27， 4m+3n+2的立方根t3， 当t＝3时，t2﹣2＝9﹣2＝7， ∴点Q（3，7）， ∵点P（1，﹣3）， ∴点Q（3，7）可以看作点P（1，﹣3）先向右平移2个单位，在向上平移10个单位所得到的． 18．（8分）如图，三角形A′B′C′是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′分别对应，且这六个点都在格点（小正方形的顶点）上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题： （1）分别写出点B和点B′的坐标，并说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的． （2）若M（a﹣2，2b﹣3）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为N（2a﹣7，9﹣b），分别求a和b的值． （3）求线段AB扫过的面积． 【分析】（1）根据题意，得到B（2，1），点B′（﹣1，﹣2），结合2﹣（﹣1）＝3，1﹣（﹣2）＝3，得到三角形A′B′C′是由三角形ABC向左平移3公单位长度，再向下平移3个单位长度得到或向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度； （2）根据M（a﹣2，2b﹣3）是随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为N（2a﹣7，9﹣b），得a﹣2﹣3＝2a﹣7，2b﹣3﹣3＝9﹣b，求a和b的值即可； （3）分割法计算四边形AA′BB′扫过的面积即可． 【解答】解：（1）根据题意，得到B（2，1），点B′（﹣1，﹣2）， ∵2﹣（﹣1）＝3，1﹣（﹣2）＝3， ∴三角形A′B′C′是由三角形ABC向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到或向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度． （2）根据M（a﹣2，2b﹣3）是随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为N（2a﹣7，9﹣b）， 得a﹣2﹣3＝2a﹣7，2b﹣3﹣3＝9﹣b， 解得a＝2，b＝5． （3）根据题意，得A（0，3），A′（﹣3，0），B（2，1），点B′（﹣1，﹣2）， ∴线段AB扫过的面积为：． 19．（8分）五子棋和象棋、围棋一样深受广大棋友的喜爱，其规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，轮流弈子，在任一方向（横向，竖向或者是斜着的方向）上先连成五子者为胜，如图是两个五子棋爱好者甲和乙的对弈图（部分），甲执黑子先行．白①的位置是（﹣1，2），白③的位置是（0，﹣1）．若将白①向下平移2个单位，再向右平移3个单位后到白②的位置． （1）请根据题意，画出平面直角坐标系xOy并直接写出白②的坐标； （2）若甲的下一步落子可以在某个方向上连成四子，请写出符合题意的其中两个落子处的坐标． 【分析】（1）根据白①的位置是（0，3），画出直角坐标系即可； （2）根据五子连棋的规则，据此即可确定点的坐标． 【解答】解：（1）画出平面直角坐标系xOy如图所示： 白②的坐标是（2，0）． （2）结合图形可知，甲的落子位置为（3，3）或（5，1）或（1，﹣2）或（4，3）． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与坐标轴相交于点A，B，点A，B的坐标分别为（a，0），（0，b），且a，b满足，在平面直角坐标系内还有一点C（﹣3，m）． （1）a＝　6　 ，b＝　8　 ； （2）若点C在x轴上，则△ABC的面积为 　36　 ； （3）当点C在第三象限时，求出△ABC的面积（用含m的式子表示）． 【分析】（1）利用非负数的性质求得a、b的值即可； （2）先画出图形，然后根据坐标与图形以及三角形的面积公式列式计算即可； （3）如图：连接OC，先说明m＜0，再根据图形可得S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC，然后根据坐标与图形以及三角形的面积公式列式计算即可． 【解答】解：（1）∵， ∴a﹣6＝0，b﹣8＝0， ∴a＝6，b＝8． 故答案为：6，8． （2）如图1： ∵点C在x轴上， ∴m＝0， ∴AC＝6﹣（﹣3）＝9， ∴△ABC的面积为． 故答案为：36； （3）如图2：连接OC， ∵点C在第三象限， ∴m＜0， ∵S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC， ∴． 21．（8分）在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足，，那么称点T是点A和B的衍生点．例如：M（﹣2，5），N（8，﹣2），则点是点M和N的衍生点． （1）已知点D（2，0），点E（m，m﹣3），点T（x，y）是点D和E的衍生点． ①当m＝4时，点T的坐标为 　　 ； ②一般地，点T的坐标为 　　 （用m表示）； （2）在（1）的条件下，若直线ET交x轴于点H，当∠TDH＝90°时，求点E的坐标． 【分析】（1）根据衍生点的定义，进行求解即可； （2）根据∠TDH＝90°，得到TD⊥x轴，进而得到T点的横坐标为2，求出m的值，即可得出结果． 【解答】解：（1）①当m＝4时，E（4，1）， ∵D（2，0）， ∴，即：； 故答案为：； ②点D（2，0），点E（m，m﹣3），点T（x，y）是点D和E的衍生点， ∴点是点D和E的衍生点，即：； 故答案为：； （2）∵D（2，0）， ∴点D在x轴上， 又∵H在x轴上，∠TDH＝90°， ∴TD⊥x轴， ∴T点的横坐标为2， 即：，解得：m＝﹣2， ∴E（﹣2，﹣5）． 22．（10分）已知点A（a，0）、B（b，0），且|b﹣2|＝0． （1）求a、b的值． （2）在y轴的正半轴上找一点C，使得三角形ABC的面积是15，求出点C的坐标． （3）过（2）中的点C作直线MN∥x轴，在直线MN上是否存在点D，使得三角形ACD的面积是三角形ABC面积的？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据非负数的性质列方程即可得到结论； （2）由A（﹣4，0）、B（2，0），得到AB＝6，根据三角形ABC的面积是15列方程即可得到即可； （3）根据三角形ABC的面积是15列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵（a+4）2+|b﹣2|＝0， ∴a+4＝0，b﹣2＝0， ∴a＝﹣4，b＝2； （2）如图1， ∵A（﹣4，0）、B（2，0）， ∴AB＝6， ∵三角形ABC的面积是15， ∴AB•OC＝15， ∴OC＝5， ∴C（0，5）； （3）存在，如图2， ∵三角形ABC的面积是15， ∴S△ACDCD•OC＝15， ∴CD×515， ∴CD＝3， ∴D（3，5）或（﹣3，5）． 23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，a），点B的坐标为（4，b），连接AB． （1）若a＝b＝5，求线段AB的长度； （2）若b﹣a＝3且a＞0． ①当点A在直线OB上时，求a的值； ②当点A不在直线OB上时，连接OA，OB，记△AOB的面积为S，若S＝1，求a的值． 【分析】（1）先求出A、B两点的坐标即可得到答案； （2）①根据列式求解即可；②分点A在OB上方根据S△AOC+S梯形ACDB﹣S△OBD＝1列式求解即可，分点A在OB下方，根据S△OBD﹣S△AOC﹣S梯形ACDB＝1列式求解即可． 【解答】解：（1）∵a＝b＝5， ∴点A的坐标为（2，5），点B的坐标为（4，5）， ∴AB＝4﹣2＝2； （2）①如图所示，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D， ∵A在直线OB上， ∴， ∵点A的坐标为（2，a），点B的坐标为（4，b）， ∴OC＝2，OD＝4，AC＝a，BD＝b， ∴4b2a（4﹣2） ∴2b＝a+a+b， ∴b＝2a， 又∵b﹣a＝3， ∴2a﹣a＝3， ∴a＝3； ②如图所示，当点A在OB上方时，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D， ∵S△AOB＝1， ∴S△AOC+S梯形ACDB﹣S△OBD＝1， ∴， ∴a+a+b﹣2b＝1， ∴2a﹣b＝1， 又∵b﹣a＝3， ∴2a﹣a﹣3＝1， ∴a＝4． 如图，当点A在OB下方时，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D， ∵S△AOB＝1， ∴S△OBD﹣S△AOC﹣S梯形ACDB＝1， ∴4b2a（4﹣2）＝1， ∴2b﹣a+a+b＝1， ∴3b＝1， 又∵b﹣a＝3， ∴9+3a＝1， ∴a； 综上所述：a＝4或a． 24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，0）向右平移4个单位得到点B，将线段AB向上平移m个单位，再向右平移1个单位得到线段DC（点A与点D对应，点B与点C对应）且四边形ABCD的面积为8． （1）直接写出m的值及点B，C的坐标； （2）连接AC与y轴交于点E，求的值； （3）如图2，若点P从O点出发，以每秒n个单位的速度向上平移运动，同时点Q从B点出发，以每秒2n个单位的速度向左平移运动，当点P到达点D后停止运动．若射线CQ交y轴于点F，设△CFP与△OFQ的面积差为S，问：S是否为定值？如果S是定值，请求出它的值；如果S不是定值，请说明理由． 【分析】（1）先根据点坐标平移的特点求出点B的坐标，再根据四边形ABCD的面积为8，求出OD＝2，再由平移的性质得到CD＝AB＝4，即可求出点C的坐标； （2）解法1：先求出，再由，得到，又由S△ADE+S△AOE＝S△AOD＝1，求出，则； 解法2：由S△ACD＝S△ADE+S△CDE，求出，则，即可得到； （3）分当点Q在线段OB上时，当点Q在OA上时，两种情况分别求出S的值即可得到答案． 【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）向右平移4个单位得到点B， ∴点B的坐标为（3，0）， ∵S四边形ABCD＝AB•OD＝8，AB＝4， ∴OD＝2， 即m＝2， 由平移性质可知，CD＝AB＝4， ∴点C的坐标为（4，2）； （2）解法1：∵△CDE和△ADE同底， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵△AOE和△ADE同高， ∴； 解法2：∵S△ACD＝S△ADE+S△CDE， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）结论：S的值是定值3，理由如下： ①如图，当点Q在线段OB上时，连接OC． 设运动时间为t秒， 由题意：OP＝nt，BQ＝2nt， ∴， ， ∴S△OCP＝S△BCQ， ∴S四边形CPOQ＝S△OCP+S△OCQ＝S△BCQ+S△OCQ＝S△OBC， ∴； ②如图，当点Q在OA上时，连接OC． 由①可知S△OCP＝S△BCQ， ∴S＝S△CFP﹣S△OFQ＝（S△CFP+S△OCF）﹣（S△OFQ+S△OCF）， ＝S△OCP﹣S△OCQ＝S△BCQ﹣S△OCQ＝S△OBC＝3， 综上所述，S的值是定值3． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$