第10章 三角恒等变换全章综合测试卷（提高篇）-2024-2025学年高一数学举一反三系列（苏教版2019必修第二册）

第10章 三角恒等变换全章综合测试卷（提高篇） 【苏教版（2019）】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知，，则（    ）. A． B． C． D． 2．（5分）（23-24高一下·江苏南京·期中）已知、，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 3．（5分）（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在中，已知，那么一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．正三角形 4．（5分）（23-24高一下·江苏南京·期中）已知，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）1551年奥地利数学家､天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示.现已知，则该函数的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 6．（5分）（24-25高三上·四川广安·阶段练习）在中，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（23-24高一下·江苏南京·期末）如图是古希腊数学家波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形ABC的斜边AB，直角边BC，AC，N为AC的中点，点D在以AC为直径的半圆上，已知，，则以直角边AC，BC为直径的两个半圆的面积之比为（    ） A．16∶9 B．144∶25 C．225∶64 D．160∶81 8．（5分）（2025·全国·模拟预测）已知把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数的图象，若，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高一下·江苏宿迁·期中）下列各式中，化简结果为 的是（    ） A． B． C． D． 10．（6分）（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知，，下列选项正确的有（ ） A． B． C． D． 11．（6分）（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）已知函数（）的最小值为，则（    ） A．直线为图象的一条对称轴 B．在区间上单调递减 C．将的图象向左平移个单位长度，得到一个奇函数的图象 D．当时，的值域为，则的取值范围为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高一下·江苏徐州·期末）已知，，则的值为 . 13．（5分）（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）在中，若，则的形状 ． 14．（5分）（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知函数的定义域为. 若存在唯一，使得 恒成立，则正实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（23-24高一下·江苏南京·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 16．（15分）（23-24高一下·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，以轴为始边的锐角和钝角的终边分别交单位圆于，两点.已知点的横坐标为，点的纵坐标为. (1)求； (2)求的值. 17．（15分）（24-25高一下·全国·课后作业）求证： (1)； (2). 18．（17分）（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知均为锐角，，且. (1)若，求； (2)若，求； (3)求的最大值. 19．（17分）（23-24高一下·江苏常州·期中）记函数的最小正周期为，已知，且． (1)求的值； (2)已知是函数在上的两个零点． ①求实数的取值范围； ②若，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 三角恒等变换全章综合测试卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知，，则（    ）. A． B． C． D． 【解题思路】先应用同角三角函数关系求出，再结合角的范围求出，最后应用两角和差公式求解即可. 【解答过程】因为，所以， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以. 故选：D. 2．（5分）（23-24高一下·江苏南京·期中）已知、，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】根据同角的三角函数关系中平方和关系求出相应角的正弦值，然后运用余弦两角和公式进行求解即可. 【解答过程】、，且，， ， ， ， ，， 、， ， ， 故选：B. 3．（5分）（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在中，已知，那么一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．正三角形 【解题思路】根据两角和差的正弦公式化简即可得解. 【解答过程】在中，， ， 即， ， ， 又A，，， 一定是等腰三角形. 故选：A. 4．（5分）（23-24高一下·江苏南京·期中）已知，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将转化为，然后由两角和与差的正弦公式展开化简，由，利用二倍角公式化简最后求解即可. 【解答过程】因为，所以， 所以， 化简得：， 所以， 又由，可得， 所以，即，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：A. 5．（5分）（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）1551年奥地利数学家､天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示.现已知，则该函数的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【解题思路】根据给定的定义，利用锐角三角函数的定义转化为角的正余弦，即，，所以，利用三角函数的图象与性质即可求解. 【解答过程】依题意，可视为某直角三角形的内角，由锐角三角函数定义可得，，所以 ， 所以，其中，， 当，则，而，， 所以； 故选：C. 6．（5分）（24-25高三上·四川广安·阶段练习）在中，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对A：由平方差公式分析判断；对B、C、D：根据三角恒等变换结合三角形中角的关系分析判断. 【解答过程】对于选项A：由平方差公式可知，故A正确； 对于选项B： ，故B正确； 对于选项C：因为， 即， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，则 所以，故D错误； 故选：D. 7．（5分）（23-24高一下·江苏南京·期末）如图是古希腊数学家波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形ABC的斜边AB，直角边BC，AC，N为AC的中点，点D在以AC为直径的半圆上，已知，，则以直角边AC，BC为直径的两个半圆的面积之比为（    ） A．16∶9 B．144∶25 C．225∶64 D．160∶81 【解题思路】先利用，由二倍角公式求出的余弦，再由两角差的余弦公式求出的余弦，再由同角三角函数基本关系求出正切，即得出，即可得解. 【解答过程】因为N为AC的中点，即是以为直径的圆的圆心， 所以, 所以，即， 由为锐角可得，所以， 由，可得， 因为, 所以 ， 所以，所以， 所以以直角边，为直径的两个半圆的面积之比为. 故选：B. 8．（5分）（2025·全国·模拟预测）已知把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数的图象，若，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先化简函数，然后根据图像的变换得函数的解析式，通过判断得，同时令取得最大值或最小值时，，再结合函数的图像，即可求得的最大值. 【解答过程】 ．将图象向右平移至个单位长度， 再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数，可得， 所以，， ∴，同时令取得最大值或最小值时，．当，时， ， 根据函数的图象可知的最大值为个周期的长度，即 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高一下·江苏宿迁·期中）下列各式中，化简结果为 的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用两角和的正切公式判断A、B，利用两角差的正弦公式判断C，利用二倍角公式判断D. 【解答过程】对于A：，故A正确； 对于B：因为， 所以，故B正确； 对于C： ，故C错误； 对于D： ，故D正确. 故选：ABD. 10．（6分）（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知，，下列选项正确的有（ ） A． B． C． D． 【解题思路】A选项，由同角三角函数的平方关系及角的范围得到；B选项，根据同角三角函数平方关系得到，去掉不合要求的解；C选项，利用凑角法求解；D选项，在C选项的基础上，得到，利用正弦差角公式计算出答案. 【解答过程】A选项，由，得，故A正确； B选项，由，得， 因为，所以， 又，其中， 若，则，则，与矛盾， 所以，故B错误； C选项， ，故C正确； D选项，由及，得， 故，故D正确． 故选：ACD. 11．（6分）（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）已知函数（）的最小值为，则（    ） A．直线为图象的一条对称轴 B．在区间上单调递减 C．将的图象向左平移个单位长度，得到一个奇函数的图象 D．当时，的值域为，则的取值范围为 【解题思路】根据给定条件，利用三角恒等变换，结合正弦函数性质求出，进而求出，再逐项分析判断即可． 【解答过程】 ，其中， 依题意，，整理得，而，解得， 因此， 对于A，， 则直线不是图象的对称轴，A错误； 对于B，当时，， 而正弦函数在上递减， 因此在区间上单调递减，B正确； 对于C，将的图象向左平移个单位长度， 可得，是偶函数，C错误； 对于D，因为当时，的值域为， 所以当时，， 因此，解得，D正确． 故选：BD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高一下·江苏徐州·期末）已知，，则的值为 . 【解题思路】先利用正切的和角公式打开，得到,再根据和差角的正余弦公式化简，弦切互换代入即可求解. 【解答过程】由，代入，解得， . 故答案为：. 13．（5分）（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）在中，若，则的形状 等腰三角形或直角三角形 ． 【解题思路】利用诱导公式和两角和差的正弦公式、正弦的二倍角公式化简已知条件，再结合角的范围即可求解. 【解答过程】因为， 由可得， 即， 所以， 所以， 所以或， 因为，， 所以或， 所以的形状为等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰三角形或直角三角形. 14．（5分）（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知函数的定义域为. 若存在唯一，使得 恒成立，则正实数的取值范围是 . 【解题思路】利用三角恒等变换化简函数关系式，再结合正弦函数的图象性质列不等式求解即可得答案. 【解答过程】， 令，则， 若存在唯一，使得 恒成立， 则函数，在上使得函数取到唯一的最小值， 如图为函数的大致图象， 根据函数的图象性质可得，当函数在取得唯一的最小值时，函数也取到唯一的最小值， 则，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（23-24高一下·江苏南京·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【解题思路】（1）先由求出，然后可求出，再利用正切的二倍角公式求解即可； （2）先判断出的范围，再由求出，然后由化简后可求得结果. 【解答过程】（1）因为， 所以， 所以， 所以； （2）因为，所以， 因为， 所以， 所以 . 16．（15分）（23-24高一下·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，以轴为始边的锐角和钝角的终边分别交单位圆于，两点.已知点的横坐标为，点的纵坐标为. (1)求； (2)求的值. 【解题思路】（1）根据条件求得，，再根据同角三角函数基本关系式，以及两角和的正弦公式，即可求解； （2）首先利用角的变换求，即可求解. 【解答过程】（1）由题意可知，，，，， 所以，， ； （2）， ， ， 由，得，，则， 所以. 17．（15分）（24-25高一下·全国·课后作业）求证： (1)； (2). 【解题思路】（1）利用二倍角正余弦公式进行弦化切即可； （2）利用两角和与差的正弦公式和积化和差公式即可证明. 【解答过程】（1）∵左边 右边， ∴原等式成立. （2）∵左边 右边. ∴原等式成立. 18．（17分）（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知均为锐角，，且. (1)若，求； (2)若，求； (3)求的最大值. 【解题思路】（1）根据和差角公式以及弦切互化即可求解， （2）根据正切的和差角公式即可求解， （3）根据弦切互化，结合三角函数的性质即可求解. 【解答过程】（1）因为， 所以，即， 所以， 因为均为锐角，所以， 所以， 因为，所以， 所以； （2）因为， 所以， 因为，所以； （3）由（2）知， ， 其中满足， 因为，所以， 又，所以， 所以当时，有最大值. 19．（17分）（23-24高一下·江苏常州·期中）记函数的最小正周期为，已知，且． (1)求的值； (2)已知是函数在上的两个零点． ①求实数的取值范围； ②若，求的值． 【解题思路】（1）先利用三角恒等变换化一，再根据，求出的范围，根据可得出函数的对称轴，进而可求出答案； （2）①利用换元法，将问题转化为在上有两个交点，从而结合函数图象即可求出的范围； ②易得，不妨设，先求出，再利用二倍角的余弦公式即可得解. 【解答过程】（1） ， 由，得，所以， 又因为，，所以函数关于对称， 所以，所以， 又，所以； （2）①由（1）得， 令，则， 令，因为，所以， 因为函数在上的两个零点， 所以函数在上有两个交点， 作出函数的图象， 由图可知； ②时，， 由（1）可得， 由，不妨设，则， 又， 所以， 所以， 即，所以，所以， 又，，所以， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$