第10章 三角恒等变换全章题型总结【5个知识点11大题型】-2024-2025学年高一数学举一反三系列（苏教版2019必修第二册）

第10章 三角恒等变换全章题型总结【5个知识点11大题型】 【苏教版（2019）】 【知识点1 两角和与差的三角函数公式】 1．两角差的余弦公式 对于任意角有. 此公式给出了任意角的正弦、余弦与其差角的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简 记作. 公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和. 2．两角和的余弦公式 (1)公式的结构特征 (2)两角和与差的余弦公式的记忆技巧 两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”. ①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦； ②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”，两角差时用“+”. 3．两角和与差的正弦公式 (1)两角和与差的正弦公式的结构特征 (2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧 两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”. ①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦； ②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”， 两角差时用“-”. 4．两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式的结构特征 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 5．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力. 【题型1 两角和与差的三角函数公式】 【例1】（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用和角的正弦公式将展开，再用商数关系弦化切即可求解. 【解答过程】因为， 将式子的左右两侧同时除以，可得 ， 即 . 故选：D. 【变式1-1】（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）已知，均为锐角，，，则（   ） A．或 B． C． D．或 【解题思路】根据同角三角函数基本关系得到，，然后利用和差公式计算即可. 【解答过程】因为均为锐角，所以，，， 所以， 因为， 所以（舍去），， . 故选：C. 【变式1-2】（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用三角恒等变换中两角和差的正弦公式进行构造和计算，得到，再计算正切值即可. 【解答过程】由题意，， 等式左右两边同时乘以， 即， 则等式左边 ， 所以， 得到，即， 所以，即 故有. 故选：D. 【变式1-3】（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）若，为锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由，结合平方关系和和差公式求出的余弦即可得解. 【解答过程】因为， 所以， 因为，， 所以，， 所以， 所以 ， 因为，所以. 故选：B. 【题型2 两角和与差的三角函数公式的逆用】 【例2】（2024高二上·江苏扬州·学业考试）化简，得（    ） A． B． C． D． 【解题思路】逆用余弦函数的和差公式即可得解. 【解答过程】. 故选：C. 【变式2-1】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）计算的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】应用诱导公式及和角正弦公式化简求值. 【解答过程】 . 故选：C. 【变式2-2】（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先利用诱导公式化简，再利用两角和差的正弦公式. 【解答过程】因，则 故选：C. 【变式2-3】（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）（    ） A． B． C．1 D． 【解题思路】根据两角和的正切公式以及诱导公式求得正确答案. 【解答过程】， ， 所以， 所以 故选：A. 【知识点2 二倍角公式】 1．二倍角公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 函数 公式 β=α 简记符号 正弦 sin2α =2sinαcosα S(α+β) S2α 余弦 cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α C(α+β) C2α 正切 T(α+β) T2α 2．二倍角公式的变形应用 (1)倍角公式的逆用 ①：，，. ②：. ③：. (2)配方变形 . (3)因式分解变形 . (4)升幂公式 ；. 【题型3 利用二倍角公式化简求值】 【例3】（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据二倍角公式和同角三角函数关系式，将转化为用表示，再代入计算即可. 【解答过程】因为,所以, 又,所以, 故选：B. 【变式3-1】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据三角函数的诱导公式和二倍角公式即可求解. 【解答过程】. 故选：C. 【变式3-2】（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先将切化弦，后用二倍角公式代入展开，解得，再根据平方关系结合的范围解得，最后将所求式子用和角公式展开并代值计算即可. 【解答过程】 从而 故选：D. 【变式3-3】（24-25高三下·江苏镇江·开学考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用两角和与差的余弦公式先求出 的值，从而可以得到的值，再结合二倍角的余弦公式即可得出结果. 【解答过程】解：因为，， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以. 故选：D. 【知识点3 降幂公式、半角公式】 1．降幂公式 ；；. 2．半角公式 ；；. 【题型4 降幂公式及应用】 【例4】（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用降幂公式和诱导公式化简可得答案. 【解答过程】，解得：， 故选：D. 【变式4-1】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知为三角形的内角，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用降幂公式得到答案. 【解答过程】因为为三角形的内角，， 所以 . 故选：B. 【变式4-2】（2024·云南·模拟预测）（    ） A． B． C． D．2 【解题思路】利用诱导公式和降幂公式化简即得解. 【解答过程】解：由题得. 故选：C. 【变式4-3】（24-25高三·云南昆明·阶段练习）已知，则（    ） A． B．1 C． D． 【解题思路】先由得，再通过降幂公式化简得，代入即可求解. 【解答过程】由，得，即，，所以，. 故选：D． 【知识点4 角的代换、常值代换】 1．角的代换 代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用 尤为突出. 常用的角的代换形式： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥. 2．常值代换 用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其 中要特别注意的是“1”的代换. 3．三角恒等变换中的几类问题 (1)给角求值问题 给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角 之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解. (2)给值求值问题 给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求 出相应角的三角函数值，代入即可. (3)给值求角问题 给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角. 【题型5  给角求值型问题】 【例5】（23-24高一上·广东茂名·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据诱导公式以及倍角公式求解即可. 【解答过程】原式. 故选：A. 【变式5-1】（24-25高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）求值：（    ） A．1 B． C． D． 【解题思路】先化切为弦将转化为，然后根据二倍角的正弦和余弦公式、辅助角公式以及诱导公式进行化简求值. 【解答过程】原式 ， 故选：D. 【变式5-2】（23-24高一下·江苏苏州·期中）若，则 . 【解题思路】由诱导公式结合和差角公式求解即可. 【解答过程】 故答案为：. 【变式5-3】（2025高三上·全国·专题练习）求值： ． 【解题思路】方法一：根据正弦的二倍角公式可得原式，结合诱导公式求解； 方法二：令原式乘以，再结合正弦二倍角公式求解即可． 【解答过程】方法一：原式 ； 方法二：令原式乘以得， ， 则原式． 故答案为：. 【题型6 给值求值型问题】 【例6】（24-25高三上·江苏无锡·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．5 【解题思路】根据求出，根据求出. 【解答过程】因为， 所以 . 故选：C. 【变式6-1】（23-24高三上·江苏连云港·期中）已知，则（    ） A．5 B． C．-5 D． 【解题思路】由角的变换，利用余弦的和，差角公式和展开，从而可得答案. 【解答过程】，则 则， 即，所以， ∴， 故选：D. 【变式6-2】（24-25高三上·江苏徐州·期中）已知，，则（） A． B． C． D． 【解题思路】运用降幂公式及角的变换，结合两角和与差的余弦公式化简即可求解. 【解答过程】已知, 则 故选:. 【变式6-3】（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用得到，求出，又，故，联立求出，利用余弦差角公式进行求解. 【解答过程】因为， ，所以， 所以，①， 又因为，所以②， ①②联立解得 ， 所以. 故选：B. 【题型7 给值求角型问题】 【例7】（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用正切和角公式得到，并得到，得到答案. 【解答过程】， 又，， 故，故， 故. 故选：C. 【变式7-1】（2024·江苏无锡·三模）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用已知条件和两角和的正切公式，先求出角，再利用已知条件即可求解. 【解答过程】因为， 又因为，， 所以， 所以 因为，所以， 所以， 所以当为奇数时，，， 当为偶数时，，， 因为，所以， 因为，所以. 故选：C. 【变式7-2】（23-24高一下·安徽亳州·期末）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据三角函数值确定角的范围，再根据角的变换有，根据三角函数值确定的值. 【解答过程】，符号相同， 又，，， 由可得， 又，，， 所以，， ， 由，，得，， 故选：A． 【变式7-3】（23-24高一下·江苏南京·期中）已知，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将转化为，然后由两角和与差的正弦公式展开化简，由，利用二倍角公式化简最后求解即可. 【解答过程】因为，所以， 所以， 化简得：， 所以， 又由，可得， 所以，即，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：A. 【知识点5 辅助角公式】 1．辅助角公式 通过应用公式[或将形如 (a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个 三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式. 2．辅助角公式的运用技巧 对asinx+bcosx化简时，辅助角的值如何求要清楚. 【题型8 辅助角公式及其应用】 【例8】（24-25高三下·江苏连云港·阶段练习）已知函数在处取得最大值，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先利用辅助角公式对进行化简，再根据处取得最大值，求出的值，进而求出，最后利用倍角公式求出的值即可. 【解答过程】由，其中为锐角，. 又因为在处取得最大值，所以，， 即，， 所以， 又， 故选：D. 【变式8-1】（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）已知函数的图象关于直线对称，且在上有最大值没有最小值，则的值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用三角函数降幂公式以及辅助角公式整理函数解析式，根据整体思想，结合正弦函数的单调性以及对称性，建立不等式与方程，可得答案. 【解答过程】 ，， 则， 因为在上有最大值没有最小值，所以，， 又因为的图象关于直线对称，则，， 解得，，所以当时，符合要求. 故选：D． 【变式8-2】（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据两角差的余弦公式，以及辅助角公式，即可化简求值. 【解答过程】 ， 即. 故选：D. 【变式8-3】（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知函数，若存在满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由解析式易得，，应用辅助角公式有，进而易知在有对称轴满足，结合已知可得，再应用诱导公式将目标式化为，最后利用即可求值. 【解答过程】函数， 其中，，， ，是在内的两根， 又，， 则在有对称轴满足， 故有，则， 那么 ， 由，知. 故选：A. 【题型9 三角恒等式的证明】 【例9】（23-24高一下·江苏徐州·期中）求证下列恒等式： (1)； (2) 【解题思路】（1）先通分，利用正切的二倍角公式化简即可； （2）先将正切化弦，通分得到原式，再用辅助角公式，最后利用二倍角公式，即可证明. 【解答过程】（1）. （2）左边 , 原式得证. 【变式9-1】（23-24高一下·甘肃甘南·期中）求证： (1)； (2)． 【解题思路】（1）首先通分，再应用辅助角公式、倍角正弦公式化简分子、分母即可证结论； （2）应用商数关系、倍角正余弦及和角余弦公式化简分子、分母即可证结论. 【解答过程】（1）； （2） . 【变式9-2】（2025高三·全国·专题练习）已知、为两相异锐角，且满足方程，求证：. 【解题思路】由已知条件得出、两边平方，整理所得方程，利用韦达定理可得出、，再利用降幂公式以及两角差的余弦公式可证得结论成立. 【解答过程】由条件移项得. 两边平方可得方程. 根据条件知、是方程的根. 由韦达定理得， 由已知条件得， 两边平方可得方程， 根据条件知、是方程， 所以，， 所以， . 【变式9-3】（24-25高一·江苏·课后作业）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A＝，求证＝. 【解题思路】将已知条件化为，结合二倍角公式，化简证得结论成立 【解答过程】依题意， 所以， ， 所以， 而， ， 所以， 即＝. 【题型10 利用三角恒等变换判断三角形的形状】 【例10】（24-25高一·全国·课后作业）在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【解题思路】根据已知，诱导公式与和、差角的余弦公式化简得到，从而得到，进而即可得出结论． 【解答过程】在△ABC中，由，得 ， 则， 所以，即，则， 又，，则，所以，即， 所以△ABC为等腰三角形，但无法判断C是不是直角． 故选：A． 【变式10-1】（23-24高一下·重庆沙坪坝·期中）在中，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【解题思路】利用三角公式得到，求出，即可判断. 【解答过程】在中，因为， 所以， 即, 展开，整理化简得：. 因为为三角形内角，所以，所以. 因为为三角形内角，所以， 所以为直角三角形. 故选：B. 【变式10-2】（23-24高二上·河南安阳·期末）若中，，则此三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【解题思路】根据三角函数和与差的正弦公式，即可判断三角形的形状. 【解答过程】中，， 已知等式变形得， ， 即， 整理得，即， 或（不合题意，舍去）． ，， 则此三角形形状为直角三角形． 故选：A. 【变式10-3】（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）已知，角所对应的边分别为，且，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 【解题思路】根据给定条件，利用和差角的正弦、余弦公式化简变形即可推理作答. 【解答过程】依题意，， 则有，在中，，即， 因此，又，于是得，即， 所以是直角三角形. 故选：A. 【题型11 三角恒等变换的综合应用】 【例11】（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知函数的最大值为3． (1)若的定义域为，求的单调递增区间； (2)若，，求的值． 【解题思路】（1）利用二倍角公式将化简并利用最值可得，再由三角函数单调性解不等式即可求得单调递增区间； （2）代入解析式可求得，再根据同角三角函数之间的基本关系以及二倍角等公式即可求得结果. 【解答过程】（1）将化简可得， 因为，所以． 此时， 当时， 令．得； 令，得， 所以的单调递增区间为和． （2）由（1）知． 由，得， 所以．又因为．所以， 所以． 所以， ， 所以 . 【变式11-1】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数. (1)若，且，求的值； (2)设函数，若，求的最大值. 【解题思路】（1）应用诱导公式化简函数式，根据已知有，且，利用与关系求值； （2）法一：根据，应用基本不等式求函数的最大值；法二：令，利用三角恒等变换及三角函数性质得且，进而求其最大值. 【解答过程】（1）由题知， 因为，所以，且， 所以. （2）法一：因为，所以且. 由题设， 当且仅当时取等，故的最大值为. 法二：令， 首先，所以， 其次，当且仅当时取等， 所以， 所以， 当时，，即的最大值为. 【变式11-2】（24-25高三上·江苏常州·开学考试）已知函数，的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为． (1)求函数的单调递增区间； (2)将函数的图象上各点的纵坐标不变横坐标缩短到原来的，再向右平移，得到函数的图象，求函数在区间上的值域． 【解题思路】（1）先化简，再利用相邻对称轴与对称中心的距离求出周期，再求出参数，然后利用复合函数同增异减方式求出单调递增区间即可； （2）先根据题意求出，然后求其值域即可. 【解答过程】（1）因为 ， 又由题，所以， 所以， 令，，则，， 所以函数的单调递增区间为，． （2）由（1），故由题意可得， ∵，∴， 故， 所以，即． 【变式11-3】（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）已知函数． (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)当时，求的最大值和最小值，以及相应x的值； (3)若，，求的值． 【解题思路】（1）将函数运用诱导公式，二倍角公式，辅助角公式进行化简，化成正弦型函数来解即可； （2），所以在上单调递增，在上单调递减，运用单调性解题即可； （3）由，得出，运用同角三角函数关系求出 ，再运用和角公式求出即可． 【解答过程】（1）因为 ， 所以的最小正周期， 由，，得，， 所以的单调递增区间为． （2）因为，所以在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以当时，，当时，． （3）因为，所以， 又，则，则， 所以， 所以 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 三角恒等变换全章题型总结【5个知识点11大题型】 【苏教版（2019）】 【知识点1 两角和与差的三角函数公式】 1．两角差的余弦公式 对于任意角有. 此公式给出了任意角的正弦、余弦与其差角的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简 记作. 公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和. 2．两角和的余弦公式 (1)公式的结构特征 (2)两角和与差的余弦公式的记忆技巧 两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”. ①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦； ②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”，两角差时用“+”. 3．两角和与差的正弦公式 (1)两角和与差的正弦公式的结构特征 (2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧 两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”. ①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦； ②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”， 两角差时用“-”. 4．两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式的结构特征 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 5．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力. 【题型1 两角和与差的三角函数公式】 【例1】（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）已知，均为锐角，，，则（   ） A．或 B． C． D．或 【变式1-2】（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）若，为锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型2 两角和与差的三角函数公式的逆用】 【例2】（2024高二上·江苏扬州·学业考试）化简，得（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）计算的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）（    ） A． B． C．1 D． 【知识点2 二倍角公式】 1．二倍角公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 函数 公式 β=α 简记符号 正弦 sin2α =2sinαcosα S(α+β) S2α 余弦 cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α C(α+β) C2α 正切 T(α+β) T2α 2．二倍角公式的变形应用 (1)倍角公式的逆用 ①：，，. ②：. ③：. (2)配方变形 . (3)因式分解变形 . (4)升幂公式 ；. 【题型3 利用二倍角公式化简求值】 【例3】（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高三下·江苏镇江·开学考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【知识点3 降幂公式、半角公式】 1．降幂公式 ；；. 2．半角公式 ；；. 【题型4 降幂公式及应用】 【例4】（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知为三角形的内角，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·云南·模拟预测）（    ） A． B． C． D．2 【变式4-3】（24-25高三·云南昆明·阶段练习）已知，则（    ） A． B．1 C． D． 【知识点4 角的代换、常值代换】 1．角的代换 代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用 尤为突出. 常用的角的代换形式： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥. 2．常值代换 用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其 中要特别注意的是“1”的代换. 3．三角恒等变换中的几类问题 (1)给角求值问题 给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角 之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解. (2)给值求值问题 给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求 出相应角的三角函数值，代入即可. (3)给值求角问题 给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角. 【题型5  给角求值型问题】 【例5】（23-24高一上·广东茂名·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）求值：（    ） A．1 B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一下·江苏苏州·期中）若，则 . 【变式5-3】（2025高三上·全国·专题练习）求值： ． 【题型6 给值求值型问题】 【例6】（24-25高三上·江苏无锡·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．5 【变式6-1】（23-24高三上·江苏连云港·期中）已知，则（    ） A．5 B． C．-5 D． 【变式6-2】（24-25高三上·江苏徐州·期中）已知，，则（） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型7 给值求角型问题】 【例7】（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024·江苏无锡·三模）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高一下·安徽亳州·期末）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（23-24高一下·江苏南京·期中）已知，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【知识点5 辅助角公式】 1．辅助角公式 通过应用公式[或将形如 (a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个 三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式. 2．辅助角公式的运用技巧 对asinx+bcosx化简时，辅助角的值如何求要清楚. 【题型8 辅助角公式及其应用】 【例8】（24-25高三下·江苏连云港·阶段练习）已知函数在处取得最大值，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）已知函数的图象关于直线对称，且在上有最大值没有最小值，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知函数，若存在满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型9 三角恒等式的证明】 【例9】（23-24高一下·江苏徐州·期中）求证下列恒等式： (1)； (2) 【变式9-1】（23-24高一下·甘肃甘南·期中）求证： (1)； (2)． 【变式9-2】（2025高三·全国·专题练习）已知、为两相异锐角，且满足方程，求证：. 【变式9-3】（24-25高一·江苏·课后作业）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A＝，求证＝. 【题型10 利用三角恒等变换判断三角形的形状】 【例10】（24-25高一·全国·课后作业）在△ABC中，若，则△ABC是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式10-1】（23-24高一下·重庆沙坪坝·期中）在中，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【变式10-2】（23-24高二上·河南安阳·期末）若中，，则此三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式10-3】（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）已知，角所对应的边分别为，且，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 【题型11 三角恒等变换的综合应用】 【例11】（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知函数的最大值为3． (1)若的定义域为，求的单调递增区间； (2)若，，求的值． 【变式11-1】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数. (1)若，且，求的值； (2)设函数，若，求的最大值. 【变式11-2】（24-25高三上·江苏常州·开学考试）已知函数，的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为． (1)求函数的单调递增区间； (2)将函数的图象上各点的纵坐标不变横坐标缩短到原来的，再向右平移，得到函数的图象，求函数在区间上的值域． 【变式11-3】（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）已知函数． (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)当时，求的最大值和最小值，以及相应x的值； (3)若，，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$