第9章 平面向量全章题型总结【6个知识点12大题型】-2024-2025学年高一数学举一反三系列（苏教版2019必修第二册）

第9章 平面向量全章题型总结【6个知识点12大题型】 【苏教版（2019）】 【知识点1 向量的概念】 1．向量的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 2．向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法： ①字母表示法：如等. ②几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用 一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 3．向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 注： ①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定. ②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． ③非零向量与的关系：是与同方向的单位向量. 4．相等向量与共线向量 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线. 注： ①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别. ②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 【题型1 平面向量的概念与表示】 【例1】（23-24高二上·广东湛江·开学考试）下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】（1）由向量的几何表示判断；（2）（3）（4）根据对零向量的规定判断. 【解答过程】（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误； （2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误； （3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确； （4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确． 故选：B. 【变式1-1】（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 ，则 【解题思路】根据向量的概念逐一判断. 【解答过程】对于A：若，则只是大小相同，并不能说方向相同，A错误； 对于B：向量不能比较大小，B错误； 对于C：若，则方向相同，C正确； 对于D：若 ，如果为零向量，则不能推出平行，D错误. 故选：C. 【变式1-2】（24-25高一·江苏·课后作业）下列结论正确的个数是（    ） ①温度含零上和零下，所以温度是向量； ②向量的模是一个正实数； ③若向量与不共线，则与都是非零向量； ④若，则． A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】①根据向量的概念可判断；②根据向量模的概念可判断；③根据零向量与任何向量共线可判断；④根据向量的性质可判断. 【解答过程】①错，温度只有大小，没有方向，是数量不是向量； ②错，的模等于0； ③正确，根据零向量与任何向量共线可以判断正确； ④错，向量不能比较大小． 故选：B． 【变式1-3】（2024高二上·江苏·专题练习）判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④向量就是有向线段.其中假命题的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】根据零向量的定义及共线向量的定义判断即可. 【解答过程】对于①：因为零向量的方向是任意的且零向量与任何向量共线， 故当与中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故为假命题； 对于②：两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故为真命题； 对于③：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故为假命题； 对于④：向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故为假命题. 故选：B. 【知识点2 平面向量的线性运算】 1．向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量 加法 的三 角形 法则 前提 已知非零向量，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量 加法 的平 行四 边形 法则 前提 已知两个不共线的向量，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. (2)向量加法的运算律 ①交换律：； ②结合律：. 2．向量的减法运算 (1)向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减 法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量，在平面内任取一点O，作，，则.即 可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 3．向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与 方向规定如下： ①； ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设为实数，那么：①；②；③. 特别地，我们有，. 【题型2 平面向量的线性运算】 【例2】（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）（ ） A． B． C． D． 【解题思路】根据数乘向量的运算律化简求解即可. 【解答过程】根据向量运算公式可知， . 故选：D. 【变式2-1】（2024·江苏南通·模拟预测）在梯形中，，且，点是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【解答过程】依题意可得 ． 故选：D. 【变式2-2】（24-25高一下·江苏·阶段练习）在四边形中，若，则（   ） A．四边形一定是等腰梯形 B．四边形一定是菱形 C．四边形一定是直角梯形 D．四边形一定是平行四边形 【解题思路】运用同起点的向量加法的平行四边形法则易得. 【解答过程】对于同起点的向量的和一般通过作平行四边形得到， 由可知，由A，B，C，D构成的四边形一定是平行四边形. 故选：D. 【变式2-3】（2024·河南·模拟预测）在平行四边形中，对角线与交于点，，则（    ）． A． B． C． D． 【解题思路】根据向量的线性运算直接计算. 【解答过程】 由已知对角线与交于点，， 则， 所以， 故选：A. 【知识点3 向量的数量积】 1．向量的数量积 (1)向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=，其中是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. (2)向量的夹角 已知两个非零向量，如图所示，O是平面上的任意一点，作，，则∠AOB= 叫做向量与的夹角，也常用表示. (3)两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即. 【题型3 平面向量的数量积】 【例3】（2025·江苏·一模）已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A．1 B． C． D． 【解题思路】根据投影向量定义，结合题意求出的值，再利用平面向量的运算律求数量积. 【解答过程】由题意，在上的投影向量为，则， 因为是单位向量，即，所以， 则. 故选：B. 【变式3-1】（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）在平行四边形中，，，，，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【解题思路】利用向量的加法运算及平行四边形的性质先把用表示，再利用数量积的运算律即可得出答案. 【解答过程】由向量的加法运算及题干条件可知，， 所以 . 故选：C. 【变式3-2】（24-25高一下·江苏盐城·阶段练习）已知非零向量，满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知条件求出，再利用向量的夹角公式求出与的夹角. 【解答过程】已知，则 因为，所以，，，则可得： ， 又因为，所以，即. ，将代入上式可得： 设与的夹角为，，根据向量的夹角公式. 因为，，所以. 因为，且，所以. 与的夹角为. 故选：D. 【变式3-3】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）在中，，，为线段上一点，且满足，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据三点共线求出，利用向量的线性运算用表示，结合数量积的运算律可得结果. 【解答过程】 ∵，∴， ∵，∴， ∵三点共线，∴，故， ∴. ∵， ∴， ∵，，， ∴. 故选：B. 【知识点4 平面向量基本定理】 1．向量共线定理 (1)向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. (2)向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量共线求参问题，可用两个不共线向量(如)表示向量，设， 化成关于的方程，由于不共线，则解方程组即可. 2．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 ，使.若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 【题型4 向量共线的判断与求参】 【例4】（23-24高一下·江苏苏州·期中）设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量平行得到方程，求出答案. 【解答过程】向量与向量共线， 设，故，解得. 故选：B. 【变式4-1】（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则实数的值为（   ） A． B．6 C． D． 【解题思路】根据向量共线定理和平面向量基本定理得到方程组，求解即可. 【解答过程】∵与是共线向量， ∴存在实数，使得，即， 已知是两个不共线的向量， 则有，解得. 故选：A. 【变式4-2】（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）在中，为上一点，且，则实数值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用，将用表示，替换，再结合三点共线，即可求出的值. 【解答过程】 ， 因此， 因为三点共线，所以，， 故选：B. 【变式4-3】（23-24高一下·江苏镇江·期中）设是平面内的一组基底，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【解题思路】根据向量共线定理设出方程，若方程无解，则三点不共线，从而得到ABD错误，C正确. 【解答过程】A选项，设，则，无解，故三点不共线，A错误； B选项，设，则，无解，故三点不共线，B错误； C选项，， ， 故，故三点共线，C正确； D选项，， 设，则，无解，故三点不共线，D错误. 故选：C. 【题型5 平面向量基本定理及其应用】 【例5】（23-24高一下·江苏苏州·期末）如图，在△ABC中，点D，D，E分别为BC和BA的三等分点，点D靠近点B，AD交CE于点P，设，，则＝（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用表示，结合平面向量基本定理得到方程组，求解后代入即可求得. 【解答过程】设，， 所以， 又，所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以， 故选：B. 【变式5-1】（23-24高一下·江苏宿迁·期中）在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】依题意可得，即可得到，再根据平面向量共线定理的推论得到，解得即可. 【解答过程】因为，所以，即， 又，所以， 因为点是线段上一点，即、、三点共线， 所以，解得. 故选：B. 【变式5-2】（23-24高一下·江苏淮安·期中）如图，在矩形中，若，则等于（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用向量加法的平行四边形法则，结合数乘向量求解即得 【解答过程】在矩形中，， 则. 故选：A. 【变式5-3】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）在中，点是上一点，点满足，与的交点为．有下列四个命题： 甲：                    乙： 丙：                    丁： 如果只有一个是假命题，则该命题为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【解题思路】 首先由甲命题为真命题开始，由点是的中点，结合平面向量基本定理的推论，结合三点共线的向量表示，即可判断. 【解答过程】若甲为真命题，，则点为的中点， 由可得，， 因为三点共线，故可得， 即， 由三点共线，可得， 所以，得，即， 所以，故乙为真命题；故，可知命题丙为真命题； 由共线，故可设， 即, 因为三点共线，故可设， 所以，得， 即，故命题丁为假命题. 综上，甲乙丙为真命题，丁为假命题. 故选：D. 【知识点5 平面向量的坐标表示及坐标运算】 1．平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基 底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0). 2．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 ，即.同理得. 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由，可得，则，即. 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3．向量平行的坐标表示 (1)两向量共线的坐标表示 设，，其中.我们知道，共线的充要条件是存在实数，使.如果 用坐标表示，可写为，即，消去，得.这就是说，向量 共线的充要条件是. (2)三点共线的坐标表示 若，，三点共线，则有，从而，即， 或由得到， 或由得到. 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. 【题型6 平面向量线性运算的坐标表示】 【例6】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由向量减法坐标表示可得答案. 【解答过程】因，则. 故选：A. 【变式6-1】（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）已知向量，点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由平面向量的坐标表示即可得出点的坐标. 【解答过程】设点，由向量的坐标表示可知，， 所以，解得，即点的坐标为. 故选：A. 【变式6-2】（24-25高三上·江苏南京·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量的线性运算及向量相等列方程求参即可. 【解答过程】向量， 若，则, 所以， 可得,即得. 故选：B. 【变式6-3】（23-24高一下·四川成都·期中）已知点，向量，，点是线段靠近的三等分点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或   【解题思路】根据向量的计算直接可得解. 【解答过程】由已知，， 则， 点是线段靠近的三等分点， 则， 且， 则， 即， 故选：B. 【题型7 平面向量数量积的坐标表示】 【例7】（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）设，则等于（    ） A． B． C． D．1 【解题思路】根据平面向量坐标运算和数量积的坐标表示求解可得. 【解答过程】因为， 所以， 所以. 故选：B. 【变式7-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，在平面四边形中，，建立如图所示的平面直角坐标系，且，，，则（   ） A．3 B．1 C．2 D．4 【解题思路】先通过已知求出点的坐标，利用数量积的坐标运算求解即可. 【解答过程】在平面四边形中，，可以建立如图平面直角坐标系， ，，设， 因为，所以，解得，所以， 又，所以，所以，， 所以． 故选：C． 【变式7-2】（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知向量，则（    ） A． B． C．2 D．4 【解题思路】将转化为，利用向量数量积的坐标表示即可得解. 【解答过程】因为， 所以， 故． 故选：B. 【变式7-3】（24-25高一下·福建厦门·阶段练习）是边长为2的正方形边界或内部一点，且，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【解题思路】 建立坐标系，求出点的坐标，利用向量数量积的坐标公式进行求解即可． 【解答过程】以B为坐标原点，以BC方向为轴正方向，以BA方向为轴正方向建立坐标系，    则，设，，， 则， 因为，则， 则， 故当，时取得最大值为5． 故选：C. 【知识点6 向量应用】 1．平面几何中的向量方法 (1)用向量研究平面几何问题的思想 向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将 几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作. (2)向量在平面几何中常见的应用 ①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：. ②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：. ③求夹角问题，利用夹角公式：. ④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：或 . (3)向量法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系. 2．向量在物理中的应用 (1)力学问题的向量处理方法 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上. (2)速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成. (3)向量与功、动量 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积. ①力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即.功是一个实数，它可正，可 负，也可为零. ②动量涉及物体的质量m，物体运动的速度，因此动量的计算是向量的数乘运算. 【题型8 向量的平行、垂直问题】 【例8】（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示求解即得. 【解答过程】向量，，由，得， 所以. 故选：D. 【变式8-1】（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知向量，则（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的必要条件 【解题思路】由向量共线的坐标表示与向量垂直的坐标表示求出的值，逐项判断即可. 【解答过程】因为， 若，则，解得， 故“”是“ ”的既不充分也不必要条件，故A错误； 所以“”是“ ”的既不充分也不必要条件，故D错误； 若，则，解得或， 所以“”是“”的充分条件，故B正确； “”是“”的充分不必要条件，故C错误； 故选：B. 【变式8-2】（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知向量，，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【解题思路】（1）根据向量垂直的坐标关系即可求解， （2）根据平行满足的坐标关系即可求解. 【解答过程】（1）因为，．所以， 因为，且， 所以，得． （2）因为，，， 所以，且． 所以，得． 【变式8-3】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知向量． (1)当且时，求； (2)当，求向量与的夹角． 【解题思路】（1）由向量的坐标运算法则先求出和的坐标，再由条件可得，求出x的值，再求的坐标，得出其模长. （2）由向量的坐标运算法则先求出的坐标，由，求出x的值，然后由向量的夹角公式可得答案. 【解答过程】（1）因为向量 则，， 又因为，则， 可得，解得或， 且，则，则，， 所以. （2）由，则， 由，可得，解得，即， 可得，，， 则， 且，所以向量与的夹角. 【题型9 向量在物理中的应用】 【例9】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，求对该物体所做的功为（　　） A．－28 B．－23 C．23 D．28 【解题思路】根据数量积公式，即可求解 【解答过程】由题意可知，，, , 所以对该物体所做的功为. 故选：C. 【变式9-1】（24-25高一下·广东清远·阶段练习）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少. （    ） A．km/h B．km/h C．km/h D．km/h 【解题思路】根据平面向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【解答过程】如图所示：    ，， ， 设合速度为，小货船航行速度为，水流的速度为， 则有所以有 ， 故选：B. 【变式9-2】（24-25高一·全国·随堂练习）如图，小娟、小明两人共提一桶水匀速前行．已知两人手臂上的拉力大小相等且均为，两人手臂间的夹角为，水和水桶的总重力为，请你利用物理学中力的合成的相关知识分析拉力与重力的关系． 【解题思路】设两人的拉力分别为、，作，，作，以、为邻边作平行四边形，则为两人拉力的合力，分析可得，分析当变大时，的变化，即可得出结论. 【解答过程】解：设两人的拉力分别为、，作，，作， 以、为邻边作平行四边形，则为两人拉力的合力，    水桶在两人的合力下处于平衡状态，则和互为相反向量， 因为，则四边形为菱形， 连接交于点，则为的中点，且，且，， ，所以，， 所以，， 又因为，所以，随着的增大而增大. 【变式9-3】（23-24高一下·山西阳泉·期中）一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向. (1)若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值； (2)当时，游船航行到北岸的实际航程是多少？ 【解题思路】（1）设游船的实际速度为，由速度合成得，根据求得结果. （2）设到达北岸点所用时间为，根据计算长度，得出结果. 【解答过程】（1）设游船的实际速度大小为，    由，得，. 如图所示速度合成示意图，由，得， . 所以的大小为的值为. （2）当时，设到达北岸点所用时间为，作出向量加法示意图如图所示，    ，则， 在Rt中，，从而 ，因此， 故游船的实际航程为. 【题型10 向量线性运算的几何应用】 【例10】（23-24高一下·山西·阶段练习）如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．15 【解题思路】先确定的位置，接着由进行转化，利用共线定理得，再利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【解答过程】由题可设， 则由题意得， 因为、、三点共线，故， 所以， 所以， 又、、三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 【变式10-1】（23-24高一下·江苏南京·期中）如图，在中，点是边上一点，点是边的中点，与交于点，有下列四个说法：    甲：；乙：； 丙：；丁：； 若其中有且仅有一个说法是错误的，则该错误的说法为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【解题思路】结合三角形重心性质及向量线性运算进行合情推理即可判断. 【解答过程】若，则点是的重心，则有， 所以甲乙中必有一个是错误的，所以丙丁正确， 由丁：知，点不是边的中点，所以甲说法错误. 故选：A. 【变式10-2】（24-25高一·全国·随堂练习）如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 【解题思路】（1）利用三角形法则整理化简即可； （2）利用三角形重心性质及向量的线性运算化简计算即可； （3）利用三角形重心性质及三角形法则化简计算即可. 【解答过程】（1）因为点D是中BC边的中点，且，， 所以； （2）因为点G是的重心， 所以 . （3）因为点G是的重心且D是BC边的中点，所以， 又，所以，所以. 【变式10-3】（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在四边形中，为对角线与中点连线的中点，为平面上任意给定的一点．求证：． 【解题思路】根据向量加法的法则及向量数乘的几何意义证明即可． 【解答过程】证明：因为分别为的中点， 所以， 所以， 所以． 【题型11 用向量解决夹角、线段长度问题】 【例11】（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【解题思路】借助向量线性运算法则与三点共线定理可得，再利用向量数量积公式计算即可得解. 【解答过程】令，，由，， 则，， 则， 由、、三点共线，故，即， 即，则 ， 解得，即的长为. 故选：C. 【变式11-1】（23-24高一下·江苏扬州·期中）如图：已知树顶A离地面米，树上另一点离地面米，某人在离地面米的处看此树，则该人离此树（　　）米时，看A、的视角最大. A．4 B．5 C．6 D．7 【解题思路】建立平面直角坐标系，利用向量的方法即可求得看A、的视角最大时该人离此树距离. 【解答过程】如图建立平面直角坐标系，则，设， 则， 则 又，且余弦函数在单调递减， 则当，即时最大. 即该人离此树6米时，看A、的视角最大. 故选：C. 【变式11-2】（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点    (1)若，求AE的长； (2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求． 【解题思路】（1）设，由可得，即可得答案； （2）由图可知，由向量夹角公式可得答案. 【解答过程】（1）由题，可得.则. 设，则.因，则.则，故AE的长为1； （2）若E为AB的中点，则，，又. 由图可知. 【变式11-3】（23-24高一下·广东广州·期中）如图，在中，是边的中点，与交于点. (1)求和的长度； (2)求. 【解题思路】（1）利用三角函数定义即可求得的长；利用向量法即可求得的长度； （2）利用向量夹角的余弦公式即可求得的值. 【解答过程】（1）是高，，在Rt中，， 所以. 是中线，， ， （2）， . 另解：过D作交于， 是的中点，是的中点， 是的中位线，是的中位线， ， . 【题型12 向量与几何最值（范围）问题】 【例12】（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由投影向量的定义得到当在上时，取得最大值，进而得到答案. 【解答过程】由投影向量的定义可知，当在上时，取得最大值， 延长交的延长线于点， 的最大值为， 其中正八边形的外角为，故， 故，， 故， 所以最大值为. 故选：B. 【变式12-1】（23-24高三上·上海浦东新·开学考试）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法错误的是（    ）    A．为定值 B．的取值范围是 C．当时，为定值 D．的最大值为16 【解题思路】过作直径，利用向量加减几何意义得判断A；若为中点，连接，应用向量线性运算的几何意义及数量积的运算律、圆的性质得，进而求范围判断B；根据垂直关系及、数量积得运算律化简判断C；若为中点，连接，圆的性质易得，应用基本不等式及求最值，注意取值条件判断D. 【解答过程】如图，过作直径， 由题意， 所以 为定值，A对； 若为中点，连接，则 ， 由题意，则，B错； 若，故， 则， 又，则，同理可得，故，C对； 因为，则当弦均与重合时，此时有最大值，为16，故D正确.    故选：B. 【变式12-2】（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知矩形中，为中点，为边上的动点（不包括端点）. (1)求的最小值； (2)设线段与的交点为，求的最小值. 【解题思路】（1）以点为原点建立直角坐标系，利用向量数量积的坐标公式求得结果； （2）根据三角形相似得出，再求出的坐标，利用向量数量积的坐标公式求得结果. 【解答过程】（1）设，如图建立直角坐标系： ， 当时，有最小值，最小值为0； （2）由图可得： 则 ， 当且仅当即时取等号， 的最小值为. 【变式12-3】（23-24高一下·江苏苏州·期中）在锐角中，，点为的外心. (1)若，求的最大值； (2)若， （i）求证：； （ii）求的取值范围. 【解题思路】（1）由推出，即，由推出，两边平方得到，根据不等式知识，结合，可得； （2）（i）延长交圆于，则，过 作，垂足为，过作，垂足为，根据平行四边形法则可证结论成立； （ii）延长至，使得，以为邻边作矩形，延长至，使得，将转化为，结合图形可求出结果. 【解答过程】（1）因为，所以， 因为点为的外心，所以，即，， 因为，所以， 所以， 设三角形的外接圆的半径为，则， 由得， 所以，所以， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 得，得或. 因为三角形为锐角三角形，其外心必在三角形内， 由可知， 再由可知， 所以应舍去，所以， 所以的最大值为. （2）（i）延长交圆于，则，过 作，垂足为，过作，垂足为，如图：    因为，所以， 因为，且，所以， 所以，， 所以 ， 所以， 所以. （ii）延长至，使得，则，以为邻边作矩形， 则，且， 延长至，使得，则，如图：    所以， 所以当三点共线时， 取最小值，最小值为， 因为三角形为锐角三角形，且，所以，可得， 所以， 当时， ， 当时， ， 所以，即的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 平面向量全章题型总结【6个知识点12大题型】 【苏教版（2019）】 【知识点1 向量的概念】 1．向量的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 2．向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法： ①字母表示法：如等. ②几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用 一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 3．向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 注： ①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定. ②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． ③非零向量与的关系：是与同方向的单位向量. 4．相等向量与共线向量 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线. 注： ①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别. ②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 【题型1 平面向量的概念与表示】 【例1】（23-24高二上·广东湛江·开学考试）下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 ，则 【变式1-2】（24-25高一·江苏·课后作业）下列结论正确的个数是（    ） ①温度含零上和零下，所以温度是向量； ②向量的模是一个正实数； ③若向量与不共线，则与都是非零向量； ④若，则． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-3】（2024高二上·江苏·专题练习）判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④向量就是有向线段.其中假命题的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【知识点2 平面向量的线性运算】 1．向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量 加法 的三 角形 法则 前提 已知非零向量，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量 加法 的平 行四 边形 法则 前提 已知两个不共线的向量，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. (2)向量加法的运算律 ①交换律：； ②结合律：. 2．向量的减法运算 (1)向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减 法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量，在平面内任取一点O，作，，则.即 可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 3．向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与 方向规定如下： ①； ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设为实数，那么：①；②；③. 特别地，我们有，. 【题型2 平面向量的线性运算】 【例2】（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·江苏南通·模拟预测）在梯形中，，且，点是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一下·江苏·阶段练习）在四边形中，若，则（   ） A．四边形一定是等腰梯形 B．四边形一定是菱形 C．四边形一定是直角梯形 D．四边形一定是平行四边形 【变式2-3】（2024·河南·模拟预测）在平行四边形中，对角线与交于点，，则（    ）． A． B． C． D． 【知识点3 向量的数量积】 1．向量的数量积 (1)向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=，其中是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. (2)向量的夹角 已知两个非零向量，如图所示，O是平面上的任意一点，作，，则∠AOB= 叫做向量与的夹角，也常用表示. (3)两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即. 【题型3 平面向量的数量积】 【例3】（2025·江苏·一模）已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）在平行四边形中，，，，，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【变式3-2】（24-25高一下·江苏盐城·阶段练习）已知非零向量，满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）在中，，，为线段上一点，且满足，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【知识点4 平面向量基本定理】 1．向量共线定理 (1)向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. (2)向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量共线求参问题，可用两个不共线向量(如)表示向量，设， 化成关于的方程，由于不共线，则解方程组即可. 2．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 ，使.若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 【题型4 向量共线的判断与求参】 【例4】（23-24高一下·江苏苏州·期中）设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则实数的值为（   ） A． B．6 C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）在中，为上一点，且，则实数值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高一下·江苏镇江·期中）设是平面内的一组基底，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【题型5 平面向量基本定理及其应用】 【例5】（23-24高一下·江苏苏州·期末）如图，在△ABC中，点D，D，E分别为BC和BA的三等分点，点D靠近点B，AD交CE于点P，设，，则＝（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一下·江苏宿迁·期中）在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一下·江苏淮安·期中）如图，在矩形中，若，则等于（    ）    A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）在中，点是上一点，点满足，与的交点为．有下列四个命题： 甲：                    乙： 丙：                    丁： 如果只有一个是假命题，则该命题为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【知识点5 平面向量的坐标表示及坐标运算】 1．平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基 底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0). 2．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 ，即.同理得. 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由，可得，则，即. 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3．向量平行的坐标表示 (1)两向量共线的坐标表示 设，，其中.我们知道，共线的充要条件是存在实数，使.如果 用坐标表示，可写为，即，消去，得.这就是说，向量 共线的充要条件是. (2)三点共线的坐标表示 若，，三点共线，则有，从而，即， 或由得到， 或由得到. 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. 【题型6 平面向量线性运算的坐标表示】 【例6】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）已知向量，点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高三上·江苏南京·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高一下·四川成都·期中）已知点，向量，，点是线段靠近的三等分点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或   【题型7 平面向量数量积的坐标表示】 【例7】（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）设，则等于（    ） A． B． C． D．1 【变式7-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，在平面四边形中，，建立如图所示的平面直角坐标系，且，，，则（   ） A．3 B．1 C．2 D．4 【变式7-2】（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知向量，则（    ） A． B． C．2 D．4 【变式7-3】（24-25高一下·福建厦门·阶段练习）是边长为2的正方形边界或内部一点，且，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【知识点6 向量应用】 1．平面几何中的向量方法 (1)用向量研究平面几何问题的思想 向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将 几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作. (2)向量在平面几何中常见的应用 ①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：. ②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：. ③求夹角问题，利用夹角公式：. ④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：或 . (3)向量法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系. 2．向量在物理中的应用 (1)力学问题的向量处理方法 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上. (2)速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成. (3)向量与功、动量 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积. ①力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即.功是一个实数，它可正，可 负，也可为零. ②动量涉及物体的质量m，物体运动的速度，因此动量的计算是向量的数乘运算. 【题型8 向量的平行、垂直问题】 【例8】（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知向量，则（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的必要条件 【变式8-2】（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知向量，，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【变式8-3】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知向量． (1)当且时，求； (2)当，求向量与的夹角． 【题型9 向量在物理中的应用】 【例9】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，求对该物体所做的功为（　　） A．－28 B．－23 C．23 D．28 【变式9-1】（24-25高一下·广东清远·阶段练习）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少. （    ） A．km/h B．km/h C．km/h D．km/h 【变式9-2】（24-25高一·全国·随堂练习）如图，小娟、小明两人共提一桶水匀速前行．已知两人手臂上的拉力大小相等且均为，两人手臂间的夹角为，水和水桶的总重力为，请你利用物理学中力的合成的相关知识分析拉力与重力的关系． 【变式9-3】（23-24高一下·山西阳泉·期中）一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向. (1)若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值； (2)当时，游船航行到北岸的实际航程是多少？ 【题型10 向量线性运算的几何应用】 【例10】（23-24高一下·山西·阶段练习）如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．15 【变式10-1】（23-24高一下·江苏南京·期中）如图，在中，点是边上一点，点是边的中点，与交于点，有下列四个说法：    甲：；乙：； 丙：；丁：； 若其中有且仅有一个说法是错误的，则该错误的说法为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式10-2】（24-25高一·全国·随堂练习）如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 【变式10-3】（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在四边形中，为对角线与中点连线的中点，为平面上任意给定的一点．求证：． 【题型11 用向量解决夹角、线段长度问题】 【例11】（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【变式11-1】（23-24高一下·江苏扬州·期中）如图：已知树顶A离地面米，树上另一点离地面米，某人在离地面米的处看此树，则该人离此树（　　）米时，看A、的视角最大. A．4 B．5 C．6 D．7 【变式11-2】（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点    (1)若，求AE的长； (2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求． 【变式11-3】（23-24高一下·广东广州·期中）如图，在中，是边的中点，与交于点. (1)求和的长度； (2)求. 【题型12 向量与几何最值（范围）问题】 【例12】（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（23-24高三上·上海浦东新·开学考试）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法错误的是（    ）    A．为定值 B．的取值范围是 C．当时，为定值 D．的最大值为16 【变式12-2】（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知矩形中，为中点，为边上的动点（不包括端点）. (1)求的最小值； (2)设线段与的交点为，求的最小值. 【变式12-3】（23-24高一下·江苏苏州·期中）在锐角中，，点为的外心. (1)若，求的最大值； (2)若， （i）求证：； （ii）求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$