6.1.2 导数及其几何意义-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

[例2][解析](1)所求平均速度为24二)2=12(m/8. [问题2][提示]当点B沿曲线趋近于A时，割线AB 3一2 趋近于确定的位置，且kA无限趋近于切线AD的斜 (2)将x在[2,3]上的图象看成直线，则由(1)知，直线斜 率k 率为12，且直线过，点(2,12).因此，x与t的关系可近似 ○结论形成 地表示为x-12=12(t-2).令t=2.5,得x=18.即可 1.(1)PP。(2)通过Po的一条直线L 以估计t=2.5时质点的位移为18m. [触类旁通] 2.(1)曲线y=f(x)在点(xo,f(xo)处的切线的斜率 (2)f(zo)(x-zo) 2.A当1=2时，位移为2×2+2X2=6, [基础自测] ! 当t=4时，位移为 ×4+2x4=16, 1.解析(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数f(x0)的几 何意义是函数y=f(x)在点x=x0处的导数值. 在2≤≤4这段时间里，该物体的平均速度为： 16-6 (2)函数y=f(x)在x=x0处的导数f(xo)的几何意义 4-2 是函数y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线倾斜角的正 5m/s. 切值 [例3][解析](1)0=s)一so) (3)函数y=f(x)在x=x0处的导数f(x0)的几何意义 t1-to =k0A’ 2=s红)-s4) 就是曲线y=f(x)在点(xo,f(xo)处的切线的斜率. t2-t1 kAB' (4)函数y=f(x)在x=x0处的导数f(xo)的几何意义 s(t3)-s(t2) 是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率，不是 l3-t2 一kBC' 点(x0,f(x0)与点(0,0)连线的斜率. 而由图象知kaA<kAB<kC,所以01<<3， 答案(1)×(2)×(3)√(4)× (2)函数f(x)=3-x2在x0到x0十△x之间的平均变 :2.ABD结合平均变化率与瞬时变化率可知选项A、B、D 化率为 都不正确 f(x0+△x)-f(xo)[3-(x0十△x)2]-(3-xg) 3.Bf(xo)=0,即曲线y=f(x)在点(xo,f(xo)处切线 △x △x 斜率为0，所以切线与x轴平行或重合，故选B =-2x0·Ax-(Ax)2 4.解析点(5，f(5)在切线y=一x十8上， △x =-2x0-△x, .f(5)=-5+8=3. 当=14=号时，平均支化率的值为一子 且f(5)=-1,.f(5)+f(5)=2. 当=2,4虹=子时，平均变化率的值为- 答案2 37 课堂案·互动探究 当0=3，△=号时，平均变化率的值为-号， 19 [例1][解析] △s=2[1+(1.2+△)2]-2(1+1.22)= 因为一名> ，所以画数f(x)=3-2在 13>-19 48a+2(a0,盖-=（.8+2a)=48 31 x0=1附近的平均变化率最大. 即(1.2)=4.8，故物体在1.2s末的瞬时速度为4.8m/s, [答案](1)u1<2<3(2)见解析 [母题变式] [触类旁通] 1.解析因为△s=2[1+(t0十△)2]-2(1+场) 3.B由题图知，31(t0)=2(o),51(0)>52(0)>0,所以 =4△t·to+2(△r)2, 1(to)-1(0)52(to)-s2(0) ,所以v甲<乙.故选B. to 所以o)=会-=（4十2△)=4， to 6.1.2导数及其几何意义 所以此物体在to时的瞬时速度为4tom/s. 课前案·自主学习 2解析国为o)=回会-四（4+2)=，所以 [教材梳理] 由410=12，得to=3,所以此物体在3s时的瞬时速度为 导学1 [问题1][提示] △s_8-3(1+△)2-8+3×12 12m/s. △ △u [触类旁通] =-6-3△. 1.解析。(1)求物体的初速度0，即求物体在t=0时的醉 [问题2】[提示]当出趋近于0时，之地近于-6.这时 时速度 :物体在t=0附近位移的平均变化率为 的平均速度即为t=1时的醉时速度. △s=f(0+△)-f(0) ⊙结论形成 △t △t 1.△t趋近于0瞬时速度 =29+3[(0+△)-3]2-29-3×(0-3)2 2.(1)瞬时变化率 △t 导学2 =3△t-18, [问题1][提示]1不是曲线C的切线，l2是曲线C的 当△无限接近于0时，3△一18无限接近于一18. 切线. ∴.物体的初速度0=一18m/s. 21 @ (2):物体在t=1附近位移的平均变化率为 6.1.3基本初等函数的导数 △s=f1+△t)-f1) 课前案·自主学习 △ △ -29+3[1+△)-3]2-29-3×1-3)2 [教材梳理] △ 导学1 =3△t-12, [问题1门[提示]了)-im -(x0+4x)2+2-(-6+2) 当△1无限接近于0时，3△1一12无限接近于一12. △x ∴.物体在t=1时的瞬时速度为一12m/s. =lim(-2x0-△x)=-2z0, [例2][解析]，△f=f(2+△x-f(2)=(△x)2-3△x, ∴f1)=-20)=0f(-2）=1, 兰-a-3,当a0时8兰-3 △x f(a)=-2a. 故∫(2)=-3. [问题2][提示]f(x)=一2x,说明f(x)不是常量， 同理可得f(6)=5. 而是关于x的函数 ∫(2)=一3表示在第2h时，原油温度以3℃/h的速 O结论形成 度下降： 1.每一点x都可导一个函数导函数 f(6)=5表示在第6h时，原油温度以5℃/h的速度 limf(Ar)-f(z) 上升 Ar [触类旁通] 导学2 2.解析△y=3(1+△x)2-2(1+△x)-(3×12-2×1) [问题1][提示] Ay=fx+A)-f=x十△xx △x △x △x =3(△x)2+4△x, Ag=3A)2+4=3Ar十4， =1y-m2是-m1=1,即y/-1 △x △x [问题2][提示]y'=1表示函数y=x图象上每一点 f1)=一-四(3△x+)=4 处的切线的斜率都为1，如图.若y=x表示路程关于时 [例3][解析](1)将x=1代入曲线C的方程得y=1, 间的函数，则y=1可以解释为某物体作醉时速度为1 的匀速运动： .切点P(1,1) f=-是==4+2”1==3+3Ax+A △x =3.∴.k=f(1)=3. ∴.曲线在点P(1,1)处的切线方程为y一1=3(x一1)， 即3x-y-2=0. (2)设切点为Q(x0,yo),由(1)可知f(x0)=3x号，由题 意可知krQ=f(xo), 0-36,又%=，所以-1 即一1 ⊙结论形成 1.012x 3x2 11 即26-0-1=0，解得0=1或0=-之 x22√E 2.0axa-1 a'In a ef 1 1 ①当x0=1时，切点坐标为(1,1)，相应的切线方程为 xIn a cosx一sinx 3x-y-2=0. [基础自测] ②当0=一子时，切点坐标为（一合一言）相应的切 1.(1)×(2)√(3)√(4)/ 2.C因常数的导数等于0，故选C. 线方程为y叶日-(e+合)甲3江-+1=0 3.C:f(x)=10ln10,∴.f(1)=10ln10. [触类旁通] 4.解析∫(x)=cosx,所以∫(6π)=1. 答案1 3.解析设P(x0,yo)是满足条件的点， )(m (x0十△x)2-x 课堂案·互动探究 则了(x)=i四 △x △x [例1][解析]1)y-3ln3:(2)y=xn3 =2x0. (1)因为切线与直线y=4x-5平行，所以2x0=4,x0=2, （3)y=2c0s2号-1=c0sx,g=-sin y0=4,即P(2,4)是满足条件的点 (2)因为切线与直线2x一6y十5=0垂直， 0=(Fy=y=号xt=3 3 所以2。·日-1，得0=-2%=是 [触类旁通] 即P(一号，号)是满足条件的点。 1.解析（1)y=(1ogx)'-1 1 zIn 2' (3)因为切线的倾斜角为135°，所以其斜率为一1， 即2=-1，得0=-名0=子即P(名)是满 2y-d-y-子t 足条件的点 3y=[合)]=（号）fm=-(合)产a2 22。数学·选择性必修第三册（配RJB版） 6.1.2 导数及其几何意义 学业标准 素养目标 1.了解函数导数的概念，会求函数在某一点处的导数 1.通过导数几何意义的学习，培养数学抽象、直观 (难点) 想象核心素养。 2.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方2.借助求曲线的切线方程，提升逻辑推理、数学运 程.（重点） 算核心素养。 必备知识 课前案。自主学习 素养初成 教材梳理 0时，若平均变化率[=f八x十△)-fz) △x 导学1瞬时变化率与导数 无限接近于一个常数k,那么称常数k为 问题1一质点的运动方程为5=8一32，其 函数f(x)在点x。处的 中s表示位移，t表示时间.试求质点在 此时，也称f(x)在处可导，并称k为f(x) [1,1十△t幻这段时间内的平均速度. 在x=x。处的导数，记作f(x)=k,也可以 表示为f(x)=imfz+△）-fz) △x (2)瞬时变化率f(x。)的实际意义：当自 变量在x=x。处改变量△x很小时，因变量 问题2当△t趋近于0时问题1中的平均 对应的改变量的近似值为f(x。)△x. 速度趋近于几？怎样理解这一速度？ 导学2导数的几何意义 问题1 如图，直线1是曲线C的切线吗？ L2呢？ ⊙结论形成 1.物体运动的瞬时速度 设物体运动的路程与时间的关系是s= f(t),当 时，函数f(t)在。到 十A之间的平均变化率。十△)-f() to 趋近于一个常数，这个常数称为t。时刻的 2.函数的瞬时变化率与导数 (1)定义 问题2 设函数y=f(x)的图象如图所示， 设函数y=f(x)在x附近有定义，自变量在 AB是过点A(xo,f(x)与点B(x十△x, x=x,附近改变量为△x,当△x无限接近于 f(x。十△x)的一条割线，当点B沿曲线趋 60 第六章导数及其应用○ 近于A时，割线AB如何变化呢？割线 (2)函数y=∫(x)在x=x处的导数 AB的斜率kB与在点A处的切线AD的 f(x)的几何意义是函数y=f(x)在点 斜率k之间有什么关系？ (x,f(x)处的切线与x轴所夹锐角的 正切值。 ( ) (3)函数y=f(x)在x=x。处的导数 f(x)的几何意义是曲线y=f(x)在点 (xo,f(x))处的切线的斜率. () (4)函数y=f(x)在x=x处的导数 0 0+△x f(x)的几何意义是点（x。,f(x。))与点 (0,0)连线的斜率. 2.(多选)物体自由落体的运动方程为s(t)= 28t,g=9.8m/s,若u=lim (1+△)-s(1) △*0 △ ○结论形成 =9.8m/s,那么下列说法不正确的是 1.割线、切线的意义 ( (1)割线：设S是平面上的一条曲线，P。是 A.9.8m/s是物体从0s到1s这段时间 内的速率 曲线S上的一个定点，P是曲线S上P。 B.9.8m/s是1s到(1+△t)s这段时间内 附近的点，则称直线 为曲线S的 的速率 割线 C.9.8m/s是物体在t=1s这一时刻的 (2)切线：如果P无限接近于P。时，割线 速率 PP。无限接近于 D.9.8m/s是物体从1s到(1+△t)s这段 则称直线（为曲线S在点P。处的切线， 时间内的平均速率 2.导数的几何意义 3.设(x)=0,则曲线y=f(x)在点(x。, (1)几何意义 f(x)处的切线 曲线y=f(x)在点(x,f(x。)处的导数 A.不存在 f(x)为 B.与x轴平行或重合 (2)曲线y=f(x)在x=x,处的切线方程 C.与x轴垂直 曲线y=f(x)在点(x。,f(x)处（也称在 D.与x轴相交但不垂直 x=x。处)切线的方程为y一f(x。) 4.如图，函数y=f(x)的图象在点P处的切 线方程是y=一x十8，则f(5)十f(5)= 基础自测 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） (1)函数y=f(x)在x=x,处的导数 f(x。)的几何意义是函数y=f(x)在点 x=x。处的函数值， 61 。数学·选择性必修第三册（配RJB版） 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一求瞬时速度 (一题多变)： [素养聚焦]本题主要考查瞬时速度的求法，培养 例如果某物体的运动路程s与时间t满 数学抽象和数学运算核心素养 足函数s=2(1十t)(s的单位为m,t的单 规律方法 位为s),求此物体在1.2s末的瞬时速度， 要计算物体的瞬时速度，只要给时间一个改变 [自主解答] 量△1，求出相应的位移的改变量△，再求出平均速 度一是最后计算当4趋向于0时，总趋向于的 常数，就是物体在该时刻的瞬时速度， [触类旁通] 1.若一物体运动方程如下（位移单位：m,时 间单位：s): 3t2+2,t≥3， s=f(t)= 求： 29+3(t-3)2,0≤t≤3. (1)物体的初速度。； (2)物体在t=1时的瞬时速度】 [母题变式] 1.(变结论)试求该物体在t。时的瞬时速度： 2.(变结论)物体在哪一时刻的瞬时速度为 12m/s? 62 第六章导数及其应用。 题型二求函数在某点处的导数 [触类旁通] 例2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等产 :2.利用导数的定义求函数f(x)=3x2一2x 品，需要对原油进行冷却和加热.如果第 在x=1处的导数. xh时，原油的温度（单位：℃）为f(x)= x2-7x十15(0≤x≤8)，求函数f(x)在 x=2和x=6处的导数，并解释它们的实 际意义 [自主解答] 题型三求曲线的切线方程 例3已知曲线C:y=x3. (1)求曲线C在横坐标为x=1的点处的 切线方程； (2)求曲线C过点(1,1)的切线方程. [自主解答] 规律方法 利用导数的定义求函数在点x。处的导数的步骤 求函数的变化量 △y=fx0+dx)-fx） 求函数的 △y fxo+Ax-fx 平均变化率 Ax △x 取极限，得导数 fxo+Ax)-f(xo) 含 63 O数学·选择性必修第三册（配RJB版） 规律方法 [缜密思维提能区] 易错案例 利用导数的几何意义求切线方程的方法 求曲线的切线方程 (1)若已知点(x。,y)在已知曲线上，求在点(x,y%) [典例] 已知抛物线y=x2十x十1，求该抛 处的切线方程，先求出函数y=f(x)在点x。处的 物线过原点的切线方程， 导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程 [错解]切点即为原，点(0,0)， iy-yo=f'(xo)(x-zo). f(0)=lim (△x)2+△x+1-1 =1im(1+ (2)若点(x。,y)不在曲线上，求过点(xo,yo)的切 △x+0 △x 线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何 △x)=1,故斜率为1. 意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程， 得切线方程为y=x,即x一y=0, [触类旁通] [正解]设切点坐标为(x,y),则f(x,) 3.在曲线y=x2上过哪一点的切线： lim (x十△x)2+(x+Ax)+1-(x6+x。+1) r+*0 △x (1)平行于直线y=4x-5? =lim(2x。+1+△x)=2x。+1, (2)垂直于直线2x一6y+5=0? (3)倾斜角为135°？ 所以斜率=2x。十1， 故所求的切线方程为 y-y%=(2x+1)(x-x。), 将(0,0)及y=x号+x。十1代入上式得 -(x6+x+1)=-x(2x0十1)， 解得x=1或x=-1, 所以k=3或k=一1， 所以切线方程为y=3x或y=一x, 即3x-y=0或x十y=0. [纠错心得]求切线方程时，一定要看清楚求 的是曲线上某点处的切线方程，还是过某点的切 线方程，求过某点处的切线方程时，这个点不一 定是切点，需要设切点 课堂小结 知识落实 技法强化 (1)函数在某点处的导数即在该点 处的瞬时变化率，它反映了函数在 (1)瞬时变化该点处的变化状态.如以时间为自 率与导数 变量的位移函数的导数表示某时刻 (2)导数的几物体的运动速度，即v=s'(t), 何意义 (2)函数f(x)在点x。处有导数，则 在该点处函数f(x)的曲线必有切 线，且导数值是该切线的斜率 温馨 足刀下 请完成[课后案】学业评价（十四） 64