6.1.3 基本初等函数的导数导学案-2024-2025学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

6.1.3 基本初等函数的导数 学习目标：1. 理解导函数的概念；2. 能通过导函数的定义推导常函数和幂函数的导数. 3. 能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.4 会使用导数公式表． 教学重点：利用导数公式表求简单函数的导数． 教学难点：导数公式的推导过程． 【学习过程】 知识点 1：导函数的概念 问题 1：已知函数𝑓(𝑥) = 𝑥2，任取一个实数𝑥0，判断𝑓(𝑥)在𝑥0处是否可导，如果可导，求 出𝑓′(𝑥0). 设自变量在𝑥 = 𝑥0附近的改变量为∆𝑥，则函数在以𝑥0， 𝑥0 + ∆𝑥为端点的闭区间上的平均 变化率为 ∆𝑓 ∆𝑥 = 𝑓(𝑥0+∆𝑥)−𝑓(𝑥0) ∆𝑥 = (𝑥0+∆𝑥) 2−𝑥0 2 ∆𝑥 = 2𝑥0 + ∆𝑥. 可以看出，当∆𝑥无限接近于 0 时，平均变化率无限接近于2𝑥0，因此𝑓(𝑥)在𝑥0处 可导，而且 𝑓′(𝑥0) = lim ∆𝑥→0 𝑓(𝑥0+∆𝑥)−𝑓(𝑥0) ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 (2𝑥0 + ∆𝑥) = 2𝑥0. 𝑓′(𝑥0) = 2𝑥0 𝑓′(𝑥0)随着𝑥0变化而变化，而且𝑥0的值确定之后，𝑓 ′(𝑥0)也就确定了. 例如 𝑥0 = 2时， 𝑓 ′(2) = 2 × 2 = 4； 𝑥0 = −3时， 𝑓 ′(−3) = 2 × (−3) = −6； 这就说明，𝑓′(𝑥0)是𝑥0的函数. 导函数的定义 一般地，如果函数𝑦 = 𝑓(𝑥)在其定义域内的每一点 x 都可导，则称𝑓(𝑥)可导. 此时，对 定义域内的每一个值 x，都对应一个确定的导数𝑓′(𝑥). 于是在𝑓(𝑥)的定义域内，𝑓′(𝑥)是一 个函数，这个函数通常称为函数𝑦 = 𝑓(𝑥)的导函数，记作𝑓′(𝑥)(或𝑦′， 𝑦𝑥 ′ )，即 𝑓′(𝑥) = 𝑦′=𝑦𝑥 ′ = lim ∆𝑥→0 𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥) ∆𝑥 . 导函数也简称为导数. 如果已知函数𝑓(𝑥)的导函数是𝑓′(𝑥)，那么可以方便地求得这个函数在𝑥 = 𝑥0处的导数 𝑓′(𝑥0). 例如，已知函数𝑓(𝑥) = 𝑥2，易求得其导函数为𝑓′(𝑥) = 2𝑥. 如果要求𝑓′(−1)的值，只需将 𝑥 = −1代入导函数的表达式即可，即𝑓′(−1) = 2 × (−1) = −2. 这也说明，如果函数𝑓(𝑥)的导函数存在，那么曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)在每一点处的切线都存在. 知识点 2：常数函数与幂函数的导数 例 1：分别求出下列函数的导数，并说说导数的意义. （1）𝑓(𝑥) = 𝐶，其中𝐶是常数； 解：根据定义可知 𝑓′(𝑥) = lim ∆𝑥→0 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝐶 − 𝐶 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 0 = 0. 若 𝑓(𝑥) = C 表示路程关于时间的函数，则 𝑓′(𝑥)= 0 可以解释为某物体的瞬时速度始终 为 0，即一直处于静止状态. （2）𝑓(𝑥) = 𝑥； 解：根据定义可知 𝑓′(𝑥) = lim ∆𝑥→0 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 (𝑥 + ∆𝑥) − 𝑥 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 1 = 1. 若 𝑓(𝑥) = x 表示路程关于时间的函数，则 𝑓′(𝑥)= 1 可以解释为某物体做瞬时速度为 1 的匀速直线运动. （3）𝑓(𝑥) = 𝑥3； 解：根据定义可知 𝑓′(𝑥) = lim ∆𝑥→0 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 (𝑥 + ∆𝑥)3 − 𝑥3 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 [ 3𝑥2 + 3𝑥 ∆𝑥 + (∆𝑥)2] = 3𝑥2 由导数𝑓′(𝑥) = 3𝑥2是偶函数可知，在曲线𝑦 = 𝑥3上，自变量互为相反数的两点，它们的切 线斜率相等；𝑥 > 0时，自变量越大，切线的斜率越大，|𝑘|也越大，函数𝑓(𝑥) = 𝑥3增加得 越来越快. （4）𝑓(𝑥) = 1 𝑥 ； 解：根据定义可知 𝑓′(𝑥) = lim ∆𝑥→0 𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥) ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 1 𝑥+∆𝑥 − 1 𝑥 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 −1 𝑥(𝑥+∆𝑥) =− 1 𝑥2 . 由导数𝑓′(𝑥) = − 1 𝑥2 是偶函数可知，在曲线𝑦 = 1 𝑥 上，自变量互为相反数的两点，它们的切 线斜率相等；𝑥 > 0时，自变量越大，切线的斜率越大，|𝑘|越小，函数𝑓(𝑥) = 1 𝑥 减少得越 来越慢. （5）𝑓(𝑥) = √𝑥(𝑥 > 0). 解：根据定义可知 𝑓′(𝑥) = lim ∆𝑥→0 𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥) ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 √𝑥+∆𝑥−√𝑥 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 ∆𝑥 ∆𝑥(√𝑥+∆𝑥+√𝑥) = lim ∆𝑥→0 1 √𝑥+∆𝑥+√𝑥 = 1 2√𝑥 在曲线𝑦 = √𝑥上，当 x > 0 时，自变量越大，切线的斜率越小， |𝑘|越小，函数𝑓(𝑥) = √𝑥 增加得越来越慢. 几个常见函数的导数 函数 导函数 f(x)＝C，C为常数 f′(x)＝□01 0 f(x)＝x f′(x)＝□02 1 f(x)＝x2 f′(x)＝□03 2x f(x)＝x3 f′(x)＝□04 3x2 f(x)＝ 1 x f′(x)＝□05－ 1 x2 f(x)＝ x(x＞0) f′(x)＝□06 1 2 x 练习 1. 分别求下来函数的导数. (1)𝑓(𝑥) = 𝑥7； (2) 𝑓(𝑥) = 𝑥− 1 3. 解：(1)𝑓′(𝑥) = 7𝑥7−1 = 7𝑥6； (2) 𝑓′(𝑥) = − 1 3 𝑥− 1 3 −1 = − 1 3 𝑥− 4 3； 导数公式表 函数 导函数 f(x)＝xα(α≠0) f′(x)＝□01 αxα－1 f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1) f′(x)＝□02 ax_ln_a x √𝑥 f(x)＝logax(a＞0，且 a≠1) f′(x)＝□03 1 x ln a f(x)＝sin x f′(x)＝□04 cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝□05－sin_x 练习 3 求下列函数的导数． (1) ＝x12；(2) ＝ 1 x4 ；(3) ＝ 5 x3；(4) ＝log5x. [解] (1) ′＝(x12)′＝12x11. (2) ′＝      1 x4 ′＝(x－4)′＝－4x－5＝－ 4 x5 . (3) ′＝( 5 x3)′＝(x 3 5 )′＝ 3 5 x － 2 5 ＝ 3 5 5 x2 . (4) ′＝(log5x)′＝ 1 xln 5 . 练习 4 求下列函数的导数． (1) ＝3x；(2) ＝x x；(3) ＝2－x； (4) ＝cos2 x 2 －sin2 x 2 . 解 (1) ′＝(3x)′＝3x ln 3. (2) ′＝(x x)′＝(x 3 2 )′＝ 3 2 x 3 2－ 1 ＝ 3 2 x 1 2 ． (3) ′＝(2－x)′＝            1 2 x ′＝      1 2 x ln 1 2 ＝－      1 2 x ln 2. (4)∵ ＝cos2 x 2 －sin2 x 2 ＝cosx， ∴ ′＝(cos x)′＝－sin x. 例 2：已知函数𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥，𝑔(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥，求𝑓′(𝑥)，𝑔′(𝑥). 解：在(𝑎𝑥)′ = 𝑎𝑥𝑙𝑛𝑎，中令𝑎 = 𝑒， 可得(𝑒𝑥)′ = 𝑒𝑥𝑙𝑛e = 𝑒𝑥， 因此𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥 . 在(𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥) ′ = 1 𝑥𝑙𝑛𝑎 ，中令𝑎 = 𝑒， 可得(𝑙𝑜𝑔𝑒𝑥) ′ = 1 𝑥𝑙𝑛𝑒 = 1 𝑥 ， 即(ln 𝑥)′ = 1 𝑥 ，因此𝑔′(𝑥) = 1 𝑥 . 归纳：(𝑒𝑥)′ = 𝑒𝑥； (ln 𝑥)′ = 1 𝑥 . 两公式可直接使用. 例 3： 求曲线y = 𝑠𝑖𝑛𝑥在(0，𝑠𝑖𝑛0)处切线的切线方程. 解：因为y′ = (𝑠𝑖𝑛𝑥)′ = 𝑐𝑜𝑠𝑥， 所以切线的斜率为𝑐𝑜𝑠0 = 1， 又因为𝑠𝑖𝑛0 = 0 ， 所以切点为(0，0)， 因此切线的方程为 𝑦 − 0 = 1(𝑥 − 0)， 即𝑦 = 𝑥. 例 4：已知函数𝑓(𝑥) = 𝑥2，而𝑙是曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)的切线，且𝑙经过点(2，3). （1）判断(2，3)是否是曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)上的点； （2）求𝑙的方程. 解： (1)因为𝑓(2) = 22 = 4 ≠ 3，所以点(2，3)不是曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)上的点. (2)设切点为(𝑥0，𝑓(𝑥0))， 因为𝑓′(𝑥) = 2𝑥，所以切线的斜率为𝑓′(𝑥0) = 2𝑥0， 又因为𝑓 (𝑥0) = 𝑥0 2，所以切点为(𝑥0，𝑥0 2)， 因此直线𝑙的方程为𝑦 − 𝑥0 2 = 2𝑥0(𝑥 − 𝑥0). 直线𝑙的方程为𝑦 − 𝑥0 2 = 2𝑥0(𝑥 − 𝑥0)， 将(2，3)代入上式并整理，可得𝑥0 2 − 4𝑥0 + 3 = 0，由此可解得𝑥0 = 1或𝑥0 = 3. 将𝑥0取值回代，切线方程为𝑦 − 1 = 2(𝑥 − 1)或 𝑦 − 9 = 6(𝑥 − 3)， 即𝑙的方程为𝑦 = 2𝑥 − 1或𝑦 = 6𝑥 − 9. 思考：分析比较例 3 中的“在某点处”和例 4 中的“切线过某点”各是什么意思，如何求 解切线方程？ (1)求曲线“在”某点处的切线方程 “在”某点的切线就意味着该点一定是切点. 求解步骤： ①求导，将切点代入得切线得斜率； ②求切点坐标； ③用点斜式写切线方程并化为一般式. (2)求曲线的切线“过”某点的切线方程 切线“过”某点就意味着该点不一定是切点. 求解步骤: ①设出切点； ②求导，将切点代入切线得斜率； ③求切点坐标； ④用点斜式写出含未知数的切线方程； ⑤将切线经过的点代入方程求得未知数； ⑥再将未知数回代，整理得到切线方程. 练习 5. 求曲线𝑓(𝑥) = 𝑥2在点(3，𝑓(3))处的切线方程. 解：因为𝑓(𝑥)′ = (𝑥2)′ = 2𝑥， 所以切线的斜率为2 × 3 = 6， 又因为32 = 9 ， 所以切点为(3，9)， 因此切线的方程为 𝑦 − 9 = 6(𝑥 − 3)， 即𝑦 = 6𝑥 − 9. 练习 6. 将上题中的条件改为曲线𝑓(𝑥) = 𝑥2的切线经过点(3，5)，求切线方程. 解：设切点为(𝑥0，𝑓(𝑥0))， 因为𝑓′(𝑥) = 2𝑥，所以切线的斜率为𝑓′(𝑥0) = 2𝑥0， 又因为𝑓 (𝑥0) = 𝑥0 2，所以切点为(𝑥0，𝑥0 2)， 因此直线𝑙的方程为𝑦 − 𝑥0 2 = 2𝑥0(𝑥 − 𝑥0)， 将(3，5)代入上式并整理，可得𝑥0 2 − 6𝑥0 + 5 = 0，解得𝑥0 = 1或𝑥0 = 5. 将𝑥0取值回代，得切线方程为𝑦 − 1 = 2(𝑥 − 1)或 𝑦 − 25 = 10(𝑥 − 5)， 即𝑙的方程为𝑦 = 2𝑥 − 1或𝑦 = 10𝑥 − 25. 随堂检测 1．以下求导正确的是( ) A．(log2x)′＝ 1 x ln 2 B．(cos x)′＝sin x C．      1 x ′＝ 1 x2 D．(πx)′＝x·πx－1 答案 A 解析 对于 A，(log2x)′＝ 1 x ln 2 ，A 正确；对于 B，(cos x)′＝－sin x，B 错误； 对于 C，      1 x ′＝－ 1 x2 ，故 C 错误；对于 D，(πx)′＝πx ln π，D 错误．故选 A． 2．曲线 ＝ex在点 A(0，1)处的切线斜率为( ) A．1 B．2 C．e D． 1 e 答案 A 解析 由已知条件，得 ′＝ex，根据导数的几何意义，可得 k＝ ′|x＝0＝e 0＝ 1. 3．(多选)设 P0为曲线 f(x)＝x3上的点，且曲线在点 P0处的切线平行于直线 ＝3x－1，则点 P0的坐标可以为( ) A．(1，1) B．(2，8) C．(－1，－1) D．(1，4) 答案 AC 解析 f′(x)＝3x2，设 P0(x0， 0)，因为曲线 f(x)＝x3 在点 P0 处的切线平行于 直线 ＝3x－1，所以 f′(x0)＝3x20＝3，解得 x0＝±1，所以点 P0 的坐标为(1，1)或 (－1，－1).故选 AC． 4．曲线 ＝ 1 4 x3 在 x＝1 处的切线的倾斜角的正切值为________. 答案 － 3 4 解析 ′＝(x － 3 4 )′＝－ 3 4 ×x － 7 4 ，∴当 x＝1 时， ′＝－ 3 4 ＝k，∴倾斜角的正切 值为－ 3 4 . 5．(2022 新高考全国 II 卷·第 14 题)曲线 ln | |y x= 过坐标原点的两条切线的方程为 ____________，____________． 答案 ①． 1 e y x= ②． 1 e y x= − 解析 因为 lny x= ， 当 0x  时 lny x= ，设切点为 ( )0 0, lnx x ，由 1 y x  = ，所以 0 0 1 |x xy x =  = ，所以切线方 程为 ( )0 0 0 1 lny x x x x − = − ， 又切线过坐标原点，所以 ( )0 0 0 1 ln x x x − = − ，解得 0 ex = ，所以切线方程为 ( ) 1 1 e e y x− = − ，即 1 e y x= ； 当 0x  时 ( )lny x= − ，设切点为 ( )( )1 1, lnx x− ，由 1 y x  = ，所以 1 1 1 |x xy x =  = ，所以 切线方程为 ( ) ( )1 1 1 1 lny x x x x − − = − ， 又切线过坐标原点，所以 ( ) ( )1 1 1 1 ln x x x − − = − ，解得 1 ex = − ，所以切线方程为 ( ) 1 1 e e y x− = + − ，即 1 e y x= − ； 故答案为： 1 e y x= ； 1 e y x= − 6．设曲线 f(x)＝xn＋1(n∈N＋)在点(1，1)处的切线与 x轴的交点的横坐标为 xn，令 an＝lg xn，求 a1＋a2＋…＋a99的值． 解 导函数 f′(x)＝(n＋1)xn，切线斜率 f′(1)＝n＋1，所以切线方程为 ＝(n＋ 1)x－n，可求得切线与 x轴的交点为      n n＋1 ，0 ，则 an＝lg n n＋1 ＝lg n－lg (n＋1)， 所以 a1＋a2＋…＋a99 ＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…＋(lg 99－lg 100) ＝lg 1－lg 100＝－2. 7．若曲线𝑦＝𝑥− 1 2在点(a，𝑎− 1 2)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 18，求 a 的值． 解 ∵ ＝x － 1 2 ，∴ ′＝－ 1 2 x － 3 2 ， ∴曲线在点(a，a － 1 2 )处的切线斜率 k＝－ 1 2 a － 3 2 ， ∴切线方程为 －a － 1 2 ＝－ 1 2 a － 3 2 (x－a). 令 x＝0 得 ＝ 3 2 a － 1 2 ；令 ＝0 得 x＝3a. ∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S＝ 1 2 ·3a· 3 2 a － 1 2 ＝ 9 4 a 1 2 ＝18，∴a＝64. 6.1.3 基本初等函数的导数 学习目标：1. 理解导函数的概念；2. 能通过导函数的定义推导常函数和幂函数的导数. 3.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.4会使用导数公式表． 教学重点：利用导数公式表求简单函数的导数． 教学难点：导数公式的推导过程． 【学习过程】 知识点 1：导函数的概念 问题1：已知函数，任取一个实数，判断在处是否可导，如果可导，求出. 设自变量在附近的改变量为，则函数在以， 为端点的闭区间上的平均变化率为 . 可以看出，当无限接近于0时，平均变化率无限接近于，因此在处可导，而且 随着变化而变化，而且的值确定之后，也就确定了. 例如 时， 时， 这就说明，是的函数. 导函数的定义 一般地，如果函数在其定义域内的每一点x都可导，则称可导. 此时，对定义域内的每一个值x，都对应一个确定的导数. 于是在的定义域内，是一个函数，这个函数通常称为函数的导函数，记作(或， )，即 =. 导函数也简称为导数. 如果已知函数的导函数是，那么可以方便地求得这个函数在处的导数. 例如，已知函数，易求得其导函数为 . 如果要求的值，只需将代入导函数的表达式即可，即. 这也说明，如果函数的导函数存在，那么曲线在每一点处的切线都存在. 知识点 2：常数函数与幂函数的导数 例 1：分别求出下列函数的导数，并说说导数的意义. （1），其中是常数； 解：根据定义可知 若 = C 表示路程关于时间的函数，则 = 0 可以解释为某物体的瞬时速度始终为 0，即一直处于静止状态. （2）； 解：根据定义可知 若 = x 表示路程关于时间的函数，则 = 1 可以解释为某物体做瞬时速度为 1 的匀速直线运动. （3）； 解：根据定义可知 由导数 是偶函数可知，在曲线上，自变量互为相反数的两点，它们的切线斜率相等；时，自变量越大，切线的斜率越大，也越大，函数增加得越来越快. （4）； 解：根据定义可知 由导数是偶函数可知，在曲线上，自变量互为相反数的两点，它们的切线斜率相等；时，自变量越大，切线的斜率越大，越小，函数 减少得越来越慢. （5）. 解：根据定义可知 = 在曲线上，当 x > 0 时，自变量越大，切线的斜率越小， 越小，函数= 增加得越来越慢. 几个常见函数的导数 函数 导函数 f(x)＝C，C为常数 f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝x3 f′(x)＝3x2 f(x)＝ f′(x)＝－ f(x)＝(x＞0) f′(x)＝ 练习1. 分别求下来函数的导数. (； (2) . 解：(1) ； (2) ； 导数公式表 函数 导函数 f(x)＝xα(α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝ax_ln_a f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x 练习3 求下列函数的导数． (1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝log5x. [解]　(1)y′＝(x12)′＝12x11. (2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－. (3)y′＝()′＝(x)′＝x＝ . (4)y′＝(log5x)′＝. 练习4 求下列函数的导数． (1)y＝3x；(2)y＝x；(3)y＝2－x； (4)y＝cos2－sin2. 解　(1)y′＝(3x)′＝3x ln 3. (2)y′＝(x)′＝(x)′＝x＝x． (3)y′＝(2－x)′＝′＝ln ＝－ln 2. (4)∵y＝cos2－sin2＝cosx， ∴y′＝(cos x)′＝－sin x. 例 2：已知函数，求，. 解：在 ，中令， ， 因此 在 ，中令， ， 即(，因此. 归纳：； ( 两公式可直接使用. 例 3： 求曲线在处切线的切线方程. 解：因为， 所以切线的斜率为， 又因为， 所以切点为(0，0)， 因此切线的方程为 ， 即 例 4：已知函数，而是曲线的切线，且经过点(2，3). （1）判断(2，3)是否是曲线上的点； （2）求的方程. 解： (1)因为，所以点(2，3)不是曲线上的点. (2)设切点为， 因为，所以切线的斜率为， 又因为，所以切点为(，)， 因此直线的方程为. 直线的方程为， 将(2，3)代入上式并整理，可得，由此可解得 或 将取值回代，切线方程为或 ， 即的方程为或 思考：分析比较例3中的“在某点处”和例4中的“切线过某点”各是什么意思，如何求解切线方程？ (1)求曲线“在”某点处的切线方程 “在”某点的切线就意味着该点一定是切点. 求解步骤： ①求导，将切点代入得切线得斜率； ②求切点坐标； ③用点斜式写切线方程并化为一般式. (2)求曲线的切线“过”某点的切线方程 切线“过”某点就意味着该点不一定是切点. 求解步骤: ①设出切点； ②求导，将切点代入切线得斜率； ③求切点坐标； ④用点斜式写出含未知数的切线方程； ⑤将切线经过的点代入方程求得未知数； ⑥再将未知数回代，整理得到切线方程. 练习5. 求曲线在点(3，)处的切线方程. 解：因为， 所以切线的斜率为， 又因为， 所以切点为(3，9)， 因此切线的方程为 ， 即 练习6. 将上题中的条件改为曲线的切线经过点(3，)，求切线方程. 解：设切点为， 因为，所以切线的斜率为， 又因为，所以切点为(，)， 因此直线的方程为， 将(3，5)代入上式并整理，可得，解得 或 将取值回代，得切线方程为或 ， 即的方程为或 随堂检测 1．以下求导正确的是(　　) A．(log2x)′＝ B．(cos x)′＝sin x C．′＝ D．(πx)′＝x·πx－1 答案　A 解析　对于A，(log2x)′＝，A正确；对于B，(cos x)′＝－sin x，B错误；对于C，′＝－，故C错误；对于D，(πx)′＝πx ln π，D错误．故选A． 2．曲线y＝ex在点A(0，1)处的切线斜率为(　　) A．1 B．2 C．e D． 答案　A 解析　由已知条件，得y′＝ex，根据导数的几何意义，可得k＝y′|x＝0＝e0＝1. 3．(多选)设P0为曲线f(x)＝x3上的点，且曲线在点P0处的切线平行于直线y＝3x－1，则点P0的坐标可以为(　　) A．(1，1) B．(2，8) C．(－1，－1) D．(1，4) 答案　AC 解析　f′(x)＝3x2，设P0(x0，y0)，因为曲线f(x)＝x3在点P0处的切线平行于直线y＝3x－1，所以f′(x0)＝3x＝3，解得x0＝±1，所以点P0的坐标为(1，1)或(－1，－1).故选AC． 4．曲线y＝在x＝1处的切线的倾斜角的正切值为________. 答案　－ 解析　y′＝(x)′＝－×x，∴当x＝1时，y′＝－＝k，∴倾斜角的正切值为－. 5．(2022新高考全国II卷·第14题)曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 答案 ①． ②． 解析 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 故答案为：； 6．设曲线f(x)＝xn＋1(n∈N＋)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，求a1＋a2＋…＋a99的值． 解　导函数f′(x)＝(n＋1)xn，切线斜率f′(1)＝n＋1，所以切线方程为y＝(n＋1)x－n，可求得切线与x轴的交点为，则an＝lg ＝lg n－lg (n＋1)， 所以a1＋a2＋…＋a99 ＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…＋(lg 99－lg 100) ＝lg 1－lg 100＝－2. 7．若曲线在点(a，)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值． 解　∵y＝x，∴y′＝－x， ∴曲线在点(a，a)处的切线斜率k＝－a， ∴切线方程为y－a＝－a (x－a). 令x＝0得y＝a；令y＝0得x＝3a. ∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S＝·3a·a＝a＝18，∴a＝64. 学科网（北京）股份有限公司 $$高二数学导学案 编写人：梁松峰 1 6.1.3 基本初等函数的导数 学习目标：1. 理解导函数的概念；2. 能通过导函数的定义推导常函数和幂函数的导数. 3. 能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.4 会使用导数公式表． 教学重点：利用导数公式表求简单函数的导数． 教学难点：导数公式的推导过程． 【学习过程】 知识点 1：导函数的概念 问题 1：已知函数𝑓(𝑥) = 𝑥2，任取一个实数𝑥0，判断𝑓(𝑥)在𝑥0处是否可导，如果可导，求 出𝑓′(𝑥0). 导函数的定义 一般地，如果函数𝑦 = 𝑓(𝑥)在其定义域内的每一点 x 都可导，则称𝑓(𝑥)可导. 此时，对 定义域内的每一个值 x，都对应一个确定的导数𝑓′(𝑥). 于是在𝑓(𝑥)的定义域内，𝑓′(𝑥)是一 个函数，这个函数通常称为函数𝑦 = 𝑓(𝑥)的导函数，记作𝑓′(𝑥)(或𝑦′， 𝑦𝑥 ′ )，即 𝑓′(𝑥) = 𝑦′=𝑦𝑥 ′ = lim ∆𝑥→0 𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥) ∆𝑥 . 导函数也简称为导数. 如果已知函数𝑓(𝑥)的导函数是𝑓′(𝑥)，那么可以方便地求得这个函数在𝑥 = 𝑥0处的导数𝑓 ′(𝑥0). 知识点 2：常数函数与幂函数的导数 例 1：分别求出下列函数的导数，并说说导数的意义. （1）𝑓(𝑥) = 𝐶，其中𝐶是常数； （2）𝑓(𝑥) = 𝑥； （3）𝑓(𝑥) = 𝑥3； （4）𝑓(𝑥) = 1 𝑥 ； （5）𝑓(𝑥) = √𝑥(𝑥 > 0). 几个常见函数的导数 函数 导函数 f(x)＝C，C 为常数 f′(x)＝ . f(x)＝x f′(x)＝ . f(x)＝x2 f′(x)＝ . f(x)＝x3 f′(x)＝ . f(x)＝ 1 x f′(x)＝ . f(x)＝ x(x＞0) f′(x)＝ . 高二数学导学案 编写人：梁松峰 2 练习 1. 分别求下来函数的导数. (1)𝑓(𝑥) = 𝑥7； (2) 𝑓(𝑥) = 𝑥− 1 3. 导数公式表 函数 导函数 f(x)＝xα(α≠0) f′(x)＝ . f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1) f′(x)＝ . f(x)＝logax(a＞0，且 a≠1) f′(x)＝ . f(x)＝sin x f′(x)＝ . f(x)＝cos x f′(x)＝ . 练习 2 求下列函数的导数． (1)y＝x12；(2)y＝ 1 x4 ；(3)y＝ 5 x3；(4)y＝log5x. 练习 3 求下列函数的导数． (1)y＝3x； (2)y＝x x； (3)y＝2 －x； (4)y＝cos2 x 2 －sin2 x 2 . 例 2：已知函数𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥，𝑔(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥，求𝑓′(𝑥)，𝑔′(𝑥). 归纳：(𝑒𝑥)′ = ； (ln 𝑥)′ = .两公式可直接使用. 高二数学导学案 编写人：梁松峰 3 例 3： 求曲线y = 𝑠𝑖𝑛𝑥在(0，𝑠𝑖𝑛0)处切线的切线方程. 例 4：已知函数𝑓(𝑥) = 𝑥2，而𝑙是曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)的切线，且𝑙经过点(2，3). （1）判断(2，3)是否是曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)上的点； （2）求𝑙的方程. 思考：分析比较例 3 中的“在某点处”和例 4 中的“切线过某点”各是什么意思，如何求 解切线方程？ (1)求曲线“在”某点处的切线方程 “在”某点的切线就意味着该点一定是切点. 求解步骤： ①求导，将切点代入得切线得斜率； ②求切点坐标； ③用点斜式写切线方程并化为一般式. (2)求曲线的切线“过”某点的切线方程 切线“过”某点就意味着该点不一定是切点. 求解步骤: ①设出切点； ②求导，将切点代入切线得斜率； ③求切点坐标； ④用点斜式写出含未知数的切线方程； ⑤将切线经过的点代入方程求得未知数； ⑥再将未知数回代，整理得到切线方程. 练习 4. 求曲线𝑓(𝑥) = 𝑥2在点(3，𝑓(3))处的切线方程. 练习 5 将上题中的条件改为曲线𝑓(𝑥) = 𝑥2的切线经过点(3，5)，求切线方程. 高二数学导学案 编写人：梁松峰 4 课后作业 1．以下求导正确的是( ) A．(log2x)′＝ 1 x ln 2 B．(cos x)′＝sin x C．   1 x ′＝ 1 x2 D．(πx)′＝x·πx－1 2．曲线 y＝ex在点 A(0，1)处的切线斜率为( ) A．1 B．2 C．e D． 1 e 3．(多选)设 P0 为曲线 f(x)＝x3 上的点，且曲线在点 P0 处的切线平行于直线 y＝3x－1， 则点 P0的坐标可以为( ) A．(1，1) B．(2，8) C．(－1，－1) D．(1，4) 4．曲线 y＝ 1 4 x3 在 x＝1 处的切线的倾斜角的正切值为________. 5．(2022 全国 II 卷·第 14 题)曲线 ln | |y x= 过坐标原点的两条切线的方程为 ____________，____________． 6．设曲线 f(x)＝xn＋1(n∈N＋)在点(1，1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn，令 an＝lg xn，求 a1＋a2＋…＋a99的值． 7．若曲线𝑦＝𝑥− 1 2在点(a，𝑎− 1 2)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 18，求 a 的值． 高二数学导学案 编写人：梁松峰 6.1.3 基本初等函数的导数 学习目标：1. 理解导函数的概念；2. 能通过导函数的定义推导常函数和幂函数的导数. 3.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.4会使用导数公式表． 教学重点：利用导数公式表求简单函数的导数． 教学难点：导数公式的推导过程． 【学习过程】 知识点 1：导函数的概念 问题1：已知函数，任取一个实数，判断在处是否可导，如果可导，求出. 导函数的定义 一般地，如果函数在其定义域内的每一点x都可导，则称可导. 此时，对定义域内的每一个值x，都对应一个确定的导数. 于是在的定义域内，是一个函数，这个函数通常称为函数的导函数，记作(或， )，即 =. 导函数也简称为导数. 如果已知函数的导函数是，那么可以方便地求得这个函数在处的导数. 知识点 2：常数函数与幂函数的导数 例 1：分别求出下列函数的导数，并说说导数的意义. （1），其中是常数； （2）； （3）； （4）； （5）. 几个常见函数的导数 函数 导函数 f(x)＝C，C为常数 f′(x)＝ . f(x)＝x f′(x)＝ . f(x)＝x2 f′(x)＝ . f(x)＝x3 f′(x)＝ . f(x)＝ f′(x)＝ . f(x)＝(x＞0) f′(x)＝ . 练习1. 分别求下来函数的导数. (； (2) . 导数公式表 函数 导函数 f(x)＝xα(α≠0) f′(x)＝ . f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝ . f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝ . f(x)＝sin x f′(x)＝ . f(x)＝cos x f′(x)＝ . 练习2 求下列函数的导数． (1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝log5x. 练习3 求下列函数的导数． (1)y＝3x； (2)y＝x； (3)y＝2－x； (4)y＝cos2－sin2. 例 2：已知函数，求，. 归纳： ； ( .两公式可直接使用. 例 3： 求曲线在处切线的切线方程. 例 4：已知函数，而是曲线的切线，且经过点(2，3). （1）判断(2，3)是否是曲线上的点； （2）求的方程. 思考：分析比较例3中的“在某点处”和例4中的“切线过某点”各是什么意思，如何求解切线方程？ (1)求曲线“在”某点处的切线方程 “在”某点的切线就意味着该点一定是切点. 求解步骤： ①求导，将切点代入得切线得斜率； ②求切点坐标； ③用点斜式写切线方程并化为一般式. (2)求曲线的切线“过”某点的切线方程 切线“过”某点就意味着该点不一定是切点. 求解步骤: ①设出切点； ②求导，将切点代入切线得斜率； ③求切点坐标； ④用点斜式写出含未知数的切线方程； ⑤将切线经过的点代入方程求得未知数； ⑥再将未知数回代，整理得到切线方程. 练习4. 求曲线在点(3，)处的切线方程. 练习5 将上题中的条件改为曲线的切线经过点(3，)，求切线方程. 课后作业 1．以下求导正确的是(　　) A．(log2x)′＝ B．(cos x)′＝sin x C．′＝ D．(πx)′＝x·πx－1 2．曲线y＝ex在点A(0，1)处的切线斜率为(　　) A．1 B．2 C．e D． 3．(多选)设P0为曲线f(x)＝x3上的点，且曲线在点P0处的切线平行于直线y＝3x－1，则点P0的坐标可以为(　　) A．(1，1) B．(2，8) C．(－1，－1) D．(1，4) 4．曲线y＝在x＝1处的切线的倾斜角的正切值为________. 5．(2022全国II卷·第14题)曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 6．设曲线f(x)＝xn＋1(n∈N＋)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，求a1＋a2＋…＋a99的值． 7．若曲线在点(a，)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$