5.4 数列的应用-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

第五章数列○ 5.4 数列的应用 学业标准 素养目标 1.能将实际问题转化为等差数列、等比数列模型.（重1.通过将实际问题转化为等差数列、等比数列模 点、难点) 型，主要培养数学建模核心素养； 2.能综合运用等差、等比数列的知识解决有关分期还2.通过应用数列的知识解决相关实际问题，培养 款和政府支出的“乘数”效应等问题.（重点、难点） 逻辑推理、数学运算核心素养 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 (2)等额本息还款法：指将本金和利息平均 分配到每一期进行偿还，每一期所还钱数 导学 数列的实际应用 相等. 问题1 分期付款与分期还款有区别吗？有 每期还贷款本金X利率×(1十利率)还做月数 的话区别是什么？ 款金额 (1十利率)还教月数一1 2.乘数效应 是指经济活动中某一变量的增减所引起的 经济总量变化的连锁反应程度. 问题2 与增长量和降低量有关的问题一般 3.数列应用题常见模型 对应什么数列？与增长率和降低率有关的 (1)单利公式 问题呢？ 利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r, 存期为x,则本利和y= (2)复利公式 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元， 问题3 单利问题和复利问题分别对应什么 每期利率为r,存期为x,则本利和y= 数列？ (3)产值模型 原来产值的基础数为N,平均增长率为p, ○结论形成 对于时间x的总产值y= 1.分期还款 指将有多次还款，偿还的 和利息 >基础自测 被分摊到每期的还款中.常见的分期还款 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） 方式有 和 (1)在银行取款时，取到的本息是指存款得 (1)等额本金还款法：指将本金平均分配到 到的利息， () 每一期进行偿还，每一期还款金额由每一 (2)定期自动转存模型是等差数列.() 期的本金和利息两部分组成， (3)在分期付款中，各期所付款及各期所付款 每期还款金额= 禁奈餐+（贷款本金 所生成的利息之和等于商品的售价.() (4)常见的分期还款方式有等额本息还款 已还本金总额)X利率 和等额本金还款两种。 ( 41 O数学·选择性必修第三册（配RJB版） 2.小李年初向银行贷款m万元用于购房，购：3.现存入银行10000元钱，年利率是3.60%， 房贷款的年利率为力，按复利计算，并从借 那么按照复利，第5年末的本利和是() 款后次年年初开始还款，分10次等额还 A.10000×1.0363B.10000×1.036 清，每年1次，问每年应还 C.10000×1.036 D.10000×1.0366 B.mp(1十p)o 4.阿明存入5万元定期存款，存期1年，年利 A%万元 1+p)021万元 率为2.25%，每年到期时自动转存为一年 c.m1+p)”万元 定期，那么10年后共得本息和为 10 D mp1+p万元 (1+)9-1 万元.（精确到0.001） 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一等差数列模型的应用 [触类旁通] 例1某单位用分期付款的方式为职工购买 1.(2024·广东佛山高二月考)某剧场有40排 40套住房，共需1150万元，购买当天先付 座位，第一排有20个座位，以后每排都比 150万元，以后每月这一天都交付50万 前一排多2个座位 元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交 (1)求该剧场的座位数： 付150万元后的第一个月开始算分期付款： (2)若该剧场票价如下：第一排至第10排 的第一个月，问分期付款的第10个月应付 (含第10排)每张200元，第11排至第 多少钱？全部按期付清后，买这40套住房 30排（含第30排）每张150元，其他每张 实际花了多少钱？ 100元，求该剧场满座时，每场演出的总 [自主解答] 收入 规律方法 与等差数列有关的实际应用题，首先要抓住反 映等差数列的特征（每个量比上一个量增加或减少 相同的常数)，构成等差数列模型，其次要弄清数列 的首项、公差、项数等，要分清是数列通项问题还是 求和问题 42 第五章数列。 题型二等比数列模型的应用 规律方法 例2商学院为推进后勤社会化改革，与桃 银行的单利问题和复利问题，要理解清楚单利 园新区商定：由该区向建设银行贷款 是一个等差数列问题，复利是二个等比数列问题， 500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳 [触类旁通] 一千人的学生公寓，工程于2022年初动 2.(2024·浙江金华高二期末)在一次招聘会 工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用 上，两家公司开出的工资标准分别为：公司 收费还贷偿还建行贷款（年利率5%，按复 A:第一年月工资3000元，以后每年的月 利计算)，公寓所收费用除去物业管理费和 工资比上一年的月工资增加300元；公司 水电费18万元.其余部分全部在年底还建 B:第一年月工资3720元，以后每年的月 行贷款 工资在上一年的月工资基础上递增5%， (1)若公寓收费标准定为每生每年800元， 设某人年初想从这两家公司中选择一家去 到哪一年可偿还建行全部贷款？ 工作 (2)若公寓管理处要在2030年底把贷款全 (1)若此人选择在一家公司连续工作n年， 部还清，则每生每年的最低收费标准是多 第n年的月工资分别为多少？ 少元（精确到元）？（参考数据：1g1.7343= (2)若此人选择在一家公司连续工作10年， 0.2391,lg1.05=0.0212,1.05=1.4774) 则从哪家公司得到的报酬较多？(1.0510 [自主解答] ≈1.6). 43 O数学·选择性必修第三册（配RJB版） 题型三递推数列模型的应用 (1)如果10年后该地区的人均住房面积正 例某轻纺城的一家私营企业主，一月初 好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住 向银行贷款一万元作开店资金，每月月底 房面积x是多少？ 获得的利润是该月月初投入资金的20%， (2)依照(1)的拆房速度，共需多少年能拆 每月月底需要交纳的房租和所得税为该月 除所有需要拆除的旧房？ 所得金额（包括利润）的10%，每月的生活 注：下列数据供计算时参考： 费开支300元，余款作为资金全部投入再 1.1°≈2.36 1.0049°≈1.04 经营，如此继续，问该年年底，该私营企业 1.11°≈2.6 1.004910≈1.05 主有现款多少元？如果银行贷款的年利率 1.11≈2.85 1.004911≈1.06 为5%，问私营企业主还清银行贷款后纯 收人还有多少元（精确到0.1元）？ [自主解答] [缜密思维提能区] 规范答题 [素养聚焦]本题通过数列在日常经济生活中的 等差、等比数列模型的综合应用 应用，提升数学建模和数学运算核心素养 [典例](15分)假设你正在某公司打工，根 :规律方法 据表现，老板给你两个加薪的方案： 如果容易找到该数列任意一项a。与它的前一 方案一每年年末加1000元； 项a,-,(或前几项)间的递推关系式，那么我们就可 方案二每半年结束时加300元.请你选择： 以用递推数列的知识求解问题.可先从特殊的情形： (1)如果在该公司干10年，问两种方案各 入手，再寻找一般的递推关系。 加薪多少元？ [触类旁通] (2)对于你而言，你会选择其中的哪一种？ 3.某地今年年初居民住房面积为am2,其中 [审题指导] 设数列 分别求和 需要拆除的旧房面积占了一半，当地有关 比较 结论 部门决定每年以当年年初住房面积的 10%的住房增长率建设新住房，同时每年 [规范解答]设方案一第 …1失分警示卜： 拆除xm2的旧住房，又知该地区人口年增 n年年末加薪am,因为每年 不设数列扣2分。 长率为4.9%. 年末加薪1000元， 44 第五章数列。 则an=1000n; 令T2m≥Sn,即600n2+300n≥500n2+ 设方案二第n个半年加薪b。, 500n,解得n≥2， 因为每半年加薪300元， 当n=2时等号成立. 则bn=300n.…… (4分) 所以，如果千3年以上（包括3年）应选择 (1)在该公司千10年(20个半年). 第二个方案；如果只干2年，随便选；如果 方案一：共加薪So=a1十a2十…十a1o= 只千1年，当然选择第一个方案. 55000(元)；…(6分) …………………(15分) 方案二：共加薪T0=b1十b2十…十b20= 课堂小结 20×300+20X(20-1D×300=63000(元). 知识落实 技法强化 在经济活动中，诸如增长率、降低 (8分) 率、存款复利、分期付款等与年 (2)设在该公司千n年，两种方案共加薪分 (1)等差数列 (月)份有关的实际问题，大多可归 别为Sn=a1+a2+…+an=1000Xn十 模型的应用 结为数列问题，即可以通过建立相 (2)等比数列 n(n-1)×1000=500m2+500n, 应的数列模型来解决.在解应用题 2 模型的应用. 时，判断是否是数列问题，一是看 (11分) (3)递推数列 自变量是否与正整数有关；二是看 模型的应用. T2m=b1十b2十…十b2n -失分警示上一 是否符合一定的规律，可先从特殊 2n×300+2nX(2n-1) 不算几年的加薪 的情形入手，再寻找一般的规律. 直接下结论，扣 2 6分： 300=600n2+300n. (13分) 请完成[课后案】学业评价（十一） 衔接 新情境下的数列与数学建模 一、真题展示 二、真题溯源 (2021·新高考I卷)某校学生在研究民间 (人教B版选择性必修第三册P50习题 剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某 5-4BT5) 条对称轴把纸对折，规格为20dm×12dm 假设某企业现在的净利润为200万元，且 的长方形纸，对折1次共可以得到10dm× 以后每年增长4%.但该企业今年遇到了 12dm,20dm×6dm两种规格的图形，它 资金困难的问题，所以企业管理人提出： 们的面积之和S1=240dm2,对折2次共 如果有投资人现在出资5500万元的话，该 可以得到5dm×12dm,10dm×6dm, 企业将现在和以后每年的净利润都无条 20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积 件划归给投资人.假设该企业可以无限生 之和S2=180dm,以此类推，则对折4次共 存下去，而银行的年利率为8%，不考虑其 可以得到不同规格图形的种数为 他情况，你是否会同意该企业管理人的提 议？（提示：将该企业未来利润的现值之 如果对折n次，那么之S,= dm2. 和与5500万元进行比较.) 45[典例3][典解析](1)设{an}的公比为g: ○结论形成 则a6=a2q3=16, 1,本金等额本金还款法等额本息还款法 又a2=2,所以q=2,所以am=a2g-2=2-1, 3.(1)a(1+xr）(2)a(1+r)r(3)N(1+p) 由bn+1十bn=2n, [基础自测] 可得bn十bw-1=2(n-1)(n≥2) 1.解析(1)不正确，本息指本金与利息的和： 两式相减，得bw+1-bn-1=2(n≥2)， (2)不正确，定期自动转存的模型不是等差数列： 所以数列{b,}的奇敏项是以1为首项，2为公差的等差 (3)不正确，分期付款的本质是货款按复利整存整取，还 数列，即n是奇数时，bn=2-1=b1十(k一1)·2= 款按复利零存整取到货款全部还清时，货款本利合计 ("安-1小2=-1 还款本利合计： (4)正确. 那么n是偶数时，bn=21一bw+1=, 答案(1)×(2)×(3)×(4)/ n-1,n是奇数， 2.B设每年应还x万元，则x十x(1+p)+x(1十p)+ 即bn= n,n是偶数. …+x(1+p)°=m(1+p)10, (n-1)·2n-1,n是奇数 (2)c=an·bn= 1=4±2》0]=m（1+p,x=m1tp" n·2m-1,n是偶数. 1-(1+p) (1+p)0-1了 则Tn=a1b1十a2b2十a3b+abi十ass+…+anbn 故选B =0·20+2·21+2·22+4·23+4·24+… 3.C由复利公式得 当n是奇数时，设n=2k一1，则 S=10000×(1+3.60%)5=10000×1.036. Tw=a1b+ab2+…+abm=0·20+2·21+2·22+ 4.解析10年后的本息：a10=5×(1十0.0225)10≈6.246 4·23+4·24+…+(2k-2)·22-3+(2k-2)·22-2 (万元). =0·2°+[2·21+4·23+…+(2k-2)·224-3]+ 答案6.246 [2·22+4·2+…+(2k-2)·22-2] 课堂案·互动探究 =3[2·21+4·23+…+(2k-2)·22k-3] [例1][解析]因购房时付150万元， =3[1·22+2·24+3·26+…+(k-1)·22%-2]. 则欠款1000万元，依题意分20次付款， 记S6=1·22+2·24+3·28+…+(k-1)·22张-2， 则每次付款的数额顺次构成数列{am, 那么4S4=1·24十2·26+3·28十…十(k-1)·22 则a1=50+1000×1%=60, 则-35=22+24+26+28+…+22-2-(k-1)·220 a2=50+(1000-50)×1%=59.5, 4=-W-D=(停-小-号 a3=50+(1000-50×2)×1%=59, 1-4 a4=50+(1000-50×3)×1%=58.5, T.=35=(k-专）·4+号 -号+（安）甲-+(-》小2 所以a,=50+[10-50(a-1D]X1%=60-2a-D (1≤n20,n∈N+). 当n是偶数时，Tn=Tm-1十abw =+[a-D]1+…2 所以a,是以60为首项，一之为公差的等差戴列。 1 =+(2m-)21=+(-专)2， 所以a10=60-9×2=55.5. 所以第10个月应付55.5（万元）. 4w=60-19X7=50.5 即Tn 专+(。-言)·2”m为偶数 所以5=号×(a1十a)×20=10X(60+50.5) 5.4数列的应用 1105. 课前案·自主学习 所以实际共付1105+150=1255（万元）. [教材梳理] [触类旁通] 导学 1,解析(1)依题意，剧场座位数从第一排起的各排座位 [问题1][提示]有区别，区别在于“款”所购买的物品 数构成等差数列{an}(n≤40，n∈N+),首项a1=20,公 或服务，在款项没到达前，你是否占有了该物品或服务 差d=2, 没占有，就是“分期付款”，占有了，就是“分期还款” 设数列{an}的前n项和为Sn, [问题2][提示]与增长量和降低量有关的问题一般 则50=40a1+4040-D4=40×20+40X39=2360, 2 对应等差数列，与增长率和降低率有关的问题一般对应 所以该剧场的座位数为2360. 等比数列 (2)由(1)知， [问题3][提示]单利问题：设本金为p,期利率为r,则 n期后本利和Sm=p(1十r),对应的是等差数列：复利 51w=10a1+1010-d=10×20+10X9=290. 2 问题：设本金为p,期利率为r,则n期后本利和Sm D(1十r)",对应的是等比数列. 50=30a1+30(30-D4=30×20+30×29=1470. 2 Le 剧场满座时，每场演出的总收入 设bn=am-3750,则b1=6750, W=200S10+150(S30-S1o)+100(S40-S30) ∴.{bn是等比数列，bn=bh×1.08”-1=6750X1.08-1, =200×290+150(1470-290)+100(2360-1470) ∴am=6750×1.08m1+3750, =324000(元)， ∴.该年年底，该私营企业主有a12=6750×1.0811十 所以剧场满座时，每场演出的总收入为324000元， 3750≈19488.6元， [例2][解析]依题意，公窝2022年底建成，2023年开 还清银行贷款后纯收入为a12一10000(1十5%)≈ 始使用。 8988.6元. (1)设公宫投入使用后n年可偿还全部贷款，则公寓每 「触类旁通 年收费总额为1000×800=800000=80万元，扣除18 3.解析(1)设今年人口为b人，则10年后人口为b(1+ 万元，可偿还贷款62万元， 4.9%)10≈1.05h. 依题意有62[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+ 1年后的住房面积为a×(1+10%)-x=1.1a-x (1+5%)”-1]≥500(1+5%)+1. 2年后的住房面积为(1.1a一x)×(1十10%)-x 化简得62(1.05"-1)≥25×1.05+1 1.12a-1.1x-x=1.12a-x(1+1.1), .1.05"≥1.7343. 3年后的住房面积为(1.12a-1.1x-x)×(1十10%) 两边系对数整理得≥03-公1.2吸。 x=1.13a-x(1+1.1+1.12), aa888 ∴.取n=12(年). ∴.到2034年底可全部还清贷款. 10年后的住房面积为a×1.110-x(1十1.1+1.12十… (2)设每生每年的最低收费标准为x元，因到2030年底 +1.1P)≈2.6a-xx1x0=1.10≈2.6u-16x 1-1.1 公寓共使用了8年， 依题套有(（005-18)加1+0+5%)+1+5%)2+ 所以20=2X云解得产是 1.05b …+(1十5%)7]≥500(1十5%)9 (2)折除金部阳房共需7a÷显-16（年）， 化简得(0.1x一18)0.51500X1.059 教考衔接2新情境下的数列与数学建模 r≥10(18+25X1.05 [典例1门[解析]设第n层货物的总价为am万元(n= 1.058-1 =10(18+25×1.05×1.4774) 1,2.3…),则a=n(层)》，即第n层货物的落价为 1.4774-1 () 万元 =10×(18+81.2)=992(元). 故每生每年的最低收费标准为992元 设数列{an}的前n项和为Sn,则这堆货物的总价为 [触类旁通] 5.万元，易得5，=1×（餐）°+2×（餐）广+3×（餐）】 2.解析(1)选择在公司A连续工作n年，第一年月工资 3000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加 +…+m×(餐)）. ① 300元， 则他第n年的月工资为3000十(n一1)×300=300m十 :: 则5.=1×（餐）+2×（日）+3×（图）°+… 2700(元)(n∈N+): 选择在公司B连续工作n年，第一年月工资3720元，以 nx(餐)广， ② 后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增5%， 则他第n年的月工资为 ①-®，得8s-1+(层）}'+（餐）广+()广+… 3720×(1+0.05)m-1(元)(n∈N+). (2)若此人选择在一家公司连续工作10年，则在公司 A,公司B得到的报酬分别为 信具 公司A:12×[3000+(3000+1×300)+…+(3000+ 9×300)]=12×3000×10+12×300×1+9)×9 =8-(8+0() 522000(元). 所以5，=64-88+·（） 公司B:12×3720×(1+1.05+1.052+…+1.059)= 12Xg7wx号*568C元. 若货物的总价是[64-12×（尽）门万元， 则8(8+n)=112,解得n=6. 因为535680>522000.故从公司B得到的报酬较多.， [例3][解析]第一个月月底余a1=(1+20%)× [答案] 6 10000-(1+20%)×10000×10%-300=10500元， [典例2][解析]对于A选项，a1=(1十20%)×10000 设第n个月月底余am元，第n十1个月月底余a+1元， 一1000=11000，故A错误： 则am+1=am(1+20%)-a,(1十20%)×10%-300= 对于B选项，由题意a+1=1.2aw一1000，故B正确： 1.08am-300(n≥1)， 对于C选项，由ae+1=1.2a,-1000,得am+1-5000 从而有am+1-3750=1,08(am-3750), 1.2(an-5000),所以数列(am-5000}是首项为6000， 16