精品解析：新疆昌吉州2024-2025学年高二上学期期末质量监测数学试卷

昌吉州2024~2025学年第一学期期末质量监测 高二数学测试卷 满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的指定位置上． 2．选择题在答题卡上用2B铅笔填涂，非选择题用黑色签字笔在答题卡相应区域内直接作答，写在试卷、草稿纸上无效． Ⅰ卷 一、单选题．（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】A 【解析】 【分析】通过斜率求出倾斜角 【详解】整理得,直线斜率为，， 所以倾斜角为. 故选：A 2. 在等差数列中，则等于（ ） A. B. 15 C. 25 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式求出即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为， 则，解得. 故选：B. 3. 若椭圆的长半轴长等于其焦距，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为椭圆的长半轴长等于其焦距， 所以，解得. 故选：A 4. 已知四面体，M、N分别是的中点，且，用表示（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形可得. 【详解】因为M、N分别是的中点，所以， 所以. 故选：D 5. 在等比数列中，若，则（ ） A. 16 B. 64 C. 256 D. 340 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的性质计算即可. 详解】由题意可得， 所以. 故选：C. 6. 圆与圆的公共弦长为 A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为，圆的半径，圆心到直线的距离，则弦长．故选． 7. 棱长为1的正四面体中，与平面所成角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出线面角，由正四面体的性质，即可求出其正弦值. 【详解】 如图，过作平面于点，连接， 则即为与平面所成角， 因正四面体棱长为1， 则为的外心，则， ，则， 所以与平面所成角的正弦值为. 故选：B. 8. 已知分别是双曲线的左、右焦点，M是E的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及中垂线的性质求解 【详解】双曲线的实半轴长为， 延长交直线于点， 由题意有，， 又是中点， 所以， 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分．） 9. 已知等差数列的前n项和为，且公差．则以下结论正确的（ ） A. B. 若，则 C. 若，则的最大值为 D. 若成等比数列，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由等差数列的下标性质结合等差中项可得A正确；由与的关系结合等差数列的性质可得B正确；由数列的单调性和等差数列的性质可得C错误；由等比中项的计算可得D正确. 【详解】由题意可得， 对于A，，故A正确； 对于B，若，则， 所以，故B正确； 对于C，若，则数列为递减数列， 又，则的最大值为或，故C错误； 对于D，若成等比数列，则，即， 解得或0（舍去），故D正确. 故选：ABD. 10. 已知圆直线，则（ ） A. 直线l恒过定点 B. 存在实数m，使得直线l与圆C没有公共点 C. 当时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1 D. 圆C与圆只有一条公切线 【答案】AC 【解析】 【分析】求出直线过的定点判断A；判断定点与圆的位置关系判断B；求出圆心到直线距离判断C；判断圆与圆的位置关系判断D. 【详解】对于A，直线的方程为，由，得， 直线过定点，故A正确； 对于B，，又，即定点在圆内，则直线与圆相交，有两个交点，故B错误； 对于C，当时，直线：，圆心到直线的距离为， 而圆半径为2，且，因此恰有2个点到直线的距离等于1，故C正确； 对于D，圆化为， 圆的圆心为，半径为4， 两圆圆心距为， 所以两圆相交，因此它们有两条公切线，故D错误. 故选：AC. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段（包括端点）上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的取值范围是 B. 平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是 C. 三棱锥的体积为定值 D. 当P为的中点时，P到的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用异面直线所成角的计算方法，即可进行判断；对于C，利用线面平行的判定定理，得出平面，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可进行判断；对于BD，通过建立空间直角坐标系，利用坐标法求出平面与平面所成角的余弦值和点到直线得距离即可进行判断. 【详解】对于A，..，异面直线与所成的角即为与所成的角， 当点位于或点重合时，由于是等边三角形，则与所成的角为， 当点位于的中点时，平面，， ，此时，与所成的角为， 由于是等边三角形，根据等边三角形性质，知道从过程中， 与所成的角先从增大到，再减小到， 异面直线与所成角取值范围是.，故A错误； 对于C，，平面，平面， 平面，点在线段上运动， 点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 故三棱锥的体积为定值，运用等体积法知道，三棱锥的体积为定值，故C正确； 对于B，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则，，取平面的法向量， 设平面的法向量，设，， 则，则，即， 令，则，则得， 设面与平面所成夹角为， 所以， 因，，所以，， 所以平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是，故B正确； 对于D，则，，当为的中点时，. 所以，. 设在上的投影向量的模为，. . 根据点到直线距离公式，可得， 即到的距离为，故D正确. 故选：BCD. Ⅱ卷 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 在数列中，，则数列前10项和的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据递推公式并项求和即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 13. 已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则a的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】结合直线的方向向量，由向量垂直的坐标表示可得. 【详解】由题意可得. 故答案为：2. 14. 已知抛物线，F为抛物线C的焦点，过点作直线交抛物线于A，B两点，若，则抛物线C的准线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设出直线方程，直曲联立，表示出韦达定理，再由抛物线的焦半径公式结合韦达定理计算即可. 【详解】由题意设直线方程为， 联立，消去可得，， 则， 设， 由抛物线的焦半径公式可得， 即， 代入韦达定理可得， 由两式相除解得， 所以抛物线C的准线方程为. 故答案为：. 四、解答题：（本大题共5小题，共77分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知直线和圆心为C的圆，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长. 【答案】直线l与圆C相交， 【解析】 【分析】解法1：联立直线与圆的方程，求出交点坐标，即可判断出直线与圆的位置关系，再根据两点间的距离公式求弦长即可.解法2：求出圆心到直线的距离，即可判断出直线与圆的位置关系，再根据圆的弦长公式求弦长即可. 【详解】解法1：联立直线l与圆C的方程， 得， 消去y得，解得，， 所以直线l与圆C相交， 把，分别代入方程①，得，， 所以直线l与圆C的两个交点是，. 因此直线l被圆C所截得的弦长为. 解法2：圆C的方程可化为， 因此圆心C的坐标为，半径为， 圆心到直线l的距离， 所以直线l与圆C相交， 所以直线l被圆C所截得的弦长为. 16. 已知A，B两点的坐标分别是，直线相交于点M，且直线的斜率与直线的斜率的差为，记点M的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）将曲线C向上平移4个单位得到曲线E，已知直线与曲线E有两个不同的交点D，E，求． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）设点，根据斜率之差的值整理可得曲线C的方程； （2）易知曲线E为，联立曲线E和直线l的方程并利用韦达定理以及向量数量积的坐标表示可得结果. 【小问1详解】 设点,根据题意可知， 直线的斜率为，直线的斜率； 即可得， 整理可得. 【小问2详解】 将曲线C向上平移4个单位得到曲线E为； 设； 联立曲线E和直线l可得，整理可得，， 所以； 因此. 17. 如图，在直三棱柱中，，侧面为正方形，，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，运用中位线性质，结合线面平行判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，得到关键点坐标，求出面的法向量，结合点面距离公式计算即可. 【小问1详解】 连接， 在中，因为，分别为，的中点， 所以,又平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，，，为，，轴正方向，建立空间直角坐标系． 则，，，， ，，， ，． 设平面的法向量为， ，即 令，则，， 所以为平面的一个法向量， 设点到平面的距离． ， 所以点到平面的距离为． 18. 已知数列为等差数列，前n项和为，满足． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）是否存在正整数m，n，（）使得成等差数列？若存在，求出，m，n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，，. 【解析】 【分析】（1）由等差数列通项公式及求和公式列出等式求出首项、公差即可； （2）由裂项相消法求和即可； （3）由等差中项列出等式求解即可. 【小问1详解】 由， 可得：， 解得：， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得：， 所以， 所以 【小问3详解】 假设存在正整数m，n，（），使得成等差数列， 则， 即， 即， 取，可得：， 所以存在，，. 19. 定义：若椭圆上的两个点满足，则称A，B为该椭圆的一个“共轭点对”，即点关于M的一个共轭点为，已知椭圆C的离心率为，且椭圆C过点． （1）求椭圆M的方程； （2）求点A关于M的所有共轭点的坐标； （3）设点P，Q在M上，且，求点A关于M的所有共轭点和点P，Q所围成封闭图形面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由离心率定义，点在椭圆上和椭圆的性质列方程组可得； （2）根据题中定义，通过解方程组进行求解即可； （3）将直线方程与椭圆方程联立，结合一元二次方程根与系数关系、根的判别式、椭圆弦长公式、基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以椭圆M的方程为. 【小问2详解】 设点A关于M的共轭点的坐标为，由题意有， 消去得，解得， 即点A关于M的共轭点有且只有一个，坐标为，即为本身. 【小问3详解】 因为，所以， 所以设直线方程为：， 将其与椭圆方程联立有，消去得． 由解得． 又设，则． 则． 又设到直线距离为，则． 由（2）知，点A关于M的共轭点有且只有一个，坐标为，故所围成的图形为， 则其面积为 ， 当且仅当，即取等号． 故点A关于M的所有共轭点和点P，Q所围成封闭图形面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 昌吉州2024~2025学年第一学期期末质量监测 高二数学测试卷 满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的指定位置上． 2．选择题在答题卡上用2B铅笔填涂，非选择题用黑色签字笔在答题卡相应区域内直接作答，写在试卷、草稿纸上无效． Ⅰ卷 一、单选题．（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2. 在等差数列中，则等于（ ） A. B. 15 C. 25 D. 3. 若椭圆的长半轴长等于其焦距，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知四面体，M、N分别是的中点，且，用表示（ ） A B. C. D. 5. 在等比数列中，若，则（ ） A. 16 B. 64 C. 256 D. 340 6. 圆与圆的公共弦长为 A. 1 B. 2 C. D. 7. 棱长为1正四面体中，与平面所成角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知分别是双曲线的左、右焦点，M是E的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分．） 9. 已知等差数列的前n项和为，且公差．则以下结论正确的（ ） A. B. 若，则 C. 若，则的最大值为 D. 若成等比数列，则 10. 已知圆直线，则（ ） A. 直线l恒过定点 B. 存在实数m，使得直线l与圆C没有公共点 C. 当时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1 D. 圆C与圆只有一条公切线 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段（包括端点）上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的取值范围是 B. 平面与平面所成夹角余弦值取值范围是 C. 三棱锥的体积为定值 D. 当P为中点时，P到的距离为 Ⅱ卷 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 在数列中，，则数列前10项和的值为______． 13. 已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则a的值为______． 14. 已知抛物线，F为抛物线C的焦点，过点作直线交抛物线于A，B两点，若，则抛物线C的准线方程为______． 四、解答题：（本大题共5小题，共77分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知直线和圆心为C的圆，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长. 16. 已知A，B两点的坐标分别是，直线相交于点M，且直线的斜率与直线的斜率的差为，记点M的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）将曲线C向上平移4个单位得到曲线E，已知直线与曲线E有两个不同的交点D，E，求． 17. 如图，在直三棱柱中，，侧面为正方形，，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 18. 已知数列为等差数列，前n项和为，满足． （1）求数列的通项公式； （2）求数列前n项和； （3）是否存在正整数m，n，（）使得成等差数列？若存在，求出，m，n的值；若不存在，请说明理由． 19. 定义：若椭圆上的两个点满足，则称A，B为该椭圆的一个“共轭点对”，即点关于M的一个共轭点为，已知椭圆C的离心率为，且椭圆C过点． （1）求椭圆M的方程； （2）求点A关于M的所有共轭点的坐标； （3）设点P，Q在M上，且，求点A关于M的所有共轭点和点P，Q所围成封闭图形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$