精品解析：天津市第一百中学2024-2025学年高二下学期过程性诊断（1）（3月）数学试题

天津市第一百中学2024——2025学年第二学期过程性诊断(1) 高二数学 本试卷满分150分，考试用时120 分钟. 一、选择题(本题共9小题，每小题5分，共45分) 1. 已知函数 则 （ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】求出的导函数，由导数的定义计算即可求得结果. 详解】由题可知， . 故选：D 2. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数的导函数，得到函数在处的导数值；再根据导数的几何意义、直线的倾斜角和斜率之间的关系即可求解. 【详解】由可得：. 所以. 设曲线在点处的切线的倾斜角为， 则，解得. 故选：C 3. 已知等差数列的首项为1，公差不为0，且成等比数列，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通向公式和等比中项的性质列式求解即可. 【详解】因为等差数列的首项为1，公差不为0，且成等比数列， 设的公差为，则，解得， 所以. 故选：B 4. 函数的图像大致为 (　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去A, 舍去D; ， 所以舍去C；因此选B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 5. 现给如图所示的五个区域A，B，C，D，E涂色，有5种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（ ） A. 420 B. 340 C. 260 D. 120 【答案】A 【解析】 【分析】讨论同色、同色，、一组同色一组不同色，的颜色互不相同，结合排列组合数求对应涂色方法，应用分类加法求不同涂色方案数. 【详解】若同色、同色，有，此时有3种涂法，共有种， 若同色、不同色，有，此时有种涂法，共有种， 同理同色、不同色也有120种， 若的颜色互不相同，则有种， 综上，共有种. 故选：A 6. 已知函数在存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先得到的定义域，由题意得到在上有解，参变分离得到实数的取值范围. 【详解】由题意得在上有解， 即在上有解， 其中， 所以 故实数的取值范围是. 故选：D 7. 已知 的所有项的系数和为5，则x²的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，令，可求得，再利用二项展开式的性质即可求解. 【详解】由题意，在中，令， 得所有项的系数和为，解得， 故的展开式中， 的系数为. 故选：B. 8. 定义在上的函数导函数为， 若对任意实数x， 有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令函数，则可得，求，由题意得，从而得到函数单调性，然后利用函数单调性解不等式. 【详解】令函数，则， ，∵对任意实数x， 有， ∴， 即函数在上单调递减， ∵，∴，即， ∴. 故选：D. 9. 已知奇函数在R上是减函数，，若则的大小关系为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可知为偶函数，且在上单调递减，利用函数的单调性可比较出. 【详解】因为奇函数且在上是减函数，所以，，， 且，时. 因，所以，故为偶函数. 当时，，因，，所以. 即在上单调递减. ， 因，所以， 即. 故选：A. 二、填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 10. 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为____________________. 【答案】160 【解析】 【分析】由题意确定n的值，根据展开式的通项公式，即可求得答案. 【详解】由题意知展开式的二项式系数之和为64，即， 的通项公式为， 令， 故展开式的常数项为， 故答案为：160 11. 函数在上的最小值为________. 【答案】1 【解析】 【分析】应用导数求区间上的最小值即可. 【详解】由题设， 当，，即在上单调递减， 当，，即在上单调递增， 所以在上的最小值为. 故答案为：1 12. 某医疗队伍有4名医生需分配到2个志愿团队，每名医生只去一个志愿队，每个志愿队至少分配一名医生，则共有_____种不同的方法.(用数字作答) 【答案】 【解析】 【分析】先分组再分配，利用排列组合知识解决即可. 【详解】按照1：3的比例，共有种分组方案； 按照2：2的比例，共有种分组方案； 则共有种分配方案 故答案为： 13. 已知函数若 使得 则实数a的取值范围是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数，分别求出函数的最小值，结合不等式恒成立列不等式求解，即得答案. 【详解】由，可得， 当时，；当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 故； 由，，可得， 当时，；当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 故， 由于若 使得故， 即，即实数a的取值范围是， 故答案为： 14. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的三位数，这样的三位数共有_______________________个.(用数字作答) 【答案】 【解析】 【分析】利用分类计算，结合先选取后排列来计算即可. 【详解】第一类，没有偶数数字的三位数，即有个； 第二类，有一个偶数数字的三位数，即有：个； 第三类，有一个非偶数数字的三位数，即有：个； 所以这样的三位数共有个， 故答案为：. 15. 已知函数 有两个零点a、b，且存在唯一的整数，则实数m的取值范围是_____________________. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为函数图象与图象存在两个交点，画出函数的图象，数形结合即可. 【详解】定义域为，因有两个零点， 则有两个零点，则方程有两个根， 即函数图象与图象存在两个交点， 因，则得，得， 则在上单调递增，在上单调递减， 则的最大值为， 又因在上只有一个零点，且，，故其图象如下： 则由数形结合可知，当，即时，存在唯一的整数，且. 故答案为： 三、解答题(本题共5题，共75分) 16. 如图，在四棱柱 中，平面，，，，，，，分别为，的中点， （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）构造线线平行，根据线线平行证明线面平行. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的正弦值. （3）利用空间向量求二面角余弦值. 【小问1详解】 如图： 取的中点，连接，， 由为中点，可得且， 由为中点，故，且， 所以且. 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为平面，，故可以为原点，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，令，得， 则. 设与平面所成的角为， 则. 即直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 因为，. 设平面的法向量为， 则，令，得，则. 因为，，. 所以. 即平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知数列是递增的等差数列，是等比数列，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）设，求的值. 【答案】（1），； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）设数列公差为，公比为，根据已知条件，列方程组即可求得、，从而可以求出数列和数列的通项公式； （2）由（1）得，结合错位相减法即可求出其前项和； （3）由（1）得，结合裂项相消法即可求得. 【小问1详解】 因为数列是递增的等差数列，设公差为，是等比数列，设公比为， 由，可得，， 又，， 联立可得，解得或（舍）， 所以，. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以，① ，② ①②得，， ， ， . 【小问3详解】 由（1）得，， . 18. 已知函数，其中 （1）求的单调区间和极值； （2）若对且，恒成立，求实数的取值范围； （3）若存在大于0的零点，求实数的取值范围 【答案】（1）减区间为，增区间为，极小值为，无极大值 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求得，利用导数求得函数的单调区间，进而求得函数的极值； （2）设，求得，根据题意，转化为在上恒成立，得到转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解； （3）根据题意，得到，求得，若分，和，三种情况讨论，结合函数单调性与极值，以及函数的图象，列出不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 令，解得， 当时，；当时，， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极小值，极小值为， 所以函数的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值. 【小问2详解】 解：由函数，可得， 设，可得， 因对且，恒成立， 可得对，函数为单调递增函数， 即对，函数在上恒成立， 即在上恒成立，即在上恒成立， 令，由二次函数的性质，可得在上单调递增， 可得，转化为在上恒成立， 当时，得到，所以， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 解：由， 可得，其中， 则， 因为，令，解得或， 当时，令，解得或； 令，解得， 所以函数在单调递增，在上单调递递减， 因为，此时函数在上没有零点，不符合题意，舍去； 当时，此时恒成立，所以在上为单调递增函数， 因为，此时函数在上没有零点，不符合题意，舍去； 当时，令，解得或；令，解得， 所以函数在单调递增，在上单调递递减， 当时，， 结合图象，要使得函数在存在零点， 则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 19. 已知椭圆的离心率为 短轴长为4. （1）求椭圆的方程. （2）过左焦点F₁作两条互相垂直的直线， (其中直线的斜率为正)，直线与椭圆交于A、B 两点，直线与椭圆交于C、D 两点，若四边形ACBD的面积为 求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据离心率以及短轴长，结合的关系即可求解， （2）联立直线与椭圆方程，得韦达定理，根据弦长公式，即可由面积公式化简求解. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 故椭圆方程为 【小问2详解】 ，设直线， 联立直线与椭圆方程，故， 设,则 所以 ， 因为,所以， 所以四边形面积， 因此， 化简可得，故或， 由于，故或， 故直线方程为或 20. 已知 （1）若在处的切线方程为，求实数a，b的值； （2）当时，若对恒成立，求实数的取值范围； （3）若方程有非零实根，求证： 【答案】（1），. （2） （3）证明过程见解析. 【解析】 【分析】（1）先求出函数的导函数；再根据导数的几何意义和切点在切线上列出方程组，求解即可得出结果. （2）先根据不等式有意义得出；再构造函数，，利用导函数判断函数的单调性，求出最小值，再结合题目中不等式恒成立得出；最后再构造函数，，利用导函数判断其单调性，结合即可求解. （3）先根据题目条件得出，；再由柯西不等式可得：，；最后利用综合法，通过构造函数，利用导数先证得，即证得：，进而证得. 【小问1详解】 由可得：，. 因为在处的切线方程为， 所以，即，解得：. 【小问2详解】 当时，. 因为对恒成立， 所以对恒成立， 要使不等式在上有意义，需满足， 则. 令， 则；对恒成立. 令，解得：；令，解得：， 所以函数在区间上单调递减；在区间上单调递增， 则当时，. 因为对恒成立， 所以，即. 令，， 则， 所以函数在上单调递增. 又因为， 所以当时，. 所以由可得：. 又因为， 所以 综上可得：实数的取值范围为. 【小问3详解】 证明：因为方程有非零实根，， 所以方程有非零实根，即方程有非零实根， 则，. 由柯西不等式可得：，即， 所以，. 要证明， 只需证明. 因为， 所以只需证明. 令，. 则， 令，解得，令，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即当且仅当时等号成立. 所以，即证得：， 所以证得. 综上证得：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市第一百中学2024——2025学年第二学期过程性诊断(1) 高二数学 本试卷满分150分，考试用时120 分钟. 一、选择题(本题共9小题，每小题5分，共45分) 1. 已知函数 则 （ ） A 2 B. 4 C. 8 D. 16 2. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的首项为1，公差不为0，且成等比数列，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图像大致为 (　　) A B. C. D. 5. 现给如图所示的五个区域A，B，C，D，E涂色，有5种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（ ） A 420 B. 340 C. 260 D. 120 6. 已知函数在存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知 的所有项的系数和为5，则x²的系数为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数导函数为， 若对任意实数x， 有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 已知奇函数在R上是减函数，，若则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 10. 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为____________________. 11. 函数在上最小值为________. 12. 某医疗队伍有4名医生需分配到2个志愿团队，每名医生只去一个志愿队，每个志愿队至少分配一名医生，则共有_____种不同的方法.(用数字作答) 13. 已知函数若 使得 则实数a的取值范围是_______________. 14. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的三位数，这样的三位数共有_______________________个.(用数字作答) 15. 已知函数 有两个零点a、b，且存在唯一的整数，则实数m的取值范围是_____________________. 三、解答题(本题共5题，共75分) 16. 如图，在四棱柱 中，平面，，，，，，，分别为，的中点， （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知数列是递增等差数列，是等比数列，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）设，求的值. 18. 已知函数，其中 （1）求的单调区间和极值； （2）若对且，恒成立，求实数的取值范围； （3）若存在大于0的零点，求实数的取值范围 19. 已知椭圆的离心率为 短轴长为4. （1）求椭圆的方程. （2）过左焦点F₁作两条互相垂直的直线， (其中直线的斜率为正)，直线与椭圆交于A、B 两点，直线与椭圆交于C、D 两点，若四边形ACBD的面积为 求直线的方程. 20. 已知 （1）若在处的切线方程为，求实数a，b的值； （2）当时，若对恒成立，求实数的取值范围； （3）若方程有非零实根，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$