精品解析：江苏省连云港市连云港高级中学2024-2025学年高一下学期阶段测试一（3月）数学试题

2024—2025下学期高一阶段测试一数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦的差角公式即可求解. 【详解】， 故选：B 2. 已知向量，若⊥，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，所以， 又，，所以，解得， 故选：C. 3. “”是“为第一象限角”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角公式、充分和必要条件的知识来确定正确答案. 【详解】若，即同号，则可能是第一、三象限角； 若是第一象限角，则； 所以“”是“为第一象限角”的必要而不充分条件. 故选：B 4. 设，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用正弦的和角公式及商数关系，得到，再由正弦的差角公式，即可求解. 【详解】因为①， 又，整理得到②， 由①②解得，所以， 故选：D. 5. 已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的公式结合数量积运算律计算求解即可. 【详解】因为且， 所以在上的投影向量为 故选：D. 6. 下列函数中，以为周期且在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由判断A；由判断B；作出函数的图象判断C；作出的图象判断D. 【详解】对于A，因为，所以，由，得，所以单调递增，故A错误； 对于B，因为，所以，由，得，所以不单调，故B错误； 对于C，，其图象如图： 由图象知，在上单调递减，故C正确； 对于D，，其图象如图： 由图象知，，由，得， 所以在上不单调，故D错误. 故选：C. 7. 已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将两边平方，转化为关于的一元二次不等式恒成立问题，再利用判别式结合的范围即可求解. 【详解】由得， 即，即对任意的恒成立， 所以，解得， 又因为，所以， 故选：A. 8. 已知函数在上有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，求出的范围，再结合正弦函数图象可判断. 【详解】， 因，则， 结合正弦函数图象可知，若存在两个零点，则，得， 则的取值范围为. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二倍角公式和两角和差公式求解即可. 【详解】，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D正确； 故选：ABD 10. 关于函数，其中正确命题是（ ） A. 的最大值为 B. 是以为最小正周期的周期函数 C. 将函数的图像向左平个单位后，将与已知函数的图像重合 D. 在区间上单调递减 【答案】BD 【解析】 【分析】利用诱导公式和辅助角公式将化成单角单函数的形式，从而得到最大值和周期，根据图象平移和诱导公式判断C选项，利用整体代入的方法和正弦函数单调区间判断D选项. 【详解】 ， 所以，A错误；，B正确； 将函数的图像向左平个单位后得到的图象， 而，二者图象不重合，C错误； 时，， 所以在区间上单调递减，D正确. 故选：BD. 11. 已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线必过边的中点 C. D. 若，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题设条件，化简得到，可判定A是正确的；根据向量的线性运算法则，化简得到，可判定B不正确；根据，得到，结合三角形的面积公式，可判定C正确；根据向量的数量积和模的运算公式，可判定D是正确的. 【详解】如图所示，点O为所在平面内一点，且， 可得，即， 即，所以，所以A是正确的； 在中，设为的中点， 由，可得， 所以，所以直线不过边的中点，所以B不正确； 由，可得且， 所以，所以，可得，所以 所以，所以C正确； 由，可得 因为，且， 可得， 所以，所以D是正确的. 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本概念，向量的线性运算，以及向量的数量积和向量的模的运算及应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及平面向量的数量积和模的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则的值为_____.(写出符合条件的一个值即可) 【答案】(答案不唯一，满足即可) 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式、二倍角公式和同角三角函数的基本关系化简即可求解. 【详解】 ， 则有，所以. 故答案为：(答案不唯一，满足即可). 13. ___________ 【答案】 【解析】 【分析】先利用两角和差的正切公式展开，得出，再代入化简即可. 【详解】由， 得， 则 故答案为：1 14. 如图，在等腰中，已知，，分别是边上的点，且，，其中，且，若线段的中点分别为，则的最小值是__________ 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量的数量积，向量的线性运算，模的运算，将整理成关于变量的二次函数，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】在等腰中，由，可得. 分别是线段的中点， ,， ， ， ， . 其中，所以， 所以当时，为最小值，即的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共67分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，试求： （1）与的夹角； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得，然后利用平方的方法求得，从而求得与的夹角. （2）利用平方的方法求得. 【小问1详解】 由已知得：， 所以，， 与的夹角为. 【小问2详解】 ， 所以. 16. 已知向量，，. （1）求函数的单调递增区间和最小正周期； （2）若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），最小正周期 （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积公式结合两角和与差的正弦公式化简可得的表达式，结合正弦函数的性质即可得结果； （2）根据正弦函数的性质求出的最大值即可得结果. 【小问1详解】 因为，， 所以 ， 令，解得， 所以函数的单调增区间为，最小正周期. 【小问2详解】 由已知得：令，由题意得， 因为，所以，而， 所以当时，取得最大值， 所以的取值范围是. 17. 已知向量，． （1）若，求； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得，由两角和的正切公式得到的值； （2）由向量数量积的坐标运算得，因为，利用诱导公式求得的值. 【小问1详解】 因为，所以，所以， 所以. 【小问2详解】 ，所以， . 18. 如图，在平行四边形中，已知，，，为线段的中点，为线段上的动点（不含端点）.记. （1）若，求线段EF的长； （2）若，设，求实数和的值； （3）若与交于点，，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算可得，两边平方可求解； （2）由已知可得，，可得结论； （3）利用向量的线性关系可得，，计算可得结论. 【小问1详解】 若，则，， 所以， 两边平方可得， 所以； 【小问2详解】 若，则，所以， ①， ②， 由①②可得； 【小问3详解】 ， ， 设，又， 又，所以①， 由，可得，所以，所以， 所以， 由，可得， 所以， 又三点共线，所以②， 联立①②解， 所以，所以， ， ， 所以 ， 又， 所以，同理可得， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是用基底表示向量后，求向量模或者夹角就可以利用公式直接计算. 19. 定义非零向量的“伴随函数”为（），向量称为函数（）的“伴随向量”（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“伴随函数”构成的集合为S． （1）设函数，求证：； （2）记向量的伴随函数为，当时，求的值域； （3）已知点满足：，向量的“伴随函数”在处取得最大值，求的取值范围． 【答案】（1） ， ,，故得证； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意易得三角恒等变换得；即可由伴随向量的定义求解， （2）先求，再利用整体法求值域； （3）利用辅助角公式可得最值点满足，即可由正切二倍角公式，结合换元法可以求取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得， ， 当时，， ， ； 【小问3详解】 ， 在处取得最大值， ， ， ， 令，则由，得， ， 由于均为上的单调递增函数， 所以在单调递增，故， 得， 则的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025下学期高一阶段测试一数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （    ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若⊥，则等于（ ） A. B. C. D. 3. “”是“为第一象限角”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 下列函数中，以为周期且在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 关于函数，其中正确命题是（ ） A. 的最大值为 B. 是以为最小正周期的周期函数 C. 将函数的图像向左平个单位后，将与已知函数的图像重合 D. 在区间上单调递减 11. 已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线必过边的中点 C. D. 若，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则的值为_____.(写出符合条件的一个值即可) 13. ___________ 14. 如图，在等腰中，已知，，分别是边上的点，且，，其中，且，若线段的中点分别为，则的最小值是__________ 四、解答题：本题共5小题，共67分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，试求： （1）与的夹角； （2）. 16. 已知向量，，. （1）求函数的单调递增区间和最小正周期； （2）若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 17. 已知向量，． （1）若，求； （2）若，求． 18. 如图，在平行四边形中，已知，，，为线段的中点，为线段上的动点（不含端点）.记. （1）若，求线段EF的长； （2）若，设，求实数和的值； （3）若与交于点，，求向量与的夹角的余弦值. 19. 定义非零向量的“伴随函数”为（），向量称为函数（）的“伴随向量”（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“伴随函数”构成的集合为S． （1）设函数，求证：； （2）记向量的伴随函数为，当时，求的值域； （3）已知点满足：，向量的“伴随函数”在处取得最大值，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $