第20课 平面向量的应用-【提分宝典】2026年新高考数学一轮全考点普查与练习

多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 第20课平面向量的应用 普查与练习20I平面向量的应用 一组题学透 1.平面向量在几何问题中的应用 a. 利用向量的运算解决线段的长度问题 (1)(江苏经典真题，5分)在△ABC中，AB=4,AC=3,∠B4C=90°，D在边BC 上，张D到卫使得=9.若=m丽+后m]风m为常数则CD的张 度是 D B 解析：如图，以A为坐标原点，分别以AB,AC所在直线为x,y轴建立平面直角 坐标系， 则B(4,0),C(0,3),.AB=(4,0),AC=(0,3). 由风=m丽+fE, 得网=+西+小风+C 整理得，PA=-2mAB+(2m-3)AC=(-8m,0)+(0,6m-9)= (-8m,6m-9). 21 由P=9,得64m2+6m一9y=81,解得m25或m=0. 当m=0时，PA=(0,-9),此时C与D重合，CD=0. 27 9-6m 当m=。一时，直线PA的方程为y= -X 25 8m 直线BC的方程为+=， 43 8 联立两直线方程可得上一m, 即 y=3-2m, 72 18 ..CD 5 +25 综上，CD的长度是0或。， ◆独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)(山西太原一模，5分)已知a,b,c分别是△4BC的内角A,B,C所对的边，3cs1n4 2 =46sinC,cosC=号点D在线段AB上，且BD=2DA,若△4BC的面积为25， 则a= ·CD= 解折由正弦定理及3csin4=4 binC,得3ac=4c,所以a一？ 由余弦定理的推 1662 2a2+b2-c 论，得cosC= =9tb-c 3 2ab 26.8 整理得b=c.因为cosC一行所以sinC 3 3 因为△4BC的面积3=absinc=}地b5-25,所以6=3，所以e=3, 233 a-4,因为BD=2DA,所以BD-2DA,即CD-CB-2(CA-CD),整理得CD -2a+c,所以西-4++c西 2」 3 9 99 4+6+×4x3×28所以cD-2.故答案为a=.CD=2回 284 99 39 3 b.利用向量的运算判断三角形或四边形的形状 (3(湖南模拟，5分)在△4BC中，若对任意1ER,满足BA-BC≥4C ,则△ABC 一定为() A,锐角三角形B,钝角三角形 C.等腰三角形D,直角三角形 解析：取直线BC上任意一点M,满足BM=tBC,t∈R, 所以BA-tBC=B.A-BM=MA. 因为B-BC≥AC对任意teR都成立， 所以MA≥AC对直线BC上任意一点M都成立， 所以AC⊥BC, 所以△ABC为直角三角形，故选D, (4)(吉林月考，5分)在四边形ABCD中，AD=BC,(AB十AD)(AB-AD)=O,则这 个四边形是() A,菱形B.矩形 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXkc0m○ 您身边的互联网+教辅专家 C.正方形D,等腰梯形 解析：由AD=BC可得AD=BC且AD∥BC, 即四边形ABCD为平行四边形. '(AB+AD)(AB-AD)=AC·DB=O,AC⊥BD, ∴.平行四边形ABCD为菱形.故选A. ©，利用向量的运算研究三角形的四心问题 (5)(多选)（湖北荆州模拟，6分）已知点O是△4BC所在平面内的一点，在△ABC 中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则以下说法正确的有() A.若aOA+bOB+cOC=0,则点O是△A4BC的重心 AC AB BC BA B.若OA OB =0,则点O是△ABC的内心 AC AB BC BA C,若OA+OBAB=OB+OCBC=0,则点O是△ABC的外心 D.若OAOB=OBOC=OCOA,则点O是△4BC的垂心 解折选项，如图，在AB,4C上分别取点D,E,使得D- 1 =-AB,E= AC一 AB c AC 4C,则D--1.以AD,证为邻边作平行四边形4DF亚，则四助形ADFE 是菱形，且AF-AD十E-B+4C,AF平分∠B4C R 因为a0A+bOB+cOC=0, 所以aOA+b(OA+AB)+c(OA+AC)=0, (a+b+c)04+bAB+cAC=0, b 所以AO= a+b+ AB+-c bc AB AC a+b+c a+b+cc b a+b+c 所以A,O,F三点共线，即点O在∠B4C的平分线上 同理点O在∠ABC和∠ACB的平分线上，所以点O为△ABC的内心，故A错误， B选项，如图，连接DB,则4C AB =AE-AD=DE. LAC AB 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.2XXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 R 因为0A AC AB =0,所以OA⊥DE. AC AB 又AD=AE=1, 所以AO平分∠BAC 同理，由OB BC BA =0,得BO平分∠ABC, BC B.4 所以点O为△ABC的内心，故B正确. C选项，如图，分别取AB,BC的中点M,N,连接OM,ON. 因为(OA+OB)AB=(OB+OC)BC=0, 所以2OM·AB=2ON-BC=0, 即OM,AB=ON·BC=0, 所以OM LAB且ON⊥BC,所以点O为△4BC的外心，故C正确. D选项，由OA·OB-OBOC=OC.OA,得OA(OB-OC)=0且 OB·(OA-OC)=0,即OA·CB=0且OB·CA=0,所以OA⊥BC且OB⊥AC 所以点O为△ABC的垂心，故D正确. 故选BCD. (6)2026改编，5分)已知点0为△4ABC所在平面内一点，1∈(0，+∞)，若动点 AB AC P,P,乃分别满足O-OB+0C+ 十 -):OP2= ABlcosB LAClcosC AB AC ++B) OP,=04+ 则动点P1,P2,P3的轨迹分别经过 AB AC △ABC的 (填序号) ①内心②外心③重心④垂心 解析：设BC的中点为D. 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 对于点P:因为D是BC的中点，所以O而一O丽+OC, 所以OR=OD+1 AB AC AB cos B AC cosC 所以OF-OD=DF=A AB AC AB cos B ACcosC 两边同时点乘BC, 得DE·BC=入 AB.BC AC·BC AB cos B AC cosC 4B-BC]cos(-B)AC-BCcosc AB cos B AC cosC =A(-BC1+|BCD=0, 所以DP1⊥BC,所以点P1在BC的垂直平分线上，即点P1的轨迹经过△ABC的 外心. 对于点P:因为而-西+而-西+与c,0丽-0+A丽+c,所以 OP=OA+1AD,所以OP-OA=AP=1AD,所以A,P,D三点共线， 因为AD为△ABC的边BC上的中线，所以点Pz的轨迹经过△ABC的重心 对于点P:作∠B4C的平分线交BC于点E. AB AC 设AM AN= ,则AM,AN分别是与AB,AC同方向的单位向量， AB AC 如图，以A为顶点，AM,AN为邻边作菱形AMTN,则根据向量加法的平行四边 形法则可知，AT= AB AC 且AT与AE共线. AB LAc 因为OE=OA+A AB AC 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk,c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 所以OP一OA=AP=AAT,所以AP与AT共线，也与AE共线，所以点P3的 轨迹经过△ABC的内心. 故答案为②③①. d,利用向量的运算解决几何图形的面积问题 (7)(福建福州期中，5分)已知O是△4BC内部一点，OA+2OB+OC=0, BABC=4且∠ABC-,则△O4C的面积为 6 B.2c.2 B.3 3 D.3 解析：设D是边AC的中点，则OA+OC-2OD 由0A+20B+0C=0,得0A+0C=-20B, .0D=-OB, ∴O为BD的中点，.S△a4c=一S△AaC, 2 :BABC=4且∠ABC- 6 Saac-sin.∠ABc =|BA|BC lcos∠ABC·-tan∠ABC 1π2V3 =BABC,tan∠ABC=4Xtan 263 则△04C的面积为28ac一 故选A. 3 (8(湖北月考，5分已知等边△4BC的边长为1，P=B+AC,0=P+BC 则4PQ的面积为 解析：以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标 ·独家授权侵权必究 鱼学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXkc0m○ 您身边的互联网+教辅专家 系 则分小哈小6身西=00，c-传身E 所烈币西+花-传哥 所以0-严+兮c-长阁} 和-传69 设<AP，40>=0,则cos0= 乎.2-15×吗-22所以n6=-os0= 4P4g336 21 所以8ae-2P10sin0=x5×2×2-5 23 6712 (法二)S△4P阳=，X 5551-3 2 126×42 e,利用向量的运算解决解析几何的问题 92026汇编，2分)已知椭圆C:兰+二 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2, 左、右顶点分别为A,B,且FF=2,4B=4. (I)求椭圆C的方程. (Ⅱ)如图，过F的直线与椭圆C交于M,N两点（均不与A,B重合），直线MB与 直线x=4交于G点. ◆独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 F 0 B x=4 ①证明：A,N,G三点共线： ②证明：原点O总在以N为直径的圆内. (山D如图，过F的动直线1与椭圆C交于E,F两点，点E关于x轴的对称点是 点E,且FE⊥FF,求直线1的方程. F 解：(I)由FFz=2c=2,得c=1. 由4B=2a=4,得a=2,∴.b2=a2-c2=3, 故精圆C的方程为+-1.4分 43 (Ⅱ)证明：设直线N的方程为x=my十1， M,h),N,2) x=y+1, 联立2，y2 消去x整理得(3m2+4)y2+6-9=0,且4=144m2+1)>0, 一=1， 6m 9 …十2= 3m2+4'= 3m2+4(7分) ①由(I)可知A(-2,0),B2,0), ·直线MB的方程为y=n -2-2. 争=4有4 又A(-2,0),N2,) 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.Zxxk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 ∴AN=(+2,2),AG=6, -2 又：02-6e+229-驴(mn-1)-2m2+3》 灯一2 m一1 9 6m 4m2-6n+)_4切m厂3m+4-6 3m2+4 =0,∴.A∥AG y-1 n01-1 又AN∩AG=A,.A,N,G三点共线.(13分) ②，点M,N在直线MN上，1=y+1,x2=y2+1, ∴.OM·ON=x2十y2=my1+1(m2+1)+n2 =(m2+1)my2+m+y2)+1 9 6m2 =(m2+1) +1 3m2+4 3m2+4 12m2+5 0, 3m2+4 即∠MON是钝角， ∴原点O总在以N为直径的圆内.(16分) (D显然直线1的斜率存在，设E(,y),Fx,y4),直线1的斜率为k,则Ee3, 一13) 由(I)可知F(-1,0),F2(1,0),则直线1的方程为y=kx+1), FE=(-1,-y3),FF=c4-1,4), y=k(x+1), 联立2，y2 消去y整理得(42+3)x2+8k+4-12=0, 82 4k2-12 ,x3十x4= 4+3'4=42+3 (19分) 由FE⊥FF,得FE.FF=0, ∴.(3-104-1)-yy4=0. :E,,F4,)在直线1上， y=k+1),4=kx+1), .(-1)4-1)-23+1)x4+1)=0, 整理得(1一)4一(1+2)十x)+1-2-0, 42-12 :1-4+3 82 +(1+2) 42+3 +1-2=0, 3 化简得25k-9=0,解得k= 3 ·直线1的方程为)=号+).(2分) ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 随堂普查练201 1.(河南模拟，5分)已知向量AB4C-6,线段BC的中点为M,且AM=6,则 BC=( A.2V30B.3V30 C.2V26D.3v26 解析：设AB=a,AC=b, 则由题意可得B4c=ab=6,M=B+4C)=a+b),Bc=4c AB=b-a. 因为2=4a2+2a:b+的=4a++12)=36. 所以a2+b2=132, 所以BC2=a2-2ab+b2=132-12=120, 所以BC=V120=2V30. 故选A. 2.(四川成都双流中学三摸，5分)在△ABC中，(BC十B4A)AC=4CP,则△ABC 的形状一定是() A,直角三角形B,等腰三角形 C,等边三角形D,等腰直角三角形 解析：(BC+BA)AC-AC2=(BC+BA-AC)AC=(BC+B.A+CA)AC =2BA·AC=0, ∴，BA⊥AC,∴.△ABC为直角三角形.故选A. 3.(多选山东潍坊统考，6分)已知点O为△4BC内的一点，D,E分别是BC,4C 的中点，则() A若0为D的中点，则0-6+0心 B.若0为D的中点，0i-西-产 C.若O为△ABC的重心，则OB+OE=0 D,若O为△ABC的外心，且BC=4,则OBBC--8 解析：对于A,若0为D的中点，则40=OD=O丽+OC),故A正确， ·独家授权侵权必究