第19课 平面向量基本定理及坐标表示-【提分宝典】2026年新高考数学一轮全考点普查与练习

多学科网书城■ 品神书店·知名教辅·正版资源 6.2xXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 第19课平面向量基本定理及坐标表示 普查与练习19平面向量基本定理及坐标表示 三组题学透 1,平面向量基本定理及其应用 a,基底的判断 (12026汇编，5分)下面儿种说法中，正确的是 (填序号) ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②零向量不可以作为基底中的向量： ③a=e1十uez rcynaws-4 alcol(亿，u∈R)可以表示平面内的所有向量； ④若g,e2是平面a内不共线的两个向量，则g1一2e2与4e2一2e可作为表示平面a 内所有向量的一组基底： ⑤e1,e2是平面内不共线的两个向量，若e1十e2=0,则入=u=0: ⑥同一向量在不同基底下的表示是相同的： ⑦若e,e是平面a内不共线的两个向量，则对于平面a内的任意向量a,使a=e +ue2成立的实数对rcas4 alcol(亿，)有无穷多个. 解析：①错误：只要是不共线的一对向量就可以作为表示该平面内所有向量的基 底，基底的选取并不是唯一的：②正确：零向量和任何向量都共线，与基底的定 义不符；③错误：根据平面向量基本定理可知，e1,2必须是不共线向量；④错误： 因为g-2e2=-12(4e2-2e1),所以向量e1-2e2,4e2-2e是共线向量，不能作为 表示平面a内所有向量的一组基底；⑤正确：因为，为一组不共线向量，若e 十4e=0,即e1=一e2,只有当1=u=0时，才能成立：⑥错误：基底不同，向 量的表示也不同，当基底确定后，向量的表示才是唯一的；⑦错误：根据平面向 量基本定理可知，实数对(，四只有唯一一对. b,用已知基底表示向量 (2)广东中山月考，5分)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图 ”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三 角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若= a,=b,=3,则=() A.1225a+925bB.1625a+1225b C.45a+35bD.35a+45b 解析：根据题意知BF=BC十CF=BC十34EA=BC十34EB+BA= ·独家授权侵权必究。 多学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 +34 即B所=BC+34-3肝+B丽， 解得BF=1625BC+1225BA, 4 即BF=1625a+1225h.故选B. c,选择合适的基底表示向量 (3广东珠海模拟，5分)已知边长为2的菱形ABCD中，∠DAB=π3，点F为线 段BD(含端点)上一动点，点E满足=3，则·的最大值为() A.0B.23 C.3D.43 解析：菱形ABCD的边长为2， AB=AD=BC=CD=2,BC=AD, BE-BC=2M而 4 设BF=1BD,0≤A≤1， 则F=B+F=B+ABD=丽+D-AB)=1-刘8+AD .F.BE=[-刘AB+2D]子0 --刘而+子而 =34(1-月×2×2×12+31 =32+32, ∴.当=1时，AF·BE取得最大值3故选C d,利用基底的唯一性求参数 (4)(重庆铜梁区期末，5分)在△ABC中，点D是线段BC上的任意一点，点P满 足=3.若存在实数m和m,使得=m+n,则m十n=() A.23B.13 C.-13D.-23 解析：（法一）因为点D在线段BC上，所以设AD=1AB十(1一)AC,O≤1≤1，所 BP=AP-AB=13 AD-AB=13t AB+(1-1)AC ]AB=1-33 AB+1-13 AC. 又因为BP=mAB十nAC,所以ft-331-t3)=n,所以m十n=一23.故选D. ◆独家授权侵权必究 多学科网书城■ 品神书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (法二)不妨令△ABC为以点B为直角顶点的直角三角形，点D与点B重合，由 AD=3AP可知B那=-23AB.又因为BP=mAB十nAC,所以m=一23，n=0, 所以m十n=-23.故选D. 2.平面向量的坐标运算 a,线性运算的坐标表示及应用 (52026汇编，16分)已知A(-2,4),B3,-1),C(-3,-4).设=a,=b ,=6,且=30，=-2b. (I)求3a+b-3c: (Ⅱ)求满足a=mb十nc的实数m,n: (⑩求与向量共线的单位向量： (V)在平行四边形ABPQ中，=(2，一3)，求点Q的坐标. 解：由已知得a=AB=(3,-1)-(-2,4)=(5,-5), b=BC=(-3,-4)-(3,-1)=(-6,-3), c=CA=(-2,4)-(-3,-4)=(1,8).(3分) (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-31,8) (15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(5分) (Ⅱ)，'a=mb+nc, .(5,-5)=m-6,-3)十1,8)=(-6m+n,-3m+8m), .-6m+n=5,-3m+8nm=-5,)解得m=-1,n=一1.)8分) (⑩.CM=3c=(3,24),C=-2b=(12,O, ∴.MN=CV-CM=(9,-18), ∴.MW=92+(-18)2=95. .与向量M示共线的单位向量为 W =lalys4allcol(f(r(52r(55)- MN MN MN aws4alcol(-\f(r(52r(55).(12 (V)设Q(s,),在平行四边形ABPQ中，由向量加法的平行四边形法则得 AP=AB+40. 独家授权侵权必究 多学科网书城■ 品神书店·知名教辅·正版资源 6.2xXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 又A(-2,4),AP=(2,-3),AB=(5,-5) .(2,-3)=(5,-5)+(s+2,1-4)=(5+7,-9),即2=s+7,-3=t-9,) 解得s=一5，t=6,)即点Q的坐标为(-5,6).(16分) b.向量共线的坐标表示及运算 (62026改编，10分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,): ①若c∥(2a+b),则A= ②设=a,一=b,一=6，若4，B,C三点共线，则实数= 解析：①2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2), 因为c=(1,),且c∥(2a+b), 所以4入-1×2=0，解得1=12.故答案为12 ②因为04=(1,2)，0B=(2,-2),0C=(1,), 所以AB=O0B-0A=(2,-2)-(1,2)=(1,-4), AC=0元-0A=(1,0-(1,2)=(0,1-2). 因为A,B,C三点共线，所以向量AB与向量AC共线， 所以1一2=0，解得1=2.故答案为2. C,向量的模与数量积的坐标表示及应用 (7)2026汇编，34分)利用坐标运算解决下列模的相关问题. ①已知向量a=(2,1),b=(一2,4)，则a-b=(全国乙经典真趣) A.2B.3 C.4D.5 ②已知向量a,b满足a十b=(2,3),a-b=(-2,1),则a-b=( )2023 北京真题，4分) A.-2B.-1 C.0D.1 ③已知向量a=(k,2),b=(1,1),若b⊥(b-①，则k= ,a十= ④已知向量m=(2入，一1)，n=(2,1-5),且m十2m=m-2,则A= ⑤已知平面向量a,b,c是单位向量，且b=0,则c一a一b的最大值为 ⑥已知平面向量a,b,c满足avs4aco1(a=1,bc=0,ab=1,ac=一1，则1 avs4 alcol(b十c的最小值为 ⑦已知a,b,c是平面内的3个单位向量，且a⊥b,则avs4 alcol(a十2c+ ahvs4 alcol(3a+2b一2c的最小值是 解析：①，a-b=(2,1)-(-2,4)=(4,一3) a-1=42+(-3)2=5.故选D ②，a+b=(2,3),a-b=(-2,1) .la2-b2=a2-b2=(a+b)(a-b)=2×(-2)+3×1=-1 故选B. ③由a=(,2),b=(1,1), 得b-a=(1-k,-1),a+b=(k+1,3), ,b⊥(b-a: .b(b一a=1一k-1=0,解得k=0, ∴.a+b=(1,3), 独家授权侵权必究 多学科网书城■ 品神书店·知名教辅·正版资源 6.2xXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 .la+b=12+32=10. 故答案为0：10 ④由题意得m+2n=(2a,-1)+2(2,1-5)=(21+4,21-11),m-2n=(21,一 1)-2(2,1-5)=(21-4,-21+9) 又m+2m=m-2m,即(m+2n)2=(m-2n)2, .82-281+137=82-521+97, 解得1=一53.故答案为-53 ⑤，ab=0,∴a⊥b.,平面向量a,b是单位向量， .不妨取a=(1,0),b=(0,1): 设c=x,y),.c-a-b=(c-1,y-1), c一a-b=(x-1)2+(y-1)2,表示点(x,y)与点A(1,1)间的距离. :c=1,∴c的终点(x,)为单位圆上任意一点 如图，由图可得，当(，y)位于图中B点时，点B与点A间的距离最大，为2十1， ∴.c-a一b的最大值为2+1.故答案为2+1 ⑥设b=(,h),c=(,2). .la=1,.不妨设a=(1,0) ab=1,=1,.b=(1,). ac=-1,∴x2=-1,.c=(-1,2) 又，bc=0, x2十y=一1十2=0，∴y2=1 ,b+c=(0,y十y2 .b+c=(y1+y2)2=2122y+y+2y1y2≥2y1y2+2y1y2=2,当且仅当h=2=1 或1=2=一1时取等号， .laws4 al col仍十c的最小值为2.故答案为2. ⑦，a,b,c均为单位向量，且a⊥b, ∴.不妨设a=(1,0),b=(0,1),c=(,y),且x2+y2=1, .a+2c=(2x+1,2y),3a+2b-2c=(3-2x,2-2), .avs4alcol(a+2c)+als4alcol(3a+26-2c) =(2x+1)2+4y2+(3-2x)2+(2-2y)2 =2r(bllclrclbllci(rc2)))2+(y-1)2), ∴.laws4 alcol(a+2c+avs4 alicol(3a+2b-2c的几何意义是单位圆上的点(x, y)到点as4alco1(-f12),0)和点avs4 alcol(f32),1)的距离之和的2倍. 易知点as4 allcol(-f12),0)在单位圆内，点aws4 alco1(32),I)在单位圆外， ∴.点(，y)到点avs4 alcol(一12,0和点avs4 alcol32),l)的距离之和的最 小值即为点avs4 alcol(-12),0)和点laws4 alcol32,1)间的距离， ∴.所求最小值为2rc32)=25 独家授权侵权必究 多学科网书城■ 品神书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 故答案为25 (8)2026汇编，20分)利用坐标运算解决下面的数量积问题 ①a=(2,1),b=(2,-1),c=(0,1),则(a+b)c= ab= (北 京经典真题) ②已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cos(a+b,a-b》=( )2023全国甲真 题) A.117B.17)17 C.5)5D.5)5 ③已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=()2024新高考1真 题) A.-2B.-1 C.1D.2 ④已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+h.若<，c>=<b,e>,则t= (新高考Ⅱ经典真题改编) 解析：①，a=(2,1),b=(2,一1)，c=(0,1), ∴.db=2×2+1×(-1)=3,a+b=(4,0), ∴.(a+b)c=4×0+0×1=0,故答案为0：3 ②，a=(3,1),b=(2,2) .a+b=(5,3),a-b=(1,一1)， .la+b=52+32=34,la-b1=12+(-1)2=2,(a+b)(a-b)=5×1+3×( 10=2, .cos(a+b,a-b)=(a+b>(a-b)a+bla-b=2r34)×r2)=17)17 故选B ③，b⊥(b-4a), .b(b-4a)=0, .(2,x)·(2,x-4)=0,即4+x2-4x=0, 解得x=2 故选D ④a=(3,4),b=(1,0),.c=(3+1,4) .'.cos<a,c>=aclallc=9+3t+165cl,cos<b,c>=b-cibllc=3+tcl. :<a,c>=<b,e>,.cos<a,c>=cos<b,c,即9十3t十165c=3十tic,解得t =5.故答案为5. 3.坐标法在平面向量中的应用 a.借助网格线建立平面直角坐标系 (⑨)河北石家庄模拟，5分)已知向量a,b在边长为1的正方形网格中的位置如图 所示，则ab= 解析：将a,b平移至同一起点O,并建立平面直角坐标系如图所示，则a=(一1， 独家授权侵权必究· 鱼学科网书城回 品神书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 2),b=(-1,-3),所以ab=(-1)×(-1)+2×(-3)=-5. 故答案为-5. b,借助已有的（或隐含的）垂直关系建立平面直角坐标系 (10)北京经典真题，4分)在△ABC中，AC=3,BC=4,∠C=90°，P为△4BC 所在平面内的动点，且PC=1,则·的取值范围是()》 A.[-5,3B.[-3,5] C.[-6,4D.[-4,6] 解析：以点C为原点，CA,CB所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐 标系，则C0,0),A3,0),B0,4. 因为PC=1,所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上运动. 设P(cos0,sin0,0∈[0,2m), P =(3-cos0,-sine),PB =(-cos,4-sine), 所以PA·PB=(3-cos)(-cos6)+(-sn6)(4-sin) =cos20-3cos0-4sin0+sin20 =1-3cos0-4sine =1-5sin(0+p), 其中sing=35,cos0=45. 因为-1≤sin(0+o)≤1，所以-4≤1-5sin(0+o)≤6，即PA,PB∈[-4,6]. 故选D. (11)(北京东城区一模，4分)己知正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内 部（不含边界）的一个动点，且满足。=0，则.的取值范围是() A.(0,8]B.[0,8 C.(0,41D.I0,4) 解析：以AB中点为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角 坐标系， 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品神书店·知名教辅·正版资源 6.2xXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 0 B 则A(-1,0),B1,0),C(1,2),D(-1,2). 设P,y),则-1<1,0y≤1，PA=(-1-x,一y,PB=(1一x,一y), 所以PA·PB=-(1-x2+y2=0,即x2+y2=1, 所以点P的轨迹方程是x2十2=1(0y≤1). 易知CP=(x-1,y-2),DP=c+1,y-2), 所以CP.Dp=x2-1+y-2)2=-y2+(y-2)2=-4y+4. 因为0y≤1，所以CP,DP=-4y+4∈[0,4).故选D. C,利用特殊角建立平面直角坐标系 (12)(天津经典真题，5分)如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=3, BC=6,且=1， 一=一32，则实数的值为 ,若M,N是线段BC 上的动点，且=1，则·的最小值为 B 解析：以B为原点，以BC所在直线为x轴建立知图所示的直角坐标系， ,∠B=60°，AB=3,∴.dlalvs4 alcol0f33r(32), ..B =\aws4alcol(-\f(33\r(32). BC=6,∴.C(6,0).:AD=ABC,∴AD∥BC 设Davs4 alcol(x0,f3r3)2》,则AD=avs4 alcol0-f32,0), ∴.AD·AB=-32avs4 alcol(x0-f32)+0=-32, 解得xo=52,∴.Davs4 alcol(f53r(32),.D=(1,0) 又BC=(6,0),.AD=16BC,.1=16. 1M=1,不妨设Mx,0),W(+1,0),其中0≤x≤5， .'DM =\aws4\alcol(x-\f(53\r(32),DN =\aws4allcol(x-\f(33r(32), .DM DN =lalvs4allcol(x-(52))alvs4alcol(x-y(32))+274=x2-4x+212= (c-22+132, .当x=2时，DM·DW取得最小值，最小值为132 ◆独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 d,以圆心为原点建立平面直角坐标系 (13)浙江经典真题，4分)设点P在单位圆的内接正八边形A142Ag的边A42上， 则2+2十…十2的取值范用是 解析：以圆心为原点，A43所在直线为x轴，As41所在直线为y轴建立如图所示 的平面直角坐标系，则A1(0,1),A2avs4 alcol(0f0r(2r(22),A3(1,0),A4 avs4acol0f0r(2r(22),As(0,-1),46avs4 ancol(-f0r(2r(22),A(-1,0), 4sawvs4alcol(-f(r(2r(22). 设P,y),则PA2+PA,2+…十PA,2 =PA,2+PA:2+PAs2+PA,2+PA.2+PA.2+PA.2+PA 2 =2x2+2y2+(1-y)2+(1-x)2+0y+1)2+c+1)2+2ias4alco10f0r2)2-x2+ 2alvs4allcol(for(2)2)-y)2+2 aws4alcol(ffr(2)2)+y)2+2alvs4alcol(fr(2)2) +x2 =8(x2+y3+8. 因为点P在线段A42上，所以结合图形可知cosx8≤|OP≤1， 所以cos2元8≤x2+y2≤1. 又cos2π8=12avs4 alcol1+cos(a4)=2)4,所以2)4≤x2+y2≤1， 所以12+22≤8(x2+y十8≤16，所以PA2+P4,2+…+P42的取值范围是[12 +22,16. 故答案为[12+22,16]. 随堂普查练19 1.(江苏泰州模拟，5分)若e1,是平面a内的一组基底，则下列四组向量能作为 平面a的一组基底的是() A.-e2,-e4 B.白+2，一 C.2e-3e1,-6e+4e2D.2e+e,+12e 解析：由e,e2是平面a内的一组基底，可得，e2非零不共线. 对于A,由乌一=-(e一)可知，马一e2,一白共线，由一组基底必不共线， 独家授权侵权必究 多学科网书城■ 品神书店·知名教辅·正版资源 ■bZ2XXkc0m○ 您身边的互联网+教辅专家 可得e1一e,e一白不是平面a内的一组基底，不符合题意： 对于B,因为不存在实数，使得e十=(e1一e),所以e十e,e1一不共线， 由一组基底必不共线，可得日十e,e一马是平面α内的一组基底，满足题意： 对于C,由2e2一3e1=12(-6g1十4e)可知，2e2一3e1,-6e+4e共线，由一组基 底必不共线，可得2e2一3e1,一6e1+4e2不是平面a内的一组基底，不符合题意； 对于D,由2e1十e=2avs4 alcol(e1十12je2)可知，2e+e2,ea+l2e共线，由 一组基底必不共线，可得2e1十e2,e1+12e2不是平面a内的一组基底，不符合题意. 故选B. 2.山东菏泽期中，5分)如图，在△4BC中，=15，EF∥BC,EF交AC于F ,设=a,=b,则等于() B兰 A.-a+15bB.-a-15b C.23a-13bD.23a+13b 解析：，AE=15AB,.BE=一45AB. 又：EF∥BC,.EF=15BC=15(AC-AB), ∴.BF=BE+EF=-45AB+I5(AC-AB)=15AC-AB=-a十15b.故选A. 3.(辽宁葫芦岛二模，5分)在△4BC中，点P满足2=，过点P的直线与AB, AC所在的直线分别交于点M,N,若=x,=y(>0,y0),则2x十y的最 小值为() A.3B.32C.1D.13 解析：如图，因为2BP=PC,AM=xAB,AN=yAC(x>0,y>O), 所以AP=AB+BP=AB+13BC=AB十13AC-AB)=13AC十23AB= 13y AN +23x AM 因为M,P,N共线，所以13y十23x=1, 所以2x+y=(2x+yavs4alco10f123x)=53+2y3x+2x3y≥53+22y2x3y=3, 当且仅当2yx=2xy且I3y十23x=1,即x=y=1时取等号，此时2x+y的最小值 为3.故选A. 独家授权侵权必究