第18课 平面向量的概念与运算-【提分宝典】2026年新高考数学一轮全考点普查与练习

多学科网书城■ 品神书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第18课平面向量的概念与运算 普查与练习18|平面向量的概念与线性运算 四组题学透 1,平面向量的基本概念及其理解 (1)2026汇编，5分)给出下列命题： ①向量是有向线段，因此可以用有向线段表示向量： ②单位向量都相等： ③若aws4 alcol(a=2,avs4 alcol(b)=1,则a>b; ④若a=b,b=c,则a=c ⑤若向量=，则A,B,C,D四点能构成平行四边形： ⑥若a∥b,b∥c,则a∥c ⑦向量a=b的充要条件是lalvs4 alcol(a=ahs4 allcol (b)且a∥b: ⑧与非零向量a共线的单位向量为±albllcircilnalys4 alcol(a: ⑨若a=0(2为实数)，则1必为零： ⑩若a=b1,则a=b或a=一b: ①向量与相等： 0已知两个非零向量a,b,若a一b=a十，则a与b共线且同向. 其中正确的是 ·(只填序号) 解析：①错误：向量可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段.正确说 法：向量与有向线段是两个不同的概念，向量可以用有向线段表示， ②错误：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量，即单位向量的模都为1， 但是方向不确定，所以单位向量不一定都相等 ③错误：向量本身不能比较大小，向量的模可以比较大小，正确说法：若 avs4allcol(a)=2,lavs4alcol(b)=1,alvs4alcol(a)-avs4 allcol(b). ④正确：因为a=b,所以a,b的长度相等且方向相同.又因为b=c,所以b,c 的长度相等且方向相同，所以a,c的长度相等且方向相同，故a=c. ⑤错误：若向量AB=CD,则AB=CD且AB∥CD,所以直线AB与CD平行 或重合，故A,B,C,D四点不一定能构成平行四边形.正确说法：己知A,B, C,D是不共线的四点，若向量AB=CD,则A,B,C,D四点能构成平行四边 形. ⑥错误：零向量与任一向量平行，故当a∥b,b∥c时，若b=0,则a,c不一定 平行 ⑦错误：当1ahs4 ancol(a=las4 alcol(b)且a∥b时，若a,b方向相反，则a与 b是相反向量，即a=一b,得不到a=b:当向量a=b时，a与b的模相等且方向 相同，所以可以得到1avs4 alcol(@)=ahs4 alcol(b)且a∥b.综上，向量a=b是 als4alcl(@侧=lalysnalcol (b)且a∥b的充分不必要条件. ⑧正确：向量ala的方向与非零向量a的方向相同，向量ala的模为 a=1 :向量一aa的方向与非零向量a的方向相反，向量一aa的模为 。独家授权侵权必究 多学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2XXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 片时-可1，综上，肉量a腿与手移量夫我尚位的昆. ⑨错误：当a=0时，a=0,此时入为任意实数， ⑩错误：模相等的两个向量的方向是任意的， 11 错误：向量AB与向量BA互为相反向量. 12 错误：由向量减法的三角不等式知，对于非零向量a,b,a一≤ as4 allcol)+lalvs-fallcol(b,当且仅当a与b反向共线时等号成立. 故答案为④⑧. 2,平面向量的线性运算 a.平面向量的线性运算及其几何意义 (2X新高考I经典真题，5分)在△4BC中，点D在边AB上，且BD=2DA.记= m,=n,则=() A.3m-2nB.-2m十3n C.3m+2n D.2m+3n 解析：因为点D在边AB上，BD=2DA, 所以BD=2DA,即CD-CB=2(CA-CD), 所以CB=3CD-2CA=3n-2m=-2m十3n.故选B. (3)2026汇编，10分)如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点. ①若F是线段AE上靠近点A的三等分点，则=() A.-13+23 B.13-23 C.13-56 ◆独家授权侵权必究。 多学科网书城■ 品神书店·知名教辅·正版资源 b.2xXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 D.13-34 ②设”=4，一=，则广=() A.14a+34bB.14a-34h C.34a+14hD.34a-14b 解析：①，F是线段AE上靠近点A的三等分点， .AF=13AE, :DF =D4+AF=-AD+13AE=-AD+13(AB+BE)=-AD+1348+ 16AD=13AB-56AD.故选C ②设AC与BD的交点为O,如图所示. .AC=a.BD=b, .AB=A0+OB=12 AC-12 BD=12a-12b. ,E是BC的中点， .AE=12(AB+AC )=12\avs4al col(f(112)b++a=34a-14b.D. b.根据平面向量的线性运算求参数 (4(北京海淀区一模，4分)在△4BC中，∠C=90°，∠B=30°，∠B4C的平分线 交BC于点D.若=A十4(a,aeR)则=() A.13B.12C.2D.3 解析：因为∠C=90°，∠B=30°，AD是∠B4C的平分线， 所以∠CAD=∠BAD=30°=∠B, 所以CD=I2AD=12BD,即CD=13BC. AD=AC+CD=AC+13CB=AC+13(AB-AC)=13AB+23AC, 又AD=1AB+HAC,所以1=13，u=23, 所以4=12.故选B. (⑤)（经典题，5分）已知△4BC内接于圆O,且线段AB的延长线与线段OC的延长 线相交.设=人十以，则入+十的取值范围是( ) A.(-1,1)B.(-1,0) C.(0,1)D.\aws4\allcol(-f(112) 解析：设线段AB的延长线与线段OC的延长线相交于点D,则易知点D是圆O 独家授权侵权必究 年 多学科网书城■ 品神书店·知名教辅·正版资源 ■b.Z2 kxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 外一点， 设0D=t0C(t>1). ,B,A,D三点共线且D在AB的延长线上， .可设BD=kAB(k>0),即OD-OB=kOB-OA), ∴.0D=(k+1)OB-kOA,.t0C=(k+1)OB一kOA(>1,k>0),则0C=k+ ItOB+-ktOA(t>1,k>0). 又：0C=OA+4OB,.1=-k灶，4=k+1i, .十4=1t∈(0,1).故选C. ©.根据向量的三角不等式解决有关向量的不等式问题 (62026汇编，15分)已知a,b是两个非零向量 ①若向量a,b满足a=4,=6,则la十b1的最小值是 ,a一的最大值是 ②若b=(3,1),2a-b1=1,则al的取值范围为( A.f352)B.(1,3)C.f132)D.(2,4) ③若b≤1,2a+b创=2，则bl+a十b的最大值是( A.54B.52C.3D.5 解析：①根据向量的三角不等式，可得l@d一bl≤a+b≤a+bl,∴.2≤lab≤10， 当且仅当向量a,b方向相反时，1a+b取得最小值2，a一b创取得最大值10. ②由b=(3,1),可知b=2. ,2d一l≤2a一b,当且仅当向量a和b同向共线时取得等号， ∴.-2a-b≤2a-bl≤2a-bl, ∴.lbl-2a-bl≤2ld≤1bl+2a-bl. :b=2,12a-bl=1,.1≤2la≤3， 解得12≤|a≤32，即d∈f132).故选C. ③，a,b是两个非零向量，且bl≤1,2a+b=2,.2=2(a十b)-b≥2(a十b- b,当且仅当向量2(a十b)与b同向共线，且2(a+b)≥b时取等号， a+b≤12(2+b0≤32，.b+a十b≤1+32=52，.b+la+b的最大值是52.故 选B. (T)(重庆质检，5分)已知等边△4BC的边长为23，P为它所在平面内一点，且 一-”=1，则的最大值为(） A,43+1B.7C.5D.23-1 解析：设D为边BC的中点，连接AD,如图所示，则B+AC=2AD.由向量 的三角不等式知API-AB+AC|≤|AP一(AB+AC)=1,即|AP一 2AD≤1，即AP≤2AD+1,当且仅当向量AP和AD同向共线时取得等号.在 Rt△ADC中，AC=23,CD=3,∴.lAD=3,|AP≤2AD+1=7.故选B. ·独家授权侵权必究· 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 3,共线向量基本定理的应用 ,利用共线向量基本定理解决两直线平行问题 (8(经典题，5分)已知a,b是不共线的非零向量，=a十2b,一=3a一b,一=2a-3b ,则四边形ABCD是(） A.矩形B.平行四边形 C.梯形D.菱形 解析：因为AD=AB+BC+CD=(a+2b)+(3a-b)+(2a-3b)=2(3a-b)=2BC ,所以AD∥BC且AD≠BC,即四边形ABCD是梯形.故选C. b,利用共线向量基本定理解决三点共线问题 (9江苏期中，5分)已知4，b是不共线的向量，且=3a十4h,一=一2a一6励. 一=2a-4b,则(） A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线 C.B,C,D三点共线D.A,C,D三点共线 解析：因为AB=3a+4b,BC=-2a一6b,CD=2a-4b,所以AD=AB+BC+ CD =3a-6b. 选项A,若A,B,D三点共线，则存在实数1，使得AB=1AD,即3=3,4= 一61，此方程组无解，故A错误 同理可得选项B、选项C错误， 选项D,若A,C,D三点共线，则存在实数入，使得AD=CD,即3=21，一6 =一4，)解得=32，即AD=32CD,所以A,C,D三点共线，故D正确. 故选D. (10X河北邯郸期中，5分)已知向量=(-1,2)，一=(23)，一=(m, -3).若B,C,D三点共线，则m=() A.-16B.16C.-23D.23 解析：因为AB=(-1,2),AC=(2,3),AD=(m,一3)， 所以BC=AC-AB=(3,1),BD=AD-AB=(m+1,-5) 因为B,C,D三点共线， 所以存在实数A,使得BC=1BD, 即3=1(m十1)，1=-5，)解得m=-16,15).故选A. 4.与零向量有关的常见易错点 (11)2026汇编，5分)下列命题正确的是·（填序号） 独家授权侵权必究 多学科网书城■ 品神书店·知名教辅·正版资源 b.2xXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 ①在△4BC中，++=0： ②向量a,b共线的充要条件是有且仅有一个实数入，使得b=a: ③若非零向量a与b的方向相同或相反，则a十b与a,b其中之一的方向相同： ④若向量a,b不共线，则向量a十b与向量a一b必不共线： ⑤不等式als4 alcol(bclrenawvs-4 alcol(a)-bucireilnalvs-4 alcol(b)≤ aws4 alcol(a+b)≤avs4 alco.1(a+iavs4 alcol(b)中两个等号不可能同时成立： ⑥任一向量与它的相反向量不相等. 解析：①错误：忽视了0与0的区别，正确说法：在△ABC中，AB+BC十CA 0. ②错误：在向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，若a,b共线，当a=0,b=0 时，有无数个1，使得b=a:当a=0,b≠0时，不存在入，使得b=a;当a≠0 时，有且仅有一个实数a,使得b=a.正确说法：向量a(a≠0与b共线，当且仅 当有唯一一个实数入，使得b=a. ③错误：当a+b=0时，其方向任意，此时a十b与a,b的方向都不相同 ④正确：，向量a与b不共线，，∴.向量a,b,a十b与a一b都是非零向量.若a 十b与a一b平行，则存在唯一一个实数a,使得a十b=(a一b),即 (d一1)a=(1+)b,故1一1=0,1十1=0，此时无解，故假设不成立，∴.a+b与 a一b不共线. ⑤错误：当b=0时，avs4 alcol0a-bD=a,avs4 alco1(a+b)=la,ld+bl= a,此时avs4 alcol(a-b)=aws4acol(a+b)=a+lbl. ©错误：零向量的相反向量仍然是零向量，所以零向量与它的相反向量相等 故答案为④. 随堂普查练18 1.(2026改编，5分)给出下列命题： ①两个相等向量，它们的起点相同，终点也相同： ②若la≠b,则a与b不是共线向量： ③，u为实数，若a=b,则向量a与b共线： ④已知点O,A,B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2= 2+一，则点P在线段AB的反向延长线上. 其中正确的是 (只填序号) 解析：①错误：因为长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，且向量可以平移， 平移后的向量与原向量是相等向量，所以相等向量与它们的起点和终点的位置无 关： ②错误：方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，共线向量与它们的模的大小 没有关系： ③错误：当A=u=0时，a=b=0,但此时向量a与b不一定共线： ④正确：由2OP=2OA+BA,得2OP-2OA=BA,即2AP=BA.又因为AP ,BA有公共点A,所以A,B,P三点共线，且点P在线段AB的反向延长线上， 2,(福建福州模拟，5分)如图，梯形ABCD的腰CD的中点为E,且BC=34D, ·独家授权侵权必究· 多学科网书城■ 品神书店·知名教辅·正版资源 b.2xXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 记=m,=,则=() A.-12m+2nB12m+2n C.-2m+12nD.-12m+32n 2.答案：A 解析：，BC=34D,∴.BC=3AD=3n 由图可知，AB+BC+CD+DA=0, ∴.CD=-AB-BC-DA=-m-3n十n=-m-2n, 又E为CD的中点， ·BE=BC+CE=BC+lCD =3n-12m-n=一12m十2n,故选A 3.(山西二模，5分)在平行四边形ABCD中，E为AD边的中点，连接BE交AC 于点G.若=元+4，则十u=( A.1B.56C.23D.13 解析：根据题意作图如下： ,四边形ABCD为平行四边形，，'AD=BC ,E为AD边的中点，AE=12AD=12BC. ,'AD∥BC,.△AEG∽△CBG, ..AGCG=AEBC=12,..AG=12GC=13AC, .AG=13AC =13(AB+AD)=13 AB+13AD ,AG=1AB十uAD,.A=u=13,.1+=23.故选C. 4.(浙江模拟，5分)已知非零向量a,b满足ab=2,a十b=4,则12a-3b的取 值范围是」 解析：因为ab=2,la+b=4, 所以a-b2=a+b2-4ab=16-8=8, 所以a-b=22, 所以2a-3b=-f152)(a-b)≤12a+b+521a-bl=2+52, 当且仅当一12(a+b)与52(a一b)同向共线时取得等号： 独家授权侵权必究 多学科网书城■ 品神书店·知名教辅·正版资源 b.2xXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 12a-3b=-f152)(a-b)≥52a-b1-121a+b1=52-2,当且仅当-12(a+b与 52(a-b)反向共线时取得等号，所以2a-3b∈[52-2,52+2]. 故答案为52-2,52+2] 5.(广东二模，5分)已知向量a与b不共线，若a十b与（低+1a十b共线(k∈R), 则k的值是() A.52B.5)2 C.5)2D.5)2 解析：设a+kb=k十1)a+b]=k+1)a+b, ,向量a与b不共线， .1=(k十1)，k=1,).k2十k-1=0,解得k=5)2故选B 6.(江苏无锡月考，5分)在四边形4BCD中，一=a+2b,一=一4-b, =-5a-3b,若a,b不共线，则四边形ABCD为() A.平行四边形B.矩形 C.梯形 D.菱形 解析：由已知得AD=AB+BC+CD=a+2b-4a-b-5a-3b= -8a-2b=2BC, 所以AD∥BC,且AD≠BC, 所以四边形ABCD是梯形.故选C. 7.(江西宜春月考，12分)如图所示，在△ABC中，D,F分别是BC,AC的中点， =23,=a,=b. ()用a,b表示向量”，一 (2)求证：B,E,F三点共线， 解：(I)如图，延长AD到G,使DG=AD,连接BG,CG,则四边形ABGC是平 行四边形， ∴.AG=AB+AC=a十b,(2分) .AD=12AG=12(a+h)=12a+12b. ◆独家授权侵权必究 多学科网书城■ 品神书店·知名教辅·正版资源 ■b.Z2 xk.com● 您身边的互联网+教辅专家 A正=23AD=13a十b),4AF=12AC=12b, .'BE=AE-AB=13(a+b)-a=-23a+13b,BF=AF-AB=12b-a=-a +12b.(6分) (2)证明：由(1)知BE=-23a+13b=-13(2a-b),BF=-a+12b=-122a-b), .BE=23BF.(10分) 又BE,BF有公共点B,B,E,F三点共线.(I2分) 普查与练习18Ⅱ平面向量的数量积 四组题学透 5,平面向量的数量积及其运算律 a,向量数量积相关概念、性质和运算律的辨析 (12)2026改编，5分)给出下列说法： ①若ab>0,则a和b的夹角为锐角： 若ab0,则a和b的夹角为钝角. ②若a,b共线，则ab=lavs4 alcol(a)lalvs4 alcol(b) ③若ab=ac,则b=c ④(ab)c=a(bc). ⑤若ab=0,则a=0或b=0;若a2=b2,则a=b或a=-b. ⑥在△4BC中，若.0，则△4BC为钝角三角形. 其中说法错误的是 (填序号) 解析：①错误：若ab>0,则a和b的夹角为锐角或零度角；若b<0,则a和b 的夹角为钝角或平角. ②错误：若a,b共线，则ab=±ab. ③错误：当a=0时，满足ab=ac,b,c可以是任意向量，不一定相等：当a上 (b一c)时，a(b-c)=0,满足ab=ac,但b与c可以不相等， ④错误：设向量a,b和b,c的夹角分别为a,B,则向量(ab)c表示模为 aws4 alcol((ab)c=allbllc as4 alcol(cosa,且与向量c共线的向量，而向量 a(bc)表示模为avs4 alcol(a(bc))=allblic aws4-alcol(cos),且与向量a共 线的向量，所以(ab)c和a(bc)不一定相等. ⑤错误：若ab=0,则当a,b都是非零向量时，有a⊥b:当a,b不都是非零向 量时，有a=0或b=0:若a2=b2,即la2=b,则d=b,方向无法确定. ⑥错误：在△4BC中，若AB·BC<0,则AB BCcos(元一B)0, 所以cos(π一B)O,即cosB>0 又因为O<Bπ，所以0<B<π2，无法判断△ABC为钝角三角形. 故答案为①②③④⑤⑥. b,直接求向量的数量积或其范围 (13(全国甲经典真题，5分)设向量a,b的夹角的余弦值为I3,且ld=1,b=3, 则(2a+b)b= 解析：设a与b的夹角为0，则cos0=13 又因为a=1,b=3,所以ab=albcos0=1×3×I3=1, 所以(2a+b)b=2ab+b2=2ab+b2=2×1+32=11.故答案为11. ◆独家授权侵权必究· 多学科网书城■ 品神书店·知名教辅·正版资源 b.2XXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 (14)(2023全国乙真题，5分)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·= () A.5B.3C.25D.5 解析：（法一）以{AB，AD}为一组基底， 可知AB=|AD=2,AB·AD=0. 由题意知EC=EB+BC=I2AB+AD,西=EA+AD=-12AB+AD, 所以EC·历= （}+而+0 =-14AB2+AD2=-1+4=3. 故选B. (法二)如图，以A为坐标原点，AB,AD分别为x轴、y轴的正方向建立平面直 角坐标系，则E(1,0),C(2,2),D0,2), 所以EC=(1,2),D=(-1,2), 所以EC·D=-1+4=3. 故选B. rcl (法三)油题意可得，ED=EC=2 AB))sup12(2)=5,CD=2. 在△CDE中，由余弦定理的推论可得cos∠DEC=ED2十EC2-CD22EDEC=5+ 5-42×r(5)×r5)=35, 所以EC,ED=|EC‖ED1cos∠DEC=5X5X35=3. 故选B. (15)2024天津真题，5分)在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等 分点，CE=12DE,=1+u,则+4= ；F为线段BE上的动点，G 为4F的中点，则，的最小值为 解析：（法一）因为CE=12DE, 所以正=0而- 所以BE=BC+CE=)BA+BC, ·独家授权侵权必究