第12课 函数与方程-【提分宝典】2026年新高考数学一轮全考点普查与练习

多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 第12课函数与方程 普查与练习12 函数与方程 五组题学透 1.函数零点所在区间的判断 a.利用零点存在定理判断函数零点所在区间 (1)(海南模拟，5分)函数x)=一lx十2的零点所在的大致区间为( A.(1,e) B.(e,e) C.(e2,e) D.(e3,e) 解析：易知x)=一lnr十2在(0，十o)上连续不断，且单调递减， 因为1)=3>0，e)=+1>0,e)=>0,fe)=-1<0,fe)=-2<0, 所以函数x)的零点所在的大致区间为(2，e).故选C. b,利用数形结合法判断函数零点所在区间 (2)(天津南开中学模拟，5分)函数y=lr一的零点所在的大致区间是() A.B.(1,2) C.(2,e)D.(e,+∞) 解析：（法一）令x)=lnr一 因为函数fx)在(0，+∞)上单调递增，f2)=ln21<0,e)=1一>0,2)e)0, 所以函数x)的零点所在的大致区间是(2，). 故选C (法二)令x)=lnr,g(c)=,则函数y=lnr一的零点即为函数x)与g(x)图像交点 的横坐标。在同一平面直角坐标系中作出函数x),g(x)的图像，如图所示： fix)alna 主的本有 由图可知，x),gx)图像交点的横坐标在(2，c)内，所以函数y=lnr一的零点所 在的区间为(2，©).故选C 2.函数零点个数的判断 a.利用零点存在定理法判断函数零点个数 (3)江苏苏州月考节选，5分)已知函数gx)=x2-1一2six,则gx)在区间(0，π)上 有个零点. 解析：g(x)=x2-1一2sinr,则g(x)=2r-2cosx. ①当x∈时，g(x>0,gx)单调递增. 又g=-3<0,g)=元2-1>0， ∴gx)在区间上有一个零点 ②当x∈时，设h(x)=g(x)=2x一2cosr, 独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 则h'(x)=2+2sin>0, ∴g(x)在区间上单调递增。 又g(0)=-2<0,g=>0, ∴存在x∈，使g(x)=0, ∴.当x∈(0，xo)时，gx)<0,g(x)单调递减： 当x∈时，g(x)>0,g)单调递增. 又g0)=-1<0,g=-3<0, ∴gx)在区间上无零点. 综上，函数gx)在区间0，)上只有一个零点. b.利用解方程法判断函数零点个数 (4)北京海淀区期中，5分)已知函数x)=则函数x)的零点个数为 解析：函数x)的零点个数即为方程x)=0的实数根的个数.当x<1时，令(x十 1)e=0,因为e>0,所以x+1=0,解得x=一1：当x≥1时，令x2-2x=0,解 得x=2,所以方程x)=0有两个实数根，所以函数x)的零点个数为2. C.利用数形结合法判断函数零点个数 (⑤)（河北邢台一摸，5分）函数x)=cosx一2x+1的零点个数为( A.3B.4 C.5D.6 解析：令x)=cosx-2x+1=0, 可得cos元r=2x一1，则函数x)的零点个数即为y=cosr与y=2x一1图像的交点 个数，作出两函数的图像，如图所示. 显然y=cosx与y=2x一1的图像均关于点对称， 又当x=2时，cos2π>2×2-1， 当x=4时，c0s4π<2×4-1， 所以y=cos元r与y=2x一1的图像有5个交点，即函数fx)有5个零点.故选C (6)(北京经典真题，5分)已知函数x)=lg一kx一2，给出下列四个结论： ①若=0，则x)有两个零点： ②3k<0,使得x)有一个零点： ③3k<0,使得x)有三个零点： ④>0，使得x)有三个零点 以上正确结论的序号是 解析：令x)=lg一kr-2=0,得lg=+2. 设g(x)=lgr,hx)=kx+2, 独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXK.C0m○ 您身边的互联网+教辅专家 所以x)的零点个数就是函数gx)=lg与函数h)=x十2图像的交点个数， 函数g(x)=lg的图像如图所示. 易知函数hx)的图像是经过点P0,2)的一条直线， 如图，过P作gx)的两条切线，切点分别是A,B, 过P作与x轴平行的直线PM. B 由图可知， 当直线y=h()在y轴与PA之间（不含边界），即k<k时，g(x)与)的图像没有交 点： 当直线y=h(x)为PA,即k=k时，g()与hx)的图像有一个交点： 当直线y=hx)在PA与PM之间（含PM),即k<k≤0时，gx)与(x)的图像有两 个交点： 当直线y=x)在PM与PB之间（不含边界），即O<<k时，gr)与hx)的图像有 三个交点： 当直线y=h(x)为PB,即k=km时，g(x)与(x)的图像有两个交点： 当直线y=hx)在PB与y轴之间（不含边界），即>ks时，gx)与x)的图像有一 个交点， 所以，①当k=0时，x)有两个零点，①正确 ②当k=k<0时，x)有一个零点，②正确： ③只有当0<k<ks时，x)才有三个零点，③错误： ④当0<k<kw时，x)有三个零点，④正确. 故答案为①②④】 3.有关函数零点的代数式的求值或范围问题 (7)(陕西二模，5分)已知x,x是函数x)=(x一2)(e2-1)一(c2+1)的两个零 点，则e=( A.IB.e C.e2 D.e 解析：由x)的解析式可知2)≠0， 故x≠2时，令x)=0,可得= 令gx)=，hx)=, 因为x,是函数x)的两个零点， 所以gx),(x)的图像必有两个交点，且x,是两交点的横坐标. 因为g4一x)==一g(x),h(4一x)===一hx), 所以g(x),h(x)的图像均关于点(2,0)对称， 所以两函数图像的交点关于点(2,0)对称， 所以十=4，则e=e故选D, 独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 (8)(多选)（辽宁葫芦岛二模改编，6分）设函数x)=若关于x的方程x)=a(a∈R) 有四个实数解，，，，且<x<x3<x4,则(G十xx一x)的值可能是(） A.0B.1 C.99D.100 解析：方程x)=a的解即函数y=x)与y=a图像交点的横坐标，在同一平面直 角坐标系中画出两函数图像并标出x,,,x4,如图所示，由图可知0<a≤1. 因为函数y=x2+3x+1的图像的对称轴为直线x=一，所以十x2=一3. 因为g=lgxd,所以g十lgx4=0,所以x=1,x4=,所以x1十x2)一x) -10. 因为0<lg≤1，所以≤x<1. 又因为y=一10在上单调递减， 所以(x+x2x一xa)=一10∈(0,991. 故选BC (9)(多选)河北模拟，6分)已知函数x)=xe+4+十r有四个不同的零点，分别 为x,2,x,x(<x<<,则下列说法正确的是() A.-1<x3<0 B.e+4 C.re%=re D.In(xx2X)+x+x2+xx=-8 解析：由题意知方程2+*+十mr=0有四个不同的根，显然x=0不是此方程的 根， 所以方程exe十十m=0有四个不同的根. 令1=xc,则方程化为e1十十m=0,即er+m+1=0 对1=xe求导，得'=(r+1)e.令0，得>一1：令'<0，得r<-1,故=xe在 区间（一∞，一1）上单调递减，在区间（一1，十∞）上单调递增，当x=一1时，t 三一 又当x一一oo时，c→0，所以1=xe一0，所以可画出函数1=xe的大致图像如下， 若要使方程e,xe十十m=0有四个不同的根，则方程e?+tm十1=0有两个不同 的根，2，且=， 独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 不妨设>，则，h与x,,,x的对应关系如下图所示. 由图可知-1<<0,6=5e9=e ,故A,C正确， 因为一<<4<0，h=, 所以一<<-<1<0. 又0,0>，=re=e>-,所以e,e<,即e+<,故B错误. 由h=e=xe,h=xe5=e,得e.e=c.e==, 两边取自然对数，得ln(xx)十x十为十十x4=一8，故D正确.故选ACD 4.根据函数零点的情况求参数的值或范围 (10)(海南海口期中，5分)已知函数x)=2一一a的一个零点在区间(1,2)内，则 实数a的取值范围是() A.(1,3)B.(1,2) C.(0,3)D.(0,2) 解析：函数x)=2-一a的定义域为（一∞，0）U(0,十).因为y=2在R上是 增函数，y=一在区间（一∞，0）和(0，十∞)上都是增函数，所以函数x)=2一 a在区间（一∞，0）和(0，十∞)上都是增函数，又函数x)=2一一a的一个零点在 区间(1,2)内，所以1)2)=(0一a)(3-a)<0,解得0<a<3,即实数a的取值 范围是(0,3).故选C. (11)(2024新高考Ⅱ真题，5分)设函数x)=a(r+1)2-1,gr)=cosr+2a,当 x∈（一1,1）时，曲线y=x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=(） A.-1B. C.1D.2 解析：（法一）令x)=g(x),即a(x+1)2一1=cosr+2ax,可得ar2+a一1=cosx. F(x)=ax2+a-1,G(x)=cosx, 则原题意等价于当x∈（一1,1）时，曲线y=Fx)与y=G(x)怡有一个交点， 易知F(x),Gx)均为偶函数， 所以该交点只能在y轴上， 所以FO)=G(0),即a-1=1,解得a=2. 故选D. (法二)令h(x)=fx)一g(x)=ax2+a-1-cosx, x∈(-1,1)， 则原题意等价于x)有且仅有一个零点， h(-x)=a(-x)2+a-1-cos(-x)=ax2+a-1-cosx=h(x), 所以x)为偶函数， 独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0， 即h(0)=a-2=0,解得a=2. 故选D. (12)2024全国甲真题，5分)曲线y=x-3x与y=一(x-1)2+a在(0，十∞)上有两 个不同的交点，则a的取值范围为 解析：令x3-3.x=-(x-1)y2+a,得a=x3+x2-5x十1. 设g(x)=x3+x2-5.x+1(x>0), 则g(x)=3x2+2x-5=(3.x+5)x-1), 令g(x)=0,得x=1(负值舍去)， 所以当x∈(0,1)时，g'(x)<0,gx)单调递减： 当x∈(1，+∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 又g(1)=-2, 故画出g(x)的大致图像如图所示. 曲线y=x-3x与y=一(x-1}+a在(0，+∞)上有两个不同的交点， 等价于直线y=a与曲线gx)有两个不同的交点， 结合图像可知，a的取值范围为（一2，I) 故答案为（一2,1）. (13)2024天津真题，5分)若函数fx)=2-1ar一2+1恰有一个零点，则a的取值 范围为 解析：令x)=0,得2=la一2一1，则由x)恰有一个零点，得该方程恰有一个 实数解 由题可得x2-ar≥0， (I)当a=0时，x∈R,由2=一2-1=1，解得x=±，有两解，不符合题意，舍. (I)当a>0时，2=ar-2-1= 则函数g)=2与函数h(x)=的图像有唯一交点. 由x2-ar≥0，可得x≥a或x≤0. 当x≤0时，a-2<0, 则2=1ax-2-1=1-ar, 即4x2-4ax=(1-ar)2, 整理得(4-a2-2ar-1=[(2+ax+1][(2-ax-1]=0, 当0<a<2时，解得x=-或x=>0(舍)： 当a=2时，即4x十1=0，解得x=-: 当a>2时，解得x=一或x=,有两负解，不符合题意，舍， 所以当0<a≤2时，方程2=ar-2一1在（一∞，0]上有唯一解， 独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 所以当0<a≤2时，方程2=ar-2一1在[a,十∞)上需无解. 当0<a≤2，且x≥a时， 函数h(x)=的图像关于直线x=对称， 令hx)=0,可得x=或x=, 且0<<<，函数h(x)在上单调递减，在上单调递增。 令gx)=y=2,则-=1， 故当x≥a时，gx)的图像为双曲线一=1右支的x轴上方部分向右平移个单位长 度所得， 双曲线一=1的渐近线方程为y=±2x, 所以x≥a时，g(x)的图像的一条渐近线方程为y=2,其斜率为2. 令g(x)=2=0,可得x=a或xr=0(舍去)： 则函数g(x)在(a,十∞)上单调递增. 画出函数h(x)的大致图像与函数gx)在[a,十∞)上的大致图像，如图所示. 闭，a 因为a∈(0,2]，即h()=在x≥时的斜率a∈(0,2]， 所以两函数图像在无穷远处没有交点， 所以只需<a<,即1<a<,即可保证两函数图像没有交点， 所以1<a<符合题意. (山)当a<0时， 2=lax-2-1= 则函数gx)=2与函数Hx)=的图像有唯一交点. 由x2-ar≥0，可得x≥0或x≤a. 当x≥0时，ar-2<0, 则2=1ax-2-1=1-ac, 则(4-a2)x2-2ar-1=[(2+ar+1][(2-a)x-1]=0, 当一2<a<0时，解得x=一<0（舍）或x=: 当a=一2时，即4r一1=0，解得x=: 当a<一2时，解得x=一>0或x=>0,有两解，不符合题意，舍， 所以当一2≤a<0时，方程2=ar一2一1在[0，+∞)上有唯一解， 所以当一2≤a<0时，方程2=ax一2一1在(-∞，a上需无解. 当一2≤a<0,且x≤a时， 函数H(x)=关于直线x=对称， 令Hx)=0,可得x=或x=, 且<<0，函数H(x)在上单调递减，在上单调递增. 同理可得，当x≤a时，g(x)的图像为双曲线一=1左支的x轴上方部分向左平移 个单位长度所得， gx)的图像的一条渐近线方程为y=一2，其斜率为一2. 令g(x)=2=0,可得x=a或x=0(舍去)， 独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 则函数gx)在（一∞，a)上单调递减， 画出函数Hx)的大致图像与函数gx)在（一，上的大致图像，如图所示. ，≤ 因为a∈[一2,0)，即Hx)=在x≤时的斜率a∈[一2,0)， 所以两函数图像在无穷远处没有交点， 所以只需<a<,即一<a<一l,即可保证两函数图像没有交点， 故一<a<一1符合题意. 综上，a∈(-，-1)U(1,). 故答案为（一，一1）U(1,) 5.嵌套函数的零点问题 a.函数y=几g(x)]的零点问题 (14)(江苏联考，5分)已知函数x)=则函数y=x]一2x)一的零点个数为 解析：在平面直角坐标系中作出函数x)的图像如下： 方6主 令fx)=(t≥0)，则函数y=x)]-2x)-可化为y=)-21-(t≥0). 要求函数y=f代x]一2x)一的零点个数，需先判断函数y=t)一21一(t≥0)的零点 个数，即先判断方程)一21一=0(1≥0)的不相等的实数根的个数，即先判断函数 y=)与y=21十的图像在[0，+∞)上的交点个数. 在同一平面直角坐标系中，画出函数y=)与y=21+在[0，十∞)上的图像，如 图所示 阳 2-101a 2 561 由图可知，函数y=)一21-（≥0）的一个零点1∈(0,1)，另一个零点 独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 t2∈(1,2). 因为函数y=x)与y=的图像有2个交点， 所以方程x)=4,有2个不相等的实数根： 因为函数y=x)与y=的图像有3个交点， 所以方程x)=2有3个不相等的实数根. 所以函数y=几x】一2x)一的零点个数为5. 故答案为5. -2-10 12 3456 b,二次型复合函数的零点问题 r22-1,x≤0 (15辽宁沈阳一模，5分)已知函数=l0gx,x>0, 若关于x的方程[x 十mx)十4=0有6个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 解析：在平面直角坐标系中画出函数x)的图像，如图所示 下来 ▣ -2 0 令t=fx),t≥0，则方程x)+mx)+4=0转化为方程P+m1+4=0(t≥0). 当4=m2一4×4≤0，即一4≤m≤4时，方程+t+4=0无实数根或有2个相等 的实数根，结合函数x)的图像可知，此时不符合题意. 当4=m2-4×4>0,即m>4或m<-4时，方程P+mt十4=0有2个不相等的实数 根， 设方程产+m1十4=0t≥0)的2个实数根分别为，2，由根与系数的关系得1+2 =一m,1=4,结合函数fx)的图像知，>0且t,2≠2. 不妨设0<4<. ①若0<<1，则>4，由x)图像可得x)=有4个不相等的实数根，x)=2有 2个不相等的实数根，所以x)有6个不相等的实数根，符合题意. ②若1≤<2，由x)图像可得x)=4有3个不相等的实数根，若要满足题意， 则x)=2有且仅有3个不相等的实数根，所以2<≤3，即2<≤3，解得≤<2. 综上可得，0<4<1或≤t<2. 因为1十2=一m,t2=4,所以m=一（十）=一 由对勾函数的性质可知，函数m=一在(0,1)，上均单调递增，当1→0时，m一 一∞；当1=1时，m=一5：当1=时，m=一：当1=2时，m=一4，所以 m∈(-∞，一5)U. 独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 随堂普查练12 1.(北京西城区月考，4分)函数x)=一2的零点所在区间是() A.B.C.(1,2)D.(2,3) 解析：（法一）易知函数x)在(0，十∞)上单调递减 ,1)=2>0,2)=一2<0，.由函数零点存在定理可知，函数x)在(1,2)上有 零点.故选C (法二)x)=一2=0，即为=2.函数x)的零点等价于方程x)=0的根，也即函数 y=和函数y=2图像交点的横坐标，作图如下： 2 54y 4-3-2-1012345 2 由图可知，函数y=和函数y=2图像交点的横坐标所在区间为(1,2).故选C 2.(经典题，5分)函数x)=4“+x2-2在区间(0,1)内的零点个数是() A.0B.1C.2D.3 解析：y=4和y=2一2在(0,1)上都是增函数且连续，∴.函数x)=4十x2一2 在区间(0，)上单调递增且连续.0)=一1<0,1)=3>0,0：1)<0， 函数x)=4+x2一2在区间(0,1)内有唯一的零点，故选B. 3.(重庆三模，5分)已知函数x)=则函数g()=x)一的零点个数为) A.0B.1C.2D.3 解析：（法一）当x≤0时，由gx)=0可得=，解得x=1,不满足x≤0，舍去： 当x>0时，由g(x)=0可得logx=,解得x=或x=，满足题意，所以函数g(x)的 零点为和，有2个.故选C (法二)函数gx)=x)一的零点个数等价于方程x)=的不相等的实数根的个数， 等价于函数y=x)与y=的图像的交点个数， 在同一平面直角坐标系中画出函数y=x)与y=的图像，如图所示. f() 由图可知，函数y=)与y=的图像有2个交点，即函数g(x)=x)一的零点个数 为2.故选C 4.(云南昆明模拟，5分)已知x1是函数x)=xlr一99的一个零点，x2是函数g(x) =xe一99的一个零点，则x的值为) 独家授权侵权必究