第10课 对数与对数函数-【提分宝典】2026年新高考数学一轮全考点普查与练习

色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 第10课对数与对数函数 普查与练习10 对数与对数函数 三组题学透 1.对数式的化简与求值 1 1 5 (1)(2024全国甲真题，5分)已知a>1且 ,则a= logsa log 4 2 1 1 3 解析： logza 5 logsa log4 logza 2 24 因为a>1,所以1og2a>0, (1og2a）2_5log2a 所以3一 2 整理得1og2a-51og2a-6=0, 解得1og2a=-1(舍去)或log2a=6, 所以1oga=6-log22,所以a-26=64 故答案为64 ②X2024北京真题，4分生物丰富度指薮48二是河流水质的一个评价指标，其中5，N分 InN 别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好，如果某河 流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由1变为M,生物丰富度指数由2.1提 高到3.15，则() A.3W2-2WB.2W2-3W C.N=N D.N=M 解析：由题意得一 =2.1, S-1 =3.15 InM InN2 划21lnM=315lnM,即hnM=2ny 21 10 所以2nM=3nW2,所以3=W.故选D (32026汇编，35分)完成下列各题. 0lg27+1g8-gV1000 lg1.2 ②le50e8+le10o0)+651e22+le后+le0.06= ③1og625·log216= ④化简(2log3+1ogs3)1og32+1og2)的值为( )天津经典真题) A.1B.2C.4D.6 ⑤已知1g+lg"=21g2-3.则1og"- 21y ⑥已知4=8,2m=9=6,且-+。=b,则a+b= m 2n ⑦1-1gs3)2+10g21og618" log64 8V27 1,64×27 解析：①原式= 710002g1000 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 4×3 2 (10 1143×33 6 6 2g103 号 ②原式=lg5×(31g2+3)+3×g2)2+lg(×0.06 =31g5×1g2+3lg5+3×0g2)2-2 =31g2Qg5+1g2)+3lg5-2 -31g2+3lg5-2 =1. ③log6251og216=1og62161ogs25=1og631og52=3×2=6. ④（法一）2l0g3+1og83)1og32+1og2) 21g3,1g3 g2 Ig2 1g41g81g31g9 1g3,1g3g2,1g2 1g23lg21g32lg3, 4lg331g2 3 1g2 2 lg3 =2.故选B. 法二)2log43+1ogs3)1og32+10g2) _（21og,3+lbg,3)aog2+1og,2) =loe3+与g3loe2+e2 --10g231og32 =2.故选B ⑤，lgr+1lg=2lg(2x3) x>0, P>0, 2x-3y>0, 解得-一 -(2-3y)2, 3 39 logylog,2 ⑥.40=8,2m-9m=6, 3 3 log-og2-m-log:6,n-log6, 2 ÷=1og2,=log9, 6=2+1 =l1og62+1og69=1og62+1og63=1, m 2n a+b 5 ⑦原式- (1og66-log63)2+1og62-log618 10g622 ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 (1og62)2+log62log618 210g62 -10gs2+1og618 2 =logo3 2 =1. 2.对数函数的图像及性质 a,对数型函数图像恒过定点问题 (4)(四川成都三模，5分)已知函数f)=logx一1)+1(a>0且a≠1)的图像恒过定点A,过定 点A的直线：mx十m-】与坐标轴的正半轴相交，则mn的最大值为() 11 1 心BCD16 16 解析：已知：m十四=1，即y=m+ x十- ,直线1与坐标轴的正半轴相交， ÷-m0,10.m0,P0 令x-1=1,即x=2,得2)=1， 则A(2,1),则2m十n=1, 1 .1=2m+n≥22mn,.mm≤8 11 当且仅当2m=n,即m一n一时，等号成立. 故选C b.辨析与对数函数有关的函数图像 (⑤)（内蒙古通辽模拟，5分）若函数x)=(k一1)a一a(a>0且a≠1)在R上既是奇函数又是减 函数，则g()=log十的大致图像是() B y 0 C D 解析因为函数fx)=(k-1)a一a(a>0,a≠1)在R上是奇函数，所以f0)=0,即k-1一1= 0,解得k=2,经检验，k=2时，x)=一a为奇函数. 又因为x)为减函数，所以0<a<1,所以gx)=logc十2在（一∞，一2）上单调递增，在（一2， 十∞)上单调递减，其大致图像为B故选B. c.利用对数函数的图像与性质求值或取值范围 1 ⑥2026改编，5分)函数-2x一22nr的最小值为 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 解析：在同一平面直角坐标系中作出函数八=2x一了为=2m的图像，如图所示： =2x- M(x。·yo 设点Mo,o)是y2=2lnr图像上的任意一点， 则在该点处的切线方程为y=一(c一)十% 3X0 令2=2，得=1，因此，函数片=2x的图像在点1,0处的切线与直线n=2x2平行， m=221mw=2x1 3 221一故函数9的最小值为号 (⑦)（辽宁大连模拟，5分）中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上， 把刘微常用的方法概括为“出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割 成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不 变.利用这个原理，解决下面问题：已知函数x)满足4一x)=x),且当x∈[0,2]时的解 析式为=le:2）,0≤x≤1，则函数=在xO4时的图像与直线=-1 log2x,1<x≤2， 围成的封闭图形的面积是() A.2 B.2log23 C.4 D.4log23 解析：4一x)=x),x)的图像关于直线x=2对称 =C:220≤≤1·当xe0,2时，的图像关于0,0对 又f0)=f4)=一1，f2)=1,∴.当x[0,4]时，函数fx)及y=-1的图像如下，两图像围 成的封闭图形如图中阴影部分所示 2 根据图像的对称性，可将顶点分别为A,B,C和A,C,D的曲边三角形分别相补到顶点为 F,B,O和H,E,D的曲边三角形处，∴.函数y=f在x∈[O,4]上的图像与直线y=-1 围成的封闭图形的面积即为由x轴、y轴、直线y=一1和直线x=4所围成的矩形的面积， 为4.故选C d,利用对数函数的图像与性质比较大小 (82026汇编，25分)按要求完成下列各题 11 (I)已知a=lec,b=h2,c=loe3则a,b,c的大小关系为) A.a>b>c B.b>ac C.c>b>a D.ca>b (I)己知a-log36,b=logs10,c-log14,则实数a,b,c的大小关系是() A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 (已知2=6,36=12,4=20，则() A.ab>c B.ca-b C.b>a-c D.c-b-a 2 (W)设a=log2,b=logs3,c-3则( 全国Ⅲ经典真题) A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b (V)若a>b>c>1且ac<b2,则() A.log b>logc>logca B.logb>loga>log.c C.logc>log b>log.a D.loga>log b>logc 解析：(I),'a=log2e>l,b=ln2<lne=1, ，log3=log3>log2e=a, .c>a>b.故选D (IⅡ)a=1og36=1+1og32,b=1og310=1+logs2,c=log714=1+1og72..y=1og2x是增函数， g21og5-1 log:7-log:5-log3>0."log7 -1 g21og3-1 .'.log32>logs2>log2. 1og32 ∴.a>b>c故选A (.24=6,30=12, a=1og,6=1+1og3>1+1og2N2=1+3 22 35 b=1og312=1+1og34<1+1og33V3=1+- +22 .a心b ,4=20,∴.c=l10g420=1+1og45, b-c-log,4-log,5-184 l85_lg24-lg3lg5 1g3 1g4 1g31g4 1g3+1g5 .'lg31g5< g215lg216 2 =lg24, 44 .b-c>0,.b>c,∴.a>b>c.故选A Wa=log2=logV84og9=log,33-子， b=log33=logs 27-logs25=log,5 .a<c<b故选A (V)法-)，a>b>c>1,.logb<loga-1-logc<loga,故A,C错误. '.'a>b>>1,.'.loga>logob=1=logaa>log.c. Igb lga Igb lgb-lga lge 又，logb-log6a= Ige lgb (Igb)2- lga+lgc (ac)2 2 (Igb)2- 2 lge.lgb lgc lgb (1gb)2- gb2 2 (1gb)2-(1gb)2 =0, lgc lgb lgc-lgb logb>log6a,∴logb>loga>logc,故B正确，D错误.故选B (法二)，a>b>c>1且acb2,.不妨设a=16,b=8,c=2,则loga=log216>1>log168= 4 1og,b,故A,C错误：1og,b=log8-3logl6-3loga,故D错误.故选B ,利用对数函数的图像与性质解方程或不等式 ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 52XXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 (9)(河南模拟，5分)已知函数x)=logz(x2+a).若3)=1，则a= 解析：因为fx)-log22+a),所以f3)-l1og(9+a)-1-log2,所以9+a-2,即a--7 1og1(4x2+) (10)(2026汇编，10分)设函数x)= 2 ,则 logx (I)不等式1og2x)+尤2)≥一2的解集为 (Ⅱ)满足不等式2x一1)<一1的x的取值范围为 解析：(I)一x)=log(2+1)=fx),且x)的定义域为R,关于原点对称，x)为R上的 偶函数.设z=x2+1,则g()=log易知=x2+1在区间[0，+∞)上单调递增，g(日=log 在区间(0，+∞)上单调递减，∴.x)在区间[0，+∞)上单调递减.令t=logx,则logx=一t, 2 ∴.不等式1ogx)+1ogx)≥一2可化为0+-0≥一2.又·为R上的偶函数∴一0= f0,20≥-2,0≥-1.又1)=1g2=-1,f0≥1).x)在[0，+∞)上单调 笼减，且他在R上为偶函数，MS1,甲-1≤<1，即-1≤8x≤1，x≤2， 六不等式cg9+ce字≥-2的解集为x≤2 (Ⅱ)由(I)知函数x)=log(1+x)在[0，+∞)上单调递减，且)在R上为偶函数，1)= 1,.不等式2x-1)<-1,即02x-101),等价于2x-1P1,即2x-1>1或2x-1<-1, 解得1或x<0,∴x的取值范围为（一∞，0U(1,+∞）. 「.反函数及其性质的应用 (11)山东济南模拟，5分)已知a是方程x+lg=4的根，b是方程x十10=4的根，函数) 是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，x)=x2十(a十b一4)x.若对任意x∈[t,t十2]，不等式x +0≥2)恒成立，则实数1的取值范围是() A.[N2,+∞)B.[2,+∞)C.0,2]D.[-V2,-1U[N2,V3 解析：由x+1gr=4,x+10r=4可得1gx=4一x,10x=4-, ∴.a,b分别为曲线y=lgr,y=10与直线y=4一x的交点的横坐标 :y=lgr与y=10互为反函数，.它们的图像关于直线y=x对称。 又，直线y=4一x与y=x垂直，.曲线y-lg,y=10与直线y=4一x的交点关于直线y=x 对称. 令4-x=x,得x=2,.a十b=2×2=4, .当x≥0时，fx)=x2 又x)是定义在R上的奇函数， =r0在R上单调递增， {-2,x<0 f+0≥2x)=V2x)等价于x+tV2x, ∴t≥(N2-1)x在[t,+2]上恒成立， ∴.t≥2-1(t+2),解得t≥V2,即t的取值范围是[V2,+∞).故选A 9.对数型复合函数的有关问题 22026改编，12分)已知函数)=1 log log(ax)a>0,a≠1 (I)当a=2时，求函数x)的最小值： (Ⅱ)若x∈2,4]，x)≥4恒成立，求实数a的取值范围. 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解：(I)由题意知函数fx)的定义域为(0，+∞) fx)=(logx-2)(log:x+1)=(logax-2)(logx+1)=(logox-logx-2. 当a=2时，因为网=0oey-lgr-2=ogr}}所以当1bgx-字甲x=2时，国 29 数心取得最小值，最小值为6分 (Ⅱ)由(I)得fx)=Iogx2-logx-2 因为∈2,4]，x)≥4恒成立， 所以r∈[2,4]，og)2-logx-2≥4恒成立， 即Aogx}-logx-6≥0， 解得1ogx≥3或1ogx≤一2.(8分) 当0<a<1时，x或。≤x 又x∈2,4，所以0之m=4或血=2， a 解得a≥4或o≥ 所以 2 ≤a<1.(10分) 当1时，x或x 又x∈[2,4]，所以a3≤xm血-2或，≥xmx-4 解得a≤2或a≤乞 所以1<a≤V迈 综上所运，实数的取值范国为侣小火0，间02分》 (132026汇编，33分)已知函数)-log(2-2m+3). (I)若fx)的定义域为R,求实数a的取值范围； (I)若函数fx)的值域为R,求实数a的取值范围： 若函数x)的值域为（一∞，一1]，求实数a的值； (V)若函数fx)在[-1，+∞)上有意义，求实数a的取值范围： (V)若函数fx)的定义域为(-∞，1)U(3,+∞)，求实数a的值： (VID若a=l,求函数x)的单调区间： (W)若函数x)在区间（一∞，1]上单调递增，求实数a的取值范围； (Ⅷ)若fx)>0在区间[1,2]上恒成立，求实数a的取值范围； (X)若函数x)为偶函数，求a的值； 造a封，解不等式附 3 2 解：设u)=x2-2+3. (I)由x)的定义域为R,知x2-2ax+3>0的解集为R,则4=4a2-12<0,解得-V3<a%3, 所以实数a的取值范围为(-V3,V3).(3分) (Ⅱ)函数x)的值域为R等价于)=x2-2a+3取遍(0，+∞)上的值，所以只要ux)m=u(a) =3-a2≤0即可，解得a≤-V3或a≥v3, 所以实数a的取值范围是（一∞，一V5U[N3,+∞）.(6分) 因为x)≤一1，所以(x)=x2-2+3的值域为2，+∞). 又)=(x一a+3-a2≥3-a2,所以()mi血=3-a2=2,解得a=±1.(9分) (V)由fx)在[-1，+∞)上有意义，知x)=x2-2m+3>0对x∈[-1，+∞)恒成立.因为y 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 =u6图像的对称轴为直线x=@,所以当a<1时，u=(->0,即a十4'0，☐ 解得-2<a<-1: 当a≥-1时，xmim=u(@=3-a2>0,即-V5<a√5，所以-1≤a5 综上所述，实数a的取值范围为（一2，V3).(12分） (V)因为函数fx)的定义域为(-∞，1)U(3,+∞)，所以ux)=x2-2+3>0的解集为(-c∞， 1)U(3,+∞)，所以方程x2一2m+3=0有两个实根=1,2=3.由+x2=2a得a=2.(15 分) (TD当a=1时，fx)=l1ogx2-2x十3).又x2-2x+3>0恒成立，所以函数x的定义域为R 因为y=logx为减函数，y=x2-2x十3在（一∞，1）上单调递减，在(1，十∞)上单调递增，所 以函数f的单调递增区间为（一∞，1），单调递减区间为(1，+∞).(18分) N因为y=logx为减函数，且函数x)在区间（一∞，1]上单调递增，所以(x)=2一2十3 在区间(-∞，1]上单调递减，所以a≥1且(1)=4-2a>0,解得1≤a<2,所以实数a的取 值范围为[1,2).(21分) ()因为x)>0在区间[1,2]上恒成立， 所以0<x2-2a+3<1在区间[1,2]上恒成立 因为抛物线y=(x)的对称轴为直线x=a, 所以(i)当a≤1时，x)在区间[1,2]上单调递增，所以x)在区间[1,2]上的最小值为4一 a≤1， 2a,最大值为7-4a要使0<2-2am+3<1在区间[1,2]上恒成立，则4-2a>0,不等式组 |7-4a<1, 无解 (ii)当a≥2时，x)在区间[1,2]上单调递减，所以x)在区间1,2]上的最大值为4-2a, a≥2， 最小值为7-4a.要使0<x2-2am+3<1在区间12]上恒成立，则4-2a<1,不等式组无解 |7-4a>0, 3 0<2时，M四在区间1,21让的最大值为4-20，最小值为3-，则 (的当3 ≤a<2, 4-2a<1, 3-a2>0, 3 解得aV5 3 (iv)当1<a<-时，c)在区间[1,2]上的最大值为7-4a,最小值为3-a2,则 <a<2 不 2 7-4a<1, 3-2>0, 等式组无解 综上，a的取值范围为 5.(27分) (①X因为函数fx)=log(2-2+3)为偶函数，所以fx)=f一x9),即1og2一2+3)=log(2+ 4 2m十3)，解得a=0. 经验证，当a=0时，f)是定义域为R的偶函数，符合题意，所以a的值为0.(30分) (X)当a=-时，fx)=log(r2-3x+3) 2 2 独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXK.COm● 您身边的互联网+教辅专家 5 月x,即1g2--32+3)≤x, 2 即22x-32x+3≥2， 整理得(2-3)2一1)≥0，即2≤1或2≥3， 解得x≥0或x≤一log3 故不等式的解集为(-∞，一log23]U[0,+∞).(33分) 3.指数函数、对数函数、幂函数的综合 (14)2026汇编，24分)①若2+10g2a=4+2logb,则( )(全国I经典真题) A.a>26 B.a<2b C.a>b2 D.a<b2 ②若a-4.20.3，,b=4.20.3,c-log420.2,则a,b,c的大小关系为( )(2024天津真题) A.a>b-c B.b-a-c C.c-a-b D.b-c-a ③己知9=10，a=10-11,b=8m-9,则( )(全国甲经典真题) A.a-0-b B.a-b-0 C.b-a-0 D.b>0-a ④已知55<84,134<8.设a-1ogs3,b=log85,c-log138,则( )(全国I经典真题) A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b ⑤己知，乃)，2,2)是函数y=2图像上两个不同的点，则( )2024北京真题，4分) h十2十2 A.logi 2 2 月+2十2 B.1og222 1十2 C.logi 2 十2 D. 解析：①设fw)-2r+log2x,易知fx)为增函数.因为2+og2a=4+2log4b=22b十1ogb,所 以a-2b)=2+log2a-[2+1og2(2b]=2+1ogzb-[22+1og22b]=1og22-10,所以 a<2b),所以a<2b,故A错误，B正确. fa)-fb2)=29+10g2a-(2b2+10gb）=22b+1ogb-(2b2+1og2b3)=22b-2b2-1ogb=1)- fb2)=2>0,此时fab),a>b2:当b=2时，a)-fb2=-1<0,此时fa)≤fb2),a<b2, 所以C,D错误.故选B. ②因为y=4.2在R上单调递增，且-03<0<0.3， 所以0<4.203<4.2°=1<4203，即0<a<1<b, 因为y=log4.x在(0，十∞)上单调递增， 且0<0.2<1， 所以1og4.20.2<log421=0,即c<0, 综上，b>a>c,故选B. ③由9=10可得m=16g10=10 1 1g9 1g9+1g11 因为lg9lg11< g99 1g99 2 2<1=(1g10)2,所以 1g10 1g11 即m>lg11, 2 lg100 1g9 1g10 所以a=10-11>101-11=0. 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 g8+lg10, 1g80 因为lg81gl0< 2 2<1g9)2, 所以g9g10 即1og9>m,所以b=8m-9<81og9-9=0 lg8 1g9 综上，a>0b.故选A ④根据题意可知a,b,c∈(0,1)： 常器器 1 1g3+1g8 1g3+1g8 g24 2 2lg5 1g25 }2<1,所以a<b 由6=1oe5得8=5，即8=5由55<8得88，所以56<4，所以b 由c-log138得13-8，即135e-8.由134<85得134<13，所以5c>4,所以c>,故a<b< c,故选A ⑤不妨设x2 因为函数y=2“是增函数， 所以0<2<2”，即02 对于选项A,B,2”+22229=2学， 为+女 2 即n+22学0， 2 因为函数y=1og2x是增函数， a2ng,2学-+2 所以1og2 2 故A错误，B正确 对于选项C,D,令=0,2=1，则=1,2=2， yog 1) 所以1og2 3 即1og,n十之1=x1十5 1 1 令=-1，=-2，则h-2九= +2=1og 所以1og2 3 =l0g3-3∈(-2，-1)， n+2 即1og22 一3=x1十2 故C,D均错误，故选B (15)(经典题，12分)已知函数x)=1g(1-x)+1g(1十x)+x4-22 (I)判断fx)的奇偶性： (Ⅱ)求函数x)的值域， 解：(1)若函数有意义，则/x之0： 1+x>0, 解得一1<x<1,所以函数fx)的定义域为（一1,1）， 关于原点对称.(3分) 因为f-9=lg(1+x+lg1一)+x4-22=f), 所以函数是偶函数.（⑤分） (Ⅱ)x)=lg(1-x)+1g(1+x)+x4-2x2=lg(1-x2)+x4-2x2 令t=1-x2,te(0,1],则x2=1-t,所以y=lg(1-x2)+x-22=lgt+-1,t∈(0,1].(8 独家授权侵权必究