第9课 指数与指数函数-【提分宝典】2026年新高考数学一轮全考点普查与练习

第9课 指数与指数函数 普查与练习9　　　　指数与指数函数 三组题学透 1．指数幂的化简与求值 a．根式与指数幂的运算 (1)(2026汇编，15分)完成下列各题． ①若＝，则实数a的取值范围是________． ② =_____． ③＝________． 解析：①左边＝＝， 右边＝1－2a, 即＝1－2a, ∴2a－1≤0，解得a≤， 则实数a的取值范围是{a|a≤}． ② ＝a. ③原式＝. (2)(全国Ⅱ经典真题，5分)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：＋＝(R＋r).设α＝，由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则r的近似值为(　　) A.R B.R C.R D.R 解析：∵α＝，∴r＝αR. 又r满足方程：＋＝(R＋r)， ∴＋＝(1＋α)·， 即＝M1＝M1·， ∴＝≈3α3，∴r＝αR≈R. 故选D. b．用“整体代换法”化简求值 (3)(2026汇编，14分)按要求完成下列各题． ①若，为方程x2－3x＋a＝0的两根，则＝________． ②已知xα＋x－α＝2，x＞1，α＜0，则xα－x－α＝________． ③已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　)(浙江经典真题，4分) A．25 B.5 C. D. 解析：①∵，为方程x2－3x＋a＝0的两根， ∴＝3， ∴＝()·(x＋x－1－1) ＝()·[()2－3] ＝3×(32－3)＝18， x2＋x－2＝(x＋x－1)2－2 ＝[()2－2]　2－2 ＝(32－2)2－2＝47， ∴＝＝. ②由x＞1，α＜0，可得xα＜x－α.∵xα＋x－α＝2，∴x2α＋2＋x－2α＝20，∴x2α＋x－2α＝18，∴xα－x－α＝－＝－＝－＝－4. ③由b＝log83＝log23，得3b＝log23，∴23b＝3， ∴4a－3b＝＝＝＝.故选C. A.5 B. 5 C. D. 2．指数函数的图像和性质 a．指数函数的概念 (4)(2026改编，5分)若函数f(x)＝(kb＋3)ax＋b－1(a＞0且a≠1)是指数函数，则k2＋b2＝______． 解析：因为函数f(x)＝(kb＋3)ax＋b－1(a＞0且a≠1)是指数函数，所以kb＋3＝1，且b－1＝0，解得k＝－2，b＝1，所以k2＋b2＝5. b．指数型函数图像恒过定点问题 (5)(安徽合肥月考，5分)若函数f(x)＝2ax＋m－n(a＞0，且a≠1)的图像恒过点(－1，4)，则m＋n＝(　　) A．3　 B．1 C．－1 D．－2 解析：∵函数f(x)＝2ax＋m－n(a＞0，且a≠1)的图像恒过点(－1，4)，∴解得 ∴m＋n＝－1.故选C. c．辨析与指数函数有关的函数图像 (6)(吉林长春模拟，5分)如图，①②③④中不是函数y＝2x，y＝3x，y＝x的图像的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 解析：因为函数y＝2x与y＝x的图像关于y轴对称，且y＝3x与y＝2x均单调递增，在第一象限中，y＝3x的图像比y＝2x的图像更靠近y轴，所以①③④分别为y＝，y＝3x，y＝2x的图像．故选B. (7)(广东深圳期中，5分)已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0，4)，当x＝a时， f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝a|x＋b|的图像为(　　) A B C D 解析：∵x∈(0，4)，∴x＋1＞1，∴f(x)＝x－4＋＝x＋1＋－5≥2－5＝1，当且仅当x＝2时，等号成立，∴a＝2，b＝1, ∴函数g(x)＝2|x＋1|＝函数g(x)的图像可以由函数y＝的图像向左平移1个单位长度得到，结合指数函数的图像可知A正确．故选A. d．利用指数函数的图像求参数取值范围 (8)(经典题，5分)若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞) 解析：∵存在正数x使2x(x－a)<1成立，即存在正数x使x－a<成立，即存在正数x使函数y＝x－a的图像在函数y＝的图像的下方．在平面直角坐标系中画出图像，如下图： 由图像可知当－a<1，即a>－1时，存在正数x使2x(x－a)<1成立，∴a的取值范围是(－1，＋∞)．故选D. e．利用指数函数的图像与性质比较大小 (9)(2026汇编，30分)①若实数m，n，p满足m＝，n＝，p＝，则(　　) A．p＜m＜n B．p＜n＜m C．m＜p＜n D．n＜p＜m ②设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a ③若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　)(2023天津真题) A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c ④若0＜a＜b＜1，则ab，ba，logba，logb的大小关系为(　　) A．ab＞ba＞logba＞logb B．ba＞ab＞logb＞logba C．logba＞ab＞ba＞logb D．logba＞ba＞ab＞logb ⑤已知a＝20.7，b＝0.7，c＝，则(　　)(天津经典真题) A．a>c>b B．b>c>a C．a>b>c D．c>a>b ⑥已知正实数x，y满足x<y，设a＝xex＋y，b＝yey＋x，c＝yex＋x (其中e是自然对数的底数)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<c<b B．c<a<b C．c<b<a D．b<c<a 解析：①∵m＝，n＝，p＝， ∴＝＝·＜1， ＝＝·>·＞1， ∴m＜n，且m＞p，∴p＜m＜n.故选A. ②∵a＝，b＝，c＝，∴a，b，c为正实数． ∵b6－a6＝9－8＝1＞0，∴b6＞a6，∴b＞a. ∵a10－c10＝32－25＞0，∴a10＞c10，∴a＞c， ∴b＞a＞c.故选C. ③∵函数y＝1.01x在R上单调递增， ∴a＝1.010.5<b＝1.010.6. ∵函数y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增， ∴a＝1.010.5>c＝0.60.5， ∴b>a>c.故选D. ④∵0＜a＜b＜1，∴不妨取a＝，b＝，则ab＝＝，<ba＝<1， logba＝log＝2，logb＝log4＝－， ∴logba＞ba>ab＞logb.故选D. ⑤∵y＝2x在定义域R上是单调增函数， ∴a＝20.7>20＝1，即a>1； ∵y＝x在定义域R上是单调减函数， ∴0<b＝0.7<0＝1，即0<b<1； ∵y＝log2x在定义域(0，＋∞)上是单调增函数， ∴c＝log2<log21＝0，即c<0，∴a>b>c.故选C. ⑥∵b＝yey＋x，c＝yex＋x， ∴b－c＝yey＋x－(yex＋x)＝y(ey－ex)． ∵x<y，且函数y＝ex在R上单调递增， ∴ey>ex，即ey－ex>0. 又∵y>0，∴b－c＝y(ey－ex)>0，即b>c. ∵a＝xex＋y，c＝yex＋x， ∴c－a＝yex＋x－(xex＋y)＝x－y＋(y－x)ex＝(x－y)(1－ex)． ∵x>0，且函数y＝ex在R上单调递增， ∴ex>e0＝1，即1－ex<0. 又∵x<y，∴c－a＝(x－y)(1－ex)>0，即c>a. 综上可得b>c>a.故选A. f．利用指数函数图像和性质解不等式 (10)(2026改编，5分)已知loga＞0，若≤，则实数x的取值范围为________． 解析：由loga＞0，可得0＜a＜1. ∵≤，即≤a－1， ∴x2＋2x－4≥－1，解得x≤－3或x≥1， ∴实数x的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞)． (11)(北京经典真题，4分)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)>0的解集是(　　) A．(－1，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(0，1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析：不等式f(x)＝2x－x－1>0，即2x>x＋1.因为函数y＝2x的图像和直线y＝x＋1都经过点(0，1)和(1，2)，如图所示，所以不等式2x>x＋1，即f(x)>0的解集是(－∞，0)∪(1，＋∞)．故选D. g．指数型函数的单调性与最值 (12)(2026汇编，25分)设函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)． ①当b＝0时，“函数f(x)在R上是减函数”是“函数h(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ②若函数f(x)的图像经过点A(0，2)，B(1，3)，则函数y＝的值域为(　　) A．(1，＋∞)　 B．(0，1)　 C．(0，＋∞) D．(0，2) ③当a＝3时，函数f(x)的图像经过第一、三、四象限，则g(b)＝f(b)－f(b＋1)的取值范围为(　　) A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C. D. ④若函数f(x)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝(　　) A．－ B. C. D．－ ⑤若b＝－2，f(x)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，则实数m的值为________． 解析：①∵b＝0，∴f(x)＝ax(a>0，且a≠1)．若函数f(x)在R上是减函数， 则0<a<1；若函数h(x)＝(2－a)x3在R上是增函数，则2－a＞0，即0＜a＜2，∴如果函数f(x)在R上是减函数，则h(x)＝(2－a)x3在R上为增函数成立；反之不一定成立，∴“函数f(x)在R上是减函数”是“函数h(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充分而不必要条件．故选A. ②∵函数f(x)＝ax＋b的图像经过点A(0，2)，B(1，3)，∴解得 ∴f(x)＝2x＋1. ∵2x>0，2x＋1>1，∴y＝的值域为(0，1)．故选B. ③当a＝3时，函数f(x)＝3x＋b.∵函数f(x)的图像经过第一、三、四象限，∴b＜－1.∵g(b)＝f(b)－f(b＋1)＝(3b＋b)－(3b＋1＋b)＝3b－3b＋1＝－2·3b，∴函数g(b)在(－∞，－1)上为减函数且g(b)<0，∴g(－1)<g(b)<0，即－<g(b)<0，∴g(b)的取值范围为.故选D. ④当a>1时，函数f(x)＝ax＋b在定义域上是增函数，∴f(0)为函数f(x)的最大值， f(－1)为函数f(x)的最小值，∴方程组无解，不符合题意，舍去；当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax＋b在定义域上是减函数，∴f(－1)为函数f(x)的最大值， f(0)为函数f(x)的最小值，∴解得∴a＋b＝－.故选A. ⑤若b＝－2，则f(x)＝ax－2. 当0<a<1时，f(x)为减函数， 所以f(x)在[－1，2]上的最大值为f(－1)＝－2＝4，解得a＝， 所以f(x)在[－1，2]上的最小值为f(2)＝a2－2＝－2＝－，即m＝－； 当a>1时，f(x)为增函数， 所以f(x)在[－1，2]上的最大值为f(2)＝a2－2＝4，解得a＝(负值舍去)， 所以f(x)在[－1，2]上的最小值为f(－1)＝－2＝－2，即m＝－2. 综上，实数m的值为－或－2. h．指数型复合函数的有关问题 (13)(2026改编，15分)已知函数f(x)＝a(a>0，且a≠1，b∈R)． (Ⅰ)若函数f(x)为偶函数，求b的值； (Ⅱ)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a，b应满足的条件； (Ⅲ)max{m，n}表示m，n两数中的最大数．若a＞1，且g(b)＝max{f(0), f(－2)}，求g(b)的最小值． 解：(Ⅰ)∵f(x)为偶函数，∴对∀x∈R，都有f(－x)＝f(x)，即a|x＋b|＝a|－x＋b|，(2分) ∴|x＋b|＝|－x＋b|，两边平方得x2＋2bx＋b2＝x2－2bx＋b2，∴2bx＝－2bx，解得b＝0.(5分) (Ⅱ)记h(x)＝|x＋b|＝(6分) ∵当a>1时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，根据复合函数的单调性可知h(x)在区间[2， ＋∞)上是增函数，∴－b≤2，即b≥－2.(8分) 当0<a<1时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，根据复合函数的单调性可知h(x)在区间[2， ＋∞)上是减函数．又∵h(x)在[－b，＋∞)上是增函数，故不存在b使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数． 综上，a，b应满足的条件为a>1且b≥－2.(10分) (Ⅲ)当a>1时，令f(0)≥f(－2)，即a|b|≥a|－2＋b|，解得b≥1；令f(0)<f(－2)，即a|b|<a|－2＋b|，解得b<1， ∴g(b)＝即g(b)＝(12分) ∵a＞1，∴当b≥1时，g(b)单调递增，即当b≥1时，g(b)≥g(1)＝a；当b＜1时，g(b)单调递减，即当b＜1时，g(b)＞＝a，∴函数g(b)的最小值为g(1)＝a.(15分) (14)(2026改编，15分)已知函数f(x)＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)． (Ⅰ)当a＝2时，求函数f(x)在区间[－1，1]上的最大值与最小值； (Ⅱ)若函数f(x)在区间[－1，1]上的最大值为14. (ⅰ)求a的值； (ⅱ)求函数g(x)＝的单调区间． 解：(Ⅰ)当a＝2时， f(x)＝(2x)2＋2·2x－1＝(2x＋1)2－2(－1≤x≤1)．(1分) 令t＝2x，则≤t≤2，则函数f(x)在区间[－1，1]上的最大值与最小值，即为函数y＝(t＋1)2－2在区间上的最大值与最小值． 易知函数y＝(t＋1)2－2在区间上单调递增， 所以当t＝时，函数y＝(t＋1)2－2取得最小值，最小值为y＝2－2＝； 当t＝2时，函数y＝(t＋1)2－2取得最大值，最大值为y＝(2＋1)2－2＝7.(4分) 故当t＝，即x＝－1时，函数f(x)取得最小值， f(x)min＝；当t＝2，即x＝1时，函数f(x)取得最大值， f(x)max＝7.(5分) (Ⅱ)(ⅰ)令ax＝m，则y＝m2＋2m－1＝(m＋1)2－2. 当a>1时，∵x∈[－1，1]，∴m∈. 又∵y＝(m＋1)2－2在上单调递增， ∴函数y＝(m＋1)2－2在m＝a时取得最大值，最大值为y＝(a＋1)2－2＝14， 解得a＝3或－5. ∵a>1，∴a＝3.(7分) 当0<a<1时，∵x∈[－1，1]，∴m∈. 又∵y＝(m＋1)2－2在上单调递增，∴函数y＝(m＋1)2－2在m＝时取得最大值，最大值为y＝2－2＝14，解得a＝或－. ∵0<a<1，∴a＝.(9分) 综上，a的值为或3.(10分) (ⅱ)由(ⅰ)知a的值为3或. 易知函数y＝x2－4在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(11分) 当a＝3时，g(x)＝，因为函数y＝3x在R上单调递增，所以g(x)＝在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；(12分) 当a＝时，g(x)＝，因为函数y＝x在R上单调递减，所以g(x)＝在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．(14分) 综上，当a＝3时，g(x)＝的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)； 当a＝时，g(x)＝的单调递减区间为(0，＋∞)，单调递增区间为(－∞，0)．(15分) 3．指数函数性质的综合应用 (15)(多选)(江苏南京模拟，6分)已知函数f(x)＝3x－2x，x∈R，则(　　) A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增 B．存在a∈R，使得函数y＝为奇函数 C．函数g(x)＝f(x)＋x有且仅有2个零点 D．任意x∈R，f(x)>－1 解析：(法一)对于选项A，f(x)＝3x－2x＝2x[x－1]． 当x>0时，函数y＝2x，y＝x－1均单调递增，且函数值均恒正，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，A正确． 对于选项B，y＝＝＝x－x. 当＝时，函数y＝可以为奇函数，解得a＝， 所以存在a∈R，使得函数y＝为奇函数，B正确． 对于选项C，令g(x)＝f(x)＋x＝0，解得f(x)＝－x， 因此函数g(x)的零点个数即为函数y＝f(x)与y＝－x的图像的交点个数． 设p(x)＝2x，q(x)＝x－1，则f(x)＝p(x)q(x)． 易知p(x)>0，q(x)在R上单调递增，且q(0)＝0， 所以当x<0时，f(x)<0；当x≥0时，f(x)≥0且单调递增． 又因为函数y＝－x在R上单调递减， 所以可画出两函数的大致图像如下． 由图可知，两函数图像仅有一个交点(0，0)， 所以函数g(x)＝f(x)＋x有且仅有1个零点，C错误． 对于选项D，由C可知，当x≥0时，f(x)≥f(0)＝0>－1；当x<0时，3x＋1∈(1，2)，2x∈(0，1)，所以3x＋1>2x，即3x－2x>－1，所以对于任意x∈R，f(x)>－1，D正确．故选ABD. (法二)因为f(x)＝3x－2x，所以f′(x)＝3xln3－2xln2. 对于选项A，当x>0时，3x>2x>0，ln3>ln2>0， 所以f′(x)＝3xln3－2xln2>0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，A正确． 对于选项B，同法一可知B正确． 对于选项C，g(x)＝f(x)＋x＝3x－2x＋x， 当x>0时，3x－2x>0，则g(x)>0；当x＝0时，g(x)＝0；当x<0时，3x－2x<0，则g(x)<0， 所以函数g(x)有唯一的零点0，C错误． 对于选项D，由A可知，当x≥0时，f(x)≥f(0)＝0>－1；当x<0时，f(x)＝3x－2x>－2x>－1， 所以对于任意x∈R，f(x)>－1，D正确．故选ABD. (16)(陕西西安模拟，5分)已知函数f(x)＝2|x－1|，若a<b<1，且a＋c>2，则(　　) A．f(a)<f(b)<f(c) B．f(c)<f(b)<f(a) C．f(b)<f(a)<f(c) D．f(a)<f(c)<f(b) 解析：作出函数f(x)的图像如图所示． 由图可知，函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且其图像关于直线x＝1对称． 因为a<b<1，且a＋c>2，所以f(2－a)＝f(a)>f(b)； 因为c>2－a>1，所以f(c)>f(2－a)， 所以f(b)<f(a)<f(c)．故选C. (17)(吉林长春期末，10分)已知定义在R上的函数f(x)＝为奇函数，a∈R. (Ⅰ)求实数a的值； (Ⅱ)求函数f(x)的值域； (Ⅲ)若对任意的θ∈，不等式f(k)＋f(2sinθ－cos2θ)≤0有解，求实数k的取值范围． 解：(Ⅰ)∵f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(0)＝0，即＝0，解得a＝1.(2分) 当a＝1时，f(x)＝，则f(－x)＝＝＝－f(x)，即f(x)是定义在R上的奇函数，∴a ＝1.(3分) (Ⅱ)由(Ⅰ)可知，f(x)＝＝＝＝－＋. ∵2x>0，∴2x＋1>1，∴∈(0，1)， ∴－＋∈(－，)，即f(x)的值域为.(6分) (Ⅲ)∵f(x)＝－＋， ∴函数f(x)在R上是减函数．(7分) 由f(2sinθ－cos2θ)＋f(k)≤0与f(x)为奇函数可得f(k)≤－f(2sinθ－cos2θ)＝f(cos2θ－2sinθ)， ∴k≥cos2θ－2sinθ， ∴原不等式有解等价于k≥cos2θ－2sinθ有解， 即k≥1－sin2θ－2sinθ＝－(sinθ+1)2＋2，θ∈(－，)有解．(9分) ∵θ∈，∴sinθ∈(－1，1)， ∴－(sinθ+1)2＋2∈(－2，2)，∴k>－2. 故实数k的取值范围为(－2，＋∞)．(10分) 随堂普查练9 1．(2026汇编，15分)化简与求值： (1) －－2＋－(－1)0＝________； (2) ＝________； (3)已知x＋x－1＝3，则＝________． 解析：(1) －－2＋－(－1)0 ＝－＋－1 ＝0.3－1－49＋－1＝－45. (2) ＝ ＝＝6a. (3)∵x＋x－1＝3，∴()2＝x＋x－1＋2＝5. 又∵x>0，∴＝. 又∵x2＋x－2＝(x＋x－1)2－2＝7， ∴＝＝. 2．(2026改编，5分)已知函数f(x)＝(2a2－3a＋2)·ax(a>0且a≠1)．若f(x)为指数函数，则f(a)＝________． 解析：若函数f(x)为指数函数，则 解得a＝，故f(a)＝f＝1×＝. 3．(宁夏银川期中，5分)函数f(x)＝(a>1)的图像的大致形状是(　　) A B C D 解析：f(x)＝＝因为a＞1，所以当x＞0时，函数f(x)＝ax单调递增；当x＜0时，函数f(x)＝－ax单调递减．故选C. 4．(经典题，5分)记x2－x1为区间[x1，x2]的长度，已知函数y＝2|x|，x∈[－2，a](a≥0)，其值域为[m，n]，则区间[m，n]长度的最小值为________． 解析：画出函数y＝2|x|的图像如下． 因为a≥0，所以2a≥1. 由图像可知当2a≤4时，函数y＝2|x|的值域为[1，4]，此时区间长度最小，最小值为3. 5．(2026原创，5分)已知f(x)＝(sinθ)x，θ∈.设a＝f(30.7)，b＝f，c＝f(log0.70.8)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a 解析：因为θ∈，所以0＜sinθ＜1，所以函数f(x)＝(sinθ)x为减函数．因为－0.8＝30.8，所以－0.8>30.7>1.又因为log0.70.8<log0.70.7＝1，所以－0.8>30.7>log0.70.8，所以f(log0.70.8)>f(30.7)>f，即c＞a＞b .故选A. 6．(浙江月考，5分)不等式2|x－1|<4的解集是(　　) A．(－1，3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞) C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 解析：指数函数y＝2x在R上单调递增， 所以由2|x－1|<4＝22，可得|x－1|<2， 即－2<x－1<2，解得－1<x<3.故选A. 7．(经典题，5分)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－3) B．(1，＋∞) C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 解析：当a<0时，不等式f(a)<1可化为a－7<1，即a<8＝－3，即a>－3，此时－3<a<0；当a≥0时，不等式f(a)<1可化为<1，∴0≤a<1.综上，a的取值范围是(－3，1)．故选C. 8．(河北沧州期末，10分)设函数fk(x)＝2x＋(k－1)·2－x(x∈R，k∈Z)． (1)若fk(x)是偶函数，求k的值； (2)若存在x∈[1，2]，使得f0(x)＋mf1(x)≤4成立，求实数m的取值范围； (3)设函数g(x)＝λf0(x)－f2(2x)＋4，若g(x)在[1，＋∞)上有零点，求实数λ的取值范围． 解：(1)若fk(x)是偶函数，则fk(－x)＝fk(x)， 即2－x＋(k－1)·2x＝2x＋(k－1)·2－x， 整理得(k－2)·(2－x－2x)＝0. ∵上述方程对任意x∈R均成立， ∴k－2＝0，即k＝2.(3分) (2)由题意可得f0(x)＝2x－2－x，f1(x)＝2x， ∴2x－2－x＋m·2x≤4，则m≤.(4分) 不等式m≤在[1，2]内有解， 即m≤(1≤x≤2)． 设t＝2－x，h(t)＝＝t2＋4t－1＝(t＋2)2－5. ∵1≤x≤2，∴≤t≤. 易知函数h(t)在上单调递增， ∴当t＝时，函数h(t)取得最大值， ∴m≤，即实数m的取值范围是.(6分) (3)由题意可得f0(x)＝2x－2－x，f2(x)＝2x＋2－x， 则f2(2x)＝22x＋2－2x＝(2x－2－x)2＋2， ∴g(x)＝λf0(x)－f2(2x)＋4＝λ(2x－2－x)－(2x－2－x)2＋2.(7分) 设n＝2x－2－x， 当x≥1时，函数y＝2x－2－x单调递增， ∴n≥2－＝. ∵g(x)在[1，＋∞)上有零点， 则方程λn－n2＋2＝0在n≥时有解． 由λn－n2＋2＝0，可得λ＝n－.(8分) ∵y＝n－在上单调递增， ∴＝－＝， ∴λ≥，即λ的取值范围是[，＋∞)．(10分) 9．(2026改编，18分)已知函数f(x)＝a2x－max＋c(其中a>0且a≠1，c是常数)． (1)当a＝m＝3时， ①若f(x)＜0在x∈[0，1]上恒成立，求实数c的取值范围； ②若存在x0∈[0，1]，使f(x0)＜0成立，求实数c的取值范围． (2)若c＝0，且函数f(x)图像上存在关于原点对称的点，求实数m的取值范围． 解：(1)f(x)＝9x－3x＋1＋c＝(3x)2－3·3x＋c，(1分) 令3x＝t，设g(t)＝t2－3t＋c.(2分) ①当x∈[0，1]时，t∈[1，3]，g(t)＝t2－3t＋c<0恒成立．∵二次函数g(t)＝t2－3t＋c图像的对称轴方程为t＝，∴根据二次函数的性质可知g(t)在[1，3]上的最大值为g(3)，(4分) ∴g(3)＝32－3×3＋c<0，解得c<0. 故c的取值范围为{c|c<0}．(6分) ②存在x0∈[0，1]，使f(x0)<0，等价于存在t∈[1，3]，使g(t)＝t2－3t＋c<0， 于是只需g(t)在[1，3]上的最小值小于0即可．(9分) ∵二次函数g(t)＝t2－3t＋c图像的对称轴方程为t＝，∴根据二次函数的性质可知g(t)在[1，3]上的最小值为g＝2－3×＋c<0，解得c<，故c的取值范围为 .(12分) (2)当c＝0时，函数f(x)＝a2x－max . 因为函数f(x)图像上存在关于原点对称的点，所以f(－x)＝－f(x)有解，即a－2x－ma－x＝－(a2x－max)＝－a2x＋max有解，即a2x＋a－2x＝m(ax＋a－x)有解，即m＝＝＝(ax＋a－x)－有解． 设s＝ax＋a－x，则s≥2＝2，当且仅当ax＝a－x，即x＝0时等号成立． 问题转化为m＝s－在[2，＋∞)上有解． 因为函数h(s)＝s－在[2，＋∞)上单调递增， 所以h(s)＝s－≥h(2)＝2－1＝1. 要使m＝s－有解，则m≥1，即实数m的取值范围是[1，＋∞)．(18分) 10．(广东深圳月考，12分)已知函数f(x)＝(a＞0且a≠1)是定义在R上的奇函数． (1)求a的值； (2)求函数f(x)的值域； (3)当x∈[1，2]时，2＋mf(x)－2x≥0恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)因为函数f(x)＝(a＞0且a≠1)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 即＝－， 所以＝－， 化简整理得(a－2)[2(ax)2＋(a－2)ax＋2]＝0. 因为该方程对任意x∈R恒成立，所以a＝2.(4分) (2)由(1)得f(x)＝＝＝1－， 而函数y＝2x在R上是增函数，所以函数f(x)在R上是增函数． 因为2x＞0，所以2x＋1＞1， 所以0＜＜1，所以－1＜1－＜1， 即函数f(x)的值域为(－1，1)．(8分) (3)由(1)得， f(x)＝，由2＋mf(x)－2x≥0得，mf(x)≥2x－2，即m·≥2x－2. 当x∈[1，2]时，， 因为当x∈[1，2]时，2＋mf(x)－2x≥0恒成立，所以当x∈[1，2]时，m≥恒成立，即m大于或等于的最大值． 令t＝2x－1(1≤t≤3)， 则有m≥＝＝t－＋1. 因为函数y＝t－＋1在[1，3]上为增函数， 所以该函数的最大值为3－＋1＝， 所以m≥，即实数m的取值范围是.(12分) 课后提分练9　指数与指数函数 A组(巩固提升) 1．(2026汇编，10分)按要求完成下列各题． (1)44＝______________； (2)已知＝3，则＝____． 解析：(1)∵＝a9×××4＝a2， 4＝a9×××4＝a2，∴原式＝a4. (2)由＝3， 可得a＋a－1＝()2－2＝32－2＝7， a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝72－2＝47， 故＝＝6. 2．(2026汇编，20分)已知函数g(x)＝3x＋t. (1)若函数g(x)的图像不经过第二象限，则t的取值范围为(　　) A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)　C．(－∞，－3] D．[－3，＋∞) (2)当t＝3时，函数y＝g(2x－2)的图像经过的定点是______． (3)当t＝0时，点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在g(x)的图像上，则下列各点一定在g(x)的图像上的是(　　) A．(x1＋x2，y1＋y2) B．(x1＋x2，y1y2) C．(x1x2，y1＋y2) D．(x1x2，y1y2) (4)当t＝1时，函数h(x)＝g()的值域为________． 解析：(1)因为函数g(x)＝3x＋t的图像不经过第二象限，且函数g(x)是增函数，所以函数g(x)的图像与y轴的交点在非正半轴上．又函数g(x)的图像恒过定点(0，1＋t)，所以1＋t≤0，解得t≤－1，即t的取值范围为(－∞，－1]．故选A. (2)当t＝3时，g(x)＝3x＋3，g(2x－2)＝32x－2＋3. 令2x－2＝0，即x＝1，可得g(0)＝4. 故函数y＝g(2x－2)的图像经过的定点是(1，4)． (3)由点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在g(x)＝3x的图像上，可得y1＝，y2＝，所以y1y2＝·＝＝g(x1＋x2)，所以点(x1＋x2，y1y2)一定在g(x)＝3x的图像上．故选B. (4)当t＝1时，g(x)＝3x＋1，h(x)＝g()＝＋1. 因为≥0，所以≥1，所以h(x)＝＋1≥2，即函数h(x)＝＋1的值域为[2，＋∞)． 3．(北京经典真题，4分)已知函数f(x)＝，则对任意实数x，有(　　) A．f(－x)＋f(x)＝0 B. f(－x)－f(x)＝0 C．f(－x)＋f(x)＝1 D. f(－x)－f(x)＝ 解析：f(－x)＋f(x)＝＋＝＋＝1，故A错误，C正确． f(－x)－f(x)＝－＝－＝＝1－，不是常数，故B，D错误．故选C. 4．(浙江舟山期中，5分)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图像如图所示，则函数g(x)＝ax＋b－2的图像是(　　) 解析：由函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图像可得0<b<1，1<a<2， 所以g(0)＝a0＋b－2＝b－1<0，所以排除B，C； 因为1<a<2，所以g(x)＝ax＋b－2为增函数，所以排除A.故选D. 5．(2026改编，5分)已知函数f(x)＝则不等式 f(x)＞3的解集是____． 解析：∵f(x)＝ ∴f(x)＞3，即或解得x∈∅或x＞9，故不等式f(x)＞3的解集是(9，＋∞)． 6．(北京模拟，4分)设a＝0.5，b＝0.5，c＝log(log34)，则(　　) A．c<b<a B．c<a<b C．a<b<c D．a<c<b 解析：由指数函数y＝x，y＝x的单调性可知，0<0.5<0＝1，0.5>0＝1； 由log34>1及对数函数y＝logx的单调性可得，log(log34)<log1＝0， ∴0<a<1，b>1，c<0，∴c<a<b.故选B. 7．(湖南长郡中学月考，5分)函数f(x)＝的图像如图所示，则(　　) A．m＞0，0＜n＜1 B．m＞0，－1＜n＜0 C．m＜0，－1＜n＜0 D．m＜0，0＜n＜1 解析：函数y＝的图像关于y轴对称，且当x＝0时y＝1，将该函数图像向右平移n个单位长度得到函数f(x)＝的图像．由题图可知0＜n＜1，且当x>n时，函数f(x)＝单调递减，所以m<0.故选D. 8．(江苏南京二模，5分)设实数a，b满足4b＝6a－2a，5a＝6b－2b，则下列关于a，b的大小关系正确的是(　　) A．1<a<b B．0<b<a C．b<0<a D．b<a<1 解析：因为4b＝6a－2a＝2a(3a－1)>0， 所以3a>1，所以a＞0. 因为5a＝6b－2b＝2b(3b－1)>0， 所以3b>1，所以b＞0.排除选项C. 设f(x)＝6x－2x， 则f′(x)＝6xln6－2xln2＝2x(3xln6－ln2)． 当x∈(0，＋∞)时，易知f′(x)>0， 所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 若a>b>0，则f(a)>f(b)，即6a－2a>6b－2b，即4b>5a. 而当a>b>0时，5a>4a>4b，出现矛盾， 所以a>b不成立．排除选项BD. 在同一平面直角坐标系中，画出函数f(x)，y＝4x与y＝5x的大致图像，如图所示． 结合图像可知，要使已知条件成立，则1<a<b.故选A. 9．(多选)(山东模拟，6分)已知函数f(x)＝，g(x)＝，则f(x)，g(x)满足(　　) A．f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x) B．f(－2)＜f(3)，g(－2)＜g(3) C．f(2x)＝2f(x)·g(x) D．[f(x)]2－[g(x)]2＝1 解析：对于A，f(－x)＝＝－＝－f(x)，g(－x)＝＝g(x)，故A正确． 对于B，因为函数f(x)为增函数，所以f(－2)＜f(3)．因为g(－2)＝，g(3)＝，所以g(3)－ g(－2)＝＝＝>0， 所以g(3)＞g(－2)，故B正确． 对于C，2f(x)·g(x)＝2··＝＝f(2x)，故C正确． 对于D，[f(x)]2－[g(x)]2＝[f(x)＋g(x)]·[f(x)－g(x)]＝ex·(－e－x)＝－1，故D错误．故选ABC. 10．(2026改编，5分)已知a＞0，设函数 f(x)＝(x∈[－a，a])的最大值为M，最小值为N，那么M＋N＝(　　) A．2027 B．2026 C．4054 D．4053 解析： ∵f(x)＝＝＝2027－， ∴f(－x)＝2027－＝2027－， ∴f(x)＋f(－x)＝2027－＋2027－＝4053.　 ∵函数f(x)在[－a，a]上单调递增， ∴M＋N＝f(a)＋f(－a)＝4053.故选D. 11．(2026改编，5分)已知实数a，b满足等式4042a＝4043b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式序号为________． 解析：作出函数y＝4042x和函数y＝4043x的图像，如图所示．由4042a＝4043b可知，当a，b>0时，由图像可得①0<b<a成立；当a，b<0时，可得②a<b<0成立；当a＝b＝0时，满足等式4042a＝4043b，⑤成立．故不可能成立的是③④. 12．(2026汇编，15分)已知函数 f(x)＝.　 (1)若a＝－1，则f(x)的单调递减区间为__________，单调递增区间为__________； (2)若f(x)有最大值3，则a的值是________； (3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，则a的值是________． 解析：(1)当a＝－1时，f(x)＝.令g(x)＝－x2－4x＋3，则g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减．又∵y＝x在R上单调递减， ∴f(x)＝在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增． (2)∵y＝x为减函数， 函数 f(x)＝有最大值3， ∴y＝ax2－4x＋3有最小值－1， ∴a>0，且＝－1，解得a＝1. (3)由指数函数的性质知，要使y＝f(x)的值域为(0，＋∞)，应使h(x)＝ax2－4x＋3的值域为R.当a＝0时，h(x)＝－4x＋3的值域为R，符合题意；当a≠0时，h(x)为二次函数，其值域不可能为R.综上a＝0. 13．(2026汇编，14分)已知函数f(x)＝b·ax(a，b为常数且a＞0，a≠1)的图像经过点A(1，8)，B(3，32)． (1)求a，b的值； (2)若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围； (3)令h(x)＝f(x－2)－，若h(x)满足h(1－t)＋h(1－2t)<0，求t的取值范围． 解：(1)∵函数f(x)＝b·ax的图像经过点A(1，8)，B(3，32)，　 ∴解得(3分) (2)若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，则m≤x＋x在x∈(－∞，1]时恒成立．(4分) 设G(x)＝x＋x＝x＋x，则函数y＝G(x)在R上单调递减， ∴当x∈(－∞，1]时，G(x)min＝G(1)＝， ∴m≤G(x)min＝，即实数m的取值范围是.(8分)　 (3)由(1)知f(x)＝4·2x＝2x＋2，∴f(x－2)＝2x， ∴h(x)＝2x－. 由函数h(x)的定义域为R， 且h(－x)＝2－x－＝－2x＝－h(x)， 可知函数h(x)为奇函数， ∴h(1－t)＋h(1－2t)<0， 即h(1－t)<－h(1－2t)＝h(2t－1)．(11分) 又∵函数h(x)在R上单调递增， ∴1－t<2t－1，解得t>. 故t的取值范围是.(14分) B组(冲刺满分) 14．(多选)(河北保定二模，6分)已知函数y＝在(0，＋∞)上先增后减，函数y＝在(0，＋∞)上先增后减．若log2(log3x1)＝log3(log2x1)＝a>0，log2(log4x2)＝log4(log2x2)＝b，log3(log4x3)＝log4(log3x3)＝c>0，则(　　) A．a<c B．b<a C．c<a D．a<b 解析：因为log2(log3x1)＝log3(log2x1)＝a， 所以log3x1＝2a，log2x1＝3a，所以x1＝. 设f(t)＝，则f(t)在(0，＋∞)上先增后减． 又因为f(0)＝f(1)＝1>0，f(2)＝81－512<0， 所以1<a<2. 因为log2(log4x2)＝log4(log2x2)＝b， 所以log4x2＝log2x2＝2b，log2x2＝4b， 所以4b＝2b＋1，解得b＝1. 因为log3(log4x3)＝log4(log3x3)＝c>0， 所以log4x3＝3c，log3x3＝4c，所以x3＝. 设g(t)＝，则g(t)在(0，＋∞)上先增后减． 又因为g(0)＝1>0，g(1)＝－17<0， 所以0<c<1，所以c<b<a.故选BC. 15．(北京月考，10分)已知函数f(x)＝　 (1)f(1)＝________； (2)函数y＝f(x)－k在区间(－∞，4)上有四个不同的零点，则实数k的取值范围是____． 解析：(1)因为f(x)＝ 所以f(1)＝f(－1)＝e|－1＋1|＝. (2)当x≤0时，f(x)＝e|x＋1|； 当x∈(0，2]时，x－2∈(－2，0]， f(x)＝f(x－2)＝e|x－2＋1|＝e|x－1|； 当x∈(2，4)时，x－2∈(0，2)，x－4∈(－2，0)， f(x)＝f(x－2)＝f(x－4)＝e|x－4＋1|＝e|x－3|. 函数y＝f(x)－k在区间(－∞，4)上有四个不同的零点，即y＝f(x)与y＝k的图像有四个交点，作出函数y＝f(x)在区间(－∞，4)上的图像与y＝k的图像，如图所示： 由图可知，实数k的取值范围是(f(1)，f(4))∪(f(－1)，f(2))，即(，)∪.　 16．(2026汇编，18分)已知函数f(x)＝ax＋1(a＞1)在区间[0，2]上的最大值与最小值之差为3. (1)求a的值； (2)记g(x)＝1－. ①若函数h(x)＝(2x＋1)·g(x)＋k有零点，求实数k的取值范围； ②如果当x∈(0，1)时，g(x)＞m·2x－2恒成立，求实数m的取值范围； ③如果对任意x∈R，不等式g(2b＋cos2x)＋g(4sinx－－7)<0恒成立，求实数b的取值范围． 解：(1)易知函数f(x)＝ax＋1(a＞1)在[0，2]上单调递增，由题意得a2＋1－(a0＋1)＝3，解得a＝2.(2分) (2)①由(1)得g(x)＝1－. 因为函数h(x)＝(2x＋1)·g(x)＋k＝2x＋1－2＋k＝2x＋k－1有零点， 所以函数y＝2x的图像和直线y＝1－k有交点， 所以1－k＞0，解得k＜1， 即实数k的取值范围是(－∞，1)．(6分) ②由题意得，当x∈(0，1)时，1－＞m·2x－2恒成立，即m＜－，x∈(0，1)恒成立．(8分) 令t＝2x，t∈(1，2)，则m＜－＝＝＝＋. 因为函数y＝＋在(1，2)上单调递减， 所以＋>＋＝，(10分) 所以m≤，即实数m的取值范围是.(12分)　 ③由(1)得g(x)＝1－，任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则g(x1)－g(x2)＝－＝. 因为x1＜x2，所以，所以g(x1)＜g(x2)， 所以函数g(x)在R上是增函数． 因为g(x)＋g(－x)＝1－＋1－＝2－－＝0，且g(x)的定义域关于原点对称，所以函数g(x)是奇函数．(14分) 因为对任意x∈R，不等式g(2b＋cos2x)＋g(4sinx－－7)<0恒成立， 所以对任意x∈R，不等式g(2b＋cos2x)<－g(4sinx－－7)＝g(－4sinx＋7)恒成立，所以2b＋cos2x<－4sinx＋7，即2b－<－cos2x－4sinx＋7对任意x∈R恒成立． 因为－cos2x－4sinx＋7＝sin2x－4sinx＋6＝(sinx－2)2＋2，－1≤sinx≤1，所以3≤(sinx－2)2＋2≤11，即－cos2x－4sinx＋7的最小值为3，所以2b－＜3，即2b－1－－2＜0，即()2－－2＜0，解得0≤＜2，所以≤b<，即实数b的取值范围是.(18分) 学科网（北京）股份有限公司 $$