第6课 函数的概念及其表示-【提分宝典】2026年新高考数学一轮全考点普查与练习

多学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 第6课函数的概念及其表示 普查与练习6 函数的概念及其表示 三组题学透 1.函数的定义域及其求法 a.求给定解析式的函数的定义域 (1)2026汇编，35分)求下列函数的定义域. ①函数x)=+lg(x+1)的定义域为 ②函数x)=+的定义域为 ； (北京经典真题) ③函数x)=的定义域为 ④函数x)=的定义域为 ⑤函数x)=x一2)一(3x-7)°的定义域为 ⑥函数x)=tan的定义域为 ⑦函数x)=的定义域为 解析：①由题知解得一1<<4， 所以函数x)的定义域为（一1,4） ②由题知解得x≤1且x≠0， 所以函数x)的定义域为（一，0）U(0,1] ③由题知即解得x≥27， 所以函数fx)的定义域为27，+∞). ④由题知x十1≠0，解得x≠一1， 所以函数x)的定义域为（一∞，一1）U(一1，+∞)： ⑤由题知解得x≥2且x≠， 所以函数x)的定义域为U. ⑥由题知2x一≠kπ+，k∈Z,解得x≠+，k∈Z,所以函数x)的定义域是 x∈R,x≠十，k∈Z. ⑦要使函数有意义，必须满足解得x≠0，一1，一，所以函数x)的定义域为 xx∈R,且x≠0，一1，一. b.求抽象函数的定义域 (2)2026汇编，20分)已知函数y=x)的定义域是， ①函数y=的定义域为 ②函数y=logx)的定义域为 ③函数y=x十2)+fx+1)的定义域为 ④若函数y=g(x2一1)与函数y=x)的定义域相同，则函数y=gx)的定义域为 解析：①由题意得即解得0<<1， 所以函数y=的定义域为0,1) ②由题意知≤l0gx≤2， 即log2≤1ogx≤log4, 所以≤x≤4， 所以函数y=ogx)的定义域为，4]. ③由题意知解得一≤x≤0， 所以函数y=x十2)+x十1)的定义域为. 独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXK.C0m● 您身边的互联网+教辅专家 ④因为y=g(2一1)的定义域为，即x∈，所以x2一1∈，所以函数y=g(x)的定义 域为. c.已知函数的定义域，求参数的值或范围 (3)(2026汇编，15分)已知函数x)的定义域为R ①若函数x)=,则实数m的取值范围是() A.[0,8)B.(8,+∞) C.(0,8)D.(-o,0)U(8,+∞) ②若函数x)=,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞，-1]B.[-1,0] C.[0,1]D.[1+o) ③若x)=ln,则实数b的取值范围是( A.(-∞，0)B.(-∞，0] C.(0,+∞)D.[0,+∞) 解析：①因为函数x)的定义域为R,所以m2一mx十2>0对x∈R恒成立.当m =0时，不等式为2>0，恒成立；当m≠0时，则需满足 即所以0<m<8. 综上，实数m的取值范围是[0,8).故选A. ②因为函数fx)的定义域为R,所以3x2+2ar一a一1≥0对x∈R恒成立，则x2+ 2ax一a≥0对x∈R恒成立，所以4=(2a)2+4a≤0，解得一1≤a≤0，所以实数a 的取值范围是[一1,0].故选B. ③要使函数x)=ln有意义， 需1->0，即b<2,则b(2)n 又因为2>0，所以b≤0.故选B. 2.函数解析式的求解方法 (4)(2026汇编，20分)完成下列问题： ①已知f=1gx,则x)的解析式为 ②已知f=x2+,则代x)的解析式为 ③已知x)为一次函数，无x]=4r一1，则fx)的解析式为 ④已知函数x)满足f+一x)=2x(x≠0)，则x)的解析式为 解析：①令+1=1.，x>0,.>1,∴x=,代入=lgx,得)=g,,x)的解析 式为x)=1g>1): ②f=x2+=x2++2一2=2-2，设m=x+,根据对勾函数的性质可知m≥2或 m≤-2，x)=x2-2(x≥2或x≤-2). ③x)为一次函数，∴.设x)=x+bk≠0)， ..x))=knx)+b=k(kx+b)+b=kx+kb+b=4x-1, ∴解得或 ,x)的解析式为x)=2x一或fx)=一2x十1. ④，x)对任意x≠0满足f什代一x)=2x,∴.令x=一，代入方程得一x)一x/=一 联立，得 解得∫=十x, ∴.x)=x2+(x≠0) 独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXK.C0m○ 您身边的互联网+教辅专家 3.分段函数的概念和简单应用 a.求分段函数的解析式或函数值 (5)(浙江经典真题，4分)已知a∈R,函数fx)=若f几0]=3，则a= 解析：0]=f6-4)=f2)=2-3引十a=3,故a=2. (6)(山东临沂二模，5分)已知函数x)=则一4)的值为 解析：因为一4<0，所以-4)=一4+3)=一1)=-1+3)=2) 而2>0，所以(-4)=2)=1og42= b.已知分段函数的解析式，求参数值 (7)(全国经典真题，5分)已知x)=若a)十-2)=0，则a= (7)答案：2 解析：①若a<0,则a)+-2)=2a-4=0, 解得a=2,不满足a<0,故舍去： ②若a≥0，则a)+-2)=d2-4=0, 解得a=2或a=一2（舍去）. 综上，a=2. c.已知分段函数的解析式，求解不等式 (8)河南洛阳模拟，5分)已知函数x)=则不等式fa)<3a一1)的解集为 解析：当<0时，x)=一3x十3，函数单调递减， 此时x>-3×0+3=3: 当x≥0时，fx)=e+1,函数单调递减，且0)=e+1=2<3, 所以函数x)在（一∞，十∞）上单调递减， 所以不等式a)3a-1)等价于a>3a一1， 解得a<,即不等式的解集为. 随堂普查练6 1.(2026改编，5分)已知函数y=x)的定义域为[一2,2]，值域为[2,4]，则函 数y=x)的图像可能是( Y44 独家授权侵权必究 多学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 4 -log 2x2-10 C D 解析：对于选项A,出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情 况，不符合函数的定义，故A错误： 对于选项B,图像符合函数的定义，且函数图像的定义域、值域均符合题意，故 B正确： 对于选项C,图像符合函数的定义，但图像上点(2,4)是空心点，此时对应函数 的定义域为一2,2)，值域为2,4)，不符合题意，故C错误： 对于选项D,图像符合函数的定义，但图像对应函数的值域不是[2,4]，故D错 误. 故选B 2.(2026改编，5分)下列各组函数中，表示相同函数的是 ①y=x与y=; ②y=x与y=: ③y=x2与s=: ④x)=2x+1,x∈N与gx)=2x-1,x∈N: ⑤x)=x与g(x)= 解析：①不是相同函数：：y==,y=x与y=的对应关系不同，∴.不是相同 函数： ②不是相同函数：，y=x的定义域为R,y=的定义域为（一∞，0）U(O,十 ),.不是相同函数： ③是相同函数：，y=x2与s=的定义域都为R,对应关系也相同，.是相同函 数： ④不是相同函数：，函数x)=2x十1与g(x)=2x一1的解析式不相同，即对应关 系不同，，不是相同函数： ⑤是相同函数：，函数x)=和g()=的定义域均为R,且对应关系相同， 是相同函数。 故答案为③⑤. 3.(湖北武汉模拟，5分)函数x)=的定义域为 解析：由题意得解得x≥0且x≠1， 故函数x)的定义域是[0,1)U(1,+∞). 4.(经典题，5分)设函数x)=lg(1一x),则函数x的定义域为( A.(-9,+∞)B.(-9,1) C.[-9,+∞)D.[-9,1) 解析：由题知x]=g(1一x]=lg[1一lg(1一x)小，则解得一9<1，所以函数 独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 x]的定义域为（一9，I).故选B. 5.(2026改编，5分)若函数y=4x+1)的定义域为[一1,2]，则函数g(x)=的定 义域为( ） A.[1,4]B.[2,4]C.(1,5]D 解析：因为函数y=4x+1)的定义域为[-1,2]，即x∈[-1,2]，所以4x+ 1∈[一3,9]，所以函数y=x)的定义域为一3,9].要使函数gx)=有意义，则 有解得1<r≤5.故选C 6.(2026改编，5分)已知函数x)=(a>0且a≠1)的定义域为R,则实数m的取 值范围为 解析：因为函数x)=(a>0且a≠1)的定义域为R,所以d+十m>0且d十十 m≠1在R上恒成立，即m>一(d+)且m≠1一在R上恒成立. 当x∈R时，∈(0，+o∞)，所以d+≥2=4，当且仅当a=,即d=2时，等号 成立，所以一≤一4，所以1一≤一3，所以m>一4且m>一3，即m>一3.所以实 数m的取值范围为（一3，十∞） 7.(经典题，5分)若函数2x十1)=x2-2x,则x)= 解析：令t=2x十1,1eR,则x=,代入f2x+1)=x2-2x,得0=2-2×=P-1 +-1+1=2-1+,所以x)=x2-x+. 8.(经典题，5分)已知函数x一1)=2-2x+1,则x)=() A.2+1-2x-1B.2+1-2x+1 C.2-1-2x+1D.2-1-2x-1 解析：因为x-1)=2-2x+1=2-+1-2(x一1)-1，所以fx)=2+1-2x一1.故 选A. 9.(陕西宝鸡期末，5分)已知x)是一次函数，22)一31)=5,20)一一1)= 1,则x)=() A.3x+2B.3x-2C.2x+3D.2x-3 解析：由x)是一次函数，可设x)=x+bk≠0). 22)-31)=5,20)--1)=1, 解得 ∴儿x)=3.x-2.故选B. 10.(甘肃兰州月考，5分)若函数x)的定义域为（一∞，0）U(0,+∞)，值域为 R,x)-2f=x,则-2)= 解析：)一2f=x,令1=，则x=, ∴/-2t0=, ∴解得)=， -2)=1 11.(四川雅安期末，5分)设函数x)=若f=4,则a=() 独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 A.2 B.C.D. 解析：<1，=3×-=2>1， ∴f=f2)=d2=4,∴.a=2或-2（舍去）. 故选A. 12.(广东佛山模拟，5分)已知函数x)=则（一2）+In4)=() A.2B.4C.6D.8 解析：一2<1，n4>1, .-2)=log4=2,fln4)=e4=4, .-2)+0n4)=2+4=6. 故选C 13.(湖北宜昌四模，5分)已知函数x)=若a2+1)=-6a)一3)，则实数a= 解析：显然d2+1≥1. 当a>-时，-6a<1,故a2+1)=-6a)-f3)即1og(d2+1)=2--6a-3 log3, 即1og(a2+1)+l0g3=20-6a-3, 即1og(3a2+3)=20-6a-3. 因为20<2=2，-6a-3<-2, 所以2-6-3<2+(-2)=0. 又1og(3a2+3)≥1og23>1,所以此时方程无解 当a≤-时，-6a≥1，故d2+1)=(-6a)-3)即1og(d2+1)=log(-6a)- log23, 即log(a2+1)=log(-2a),故a2+1=-2a, 解得a=一1. 综上，a=一1 14.(广东佛山模拟，5分)设函数x)=则满足x+1)2x)的x的取值范围是( A.(-o,-11B.(0,+o) C.(-1,0)D.(-,0) 解析：函数x)=的图像如图所示. 3-2-1012345￥ 由图可知，若x+1)2x),则2<x十1≤0或2x<0<x+1, 解得x≤一I或-1<x<0,所以x∈（一∞，0）.故选D. 独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 课后提分练6函数的概念及其表示 A组（巩固提升） 1.(2026改编，5分)已知函数x)=g的定义域为A,函数g(x)=十的定义域为 B,则下述关于A,B的关系中，正确的是() A.A2B B.AUB=B C C.AnB=B D.B A 解析：函数x)=lg的定义域为A==x一1<x<1}:函数g(x)=+的定义域为B ={x1+x>0且1一x≥0}={x-I≤x≤1}，则AB,所以A2B错误，AUB=B 吴 正确，A∩B=B错误，BA错误，故选B. 2.(经典题，5分)已知函数x)=,则函数y=的定义域为() A.(-∞，1) B.(-∞，-1) C.(-∞，-1)U(-1,0) D.(-∞，-1)U(-1,I) 解析：要使函数x)=有意义，则2一4>0，即(2)2-2<0，所以0<2<1，解得 x<0. 要使函数y=有意义，则 解得x<1且x≠一1，即x∈（一o,一1）U(一1,1).故选D. 3.(2026改编，5分)德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于x的每 一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数.”这个定义较 清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得对于x的取值范围中的每一个 值，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图像、表格， 或是其他形式.已知函数y=x)由下表给出，则19212027)]的值为() x≤1921 1921<x<2049 x≥2049 y 1 2 3 A.0B.1C.2D.3 解析：因为1921<2027<2049，所以2027)=2， 所以1921/2027)=3842. 因为3842>2049，所以19212027)]=3. 故选D. 独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 4.(河南月考，5分)若函数2x一1)的定义域为[0,1)，则函数1一3x)的定义域 为() A.(-2,4]B. C.D. 解析：因为0≤x<1,所以0≤2x<2,所以一1≤2x一1<1，所以函数x)的定义域 为[-1,1). 令一1≤1一3x<1,得0<x≤，所以函数1一3.x)的定义域为.故选C 5.(北京朝阳区一模，4分)已知函数x)=若m)=一1，则实数m的值为( ) A.-2B.C.1D.2 解析：若m≥0，则2"-3=一1，解得m=1:若m<0,则一2m=一1，解得m= (舍去).综上，m=L故选C 6.(浙江金华模拟，5分)设函数x)=(a>0,且a≠1)，若1)=0，则m ,3+a= 解析：，1<3,1)=2-2m=0,m=1. a>0,.3+>3, ∴.3+a2)=log(3+a2-3)=loga2=2. 故答案为1,2. 7.(2026原创，20分)已知函数x)= ①3)+-2)= ②f= ③若g(x)=3,则函数g)的解析式为 ④若)=t+2),则f的值为 (记[x]为不大于x的最大整数) 解析：①因为3>1，所以3)=1og3=1.因为-2<1，所以一2)=（一2}2=4， 所以3)+-2)=1+4=5. ②因为<1，所以f=2=因为<1，所以f=f=2=, ③当x>0时，3>1，此时g(x)=f3)=log3=x:当x≤0时，3≤1，此时g(x)= 3)=(3y=9 综上，函数g(x)的解析式为gx)= ④当1十2≤1，即≤一1时，=(+2)，解得=-1，此时=一1)=1， 当1≤1且1+2>1，即一1<4≤1时，=1og(1+2),作出函数y=与y=1og(1+2) 在（一1,1]上的图像， 由图像知函数y=?与y=1og:(t十2)在（一1,1]上的图像有两个交点，即方程= log(t+2)在(-1,1]内有2个解4=1和h∈(-1,0)，此时f=1)=1,f=-1) 三1. 独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 当>1时，y=logt在(1，+∞)上单调递增，故此时不存在满足题意的1. 综上，=1 8.(2026汇编，25分)求满足下列条件的函数x)的解析式. ①若函数x)满足=1十x,则x)的解析式为 ②若函数x)的定义域为（一∞，0）U(0,十∞)，对定义域内的一切实数均有x) +2=3x,则x)的解析式为 ③已知x)是一次函数，且满足3x+1)-2x一1)=2x+17,则x)的解析式为 ④已知sinx)=cos2x,则x)的解析式为 ⑤若3x-1)+21一x)=2x,则x)的解析式为 解析：①令=，则x=,且1≠一1. 因为=1+x,所以0=1十=， 所以x)=,x∈(-∞，-1)U(-1,+∞)： ②因为函数x)对定义域内的一切实数均有x)+2f=3x,所以f什2x)=3 联立 解得x)=一x,x∈(-∞，0)U(0,+c∞). ③因为x)是一次函数，所以可设x)=ar十b(a≠0)， 所以有3[a(x+1)+b]-2a(r-1)+]=2r+17, 即ax+(5a+b)=2x+17, 所以解得 所以x)的解析式是x)=2x十7. Df(sinx)=cos2x=1-2sin'x. 设sinr=m,m∈[-1,1]，则m)=1一2m2,m∈[-1,1]， 所以fx)=1-2x2,x∈[-1,1]. ⑤3x-1)+21-x)=2x=2(x一1)+2，用1-x代换x一1，得31一x)+2x-1) =2(1-x)+2 联立 解得x一1)=2(r一1)十， 所以fx)=2x+. 9.(福建泉州月考，5分)若函数y=的定义域为R,则实数a的取值范围是( A.0,1] B.[0,1) C.D. 解析：若函数y=的定义域为R, 则ar2-4ax十2>0对任意x∈R恒成立. 当a=0时，不等式可化为2>0，恒成立： 当a≠0时，需解得0<<， 故实数a的取值范围是.故选D. 10.(2026改编，5分)已知函数x)=若几(a]≥1，则实数a的取值范围是( A.[1,2) B.[1,+∞) 独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 C.[2,+∞) D.(-o,-2]U[1,+o) 解析：设f代d)=t. 当2时，0=e,则不等式f)≥1即为e≥1，解得t≥1，所以1≤2： 当1≥2时，)=1og(-1),则不等式0≥1即为1og(-1)≥1，解得t≥2或 1≤-2，所以1≥2 综上，1=fa)≥1，同理可知a≥1.故选B 11.(浙江经典真题，6分)已知函数f=则∫=：若当x∈[a,b]时， 1≤x)≤3，则b-a的最大值是 解析：因为<1， 所以f=-2+2=。 又因为>1， 所以=十一1=， 所以== 当x≤1时，由1≤x)≤3可得1≤-x2+2≤3，解得-1≤x≤1： 当>1时，由1≤x)≤3可得1≤x十一1≤3，解得1<x≤2十， 所以1≤x)≤3等价于一1≤x≤2十， 所以[a,bs[-1,2+], 所以b一a的最大值为3+ 故答案为，3十 12.(重庆南开中学期末节选，6分)己知函数x)=解不等式x+6)Pf 解：因为fx)= 当x>0时，x)=x2+2x+2,x)在(0，+∞)上单调递增，此时x)P0)=2: 当x≤0时，)=2 所以x+6)>f=x+6>且x+6>0.(3分) x+6>台>0台(x+4)x+1)x-1)>0台x∈(-4，一1)U(1,+∞) x+6>0→x>-6. 综上，x∈(-4，一1)U(1,+∞).(6分) 13.(2026改编，6分)记函数x)=的定义域为A,g(x)=(a<1)的定义域为B.若 BCA,求实数a的取值范围. 解：由得解得x<一1或x≥1， 所以A=(-∞，-1)U[1,+∞).(2分) 由x-a-1)2a-x)>0,得[x-(a+1)]Cr-2a)0. 因为a<1,所以2a-(a+1)=a-1<0,所以2a<a+1, 所以不等式Lx-(a+1)]x-2a)<0的解集为2a<r<a+1,所以B=(2a,a+1).(4 分) 因为BcA,所以(2a,a+1)s(-,-1)U[1,+∞)，所以a+1≤-1或 2a≥1，解得a≤-2或a≥. 又因为a<1, 所以实数a的取值范围为（一∞，一2]U.(6分） 独家授权侵权必究