第5课 二次函数与一元二次方程、不等式-【提分宝典】2026年新高考数学一轮全考点普查与练习

鱼学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 第5课二次函数与一元二次方程、不等式 普查与练习5 二次函数与一元二次方程、不等式 七组题学透 1.二次函数的图像与性质 a.二次函数图像与其他函数图像的综合 (1)(湖南岳阳期末，5分)函数y=1ogx(a>0且a≠1)与函数y=(a一1)x2一2x-1在 同一平面直角坐标系中的图像可能是() C 解析：由题意得，函数y=(a一1)x2-2x一1为图像恒过定点(0，一1)的二次函数， B,D选项中函数图像与y轴的交点为(O,0),故B,D选项错误，对于A选项， 当函数y=logx为增函数，即>1时，二次函数的图像开口向上，此时其对称轴 为直线x=一 -2 1 >0，在y轴的右侧，故A选项错误，对于C选项， 2(a-1)a-1 当函数y=logx为减函数，即O<a<1时，二次函数的图像开口向下，此时其对称 轴为直线x= <0,在y轴的左侧，故C选项正确，故选C a-1 b.二次函数的单调性问题 (2)(山西朔州期中，5分)若函数x)=ar2+2x一3在区间（一∞，4）上单调递增，则 实数a的取值范围为( A+ B.4 +∞ c/9 D 解析：当a=0时，函数x)=2x-3是一次函数，且在区间（一∞，4）上单调递增； 当a>0时，二次函数fx)=2+2x一3的图像开口向上，在定义域R上先单调递 减后单调递增，所以在区间（一∞，4）上不可能是单调递增的：当α<0时，二次函 数x)=m2+2x-3的图像开口向下，在定义域R上先单调递增后单调递减，函 1 数)的图像的对称轴方程为x=一，要使函数x)在区间（一∞，4）上是单调递增 的，则厂a ≥4，解得-，≤a0综上可得， 1 ≤a≤0，即实数a的取值范围为 4 a<0 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 52XXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 (3)(2026改编，12分)已知函数x)=x2+2a+3,x∈[-4,6]. (I)当a=1时，求0的单调区间； (Ⅱ)若y=fx)在区间[一4,6上是单调函数，求实数a的取值范围： (山⑩若y=x)在区间[一4,6上存在单调递增区间，求实数a的取值范围， 解：(I)当a=1时，x)=x2+2x+3, 所以fxD=x2+2+3,x∈[-4,6]. 易知函数y=x2+2+3在R上为偶函数，且当x>0时，函数单调递增， 所以当x<0时，函数y=x2+2x+3单调递减， 所以xD的单调递减区间是[一4,0]，单调递增区间是(0,6].(4分) (Ⅱ)由于函数x)的图像开口向上，对称轴是直线x=一a,所以要使y=fx)在[一 4,6]上是单调函数，应满足-a≤一4或-a≥6，即a≥4或a≤一6，所以实数a 的取值范围为（一∞，一6]U[4,+∞）.(8分) (D由于函数fx)的图像开口向上，对称轴是直线x=一a,所以要使y=fx)在区间 [一4,6上存在单调递增区间，只需-a<6,即a>一6，所以实数a的取值范围 为(-6，+∞).(12分) c.二次函数的最值问题 (4)(2026汇编，25分)已知二次函数x)=x2+bx+c (I)令b=-2,c=-3 (i)求函数x)在t,1+21上的最值： (i)若函数x)在[t,t+2]上的最大值为0，求满足条件的t的值： (i)若函数f)在[一3，m]上的最大值为12，最小值为一4，求实数m的取值范围。 (冷c=1-2 b (i)若函数x)在[0,1]上的最小值为0，求b的值： (i)若对于任意x∈[b,b+2],都有>2恒成立，求实数b的取值范围. 解(I)(i)由题知x)=2-2x一3=x一1)2一4，其图像开口向上，且对称轴为直 线x=1. ①若t≥1，则函数x)在[t,t+2]上单调递增，所以函数x)的最小值为0=2一21 -3,最大值为.t+2)=(1+2-12-4=+2t-3.(1分) ②若+2≤1，即t≤一1，则函数x)在[t,+2]上单调递减，所以函数x)的最小 值为f什2)=+2-3，最大值为0=-2t-3.(2分)》 ③若一1<K1,则函数x)在[，1]上单调递减，在(1，t+2]上单调递增，所以函数 x)的最小值为1)=一4当什2-1≥1一t,即0≤t长1时，函数fx)的最大值为f +2)=2+2t-3:当-1<t0时，函数x)的最大值为f)=-21-3.(4分)》 综上，当t≥1时，函数x)的最小值为2-2一3，最大值为2+2t-3: 当≤一1时，函数fx)的最小值为+2t一3，最大值为-2t-3: 当0≤长1时，函数fx)的最小值为一4，最大值为+2t-3: 当一1<0时，函数fx)的最小值为一4，最大值为卫-21-3.(5分 (i)由x)=x2-2x-3=0,解得x=3或x=一1，要使函数的最大值为0，需满足 2或生即1=-1或=1，所以清足条件的：的值为-1碳100 分) (ii)因为x)=2-2x一3=(x一12一4，所以当x=1时，函数x)取得最小值一4. 令x2一2x一3=12，解得，1=一3,2=5，画出函数图像如图所示. 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 f()=x2-2x-3 10 6 10 由图可知，要使函数x)在[一3，m上的最大值为12，最小值为一4，m需满足 1≤m≤5，所以实数m的取值范围为[1,5].(15分) b b (ⅢXi)因为函数=2+x+1-一3k+2P+1一 ，所以函数x)的图像的 2 2 42 b 对称轴为直线x=一？且开口向上.下面根据对称轴与区间的位置关系分三种情 况讨论： ①当 20,即6≥0时，函数在区间[0,1]止是塔函数，所以网m=0=1 6 b 则1-三0，解得6=2满足条件，(17分 ②当0<1，即-2b-0时，函数)在区间0 上是增函数， 所以m-升专 b2b 月1.5则1年名0，解得b=-1+5或b=1中 V5,均不满足条件：(18分) ③当。≥1，即b≤-2时，函数在区间0,1]止是减函数，所以血二)= 2 1+6+12司 =2+2,则+2=0，解得b=一4，满足条件.(19分) 综上，b的值为2或-4.(20分) (i)若对任意x∈[b,b十2]，x少2恒成立，则当x∈[b,b+2]时，x)mm>2 (1)可知函数)的图像的对称结为直线x=名且开口向上.下面根据对称轴 b 的位置分三种情况讨论： ①当-≤6，即b≥0时，函数)在区间b,b+2止单调递增，所以9三 E2咖+1名所以26+12，即6-b-20,解得683成b1十3因 8 8 为b≥0，所以b1+3 (22分) 8 6+2,即0时函数网在区同6，单调递减，在 6 ②当b< 独家授权侵权必究 鱼学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 b b2 b 42 2一4×，0，所以不等式无解.(23分) 4 4 回当一≥b+2,即b≤一时，函数在区间b,b+2止单调递减，所以x -6+2-6+2+6+2+1分2冰++5，所以25+号+s2,用+ b 11 116+6=46+3X6+20,解得b<-2或b-因为6≤-子所以6<-2 3 综上可知，b的取值范围为-。，-2中，+5分 8 (⑤（经典题，5分）已知函数fx=x2+(a一4)x+1+r2-a+1当a=1时，函数x) 的最小值为 ；若函数的最小值为则实数a的值为 解析：当a=1时，f)=x2-3xr+1+2-x+1 3 .9=2x2-4r+2=2x-12≥0， .函数x)的最小值为1)一0 令gx)=x2-ax十1，则4=a2-4 当4=a2-4≤0，即-2≤a≤2时，g()≥0，此时x)=x2+(a-4)r+1+x2-a+ 1=2x2-4x+2=2-1)2≥0， 六函数的最小值为)=0≠？不满足条件， 当4=a2-4>0,即a<-2或a>2时，易得方程2-m+1=0的两个根为1= a-Va2-4 _a+Va2-4 X2= 2 2 则当x∈1,2]时，gx)≤0， 当x∈(-∞，)U(2,+∞)时，gx)P0 x)= 2r2-4x+2,x>x2或x<n, (2a-4)x,n≤x≤2 若a<-2,则1<x2<0 1 :1∈62，+∞)且0)=0 ∴，不满足条件 若a>2,则0<x1<1,2>1,2a-40, .当xe出，+∞)时，x)单调递增，当x∈（一∞，）时，f)单调递减， 画数的最小植为=0。小9三台甲： 22 =Va2-4,平方 2a2-56a+65 5 13 13 化简可得 (a-2)2 -0,解得a-、或a= 当a=二时，a 1 0不满 2 6 6 2a-4 足题意，舍去 综上所述，实数a的值为故答案为0：2 2.一元二次方程根的分布及根与系数的关系 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 5ZXXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 a.一元二次方程根的分布所限定的条件 (6(经典题，7分)设a∈R,关于x的一元二次方程7x2-(a+13x+a2-a-2=0有 两个实数根x1,x2,且0<<1<2，求a的取值范围. 解：设函数f)=7x2-(a+13)x+a2-a-2,其图像开口向上.(1分) f(0)>0, a2-a-2>0, 由题意知f(1)<0,即7-(a+13)十a2-a-2<0, (4分) f(2)>0, |7×22-2(a+13)+a2-a-2>0, a<-1或a>2, 解得-2<a<4, (5分) a<0或a>3, .-2<a<-1或3<a<4, .a的取值范围为(-2，一1)U(3,4).(7分) b.一元二次方程根与系数的关系 (7(辽宁辽东月考5分)若ab是方程x2+3x-2026-0的两个实数根则a2+4a十b= 解析：因为a,b是方程x2+3x-2026=0的两个实数根， 所以a2+3a=2026,a+b--3, 则a2+4a+b=a2+3a+a+b=2026-3=2023 故答案为2023 (⑧)（多选）广东联考，6分)甲、乙两人解关于x的方程2+b2x十c=0时，甲写错 17 了常数b,得到的根为x=一2或x=10g子乙写错了常数c,得到的根为x=0 或x=1,则下列是原方程的根的是() A.x=-1B.x=1C.x=0D.x=2 解析：令t=2>0,原方程可化为1+-+c=0,即2+ct+b=0.① 甲写错了常数b,故由甲得到的根可以得到正确的c的值. 17 为甲得到的根为x二一2或0g1,所以对应的一或，由两根之和可得6 17,19 4+ 乙写错了常数c,故由乙得到的根可以得到正确的b的值， 因为乙得到的根为x=0或x=1,所以对应的t=1或2，由两根之积可得b=2 9 将得到的b,c的值代入①式可得方程2--+2=0，解得t=-或4，均满足题意， 故2r=-或4，解得x=-1或2.故选AD 3.常见不等式的求解 a.不含参数的一元二次不等式的解法 (9)(2026改编，5分)设x∈R,使不等式一x2一3x+4>0成立的x的取值范围为 解析：-x2-3x+40,2+3x-40, .(c+40x-10,.-4x<1, .原不等式的解集为{一4<1}. 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 b.含参数的一元二次不等式的解法 (10)(辽宁沈阳月考节选，8分)解关于x的不等式r2+(a-1)x一1≤0(a∈R) 解：当a=0时，不等式化为一x一1≤0，不等式的解集为{xr≥一1}.(1分) 当a≠0时，原不等式化为(x一1)x十1)≤0 当a>0时，不等式即为k c十1)≤0，不等式的解集为x-1≤x≤}.(2分) 0 当a<0时，不等式即为一 /+10≥0 O当-1，即-1<a<0时，不等式的解集为x≤或x之≥-1： ②当-1，即a<-1时，不等式的解集为x:≤-1或x之 a ③当--1，即a=-1时，原不等式化为十1y≥0，此时不等式的解集为R6 a 分) 综上所述，当a>0时，不等式的解集为{x一1≤x≤-}：当a=0时，不等式的解 集为≥-13：当-1<a<0时，不等式的解集为a≤-或x≥-1：当a=-1 时，不等式的解集为R: 当a<一1时，不等式的解集为{x≤-1或x≥-}.(8分) 0 c.已知一元二次不等式的解集求参数的问题 (11)(北京通州区月考，4分)若不等式x2+a+1<0的解集为空集，则k的取值范 围是() A.-2≤k≤2B.k≤-2或k≥2 C.-2k2D.k<-2或心2 解析：，不等式x2+十1<0的解集为空集， .4=2-4≤0， .一2≤k≤2.故选A (12)(河南郑州金水区月考，5分)若不等式a2-bx+c>0的解集为{一1<x<2}, 则不等式m2+x+c>0的解集为 解析：，不等式ar2一bx十c>0的解集为x-1<x<2}, .方程r2-bx+c=0的解为1=一1，龙2=2，且a<0 将x=-1,2代入方程，得@+b十c=0, 4a-2b+c=0, 由此可知方程a2+bx+c=0的解为=一2，=1， .不等式2+bx十c>0的解集为{x一2<x<1}. 故答案为{x一2<x<1}. d.分式不等式的解法 a32026汇编，10分X1)不等式x+2 ≤0的解集为 1-3x x-1 (Ⅱ)不等式 ≤1的解集为 ·(河北石家庄新华区模拟) x+2 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 /(x+2)(3x-1)≥0， 解析：(1)原不等式等价于1二x≠0， 解得>或x≤一2，所以原不等式的解集为-，一2心作+ 31 x-1 x3 (Ⅱ)将原不等式移项可得 x+2 1<0，化简得+2 0，该不等式等价于 ((x-3)(x+2)≤0， {x+2≠0， 解得一2x≤3，即不等式的解集为（一2,3].故答案为 (-2,3]. e.一元高次不等式的解法 x-2 (14)(经典题，5分)不等式 >0的解集是 2+3x+ x-2 x-2 解标2+3x+2 0台 Gx+2)x+1)06-2+2)(+1)小0，∴原不等式对 应的方程x一2)(x+2)(x+1)=0的根为2，一2，一1，在数轴上标根并穿线，如图 所示 由穿针引线法，得不等式 x-2 2+3x+ >0的解集是{d-2<-1或x>2}. 4.一元二次不等式的恒成立问题 a.一元二次不等式在实数范围内的恒成立问题 15江苏徐州模拟，5分)若关于x的不等式一8r+20 <0对任意x∈R恒成立， 3 2a2+a一8 则实数k的取值范围为() A.(-3,0 B.(-∞，-3)U(0,+∞) C.(-3,0 D.(-∞，-3)U[0,+∞) 解析：因为x2-8x+20=(c-4)2+40, 所以不等式0一8x+20 3 <0对任意x∈R恒成立等价于2a2+a一-<0对任意x∈R 3 2a2+a一8 8 恒成立 当k=0时，一。0对任意x∈R恒成立. P 当k≠0时，要使262+ 3 <0对任意x∈R恒成立， 8 k<0, 只需 解得-3<0 综上可知，k∈(-3,0].故选C b.一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题 (162026汇编，10分)已知函数x)=2+bx+c(a≠0，a,b,c∈R). ①若b=c=1,且f)≥0在区间[1,2]上恒成立，则a的取值范围是 独家授权侵权必究 鱼学科网书城四 品牌书店+知名教辅·正版资源 b.Zxxk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 ②若a=1,c=-1,且对于任意x∈[b,b+1],都有fx)0成立，则实数b的取 值范围是 解析：①（法一）b=c=1,∴9)=2十x十1。 f)≥0在区间[1,2]上恒成立，即a≥一 在区间[1,2]上恒成立，即a≥ 【+e.斗 “函数)广一位+在区间，2止单调递增， =+在区间1,2止的最大值为+ 侧≥0在l,2上恒成立等价于a≥一4 区a≠0，a的取值范围是子00，+ (法二)已知fx)=a2+x+1≥0(a≠0)在区间[1，2]上恒成立， 当o>0时，一0，则区间，2习在抛物线y=对称轴x= 1 的右侧，x) 2a 2a 在[1,2]上单调递增，∴.要使f)≥0在区间[1,2]上恒成立，只需1)=a+2≥0， 解得a≥-2，.a>0 当a<0时， 2a0在[山，2习内有单调性或先增后减，“要使9≥0在区 同，止恒限立、只（侣，8.解得≥子子0 3 综上所述，a的取值范围是子0U0.十)， 3 ②由二次函数x)=x2+bx二1的图像开口向上，可知若对于任意x∈b,b+1], 都有x)0成立，则函数fx)=x2+bx一1在区间[b,b+1]的端点处取值均小于0 即可，不需再考虑对称轴的位置， 8+0+5+6+)-10 解得-2b0 ∴.实数b的取值范围是 20 C.一元二次不等式在给定参数范围时的恒成立问题 (17)(经典题，10分)已知函数x)=2+br十c满足-1)=0. (I)若x)=-1一x),且对任意a∈一3，一1]都有x)+x+1>0,求x的取值范 围； ()是否存在实数a,b,c,使得不等式x≤)≤2+1)对一切实数x都成立？ 若存在，请求出a,b,c的值；若不存在，请说明理由 解：(I)由f)=尤-1-x)得0)=-1)=0，即c=a一b+c=0,所以a=b,c= 0,此时x)=x2+x)+x+1=2+(a+1x+1.(1分) 构造函数g(a)=2+(a+1x+1=(r2+x)a+x+1, 因为对任意a∈[-3，一1]都有x)+x+1>0, 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以g(-3)=-362+)+x+1>0,且g(-1)=-62+x)+x+1>0,可得-1<x<3 且-1<x<1, 所以-1<<了即x的取值范围是1,4分》 （国存在，c6分 由x≤)≤+1)对一切实数x都成立，得1≤)≤×(2+1)户)-1 由-1)=a-b+c=0,1)=a+b+c=1, 解得6分十：月 11 即)=m++2a6分) 1.1 由f)-x=aa2- 十2一a≥0对一切实数x都成立，可得a0且 6-小o 111 ,因此c一244 将a=c一子6代入网+，不等式也恒成立，所以a=6子b=00 1 2 2 分 5.一元二次不等式的能成立问题 a.由一元二次不等式在实数范围内有解求参数范围 (18)(广东梅州期中，5分)若关于x的不等式(a2-4)r2+(a+2r一1≥0的解集不为 空集，则实数a的取值范围为() A-2. B-2 61 C.(-∞， 、+ 0. D.(-,-2u5+ 解析：根据题意，分两种情况讨论： ①当a2-4=0,即a=±2时， 若a-2,则原不等式为4-1≥0，解得x之子 所以不等式的解集为≥寻 不是空集，符合题意； 若a=一2，则原不等式为-1≥0，无解，不符合题意。 ②当2-4≠0，即a≠+2时， 若(a2-42+(a+2x-1≥0的解集是空集，则有二40， 4=(a+2)2+4(a2-4)<0, 独家授权侵权必究 鱼学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 解得一2<a了 6 6 则当不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集不为空集时，有a<-2或a≥-且 a≠2 综上可知，实数a的取值范围为(-∞，一2)U 6 故选C b.由一元二次不等式在区间上有解求参数范围 (19)(吉林通化月考，5分)若关于x的不等式2x2一8x一4-a>0在[1,4]上有解，则 实数a的取值范围是() A.(-∞，-4)B.(-4,+∞) C.(-12.+∞)D.(-∞，-12) -8 解杨法一)令函数x)=2x2一8x一4一a,其图像开口向上，且对称轴x= 2X2 =2 在区间[1,4内，∴.只需在区间[1,4的端点处的函数值1)，4)中的最大值大于 0,即可保证不等式2xr2-8x-4一a>0在区间[14]内有解又.，2-1<4-2∴.只需f4)>0 即可，.2×42-8×4一4-a>0,∴.a<4,即a的取值范围为（一∞，一4）.故选A (法二)设fx)=2x2-8x一4要使22-8x一4-a>0在[14上有解只需使a<2r2-8xr 一4在[1,4]上有解，则只需使a<[优x)]mx,x∈[1,4， ,f=2x2-8x-4=26c-2)2-12,.抛物线y=fx)的对称轴为直线x=2,.fx) 在区间[1,4]上的最大值在距离对称轴较远的端点处取得，即[优x]mx=4=一4， ∴.a<-4故选A c.由一元二次不等式有整数解求参数范围 (20)(经典题，5分)关于x的不等式2一2(m+1)x十4m≤0的解集中恰有4个正整 数，则实数m的取值范围是() A53 c-1,-2 1,3 解析：原不等式可化为(x一2)x-2m)≤0 若m<1,则不等式的解集是[2m,2],其中最多有2个正整数，不符合题意； 若m=1,则不等式的解集是2}，不符合题意； 若m>1,则不等式的解集是[2,2m,其中的4个正整数分别是2,3,4,5 令5≤2m<6, 解得亏m3 综上，实数m的取值范围是 23故选B 6.一元二次不等式与函数的综合问题 (21)(经典题，5分)已知x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，x)=x2一4r, 那么不等式x十2)5的解集是 解析令x0,则->0，x≥0时，fx)=x2-4x,一x)=(-x-4(一x)=x2+ ◆独家授权侵权必究