第4课 基本不等式-【提分宝典】2026年新高考数学一轮全考点普查与练习

学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第4课 基本不等式 普查与练习4 基本不等式 五组题学透 1. 基本不等式应用过程中的易错点 (1)(2026汇编,5分)下列说法中,正确的有 个. ①当a>时,2+2>2+ 4r12 cosr ④当x>0,y0,且x+-4时,2¥2<4; 当az0时,lg(a+1)>lgl2al; 当0<al,c1时,lg(+a有最小值; 当=(-一)时- sin2x -的值域为[v3,+~); 解析①取a=-1,=-2,可得2+2-2-1+2-2<2,21+-21+2,显然$① 错误, 当仅_代) 即x一y时等号成立,故②正确. cox 故③错误. -2v,当且仅当x-y-2时等号成立, ④因为x>0,y>0,所以x+y<2 2 所以2x2-2x+y<2-4,故④正确. 因为a≠0,所以a+1>2a,当且仅当a2-1,即a=tl时等号成立,所以lg(a +D)>lg2a,故错误. 易知a>0,a→0,所以a+a2vafa--2,当且仅当a=a,即c=0时 等号成立. 因为cl,所以a十a无最小值,所以lga十a无最小值,故错误 2sinx+13sin2x+cos2x 3tanx+1 sin2: 2sinxcosx 2tarx n . 独家授权 侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 3 当且仅当3m--,即m= 3 #3.-时等号成立. m 6 -时等号成立,故y-2 2sin{x+1 3.tanr=3 -的值域为(一,一 6 sin2x ③]U[③,+),故错误。 ⑧因为0<x<2,所以2x<4,所以4-2x>0, 所以y-(4-2-)-)2(4-2)2+4-2× V2 -2,当且仅当2x=4-2x即x= 22 1时等号成立, 故函数y-x(4-2x)的最大值为v2,故⑧错误. 综上,正确的为②④,共2个. 2. 利用基本不等式判断不等关系 (2)(多选)(新高考IlI经典真题,5分)若x,v满足x2+*一x=1,则 __ A.x+1 B.x+y-2 C.x+<2D.2+1 )1解得-2<x+y<2. 当且仅当x-y=-1时,x+y--2,当且仅当x-y-1时,x+y-2,所以A错 误,B正确; -解得x2+<2当且仅当x-y= 2 士1时取等号,所以C正确: 2+23(2+2) 由+-xy=1变形可得1-x+-y<x++ 2 2. 一,所以2十 所以D错误. 故选BC. (3)(2024全国甲真题节选,5分)已知实数a;满足a+b>3:证明:2a^{}+2b}>a+ b. 证明:因为2a+2b-(a+b)-a-2ab+b2-(a-b>0 当且仅当a一b时等号成立, 则2a+2b*(a+b)2, 因为a十b二3, 所以(a十a十b 所以2^+2b2(a+b)}>a+b.(5分) 独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 3. 利用基本不等式求最值 (4)(2026汇编,20分)已知x>0,v>0,x+=l In (1)的最小值; 变式:若条件不变,则 的最小值为 ①) x2+1 ③_ (II求x1+2v)的最大值; 变式:若x0,0,则一 解:(I)因为x,v>0,x+v=1,所以0<x<1. ln (II)(法-)因为x>0,v>0,x+v=1, 1 xy x) )# .1.4 (二)-2(12) “x) 1 xyx) +y x) 3 *xy 变式: ①因为x+y-1,所以+4+4-1++41+24-5,当且仅当- x) x ) x) y 独家授权 侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.comm 您身边的互联网+教辅专家 42x 1 xy ②因为x+y=1,所以2x+2y+1=3. 2x+2v+1 2 2y+1 2x2+12 =-72+ 22+1 3 2 2+12x 8 3 1 2x2y+1 4 故+2 的最小直值为⊙ 8 x2+1 (二) -2_2 (法二)+ 也, (1+1)28 -=2x- 2x+2+1-3” 3 1。 2 的最小直值为 8 x2v+1 ③因为x+y-1, 所以- ++2 x+1 x十1 +2 x十1 +2 1 --2+- 2(+1) +2 2(x+1)y+2 (1+v2)2 22-2v2-13 2x+2 2y+4 2x+2+2+4 当且仅当- 2224 即x=42-5,=6-4.v2时等号成立 所以-_ +2 x+] #。 1 3 1 9 所以x(1+2y)的最大值为(15分) (#)) 1+++1 +(x+y)2-2xy+1 x2*-2xy+2 2 ☆ 独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (x+y)21 设(-xy<- ## 4 4 变式: 2x 3xy+12x3 +8+A+10x21+16$4 3+-3+ # )$+ $+10+共1→ 1 yx yx 因为函数f(=t+2在[4,+co)上单调递增, 2.9 t 3 3 所以一 2 9 +4 2 ) x 2_) 所以一 x+8{×2+2{} (5)(2026汇编,15分)已知x>0 (u+5)(u+2) (I)若x=u十1,求函数y=- -的最小值; u十1 2 x 恒成立,求实数m的取值范围 --x1 (II)若 #&+x+l,求y的最小值。 解:(I)因为x=u+1>0. 独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (+5) (+2) (x+4) (x+1) 所以y-- u+1 x 2x2 (II)依题意得2m十1- -恒成立. 2+4 所以2m / 所以m的取值范围为[ 为+^(10分) -x+1&+x+1-2_1- 2x 2 _>1-- (ID(法一)y一 2 --1-- r2+x+1 ++1 r2+x+1 2+x+1 ##1 2 所以y的最小值为(15分) (法二)因为x>0,所以x+x+1>1; 所以(+x+1y=x×-x+1, 即(-1)x+(+1)x+(-1)-0$ 易知上述关于x的方程有正实数解 所以0~y1, +1 所以y-1~0,且- 2(y-1) -0. 所以4-(+1)-4y-1)-=0, , 变式训练 a (2026改编,10分)①若a0,b>0,则一 -的最大值为 a2+b2+a22+4 ②若不等式 +k2x+v对于任意正实数x:v都成立,则火的取值范围为 a a 解析①因为a+b22ab>0,所以- 当且仅当a-h a+b2+a2b2+42ab+a2b2+4 独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 时等号成立. 又 2ab+a2b2+4 6 ab 当且仅当ab-- 即ab一2时等号成立,所以- +b2+a2b2+46' 当且仅当a- ' b-2时等号成立. 1 a2+62+a2b2+4 #+ ②因为对于任意正实数x,v,不等式+<kv2x+v恒成立,所以k> 2xy 成立. 易知~0,所以三 ##2- 2x十y 1 r+2t+1 -恒成立, 22十1 2+2+1 所以2二 22+1x(~0). +2+1 +2+1 12+4+2 12+1+4t+11 令g(一 一,0,则g(t)= 22十1 2^+12 2+12 2十1 2 (1 4t+1 8 2十1 21+1 4 2-2u+9 2 (ul). 22+1 u 4 所以 2+2+1 2+1 一故答为+0) (6)(2026汇编,20分)已知x>0,v>0 独家授权 侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 的最小值: (1)4(1+1) x ) (I)若yy+y-1,求x+y的最小值; (2+1)2 (II若0,x+v+=l,求- 一的最小值; 2vz (IV)若+2x+y-6-0 ,求的最大值。 4(x+1)2 42 解I) 4-8档且仅当4y= x 1 x) x π 。 ) “x 4 1 ) x 所以 y (II)(法一)因为5xy+*=1; 所以4-(5x+y)4y< 2 1 (法二)因为5xy+=1,所以-1- 一,0~1, 5y 当且仅当-4y #5# 5v 1, 2 1 4 70 2 (法三)设k-x+y,则x-k-y, 则$(k-)+-1,即4-5k+1=$ 8 8 。1 10 (II)因为x++-1,所以1--+y>2x,当且仅当x=y时等号成立, (2+1)2(2+1)21+: 。 则一 2x2 =(1-):(1-)3-(1+)- (:+12 1士2' -的最小值为3+22(15 22 独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 分) (IV)(法-)因为x>0,v>0,所以x+1>0,v+2>0, 6v-2} 所以xy- 2 (+2)2-10(y+2)+16 16 +2+ 十2 +-10 16 当且仅当y十2-- (法二:轮换对称法) 令=2,可得x\v+2+-6-2+2+2x-6-$ 解得x=-3(舍)或x-1 故v=2x=2,则x\v的最大值为2×1-2(20分) 变式训练 (2026改编,10分)已知0:v>0 2y xxy 2x219 ②若 x y ,求x十y的最大值. 解:①(法一)因为+_3 一1. 2yxoy 所以43- __二 2x 2. 即x+4-2(3-x),即(x+2)}-6+2xy 22 (x+)2 -6+2<6+- 4 2(5分) 独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 -1得x2+4y2-6-2xy, 2xx 即$+(m-x)=6-$(m-$),即-m+m}-6=$$ 易知上述关于x的方程有正实数解 所以4=m-4(n^->0,解得0<m<2$ 所以x+2v的最大值为22(5分) 所以+1--2-20 x) x) xy 所以[9-2(x+yl(x+y)=-2(x+y)+9x+=4 2 4. 基本不等式与其他专题的综合考查 (7)(2026汇编,12分)如图,在平行四边形ABCD中,点E是CD的中点,点F为 线段BD上的一动点。 D C 42十1 (I+-m+,求的最大值. m十n DC-AB 解:(I)设BD与AE交于点O,由平行四边形的性质得AB一2DE, 由AB//DC,得△AOB△EOD. : 3 'OE ED -#0 . 2 . (2分) 独家授权侵权必究