第1课 集合-【提分宝典】2026年新高考数学一轮全考点普查与练习

多学科网书城■ 品神书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第1课集合 普查与练习1 集合 五组题学透 1,集合的含义与表示 (12026汇编，20分)根据题目条件完成下列各题. ①已知集合M=1,2,3},N={4,5},A={x+r∈M,y∈W,则A中元素的 个数为() A.3B.4C.5D.6 ②已知集合A={x,y)x2+y2≤3，x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为() A.9B.8C.5D.4 ③已知集合A={-1,1,m},B={aws4 alcol(a2a∈A},若A∩B中有两个元素， 则实数m的不同取值个数为( A,0B.1C.2D.3 ④已知集合A={xar2+2x十1=0，a∈R}只有一个元素，则a的取值集合为() A.1}B.{0} C.{-1,0,1}D.0,1} 解析：①因为集合M={1,2,3},N={4,5}.A={x+yrEM,y∈N.所以集 合A={5,6,7.8},所以A中元素的个数为4故选B. 22+y2≤3所表示的平面区域如下： 因为x∈Z,y∈Z,结合图形可知，满足条件的点(c,)有：(00)，(0,1)，(0， -1).(1,0).(-1.0).(1,1).(-1,1).1,-1).(-1,-1).共9个.故 选A. ③因为集合A={-1.1,m} 所以m≠±l,所以B={aws4alco1(a2a∈A}=1,m} 因为A∩B中有两个元素，所以m2=m,解得m=0或m=1(舍去)，所以实数m 的不同取值个数为1故选B ④因为4只有一个元素， 所以方程ac2+2x+1=0只有一个解 当a=0时，方程为2x+1=0,满足题意： 当a≠0时，方程为一元二次方程，令4=4-4a=0,解得a=1,所以a的取值集 合为0,1}，故选D (2(全国乙经典真题，5分)设全集U=1,2,3,4,5},集合M满足CM=1, 3},则() A,2∈MB.3∈M C.4eMD.5庄d 解析：由补集的定义可得M=2,4,5},所以2,4,5∈M,3tM故选A 2.集合间的基本关系 a.判断集合间的关系 (3)2026汇编，15分)判断下列愿目中集合间的关系 ①已知M={lavs4 al col()x2-3x≤03，N=xbllcinaws-4 alcol(ffxx-3)s0j,则 集合M,N之间的关系为() A.MnN=☑B.M=N 独家授权侵权必究 多学科网书城■ 品神书店·知名教辅·正版资源 ■bZ2XXkc0m○ 您身边的互联网+教辅专家 C.N￥M D.M N ②若全集U=R,M={y=ln(1-x},N=xy=1+1},则() A.MSN B.NCM C.NEC M D.CMCN ③已知集合M=xx=m+16),m∈Z,N=xx=ml3),n∈Z,P=xk=ypl6, peZ,则() A.Mi Ni P B.M=NI P C.MI N=P D.N=P￥M 解析：①由x2-3≤0，得xx-3)0,得0s3 .M={x0s3}. x-3<0等价于x(x-3)≤0.x-3≠0，)解得0sx3 N={x0≤3}，∴N￥M故选C 2,M=xy=n(1-x)}={xr<1} N={xy=1在+1}={>-1}， ,CM=xr≥I},,CMCN故选D ③集合M=xx=m+f16),m∈Z) 关于集合WN:当n是偶数时，令n=2m(m∈ZD, 则N=xx=m-13),m∈Z☑ 当n是奇数时，令n=2m+1m∈Z) 则N=xr=2m+113),m∈Z={x=m+16,m∈Z,从而得MN 关于集合P:当p是偶数时.令p=2m(m∈Z). P=xx=m+y16),m∈Z0 当p是奇数时，令p=2m-1(0m∈Z) P=xx=2m-116.m∈Z={xk=m-13,m∈Z},从而得N=P 综上可知，MN=P故选C b.根据集合间的关系求参数的值或范围 (4)2026汇编，20分)根据题日条件完成下列各题. ①已知集合A={一1,2}，B=x=1},若BC4,则实数a的所有可能取值组成 的集合为( A1,f12)B.-1,f12) C.0,1,f12)D.-1,0,f12) ②已知集合A=1<a2,B=x<1},若AcB,则实数a的取值范围是(） A.{aa≥2或a≤-2} B.{ala=0,a≥2或a≤-2} C.{ala>2或a<-2} D.{aa=0,a>2或a<-2} ③设集合A={0,一a},B={1,a-2,2a-2},若4cB,则a=()2023新高 考Ⅱ真题) A.2B.1C.23D.-1 ④已知集合A=a,ba,1少，B={a2,a十b,0},若A=B,则a1o0+b1o1=() A.1B.0C.2D.4 解析：①：B二4，且A={-1,2}的子集有0，{-1}，{2，{-1,2，.当B= ②时.a=0;当B={-1}时，-a=1,即a=-1；当B={2;时.2a=1,即a=12 ；当B={-1,2时，a的值不存在，∴，实数a的所有可能取值组成的集合为-1， 0.f12)故选D. 独家授权侵权必究 多学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 6.2xXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 ②易知B=x-1x1} 当a=0时，A=O,显然ACB 当a>0时，A=xf12a,而AcB.如图1，.f1a2a≤l,解得a≥2 当a<0时，A=x21a,而AcB.如图2.f1a2a2-1,解得a≤-2 综上可知，所求实数a的取值范围为{dla=0,a≥2或a≤-2}·故选B A国BA☐B■ 图1 图2 3由A二B,可得a-2=0或2a-2=0. 当a-2=0时，解得a=2.此时A={0,-2},B={1,0,2},不符合题意： 当2a-2=0时，解得a=1,此时A=0,-1},B=1,-1,0},符合题意， 综上，a=1故选B. 4由已知得4≠0，则ba=0,.b=0,.a2=1,解得a=1或a=-1根据集合中 元素的互异性可知a=1应舍去，因此a=-1,故a100+b101=(-1)100+0101=1.故 选A c,确定有限集的子集或真子集的个数 (5)2026汇编，10分)已知集合A=x中一2x≤0，x∈N},B={xr≤2，x∈Z}. ①集合A∩B的子集个数为() A.1B.2C.4D.6 星 ②满足条件AC二B的集合C的个数为) A,5B.6C.7D.8 解析：易得A=x-2xs0.x∈W={1,2},B={t≤2，x∈Z}={0.1,2,3 4. ①油上可知A∩B=1,2},共有2个元素，集合A∩B的子集个数为22=4故 选C. ②ACCB,∴.集合C的个数为集合0,3,4}的非空子集的个数，即23-1= 7故选C. 3.集合的基本运算 a.集合的交、并、补运算 (62026汇编，34分)完成下列题目中集合的运算. ①已知集合A=1,2,3,4},B={2,3,4,5},则A∩B=()2024天津真 题) A.1,2,3,4}B.{2,3,4} C.2,4}D.1} ②已知集合M={x-3x<1},N=:-1≤r4},则MUN=()2024北京真题， 4分) A.-1≤x<1}B.{x>-3} C.{x-3x<4}D.{a4 ③已知集合U={1,2,3,4,5},A=1,3},B=1,2,4},则CBUA=() (2023天津真题) A.1,3,5}B.1,3} C.{1,2,4}D.1,2,4,5} ④设集合A={-1,0,1},B={1,3,5},C=0,2,4},则(4∩B)UC=() A.0}B.{0,1,3,5} C.0,1,2,4}D.0,2,3,4} ·独家授权侵权必究 多学科网书城■ 品神书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ⑤设集合U=R,集合M={xr<1},N={-1x2},则{xk≥2}=( )(2023全 国乙真题 A.C(MUN)B.NUCM C.C(MnN D.MUCN ⑥已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x∈A},则C(4nB)=()2024全 国甲真题) A.{1,4,9}B.{3,4,9} C.1,2,3}D.2,3,5} ⑦设集合A={xr=3+1,k∈Z},B=xx=3k+2,k∈Z,U为整数集，则C (AUB)=( )2023全国甲真题 A.{x=3k,k∈Z B.{xk=3k-1,k∈Z} C.{x=3k-2,k∈Z} D.☑ 解析：①集合A=1,2,3,4},B=2,3,4,5}, A∩B={2,3,4}.故选B ②MUN=x-3<4}.故选C ③U=1,2,3,4,5},B=1,2.4}. .CB=3.5} 又A=1,3}. CBUA=1,3,5} 故选A 4由A={-1,0,1,B=1,3,5,得A∩B=1} 又，C={0.2,4}.(4∩B)UC={0,1.2.4}.故选C ⑤由题意可得MUN={x2},则CMU)=xr≥2}： CM={xr≥1}.则NUCM=x>-1: M∩N={x-1I},则CM∩WM={xk≤-1或x≥I} CW=xr≤-1或x≥2}，则MUCW={r1或x≥2} 故选A ⑥，A=1.2,3,4,5.9},B={xg∈A} .B=1.4.9,16,25.81 A∩B=1,4,9, .CA4nB={2.3.5} 故选D. 7⑦，整数集Z={xr=3k,k∈Z}U{xt=3k+1,k∈Z}U{xk=3k+2.kEZ}.U =Z.AUB=xk=3k+1,k∈Z}U{xk=3k+2,k∈Z}. .C(4UB={xr=3k,k∈Z}· 故选A b,利用enn图表示集合间的关系及运算 (T江苏连云港一模，5分)若非空且互不相等的集合M,N,P满足M门N=M,N UP=P,则MUP=() A.B.M C.N D.P 解析：M∩N=M,∴McN ,NUP=P,.NcP又集合M,N,P非空且互不相等，∴.作出Vnn图如图所示： 独家授权侵权必究 多学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 由图可知，AMUP=P故选D (8湖南师大附中高三月考，5分)已知全集U=R,N=x bcilnalvs4aco1(0f1&8<2x<1,M=xy=n(一x-1)},则图中阴影部分表示的 集合是() U A,-3×-1}B.{-3<0} C.{x-1≤r<0}D.{x<-3} 解析：易知题图中阴影部分表示的集合为N∩(C4).因为N=x blellnalvs4allcol(18)<2x<1)))={x-3<x0,M={xly In(-x-1)={xk<-13. 所以CM={xr≥-1}.所以N∩(C)={x-1≤x0},故选C. c.根据集合运算的结果求参数的值或范围 (9)2026汇编，25分)根据题目条件完成下列各题. ①已集合A=xbicnawvs41 alcol(f-4红十3)s0,B={x2m-1m+1},且 A∩B=B,则实数m的取值范围为() A.[-1,2)B.[-1,3] C.[2,+)D.【-1,+∞) ②已知集合B={xr≥2}，D={x2x十a>0},且BUD=D,则实数a的取值范围 为() A.(-4,+∞)B.[-4,+∞) C.(-∞，4)D.(-,4 ③设集合A={(,y)2xr十y=1,x,y∈R},集合B={,ya+2y=a,x,y∈R}. 若A∩B=O,则a的值为() A.2B.4 C.2或-2D.-2 ④设集合A={xlas4 alcol(g(x十a)>0},B={xavs4 alcol(x22},若AUB =R,则实数a的取值范围是() A.(3,+∞)B.(-1,+∞) C.[3,+∞)D.[-1,+∞) ⑤设集合A={xx2-4≤0}，B={x2x+a≤0}，且AnB={x-2≤x≤1}，则a=() (全国1经典真题) A.-4B.-2 C.2D.4 解析：①4=x b lc reynais4alco1x-4r+3s0)》={-3<x≤4}，A∩B= B. ∴.B二A.若B=☑，则2m-1≥m+1,解得m≥2 ·独家授权侵权必究 多学科网书城■ 品神书店·知名教辅·正版资源 6.2xXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 若B≠0，则2m-1<m+1,2m-1≥-3，m+1≤4.解得-1≤m<2. 综上，实数m的取值范围为-1，+①).故选D. ②，∵BUD=D.∴.BcD.又，∵D=xblcaivs4 alcol>-a2),B=xt≥2} .-a2<2,解得a>-4,实数a的取值范围为(-4，+D),故选A ③由题可知，集合A,B的元素为有序数对，且都代表的是直线上的点·A∩B =0,∴.两条直线没有公共点，.两条直线平行，∴.4-a2=0,-2a+a2≠0.)解 得a=-2故选D. 4lg(x+aP0即lg(c+aPgl,且函数y=lg在(0，+o)上单调递增 x+a>l.解得x>1-a,∴A=x>1-a}. 由x2≥4，解得x≤-2或x≥2 ∴.B={x≤-2或x≥2} 又AUB=R,1-a≤-2，解得a≥3.故选C ⑤集合A={xr2-4≤0}={x-2≤x≤2}.B={x2x+a≤0}={xk≤-12a},由A ∩B={x-2≤x≤1}，得-12a=1,解得a=-2.故选B 变式训练 (2026原创，5分)设集合A={x∈Naws4 al col(x2)-4≤0}，B={x aws4aco1(2x)+a≤0}，且A∩B={0,1},则a的最大值为( A.-4B.-2C.0D.2 解析：集合A={x∈Nx2-4≤0}={x∈N-2≤x≤2}={0,1,2}.B={x2x+a≤ 0=xbcl(avvs4ancol(xs-12)a))). 由A∩B=0.1}.得1≤-12a<2,解得-4<a≤-2.故选B 4.集合的新定义问题 (10辽宁三模，5分)设全集U=1,2,3,4,5,6},且0的子集可表示由0,1 组成的6位字符串，如：{2,4}表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符 为1，其余字符均为0的6位字符串010100，规定空集表示的字符串为000000对 于任意两个集合A,B,我们定义集合运算A一B={x∈A且x旺B},A*B=(A一 B)U(B-A).若A={2,3,4,5},B=3,5,6},则A*B表示的6位字符串是() A.101010B.011001 C.010101D.000111 解析：A=2,3.4,5},B=3,5,63, .A-B=2,4}.B-A={6} AB=(A-B)UB-A)={2,4,6} ,AB表示的字符串为010101故选C (11)(北京房山区一模，4分)已知U是非空数集，若非空集合A1,A2满足以下三个 条件，则称(41，A2)为集合U的一种真分拆，并规定(41，A2)与(42，A)为集合U 的同一种真分拆 ①A1∩A2=O: ②A1UA2=U: ③4=1,2)中的元素个数不是A,中的元素。 则集合U=1,2,3,4,5,6}的真分拆的种数是( A.5B.6C.10D.15 解析：由题意得集合U=1,2,3,4,5,6}的真分拆有： A1=5},A2={1,2,3.4,6} A1=1,4},A2=2,3,5,6}: A1={3,4},A2={1,2.5.6} A={4,5}.A2={1,2,3.6}: A1={4,6},A2=1,2,3,5},共5种.故选A 独家授权侵权必究 多学科网书城■ 品神书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 5.集合的应用 (12海南经典真题，5分)某中学的学生积极参加体有锻炼，其中有96%的学生喜 欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球 又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( A.62%B.56%C.46%D.42% 解析：设该中学所有学生中只喜欢足球的学生占比为x%,只喜欢游泳的学生占比 为y%,两个项目都喜欢的学生占比为z% 由题意得x+z=60,x+y+z=96,y+z=82,解得x=14,y=36,z=46. 故该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%故选C 随堂普查练1 1.(全国I经典真题，5分)己知集合A={x,y)k,y∈N,y≥x},B={,y) +y=8},则A∩B中元素的个数为() A.2B.3C.4D.6 解析：集合A=仪，y)x,y∈N,y≥x,B=c,yr+y=8},A∩B={x, y)2,x+y=8.x,yeN}=(1,7),(2,6.(3,5),(4.4)}. 4∩B中元素的个数为4故选C 2.(2026改编，5分)已知集合A={as4alco1x2+m+1=0},B= {lavs4 alcol()x2+2xr-a=0},C={laps4 alcol(x)x2+2a+2=0},若三个集合 中至少有一个集合不是空集，则实数a的取值范围是 解析：假设三个集合都是空集，即三个方程均无实根，则有41=a2-4<0,2=4 +4a<0.43=4a2-8<0,解得-2<a<2,a<-1,2)<a<r(2). ,-2<a<-1,∴，当a≤-2或a≥-1时，三个方程中至少有一个方程有实根 即三个集合中至少有一个集合不是空集.故实数a的取值范围为{ala≤-2或a≥ -1}. 3.(广东汕头模拟，5分)已知集合M=xy=nx+6},N=y=2-1},则下列 关系正确的是() A.MSN B.NCM C.N∈MD.MnW=☑ 解析：y=ln+6,x+6>0.x>-6, .,M=xr>-6}. y=2-1>-1..N={y>-1},.WCM.故选B 4.(辽宁模拟，5分)已知集合A={x1≤x≤2}，B=yy=2x十a,x∈A}.若ACB, 则实数a的取值范围为() A,[1,2]B.[-2,-1] C.[-2,2]D.[-1,1] 解析：B=y=2x+a,x∈A},A={x1≤x≤2} .B={2+a≤y≤4+a} 若A二B.则4+a22,2+a≤1，)解得-2≤a≤-1.故选B. 5.(江苏常州模拟，5分)设集合A={xaws4acol:=a2十8，a∈N},B={y as4 alcol=b2+17,b∈N},若AnB=C,则集合C的子集个数为() A.2B.3C.4D.5 独家授权侵权必究 多学科网书城■ 品神书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解析：由A∩B=C可知，集合C是由集合A,B的公共元素构成的集合， 所以需满足a2+8=b2+17.即a2-b2=9,即(a+b)(a-b)=9. 又a,b∈N 所以a+b=9,a-b=1)或a+b=3,a-b=3,)解得a=5.b=4或a=3,b=0, 此时集合C={17,33},有2个元素 所以集合C的子集个数为22=4故选C 6.(2023新高考1真题，5分)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N=xh2-x一6 ≥0}，则MnN=() A.{-2,-1,0,1}B.0,1,2} C.{-2}D.{2到 解析：x2-x-6≥0即x+2)x-3)≥0，解得x≤-2或x≥3 所以N=(-m,-2]U[3,+m). 又M={-2,-1.0,1,2},所以MnN={-2}, 故选C 7.(2023北京真题，4分)已知集合M=xk+2≥0}，N=xk一1<0}，则MnN= () A,-2≤x<1}B.{-2x≤1} C.{xr≥-2}D.{xcl} 解析：M={xk+2≥0}={t≥-2} N={xk-1<0}={x<1}. ∴MnN={x-2≤<l} 故选A 8.(全国乙经典真题，5分)已知集合S={ss=2n+1,n∈Z},T={t=4n十1，n ∈Z},则SnT=() A.B.S C.T D.Z 解析：任取t∈T,则t=4n+1=2×2n+1,其中n∈Z ,S={ss=2n+1,n∈Z}. ∴.t∈S,故TgS,因此SnT=T故选C 9.(全国甲经典真题，5分)设全集U={-2,一1,0,1,2,3}，集合A={-1, 2},B={xr2-4r+3=0},则C(AUB)=() A,{1,3}B.{0,3} C.{-2,1}D.{-2,0月 解析：由x2-4r+3=(c-3x-1)=0.解得x=1或x=3..B=1,3} 又集合A={-1,2},∴.由并集的定义可得AUB={-1.1,2,3} 又全集U={-2,-1,0,1,2,3},∴.由补集的定义可得C(4UB)={-2,0}.故 选D. 本题也可利用公式C(AUB)=(CA)n(CB)求解，即先求C4和CB,再求C4 和CB的交集 10,(江苏淮安模拟，5分)已知M,N均为R的子集，且(CW)nM=O,则MUN =() A.NB.MC.☑D.R 解析：结合Ven图可知，当M仁W时，(CRW)nM=☑，故MUW=N故选A ◆独家授权侵权必究 多学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 R N 11.(全国模拟，5分)设函数fx)=n(e一x),集合A={y=x)},B=y=fx)}, 则下图中的阴影部分表示的集合为( B A,[-e,l] B.(-e,) C.(-o,-e]U(1,e) D.(-∞，-e)U(I,e) 解析：函数x)=ln(e-xr2).集合A=xy=x}={xe-x2>0}={d-exr<e}. B=y=x)}=by≤1}，A∩B=(-e.1].AUB=(-m,e)..图中的阴影 部分表示的集合为CAu(AnB)=(-m,-e]U(1,e).故选C 12.(江苏盐城月考，10分)已知集合A={x0≤x≤2}，B=xa≤x≤3-2a}. (I)若rc)avs4 alco.1(CR4)UB=R,求实数a的取值范围； (2)若A∩B≠B求实数a的取值范围 解：(1)因为A=x0≤x≤2}， 所以CR4=r<0或x>2},(1分) 又B={xa≤x≤3-2a}且(CR4)UB=R 所以3-2a2a,a≤0,3-2a22,(3分) 解得a≤0.所以实数a的取值范围是(-m,0].(5分) (2)若A∩B=B,则BCA 当B=☑时，3-2a<a,解得a>1,此时满足B二A.(7分) 当B≠⑦时，3-2a≥a,即a≤1 要使Bc4,则a20,3-2as2,)解得12≤a≤1 综上可知，当A∩B=B时，a≥12.(9分) 所以当A∩B≠B时，实数a的取值范围是(-m,12).(10分) 13.(北京西城区期中，5分)己知集合M=x∈NI1≤x≤15}，集合A1,A2,A3满 足： ①每个集合都恰有5个元素： ②A1UA2UA3=M 集合A,中元素的最大值与最小值之和称为集合A:的特征数，记为X(i=1,2,3), 则X:十X2+X3的最大值与最小值的和为 解析：由集合M={1,2,3,,15},有15个元素.集合A1,A2,A3中，每个 集合有5个元素.且A1UA2UA3=M,可知集合A1,A2,A3中没有重复元素.又 1是集合M中数值最小的元素，15是集合M中数值最大的元素，所以在A,的特 征数组成中，必有1和15不妨令1∈41,15E41若X1+X2+X3最大，则在集合 41中应首先放置数值较小的元素，所以当A1={1,2,3,4,15},42=5,6,7 独家授权侵权必究 多学科网书城■ 品神书店·知名教辅·正版资源 6.2xXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 8.14},A3=9,10,11,12.13}时.X1+X2+X3有最大值为57： 若X:+X2+X3最小，则在集合A,中应首先放置数值较大的元素，所以当A1={1 12,13,14,15},A2=2.8,9,10,11},43=3,4.5.6,7}时，X1+X2+ X3有最小值为39，所以X1+X2+X3的最大值与最小值的和为57+39=96 14.(重庆南开中学月考，5分)某学校职工周一、周二、周三开车上班的人数分别 是8,10,14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开 车上班的职工人数至多是() A.8B.7C.6D.5 解析：设周三、周二、周一开车上班的职工组成的集合分别为A,B,C,集合A, B.C中元素个数分别为风4)，B),(C). 则n(4)=14,nB)=10,n(C)=8,m(4UBUC)=20. 因为nAUBUC)=A)+n(B)+(C)-A∩B)-(A∩C)-mB∩C)+(4∩B∩C), 且A∩B)≥A∩B∩C),(A∩C)≥(40BnO),nB∩C)≥n(A∩B∩C. 所以14+10+8-20+A∩B∩C≥3A∩B∩C).即mA∩B∩C9≤14+10+8- 202=6.故选C AOB B AnBOC BOC AnC ◆独家授权侵权必究