精品解析：江苏省南京市玄武区科利华中学2024-2025学年下学期九年级期中考试数学试卷

2024-2025学年度第二学期初三年级期中考试 数学 （满分120分 考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 1. 下列四个数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个水分子的质量大约为克，一滴水的质量大约为0.05克，则一滴水中水分子的个数大约是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 小华拿着一块正方形木板在阳光下做投影验，这块正方形木板在地面上形成的投影不可能是（ ） A. 等腰梯形 B. 矩形 C. 平行四边形 D. 线段 4. 四个半径为5的等圆与直线的位置关系如图所示，若某个圆上的点到直线的最大距离为8，则这个圆可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知三个实数a，b，c满足，则下列结论成立的是（　　　） A. B. C. D. 6. 如图，是半圆O的直径，点 C（不与点 O 重合）在上．过点 C 作 交半圆O 于点 D，连接，，．过点 C 作 于点 E．设，，则图中长度一定等于的线段是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 的倒数是_____，16的平方根是_____． 8. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 9. 计算的结果是__________． 10. 分解因式的结果是_____． 11. 设是方程的两个根，且，则m＝______． 12. 若，则_____． 13. 如图，点是反比例函数上一点，⊙与坐标轴的交点分别为、、（是坐标原点）．若点的坐标为，点B的坐标为，则______． 14. 如图，是的外接圆，是的切线，且，直线交于点．若，则______°． 15. 对于给定实数，记是三数，，中最小的数，则的最大值是_____． 16. 如图，和都是等腰三角形，底边，在同一直线上，的顶点恰为边的中点，的延长线交于点G，当时，则_____．（用含有的代数式表示） 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2） 18. （1）解方程 （2）解不等式组 19. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下． 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分． （2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． （3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 20. 为了切实帮助家长解决在学生教育上的困惑，学校举办了一场家庭教育沙龙并邀请了部分家长参加活动．在场地安排了9把椅子（每个方格代表一把椅子，横为排，竖为列）按图示方式摆放，其中圆点表示已经有家长入座的椅子． （1）如图① ，已经有两位家长入座，又有一位家长随机入座，则这三把椅子刚好在同一直线上的概率为______； （2）如图② ，已经有四位家长入座四个位置，又有甲、乙两位家长随机入座，已知甲坐第一排，乙坐第二排，用树状图或列表法求甲，乙两人刚好坐在同一列上的概率． 21. 如图，在ABCD中，点E、F在对角线BD上，BE＝DF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若BD平分∠ABC，求证：四边形AECF是菱形． 22. 已知一次函数的图像经过点 ． （1）求一次函数的表达式； （2）若点、在一次函数的图像上，，求的取值范围； （3）过原点的直线恰好把的面积分成相等的两部分，直接写出这条直线对应的函数表达式． 23. 某种落地灯如图1所示，立杆垂直于地面，高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度，支杆与悬杆之间的夹角为．将支杆绕点顺时针旋转，同时调节的长（如图2），此时测得灯泡悬挂点到地面的距离为，求的长．（结果精确到，参考数据：，，） 24. 在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”． （1）如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． （2）如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是锐角（保留作图痕迹，不写作法）． 25. 已知二次函数． （1）二次函数图象的对称轴是直线__________； （2）当时，y的最大值与最小值的差为9，求该二次函数的表达式； （3）若，对于二次函数图象上的两点，当时，均满足，请结合函数图象，直接写出t的取值范围． 26. 已知的半径为是其内接三角形，． （1）如图1，求； （2）如图2，弦，连接分别交于点． ①求证：； ②若点为的中点，求的长． 27. 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． （1）如图1，当时，与之间的位置关系是_____，数量关系是_____． （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为． ①求与的函数表达式，并求出的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期初三年级期中考试 数学 （满分120分 考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 1. 下列四个数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，有理数的乘方，求一个数的绝对值等，正确化简各数是解题的关键．分别化简各数进而即可求解． 【详解】解：A．，不是负数，不符合题意； B．，不是负数，不符合题意； C．，不是负数，不符合题意； D．，是负数，符合题意． 故选：D． 2. 一个水分子的质量大约为克，一滴水的质量大约为0.05克，则一滴水中水分子的个数大约是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了负整数幂运算，科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：． ∴一滴水中水分子的个数大约是个． 故选：A． 3. 小华拿着一块正方形木板在阳光下做投影验，这块正方形木板在地面上形成的投影不可能是（ ） A. 等腰梯形 B. 矩形 C. 平行四边形 D. 线段 【答案】A 【解析】 【分析】可确定正方形木板与地面平行且与光线垂直时所成的投影为矩形；当正方形木板与光线方向平行且与地面垂直时所成的投影为一条线段；除以上两种情况正方形在地面上所形成的投影均为平行四边形，所以正方形木板在地面上形成的投影不可能是梯形． 考查了平行投影的知识，太阳光线是平行的，那么对边平行的图形得到的投影依旧平行． 【详解】解：将正方形木板立起与地面垂直放置时，形成的影子为线段； 将正方形木板与地面平行放置时，形成的影子为矩形； 将正方形木板倾斜放置形成的影子为平行四边形； 由物体同一时刻物高与影长成比例，且长方形对边相等，梯形两底不相等，得到投影不可能是等腰梯形． 故选：A． 4. 四个半径为5的等圆与直线的位置关系如图所示，若某个圆上的点到直线的最大距离为8，则这个圆可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，解此题的关键是找出这个圆．根据圆与直线相交求解即可． 【详解】解：、、、是四个半径为5的等圆，某个圆上的点到直线l的最大距离为8， ∴直线与这个圆相交且不经过圆心，且与圆有两个交点， 某个圆上的点到直线l的最大距离为8是， 故选：C． 5. 已知三个实数a，b，c满足，则下列结论成立的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可设，由，，即可推出该二次函数图象经过点(1，0)，(-1，t)(t>0)，且其对称轴在x轴正半轴．即可大致画出其图象，再利用其性质即可选择． 【详解】设， ∵， ∴该二次函数对称轴， ∵， ∴对于该二次函数x=1时，y=0． ∵， ∴对于该二次函数x=-1时，y>0． 综上可知，该二次函数图象经过点(1，0)，(-1，t)(t>0)，且其对称轴在x轴正半轴． ∴该二次函数图象开口向上，与x轴有1个或2个交点，如图． ∴，，即． 故选A． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质．由题意确定二次函数经过的点和其对称轴的特点是解答本题的关键． 6. 如图，是半圆O的直径，点 C（不与点 O 重合）在上．过点 C 作 交半圆O 于点 D，连接，，．过点 C 作 于点 E．设，，则图中长度一定等于的线段是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解题的关键在于熟练掌握相似三角形的判定和性质．利用圆周角定理证明，得到，进而得到，，再证明，利用相似三角形性质即可解题． 【详解】解：是半圆O的直径， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 的倒数是_____，16的平方根是_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题考查了倒数的性质和平方根，根据倒数的定义和平方根的定义进行解答是解决问题的关键． 【详解】的倒数是，16的平方根是． 故答案为：，． 8. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是理解二次根式有意义，即被开方数大于或等于0． 9. 计算的结果是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查二次根式的减法法则，分母有理化，掌握分母有理化的方法，合并同类二次根式的法则是解此题的关键． 首先将分母化简相减，然后利用分母有理化的方法求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 10. 分解因式的结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 11. 设是方程的两个根，且，则m＝______． 【答案】2 【解析】 【分析】由根与系数的关系可得，结合可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， ∵， ∴． 故答案为2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，． 12. 若，则_____． 【答案】5 【解析】 【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法的运算法则求解． 本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，解答本题的关键是掌握幂的乘方和同底数幂的乘法的运算法则． 【详解】解：将等式两边化简，得到， ， ， ． 故答案为：5． 13. 如图，点是反比例函数上一点，⊙与坐标轴的交点分别为、、（是坐标原点）．若点的坐标为，点B的坐标为，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据90°的圆周角所对的弦是直径,得到AB是⊙P的直径,根据两点之间的距离公式,求得AB=5,构造垂径定理,确定点P的坐标,从而确定k值即可． 【详解】∵∠AOB=90°， ∴AB是⊙P的直径, ∵A（4，0），B（0，3）， ∴OA=4，OB=3，AB=5， 连接OP，过点P作PD⊥OA，垂足为D，PE⊥OB，垂足为E， 则OP=，OD=2，OE=， ∴PD==，PE==2， ∴点P（2，）， ∴k=2×=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了圆的垂径定理，圆的基本性质，勾股定理，反比例函数的定义，熟练掌握圆的基本性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键． 14. 如图，是的外接圆，是的切线，且，直线交于点．若，则______°． 【答案】67 【解析】 【分析】根据切线性质和直角三角形的性质可得∠AOC，再根据圆周角定理即可得解． 【详解】解：如图，连接AO， 由切线的性质可得：∠OAE=90°， ∴∠AOE=90°-∠E=46°， ∴∠AOC=134°， ∴∠B=134÷2=67°， 故答案为67． 【点睛】本题考查圆切线的性质，熟练掌握圆切线的性质、圆周角定理是解题关键． 15. 对于给定实数，记是三数，，中最小的数，则的最大值是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的图像和性质，求一次函数图像交点坐标，首先根据题意设，，，然后画出图像，分别联立求出交点坐标，然后根据图像求解即可． 【详解】解：如图所示，设，，， ∴联立和得， 解得 ∴； ∴联立和得， 解得 ∴； ∴联立和得， 解得 ∴ ∵是三数，，中最小的数， ∴由图像可得， ∴的最大值在点C处取得，即当时， ∴的最大值是3． 故答案为：3． 16. 如图，和都是等腰三角形，底边，在同一直线上，的顶点恰为边的中点，的延长线交于点G，当时，则_____．（用含有的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，过点B作交于点H，取的中点M，连接，设，，表示出，，然后证明出，得到，，然后证明出，得到，然后证明出，得到，进而等量代换求解即可． 【详解】如图所示，过点B作交于点H，取的中点M，连接 ∵ ∴设， ∴ ∴ ∵的顶点恰为边的中点 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， 又∵点恰为边的中点 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了负整数指数幂，有理数的乘方，零指数幂和化简绝对值，分式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算负整数指数幂，有理数的乘方，零指数幂和化简绝对值，然后计算加减； （2）根据分式的混合运算法则求解即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 18. （1）解方程 （2）解不等式组 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，一元一次不等式组的解法； （1）把方程化为，再化为两个一次方程求解即可； （2）先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可； 【详解】解：（1）， ∴， ∴或， ∴ ， （2）， 由①得：， 由②得：， ∴， ∴该不等式组的解集为． 19. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下． 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分． （2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． （3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 【答案】（1）甲 29 （2）甲 （3）乙队员表现更好 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，统计表，中位数，加权平均数等知识，解题的关键是∶ （1）根据折线统计图的波动判断得分更稳定的球员，根据中位数的定义求解即可； （2）根据平均每场得分以及得分的稳定性求解即可； （3）分别求出甲、乙的综合得分，然后判断即可． 【小问1详解】 解∶从比赛得分统计图可得，甲的得分上下波动幅度小于乙的得分上下波动幅度， ∴得分更稳定的队员是甲， 乙的得分按照从小到大排序为14，20，28，30，32，32，最中间两个数为28，30， ∴中位数为， 故答案为∶乙，29； 【小问2详解】 解∶ 因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定， 所以甲队员表现更好； 【小问3详解】 解∶甲的综合得分为， 乙的综合得分为， ∵， ∴乙队员表现更好． 20. 为了切实帮助家长解决在学生教育上的困惑，学校举办了一场家庭教育沙龙并邀请了部分家长参加活动．在场地安排了9把椅子（每个方格代表一把椅子，横为排，竖为列）按图示方式摆放，其中圆点表示已经有家长入座的椅子． （1）如图① ，已经有两位家长入座，又有一位家长随机入座，则这三把椅子刚好在同一直线上的概率为______； （2）如图② ，已经有四位家长入座四个位置，又有甲、乙两位家长随机入座，已知甲坐第一排，乙坐第二排，用树状图或列表法求甲，乙两人刚好坐在同一列上的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据图形，结合题意，根据概率公式直接求解即可； （2）根据图形，结合题意，列表法求概率即可． 【小问1详解】 解：如图1，共有7个空位置，只有当坐在第2排第2列的那个位置时，符合题意，则这三把椅子刚好在同一直线上的概率为； 【小问2详解】 解：如图： 已经有四位家长入座四个位置，又有甲、乙两位家长随机入座，甲坐第一排，乙坐第二排，列表如下： ， ， ， ， ， ， 共有6种等可能的结果，其中甲，乙两人刚好坐在同一列上共有2种等可能的结果， ∴． 【点睛】本题考查了概率公式求概率，列表法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键． 21. 如图，在ABCD中，点E、F在对角线BD上，BE＝DF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若BD平分∠ABC，求证：四边形AECF是菱形． 【答案】 （1）证明：如图，连接AC交BD于点O． ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AO＝CO，BO＝DO． ∵ BE＝DF， ∴BO－BE＝DO－DF 即OE＝OF． ∵AO＝CO， ∴四边形AECF为平行四边形． （2）∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥BC． ∴∠ADB＝∠DBC． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC． ∴∠ABD＝∠ADB． ∴ AB＝AD． ∴ □ABCD是菱形． ∴AC⊥BD． ∵ 点E、F在对角线BD上， ∴AC⊥EF． ∴□AECF为菱形． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得OA=OC，OB=OD，再证OE=OF，即可得出结论； （2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握菱形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 22. 已知一次函数的图像经过点 ． （1）求一次函数的表达式； （2）若点、在一次函数的图像上，，求的取值范围； （3）过原点的直线恰好把的面积分成相等的两部分，直接写出这条直线对应的函数表达式． 【答案】（1）；（2）；（3）y=x 【解析】 【分析】（1）设一次函数解析式为y=kx+b，然后用待定系数法求解； （2）根据函数的增减性列出关于a的不等式求解； （3）先根据过原点的直线恰好把的面积分成相等的两部分，求出点E坐标，然后利用待定系数法求解． 【详解】解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，把，代入，得 ， ∴， ∴； （2）∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴2a<1-a， ∴； （3）∵过原点的直线恰好把的面积分成相等的两部分， ∴E为线段AB中点， ∵，， ∴Ex=，Ey=， ∴E(-4，3)， 设直线OE的解析式为y=ax， 把E(-4，3)代入得， -4a=3， ∴a=， ∴y=x． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象与性质，中点坐标公式，解一元一次不等式，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键． 23. 某种落地灯如图1所示，立杆垂直于地面，高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度，支杆与悬杆之间的夹角为．将支杆绕点顺时针旋转，同时调节的长（如图2），此时测得灯泡悬挂点到地面的距离为，求的长．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，直角三角形的性质，熟练掌握三角函数的定义，是解题的关键． 过D作于E，过C作于F，过B作于G，在中，根据，得出，从而求出，得出，最后在中，根据角所对的直角边等于斜边的一半，求出最后结果即可． 【详解】过D作于E，过C作于F，过B作于G，如图所示： 由题，，， 在中，， 解得：， ∴， ∴， ∵在中，， ∴． 答：的长约为． 24. 在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”． （1）如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． （2）如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是锐角（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1） ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是点的“关联点”． （2） 如图，即为所求 【解析】 【分析】（1）证，根据“关联点”的定义即可解答． （2）依据题意尺规作图，由（1）我们发现当是直角三角形时，，所以我们需要找到一个点满足D到这个点的距离等于直角三角形时的，这时很容易想到轨迹圆． 本题考查了相似三角形的判断与性质，勾股定理，尺规作图等，熟练掌握相关知识和正确理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作法：①作线段的垂直平分线，交于点O， ②以O为圆心，为半径作图， ③过D作交于点P， ④以D为圆心，为半径画圆，在直线左侧，点A的右侧上取点，连接，则即为所求， 证明：连接，如图， ∵点P在以为直径的圆上运动， ∴， ∵ ∴由（1）知， ∵， ∴， ∴点是点的“关联点”． ∵点C在上且在直线左侧，点A的右侧， ∴是锐角三角形． 25. 已知二次函数． （1）二次函数图象的对称轴是直线__________； （2）当时，y的最大值与最小值的差为9，求该二次函数的表达式； （3）若，对于二次函数图象上的两点，当时，均满足，请结合函数图象，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）2； （2）或； （3）0≤t≤4． 【解析】 【分析】（1）由对称轴是直线x=-，可求解；； （2）分a＞0和a＜0两种情况讨论，分别用含a的式子表示出最大值和最小值，列出关于a的方程，求出a即可； （3）求出x=5时对应的y的值，找到满足条件的t的范围． 【小问1详解】 解：（1）由题意可得：对称轴是直线x=−=2， 故答案为：2； 【小问2详解】 ∵， ∴二次函数的顶点坐标为（2，-4a）， ①当a＞0时，在0≤x≤5中，最大值是当x=5时y的值，即， 最小值是当x=2时y的值，即-4a， ∴5a-（-4a）=9， ∴a=1， ∴该二次函数的解析式为， ②当a＜0时，在0≤x≤5中，最大值是当x=2时y的值，即-4a， 最小值是当x=5时y的值，即， ∴-4a-5a=9， ∴a=-1， ∴该二次函数的表达式为， 综上所述，该二次函数的表达式为或； 【小问3详解】 由（2）知抛物线的对称轴为x=2， 当x=5时，， ∴y1≥5a， 由抛物线的对称性知x=-1时，y=5a， 又∵a＜0， ∴-1≤t-1，t+1≤5， ∴0≤t≤4． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要会求抛物线与x轴的交点坐标，熟记抛物线的对称轴的公式，增减性等基本性质． 26. 已知的半径为是其内接三角形，． （1）如图1，求； （2）如图2，弦，连接分别交于点． ①求证：； ②若点为的中点，求的长． 【答案】（1）； （2） ①证明：连接并延长交于点，连接， 在中，， ， ∴， 同理可证，， ∴， 则， ， 即． ②或． 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于点，连接，由直径所对的圆周角等于可得出，即可得出 ，再根据同弧所对的圆周角相等可得出，进而可得出． （2）①连接并延长交于点，连接，由勾股定理得出，进而可得出，由题意可得出，进而可得出，根据同弧所对的圆周角相等可得出，进而可证明． ②分两种情况：当点与点重合时，由垂径定理可知，由（1）可知，进而可得出．当点与点不重合时，作，截取，连接．证明，由全等三角形的性质以及等量代换可得出，由等边对等角可得出，设，则，得出，再由进而可求出． 【小问1详解】 解：在图①中，连接并延长交于点，连接， 是直径， ． 由题， 是所对的圆周角， ， 【小问2详解】 ①略 ②当点与点重合时，如下图，此时为直径， 于点． 由， 可得． 当点与点不重合时， 如下图，作，截取，连接． ， ， ． 由① ， 又， ， 又， ， 又 ， ． 设，则，，，． ， ∴， 由（1）知， 设，则，， ∵， ∴， ∵点为的中点， ． 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、直径所对的圆周角为直角、解直角三角形、圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质和直角三角形的性质，解题的关键是熟练解直角三角形和圆的性质． 27. 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． （1）如图1，当时，与之间的位置关系是_____，数量关系是_____． （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为． ①求与的函数表达式，并求出的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 【答案】（1），； （2） ，； 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，，则， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）①y与x的函数表达式为，②或 【解析】 【分析】（1）由 ，证明，即可得出，； （2）由已知得出，即可得出，； （3）①由已知得出四边形是正方形，由勾股定理即可得出 ，数形结合即可求解； ②过D作于H，则是等腰直角三角形，由勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， 在和中， ∴， ∴，， ∴，即， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①连接交于O，由（1）知，，， ∴， ∴且，， ∴， ∵点F与点C关于对称， ∴垂直平分， ∴，， ∵C ， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴y与x的函数表达式为， 由， ∴其最小值为；  ②过D作于H，则是等腰直角三角形， ∴， ∴， 连接，由直角三角形性质得， ∴， ∴， ∵，， ∴， 则， ∵， ∴， 解得或， ∴或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和相似三角形的综合应用，熟记全等三角形的判定与性质和相似三角形判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $