精品解析：河北省衡水市第二中学2024-2025学年高二下学期第二次调研考试数学试题

衡水市第二中学2024-2025学年度下学期高二年级第二次调研考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设f(x)是可导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 1 2. 已知4个不全相等的正整数的平均数与中位数都是2，则这组数据的极差为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 向高为的容器中注水，且任意相等的时间间隔内所注入的水体积相等，若容器内水面的高度与注水时间的函数关系的图象如图所示，则该容器的形状可能是（ ） A. B. C. D. 4. 若将整个样本空间想象成一个正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积，则如图所示的涂色部分的面积表示（ ） A. 事件发生的概率 B. 事件发生的概率 C. 事件不发生条件下事件发生的概率 D. 事件同时发生的概率 5. 秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为，但统计分析结果显示患病率为，医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为（ ） A B. C. D. 6. 已知，随机变量，若，则的值为（ ） A. 81 B. 242 C. 243 D. 80 7. 比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义为标准差与均值之比.某地区进行调研考试，共10000名学生参考，测试结果（单位：分）近似服从正态分布，且平均分为57.4，离散系数为0.36，则全体学生成绩的第84百分位数约为（ ） 附：若随机变量服从正态分布. A. 82 B. 78 C. 74 D. 70 8. 某同学在课外阅读时了解到概率统计中的马尔科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式，这两个不等式都可以使人们在随机变量的期望和方差存在但其分布未知的情况下，对事件“”的概率作出上限估计，其中为任意正实数．马尔科夫不等式的形式如下：设为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有，切比雪夫不等式的形式为：，其中是关于和的表达式，且，由于记忆模糊，该同学只能确定的具体形式是下列四个选项中的某一种，且这两个不等式之间相互关联．请你根据以上材料和所学相关知识，确定该形式是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 表示三个随机事件，判断下列选项正确的是（ ） A. 已知是事件与事件相互独立的充要条件 B. 已知，则 C. 已知是事件与事件互斥的充要条件 D. 已知，则 10. 一组样本数据．其中，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为，分布如图所示，且，则（ ） A. 样本负相关 B. C. D. 处理后的决定系数变大 11. 某人在次射击中击中目标的次数为，，其中，，击中奇数次为事件，则（ ） A. 若，，则取最大值时 B. 当时，取得最小值 C. 当时，n为奇数时，随着的增大而增大 D. 当时，n为偶数时，随着增大而增大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 13. 盒子里装有大小相同1个红球和1个白球，每次从中有放回取1个球，连续取2次，已知有一次取到红球，则两次都是红球的概率是_______． 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙、丙的概率均为，乙传给甲、丙的概率分别为、；丙传给甲、乙的概率分别为、．则次传球后球在甲手中的概率______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 随机选取变量和变量的5对观测数据，选取的第对观测数据记为，其数值对应如下表所示： 编号i 1 2 3 4 5 9 8 7 6 5 75 95 110 135 150 参考数据：，，． 假设变量关于的一元线性回归模型为． （1）求关于的经验回归方程； （2）设为时该回归模型的残差，求、、、、的方差． 参考公式：， 16. 一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）. （1）设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望； （2）实验结果如下： 对照组小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2 实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5 （i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表： 对照组 实验组 （ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 17. 智利的车厘子在中国市场上非常受欢迎，尤其是在春节前后，成为果品市场的“销售冠军”.进口水果办会对智利车厘子进行了分级，标准主要依据果实直径进行划分，通常分为以下几个等级：0级；直径在24mm到26mm之间；J级：直径在26mm到28mm之间；JJ级：直径在28mm到30mm之间；JJJ级：直径在30mm到32mm之间；JJJJ级：直径在32mm以上.某商贸公司根据长期检测结果，发现每批次进口车厘子的直径服从正态分布并把直径不小于的车厘子称为一等品，其余称为二等品.现从某批次的车厘子中随机抽取100颗（直径位于24mm至34mm之间）作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据长期检测结果，车厘子直径的标准差，用标准差作为的估计值，用样本平均数（按四舍五入取整数）作为的近似值.若从该批次中任取一颗，试估计该颗车厘子为一等品的概率（保留小数点后两位数字）；（①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，） （2）若从样本中直径在和的车厘子中随机抽取3颗，记其中直径在的个数为，求的分布列和数学期望. 18. 某工厂购进一批加工设备，由于该设备自动模式运行不稳定，因此一个工作时段内会有的概率出现自动运行故障，此时需要1名维护人员立刻将设备切换至手动操控模式，并持续人工操作至此工作时段结束，期间该人员无法对其它设备进行维护.工厂在每个工作时段开始时将所有设备调至自动模式，若设备的自动模式出现故障而得不到人员的维护，则该设备将停止运行，且每台设备运行的状态相互独立. （1）若安排1名人员负责维护3台设备，求这3台设备能顺利运行至工作时段结束的概率； （2）设该工厂有甲，乙两个相互独立的车间.甲车间有6台设备和2名维护人员，将6台设备平均分配给2人，每名维护人员只负责维护分配给自己的3台设备；乙车间有7台设备和2名维护人员，7台设备由这2人共同负责维护.若用车间所有设备顺利运行至工作时段结束的概率来衡量生产的稳定性，试比较两个车间稳定性的高低. 19. 小明和小王按照规定在奇妙种植园中采摘水果，水果越采摘越多．奇妙种植园中的每个园区在最初始时会提供有限个橙子和苹果供采摘，且每次采摘均为随机采摘，当每次从种植园中随机采摘一次得到一个水果后，将水果退回种植园，并再添加同种水果个放入种植园． （1）若小王选择的园区初始有5个橙子和15个苹果，小明选择的园区初始有4个橙子和12个苹果，且a=2．分别求小王第2次采到橙子的概率和小明第2次采到橙子的概率，并比较大小； （2）小王和小明经多次采摘试验，大胆猜测：无论初始时橙子和苹果的个数是多少，两人每一次采摘到橙子的概率都相等，请说明猜测正确吗？并说明理由； （3）若初始有m个橙子和n个苹果，求第r次采摘后，累计采摘到的橙子个数的期望．（用m，n，r表示）． （附：若随机变量服从两点分布，且，，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡水市第二中学2024-2025学年度下学期高二年级第二次调研考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设f(x)是可导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义计算即可得解 【详解】由可得， 所以， 故选：A 2. 已知4个不全相等的正整数的平均数与中位数都是2，则这组数据的极差为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数、中位数的知识来确定正确答案. 【详解】设这四个不全相等的正整数为， 不妨设， 则， 所以， 由于是正整数，所以， （若，则，与已知个数不全相等矛盾） 所以极差为. 故选：C 3. 向高为的容器中注水，且任意相等的时间间隔内所注入的水体积相等，若容器内水面的高度与注水时间的函数关系的图象如图所示，则该容器的形状可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象可知在相等时间间隔内容器内水面的高度增加量越来越大，结合容器形状可确定选项. 【详解】根据函数图象可知，随着注水时间的增大，在相等时间间隔内容器内水面的高度的增加量越来越大，即的变化率逐渐增大， 故该容器从下到上宽度应逐渐减小，选项C中容器符合要求. 故选：C. 4. 若将整个样本空间想象成一个的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积，则如图所示的涂色部分的面积表示（ ） A. 事件发生的概率 B. 事件发生的概率 C. 事件不发生条件下事件发生的概率 D. 事件同时发生的概率 【答案】A 【解析】 【分析】理解条件概率和的含义，表示出阴影部分面积，即可得阴影部分面积表示的含义. 【详解】由题意可得，题图所示的涂色部分的面积为： ． . 故选：A. 5. 秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为，但统计分析结果显示患病率为，医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由全概率公式和条件概率公式计算即得. 【详解】设事件为“患有此病”，为“化验结果呈阳性”， 由题意，， 则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为. 由全概率公式，， 代入数值可得： 解得： 故选：C. 6. 已知，随机变量，若，则的值为（ ） A. 81 B. 242 C. 243 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布求出、的值，并求出、的表达式，根据题中条件求出的值，利用赋值法可得出结果. 【详解】因为随机变量，则，， 因为， 则，， 所以，，解得， 令， 所以，， 故. 故选：B. 7. 比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义为标准差与均值之比.某地区进行调研考试，共10000名学生参考，测试结果（单位：分）近似服从正态分布，且平均分为57.4，离散系数为0.36，则全体学生成绩的第84百分位数约为（ ） 附：若随机变量服从正态分布. A. 82 B. 78 C. 74 D. 70 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意计算标准差，从而得到正态分布，再利用正态密度曲线的轴对称性和百分位数的定义进行求解即可. 【详解】根据题意得标准差为，所以测试结果（单位：分）近似服从正态分布， 又因为，且，所以全体学生成绩的第84百分位数约为. 故选：B. 8. 某同学在课外阅读时了解到概率统计中的马尔科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式，这两个不等式都可以使人们在随机变量的期望和方差存在但其分布未知的情况下，对事件“”的概率作出上限估计，其中为任意正实数．马尔科夫不等式的形式如下：设为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有，切比雪夫不等式的形式为：，其中是关于和的表达式，且，由于记忆模糊，该同学只能确定的具体形式是下列四个选项中的某一种，且这两个不等式之间相互关联．请你根据以上材料和所学相关知识，确定该形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题知，再结合和方差的定义计算求解即可. 【详解】由题意得切比雪夫不等式的形式为， 而由题得到， 而由方差的定义得，则， 得到的具体形式为，故D正确. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 表示三个随机事件，判断下列选项正确是（ ） A. 已知是事件与事件相互独立的充要条件 B. 已知，则 C. 已知是事件与事件互斥的充要条件 D. 已知，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用条件概率和相互独立事件的判断方法，即可判断；对于B，由，即可判断；对于C，利用互斥事件的定义和概率公式即可判断；对于D，利用条件概率公式即可判断. 【详解】对于A，因为，得到， 故事件与相互独立，即充分性成立； 若事件与相互独立，则， 于是，即必要性成立，故A正确； 对于B，因为，因表示事件发生而不发生的概率， 而则表示事件都不发生的概率，故B错误； 对于C，因为， 所以，又，故事件与互斥，即充分性成立； 若事件与互斥，则，，即必要性成立，故C正确； 对于D，因，故D正确. 故选：ACD. 10. 一组样本数据．其中，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为，分布如图所示，且，则（ ） A. 样本负相关 B. C. D. 处理后的决定系数变大 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用回归方程判断A；利用样本中心点计算判断B；利用图象的波动性判断CD. 【详解】对于A，经验回归方程中斜率，则样本负相关，A正确； 对于B，原样本均值：，由，得，B正确： 对于C，由图1的数据波动较大可得比更集中，则，C错误； 对于D，由图1的残差平方和较图2的残差平方和大知，处理后拟合效果更好，决定系数变大，D正确． 故选：ABD 11. 某人在次射击中击中目标的次数为，，其中，，击中奇数次为事件，则（ ） A. 若，，则取最大值时 B. 当时，取得最小值 C. 当时，n为奇数时，随着的增大而增大 D. 当时，n为偶数时，随着增大而增大 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据直接写出，然后根据取最大值列式计算即可判断；对于B，根据，直接写出即可判断；对于C，D，由题意把表示出来，然后分析单调性即可. 【详解】对于A，在10次射击中击中目标的次数， 当时对应的概率， 因为取最大值，所以， 即， 即，解得， 因为且，所以，即时概率最大．故A正确， 对于B，， 当时，取得最大值，故B错误； 对于C、D，， ， ， ， 当，n为奇数时，为正项且单调递增的数列， 则随着的增大而增大，故C正确， 当，n为偶数时，，随着的增大而增大， 则随着的增大而减小，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均变化率和瞬时变化率的计算公式求解可得. 【详解】函数在区间上的平均变化率为， 在时的瞬时变化率为， 所以． 故选：C 13. 盒子里装有大小相同的1个红球和1个白球，每次从中有放回取1个球，连续取2次，已知有一次取到红球，则两次都是红球的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】求得两次均为红球的概率， 【详解】由题意可得共有（红，红），（红，白），（白，红），（白，白）共四种情况， 记两次均为红球为事件，有一次为红球为事件， 所以，，所以. 故答案为：. 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙、丙概率均为，乙传给甲、丙的概率分别为、；丙传给甲、乙的概率分别为、．则次传球后球在甲手中的概率______． 【答案】 【解析】 【分析】记事件次传球后球在甲手中，设，利用全概率公式可得出，分析可知，数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式. 【详解】记事件次传球后球在甲手中，设， 由题意可得，， 由全概率公式可得， 即，所以，，且， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，，故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 随机选取变量和变量的5对观测数据，选取的第对观测数据记为，其数值对应如下表所示： 编号i 1 2 3 4 5 9 8 7 6 5 75 95 110 135 150 参考数据：，，． 假设变量关于的一元线性回归模型为． （1）求关于的经验回归方程； （2）设为时该回归模型的残差，求、、、、的方差． 参考公式：， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出变量和变量的平均值，结合参考数据代入最小二乘法公式求出、的值即可求解. （2）计算出、、、、，再利用方差公式求得结果即可. 【小问1详解】 由题意得，， 代入公式得， 则， 所以关于的经验回归方程为. 【小问2详解】 由，计算得该回归模型的残差如下表所示： 而、、、、的平均数为， 则由方差公式得残差的方差为. 16. 一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）. （1）设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望； （2）实验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2 实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5 （i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表： 对照组 实验组 （ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）分布列见解析， （2）（i）；列联表见解析，（ii）能 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望； （2）（i）根据中位数的定义即可求得，从而求得列联表； （ii）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解. 小问1详解】 依题意，的可能取值为， 则，，， 所以的分布列为： 故. 【小问2详解】 （i）依题意，可知这40只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，观察数据可得第20位为，第21位数据为， 所以， 故列联表为： 合计 对照组 6 14 20 实验组 14 6 20 合计 20 20 40 （ii）由（i）可得，， 所以能有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异. 17. 智利的车厘子在中国市场上非常受欢迎，尤其是在春节前后，成为果品市场的“销售冠军”.进口水果办会对智利车厘子进行了分级，标准主要依据果实直径进行划分，通常分为以下几个等级：0级；直径在24mm到26mm之间；J级：直径在26mm到28mm之间；JJ级：直径在28mm到30mm之间；JJJ级：直径在30mm到32mm之间；JJJJ级：直径在32mm以上.某商贸公司根据长期检测结果，发现每批次进口车厘子的直径服从正态分布并把直径不小于的车厘子称为一等品，其余称为二等品.现从某批次的车厘子中随机抽取100颗（直径位于24mm至34mm之间）作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据长期检测结果，车厘子直径的标准差，用标准差作为的估计值，用样本平均数（按四舍五入取整数）作为的近似值.若从该批次中任取一颗，试估计该颗车厘子为一等品的概率（保留小数点后两位数字）；（①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，） （2）若从样本中直径在和的车厘子中随机抽取3颗，记其中直径在的个数为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）先利用频率分布直方图求出样本平均数，再根据正态分布的性质求解即可； （2）根据频率分布直方图可知所取样本个，直径在的车厘子有个，得到的所有可能取值，根据古典概型的概率公式求分布列，再根据分布列和期望公式求期望即可. 【小问1详解】 由题意，估计从该批次的车厘子中随机抽取颗的平均数为： ， 即，，所以， 则， 所以从车厘子中任取一颗，该车厘子为一等品的概率约为. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，所以所取样本个， 直径在的车厘子有个，故可能取的值为，相应的概率为： ，， ，， 随机变量的分布列为： 0 1 2 3 P 所以的数学期望. 18. 某工厂购进一批加工设备，由于该设备自动模式运行不稳定，因此一个工作时段内会有的概率出现自动运行故障，此时需要1名维护人员立刻将设备切换至手动操控模式，并持续人工操作至此工作时段结束，期间该人员无法对其它设备进行维护.工厂在每个工作时段开始时将所有设备调至自动模式，若设备的自动模式出现故障而得不到人员的维护，则该设备将停止运行，且每台设备运行的状态相互独立. （1）若安排1名人员负责维护3台设备，求这3台设备能顺利运行至工作时段结束的概率； （2）设该工厂有甲，乙两个相互独立的车间.甲车间有6台设备和2名维护人员，将6台设备平均分配给2人，每名维护人员只负责维护分配给自己的3台设备；乙车间有7台设备和2名维护人员，7台设备由这2人共同负责维护.若用车间所有设备顺利运行至工作时段结束的概率来衡量生产的稳定性，试比较两个车间稳定性的高低. 【答案】（1）；（2）乙车间生产稳定性更高. 【解析】 【分析】（1）设3台设备自动模式不出故障的台数记为，则，利用二项分布的概率公式求解即可； （2）由（1）知每个小组能保证设备顺利运行至结束概率，进而可得甲车间设备顺利运行至结束的概率；乙车间7台设备自动模式不出故障的台数记为，利用二项分布的概率公式可求解乙车间设备顺利运行至结束的概率；两个结果作比可得结论． 【详解】（1）设3台设备自动模式不出故障的台数记为，则 记“1名人员维护3台设备能顺利运行至工作时段结束”为事件A. 则. （2）甲车间分得的两个小组相互对立，由（1）知每个小组能保证设备顺利运行至结束概率 设“甲车间设备顺利运行至结束”为事件B. 则 乙车间7台设备自动模式不出故障的台数记为 记“乙车间设备顺利运行至结束”为事件C. ∵，∴ 故乙车间生产稳定性更高. 19. 小明和小王按照规定在奇妙种植园中采摘水果，水果越采摘越多．奇妙种植园中的每个园区在最初始时会提供有限个橙子和苹果供采摘，且每次采摘均为随机采摘，当每次从种植园中随机采摘一次得到一个水果后，将水果退回种植园，并再添加同种水果个放入种植园． （1）若小王选择的园区初始有5个橙子和15个苹果，小明选择的园区初始有4个橙子和12个苹果，且a=2．分别求小王第2次采到橙子的概率和小明第2次采到橙子的概率，并比较大小； （2）小王和小明经多次采摘试验，大胆猜测：无论初始时橙子和苹果的个数是多少，两人每一次采摘到橙子的概率都相等，请说明猜测正确吗？并说明理由； （3）若初始有m个橙子和n个苹果，求第r次采摘后，累计采摘到的橙子个数的期望．（用m，n，r表示）． （附：若随机变量服从两点分布，且，，） 【答案】（1）都是 （2）正确，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算两人第 2 次采到橙子的概率，比较即可； （2）证明第次采摘采摘到橙子的概率与第次采摘采摘到橙子的概率相等即可； （3）利用结合公式计算即可证明. 【小问1详解】 记第次采摘到橙子的概率是，则第 次采摘到苹果的概率是， 对于小明， ，由全概率公式可得: 同理，对于小王： 故小王第 2 次采摘到橙子的概率和小明第 2 次采摘到橙子的概率大小相等均为. 【小问2详解】 设第次采摘时有个橙子和个苹果， 则 ；， 由全概率公式可得: 所以，即每一次采摘到橙子的概率都相等. 【小问3详解】 设第次采摘到橙子的个数为..， 则，所以服从两点分布. 记第次采摘后，累计采摘到的橙子个数是， 则 ，所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $