精品解析：浙江省金华市曙光学校2024-2025学年高二下学期第一次阶段性考试数学试题

金华市曙光学校2024－2025学年第二学期第一次阶段性考试 高二年级数学试题卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用公式逐步化简求解即可. 【详解】∵， ． 故选：B． 2. 若函数满足，则（ ） A. B. 4 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的几何意义合理变形即可. 【详解】. 故选：C. 3. 已知随机变量X的分布规律为（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分布列的性质求出，进而可得出答案. 【详解】因为随机变量X的分布规律为（）， 所以，解得， 所以. 故选：A. 4. 的展开式中第四项是（ ） A. -20 B. 20 C. -160 D. 160 【答案】C 【解析】 【分析】根据通项公式计算. 【详解】由题意得展开式的第四项为. 故选：C. 5. 已知随机变量 的分布列如下： 2 3 5 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分布列的性质以及期望的计算公式列式求解即可. 【详解】由分布列可得，解得， 由期望可得，解得. 故选：C. 6. 为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动.高一､高二､高三年级分别有1名､2名､3名同学获一等奖.若将上述获一等奖的6名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（ ） A. 18种 B. 36种 C. 72种 D. 144种 【答案】C 【解析】 【分析】根据相邻问题捆绑法即可由全排列求解. 【详解】由题意可得， 故选:C 7. 某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值和方差的值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层随机抽样的平均数和方差公式即可算出答案. 【详解】， 故选：D 8. 已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造新函数，利用导数判断的单调性，再将不等式变形，借助的单调性即可求解. 【详解】令，则，所以在上单调递增． 又不等式，等价于， 即， 所以，所以，解得． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 分析】由通项公式与赋值法逐项判断即可. 【详解】对于A：令，可得：，故A错误； 对于B：因为的通项公式为， 故，A正确； 对于C：令可得： 故C正确； 对于C：因为， 所以为的展开式中各项系数的和， 即， 故D错误； 故选：BC 10. 在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则（ ） A. B. 事件与事件相互独立 C. D. 事件与事件为互斥事件 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用古典概率公式，结合相互独立事件、互斥事件及概率的基本性质逐项求解判断. 【详解】对于A，由古典概率得，A错误； 对于B，，，，则， 即事件与事件相互独立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，当摸出的两张卡牌编号为2，3时，事件与事件同时发生，D错误． 故选：BC 11. 如图，用种不同的颜色把图中五块区域涂上颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则（ ） A. B. 当时，若同色，共有48种涂法 C 当时，若不同色，共有48种涂法 D. 当时，总的涂色方法有420种 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据同色或者不同色，即可结合选项，根据分步乘法计数原理求解. 【详解】对于A，由于区域,两两相邻，所以至少需要三种及以上的颜色才能保证相邻区域不同色，故A正确， 对于B，当时，此时按照的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法， 涂时，由于同色（D只有一种颜色可选），所以只需要从剩下的颜色或者与同色的两种颜色中选择一种涂， 故共有种涂法，B正确； 对于C，当时，涂有种， 当不同色（D只有一种颜色可选），此时四块区域所用颜色各不相同，涂只能用与同色，此时共有24种涂法，C错误； 对于D，当时，此时按照的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法， 涂时，当同色（D只有一种颜色可选），所以只需要从剩下的两种颜色中或者与同色的颜色中选择一种涂， 故共有种涂法， 当不同色，此时四块区域所用颜色各不相同，共有， 只需要从剩下的颜色或者与同色的两种颜色中选择一种涂此时共有种涂法， 综上可知，总的涂色方法有420种，故D正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，，则的最小值为________________. 【答案】 【解析】 【分析】求导后结合正弦函数的取值分析即可. 【详解】因为，令，可得，而，， 所以，，函数单调递减；，，函数单调递增， 所以时函数最小为值， 所以函数在的最小值分别为. 故答案为：. 13. 在的展开式中，若含x项的系数为80，则实数a的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】， ∴当时，. 故答案为：. 14. 在圆内随机地取一点，则该点坐标满足的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件得到或，结合画出符合要求的可行域，根据圆的性质及直线，的位置关系确定可行域与圆面积的比例，即可求得概率. 【详解】要满足，则①或②， 在平面直角坐标系中分别作出不等式组①、②和圆， 则满足要求的可行域如下图阴影部分所示： 由图知：在圆内随机取在阴影部分， 而直线过圆心，且直线与直线相互垂直， 所以图中阴影部分的面积为圆面积的， 故点满足的概率为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： （1）唱歌节目排在两头，有多少种排法? （2）三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法? （3）唱歌节目、舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法? 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先确定两头唱歌节目的排法，再确定中间节目的排法，最后根据分步乘法计数原理计算总排法； （2）可先计算所有节目全排列的情况，再除以舞蹈节目自身的排列数得到舞蹈节目顺序固定的排法； （3）先将唱歌节目和舞蹈节目分别捆绑，再利用插空法安排小品节目，最后根据分步乘法计数原理计算总排法. 【小问1详解】 先排两头的唱歌节目，个唱歌节目进行全排列，则排法有种. 再排中间的个节目，这个节目进行全排列，排法有种. 所以唱歌节目排在两头的排法共有种. 【小问2详解】 个节目进行全排列，排法有种. 个舞蹈节目进行全排列，排法有种. 因为三个舞蹈节目出场顺序固定，所以不同的排法共有种. 【小问3详解】 将个唱歌节目看成一个整体，内部全排列，排法有种. 将个舞蹈节目看成一个整体，内部全排列，排法有种. 把这两个整体进行全排列，排法有种 此时形成个空，将个小品节目插入这个空中，排法有种. 根据分步乘法计数原理，总排法有种. 16. 某校随机调查了100名同学的日运动时间（分钟），得到如图所示的频率分布直方图. （1）求直方图中的值； （2）求该100名同学的平均日运动时间； （3）为进一步调查运动方式，采用分层抽样从日运动时间在内的同学中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到日运动时间在内的调查人数的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）利用小长方形面积和为建立方程，求解即可. （2）利用平均数公式结合给定条件求解即可. （3）得X可取，再求得相应的概率，列出分布列，然后求解期望即可. 【小问1详解】 因为小长方形面积和为， 所以，解得 【小问2详解】 因为， 所以该100名同学的平均日运动时间为分钟. 【小问3详解】 由题意得日运动时间在内的同学人数分别为， 则可取， 而，， ，， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望为 17. 在的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍. （1）求n的值； （2）求的展开式中的常数项； （3）求展开式中系数绝对值最大的项. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数的关系求解即可. （2）根据二项式展开式的通项公式求得常数项即可. （3）设第项的系数的绝对值最大，列出不等式组，解出即可. 【小问1详解】 依题意，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍， 即，即，解得. 【小问2详解】 二项式展开式的通项公式为， 令，解得，故常数项为. 【小问3详解】 设第项系数的绝对值最大， 则，即，解得且，则， 所以系数的绝对值最大值的项为第7项. 18. 甲、乙两个袋子各装有大小相同的3个红球和2个白球，第一次从甲袋子随机取出一个球放入乙袋子.求： （1）第二次从乙袋子随机取出一个球是红球的概率； （2）在第二次从乙袋子随机取出一个球是红球的条件下，第一次从甲袋子取出的是白球的概率； （3）第二次从乙袋子随机取出两个球，其中白球个数的分布列与期望. 【答案】（1） （2） （3）分布列、期望见解析 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式进行求解即可. （2）设事件B为第1次取出的是白球，事件C为第2次取出的是红球，根据条件概率公式计算即可； （3）分情况从甲中随机取出一红球或白球写出白球个数的概率及分布列，再求出期望即可. 【小问1详解】 设事件表示从甲中随机取出一红球放入乙箱中，事件表示从甲中随机取出一白球放入乙中，设事件表示：从甲中随机取出一球放入乙中，再从乙中随机取出一球，则取出的球是红球， 则有：， 所以. 【小问2详解】 设事件为第一次从甲取出的是白球，事件为第二次从乙随机取出一个球是红球； 则，所以． 【小问3详解】 第二次从乙随机取出两个球，取出的白球的个数为，则， ， ， , 的分布列为 0 1 2 的数学期望. 19. 已知函数 . （1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2）讨论 的单调性； （3）若函数在上的最大值为 0，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）答案见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）求导得，则得到切线斜率，再写出切线方程即可； （2）求导得，再分，和讨论即可； （3）分，和讨论即可. 【小问1详解】 当时，， ，， 所以在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 由题意得的定义域为， ， ①当时，， 所以在上单调递增． ②当时，， 由，解得， 不妨设，则由韦达定理有， 又， ，即， 故在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减． ③当时，， 可得，所以在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 在当时，在上单调递减， 上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减． 【小问3详解】 ①当时，在上单调递增，，矛盾； ②当时，在上单调递增， 所以当时，，矛盾； ③当时，所以在上单调递减，，符合题意， 综上：所求实数的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求导并因式分解得，再合理分类讨论即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 金华市曙光学校2024－2025学年第二学期第一次阶段性考试 高二年级数学试题卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 若函数满足，则（ ） A. B. 4 C. 1 D. 2 3. 已知随机变量X的分布规律为（），则（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中第四项是（ ） A. -20 B. 20 C. -160 D. 160 5. 已知随机变量 的分布列如下： 2 3 5 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 为配合垃圾分类在学校全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动.高一､高二､高三年级分别有1名､2名､3名同学获一等奖.若将上述获一等奖的6名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（ ） A. 18种 B. 36种 C. 72种 D. 144种 7. 某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值和方差的值分别是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则（ ） A. B. 事件与事件相互独立 C. D. 事件与事件为互斥事件 11. 如图，用种不同的颜色把图中五块区域涂上颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则（ ） A. B. 当时，若同色，共有48种涂法 C. 当时，若不同色，共有48种涂法 D. 当时，总涂色方法有420种 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，，则的最小值为________________. 13. 在的展开式中，若含x项的系数为80，则实数a的值为__________. 14. 在圆内随机地取一点，则该点坐标满足的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： （1）唱歌节目排在两头，有多少种排法? （2）三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法? （3）唱歌节目、舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法? 16. 某校随机调查了100名同学的日运动时间（分钟），得到如图所示的频率分布直方图. （1）求直方图中的值； （2）求该100名同学的平均日运动时间； （3）为进一步调查运动方式，采用分层抽样从日运动时间在内的同学中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到日运动时间在内的调查人数的分布列和数学期望. 17. 在的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍. （1）求n的值； （2）求的展开式中的常数项； （3）求展开式中系数绝对值最大的项. 18. 甲、乙两个袋子各装有大小相同的3个红球和2个白球，第一次从甲袋子随机取出一个球放入乙袋子.求： （1）第二次从乙袋子随机取出一个球是红球概率； （2）在第二次从乙袋子随机取出一个球是红球的条件下，第一次从甲袋子取出的是白球的概率； （3）第二次从乙袋子随机取出两个球，其中白球个数的分布列与期望. 19 已知函数 . （1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2）讨论 的单调性； （3）若函数在上的最大值为 0，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$