精品解析：2025年黑龙江省大庆市肇源县第一次摸底考试数学试题

肇源县初四毕业班第一次摸底考试 数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的绝对值是（　　） A 2 B. C. D. 2. 山西是全国电力外送基地，2022年山西省全年外送电量达到1464亿千瓦时，同比增长．数据1464亿千瓦时用科学记数法表示为（ ） A. 千瓦时 B. 千瓦时 C 千瓦时 D. 千瓦时 3. 不透明的袋子中装有2个红球，3个白球，4个黄球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，摸出黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则∠1的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若点都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“＜”连接的结果为（　　） A. B. C. D. 6. 把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（ ） A. B. C D. 7. 在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．小华参加的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 第所用的时间最长 B. 第的平均速度最大 C. 第和第的平均速度相同 D. 前的平均速度大于最后的平均速度 8. 如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，边长为5的正方形，E，F，G，H分别为各边中点，连接，，，，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 10 10. 如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为______． 12. 某青年排球队有12名队员，年龄的情况如下表： 年龄/岁 18 19 20 21 22 人数 3 5 2 1 1 则这12名队员年龄的中位数是______岁． 13. 随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是______． 14. 如图是门锁的局部图和其示意图，已知门把手为，当握住门把手绕点逆时针旋转时，点到达点的位置，则门把手扫过的图形面积为_________（结果保留） 15. 图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为______． 16. 平面直角坐标系中，已知，．直线（k，b为常数，且）经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为______． 17. 将有理数（不等于0和）按以下步骤进行运算： 第一步，求这个数的倒数； 第二步，求第一步所得倒数的相反数； 第三步，求把第二步所得相反数加1． 如，有理数按上述步骤运算，得到的结果是． 现将有理数按上述步骤运算，得到的结果记为，再将按上述步骤运算，得到的结果记为，再将按上述步骤运算，得到的结果记为，如此重复上述过程，……，求的值是___________． 18. 在中，，点是斜边的中点，把绕点顺时针旋转，得，点，点旋转后的对应点分别是点，点，连接，，在旋转的过程中，面积的最大值是__________． 三、解答题（本题共10小题，共66分） 19. 计算： 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 某校为了解学生的数学素养，随机抽取100名学生进行模拟测试（每位学员答5道数学题，其中答对4道及以上为优秀），经过两周训练，对这些学生进行第二次模拟测试，将这两次模拟成绩进行整理、分析，并制作成如下统计表． （1）在扇形统计图中，“答对4道”所在扇形的圆心角为________度． （2）若该校有1200名学生，估计第一次模拟测试达到“优秀”的学生人数． （3）你认为学生的两周训练是否有效？请用相关统计量说明理由． 22. 下面为某中学数学兴趣小组在完成项目“测量合肥渡江战役纪念馆胜利塔高度”之后撰写的项目报告． 项目主题 测量合肥渡江战役纪念馆胜利塔高度 项目背景 合肥渡江战役纪念馆胜利塔作为重要的红色文化地标，其高度是一项关键数据．为了让大众更深入地了解胜利塔，某中学数学兴趣小组开展了测量胜利塔高度的实践活动 测量工具 测角仪 测量示意图 测量过程 1．在距离胜利塔底部一定距离的地面C处放置测角仪，测角仪高度为，测得胜利塔顶部A的仰角为 2．在与C水平距离为的地面E处放置另一测角仪，测角仪高度同样为，测得胜利塔顶部A的仰角为 请根据表中的测量数据，计算胜利塔的高度（结果精确到，参考数据：，） 23. 为培养学生创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． （1）求航空和航海模型的单价； （2）学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 24. 如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，. （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长. 25. 大运河畔有一条笔直的健身步道，小明、小亮分别从相距1500米的M、N两点同时出发，相向而行．两人离M点的距离s关于时间t的函数关系如图中折线所示．小明跑了一段路之后与小亮相距250米，休息1分钟之后与小亮相距400米，小明继续跑了4分钟后与小亮同时到达各自终点． （1）a的值为______； （2）求图中所对应的函数表达式； （3）求小明、小亮相遇的时间． 26. 已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点，点是线段上（不与点重合）的一点． （1）求反比例函数表达式； （2）如图1，过点作轴的垂线l，l与的图像交于点，当线段时，求点的坐标； 27. 如图，是的直径，点C是上的一点，点P是延长线上的一点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，求证：； （3）若于D，，，求的长． 28. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点是轴上方抛物线上一点，射线轴于点，若，且，请直接写出点的坐标． （3）如图2，点是第一象限内一点，连接交轴于点，的延长线交抛物线于点，点在线段上，且，连接，若，求面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 肇源县初四毕业班第一次摸底考试 数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的绝对值是（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是绝对值的含义，直接根据绝对值的定义解答即可． 【详解】解：的绝对值是2， 故选：A． 2. 山西是全国电力外送基地，2022年山西省全年外送电量达到1464亿千瓦时，同比增长．数据1464亿千瓦时用科学记数法表示为（ ） A. 千瓦时 B. 千瓦时 C. 千瓦时 D. 千瓦时 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法表示规则写出即可． 【详解】1464亿， 故选：C． 【点睛】此题考查了科学记数法，解题的关键是熟悉科学记数法规则（）． 3. 不透明的袋子中装有2个红球，3个白球，4个黄球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，摸出黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． 从中任意摸出1个球共有9种等可能结果，其中摸到黄球的有4种结果，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：由题意知，从中任意摸出1个球共有9种等可能结果，其中摸到黄球的有4种结果， 所以从中任意摸出1个球，摸到黄球的概率为； 故选：C． 4. 如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则∠1的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了方向角，平行线的性质，利用平行线的性质直接可得答案． 【详解】解：如图， 由题意得，，， ∴， 故选：B． 5. 若点都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“＜”连接的结果为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：∵，点A，B同象限，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 又∵都在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数的图像和性质，熟记概念是关键． 6. 把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式组求出解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】 解①得， 解②得， 不等式组的解集为，在数轴上表示为： ， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示解集，熟练掌握知识点是解题的关键． 7. 在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．小华参加的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 第所用的时间最长 B. 第的平均速度最大 C. 第和第的平均速度相同 D. 前的平均速度大于最后的平均速度 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查从图像中获取信息，理解题意是解题的关键．根据配速的定义依次进行判断即可． 【详解】解：“配速”是每行进所用的时间，故从图中可知，第所用的时间最长，故选项A不符合题意； 平均速度是指在这一段路程中所用的平均值，是路程时间，由图可知，配速最小，故第所用时间最短，故第的平均速度最大，故选项B不符合题意； 第所用的时间与第所用的时间一致，故第的和第的平均速度相同，故选项C不符合题意； 由于前的时间大于最后的时间，故前的平均速度小于最后的平均速度，故选项D符合题意； 故选D． 8. 如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由同弧所对圆周角相等及直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，直角三角形两锐角互余，掌握它们是关键． 9. 如图，边长为5的正方形，E，F，G，H分别为各边中点，连接，，，，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，利用平行线分线段成比例可得出，，证明得出，则可得出，同理，得出平行四边形是矩形，证明，得出，进而得出，得出矩形是正方形，在中，利用勾股定理求出，然后利用正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵E，F，G，H分别为各边中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， 同理， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，同理， ∴平行四边形是矩形， ∵，，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴矩形是正方形， 在中，， ∴， ∴， ∴正方形的面积为5， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，明确题意，灵活运用相关知识求解是解题的关键． 10. 如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，勾股定理的应用，过点E作于点H，由勾股定理求出，根据等面积法求出，先证明，由相似三角形的性质可得出，即可求出，再证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出，根据，代入可得出一次函数的解析式，最后根据自变量的大小求出对应的函数值． 【详解】解：过点E作于点H，如下图： ∵，，， ∴， ∵是边上的高． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时， ， 当时，． 故选：A． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为______． 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，根据题意可得，则，据此可得答案． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴， ∴， ∴满足题意的x的值可以为0， 故答案为：0（答案不唯一）． 12. 某青年排球队有12名队员，年龄的情况如下表： 年龄/岁 18 19 20 21 22 人数 3 5 2 1 1 则这12名队员年龄的中位数是______岁． 【答案】19 【解析】 【分析】根据中位数的定义，求出第6名队员和第7名队员年龄的平均数即可． 【详解】解：∵， ∴第6名队员和第7名队员年龄均为19岁， ∴这12名队员年龄的中位数是19岁， 故答案为：19． 【点睛】本题主要考查了求中位数，解题的关键是掌握中位数的定义，奇数个数据的中位数是最中间的一个数据，偶数个数据的中位数是最中间两个数据的平均数． 13. 随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x，然后根据题意可列方程进行求解． 【详解】解：设平均增长率为x，由题意得： ， 解得：，（不符合题意，舍去）； 故答案为：． 14. 如图是门锁的局部图和其示意图，已知门把手为，当握住门把手绕点逆时针旋转时，点到达点的位置，则门把手扫过的图形面积为_________（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积的计算，正确理解门把手扫过的图形面积以为半径，圆心角为的扇形的面积是解题的关键．根据扇形的面积公式代入数据计算即可． 【详解】解：根据题意：门把手扫过的图形面积为 故答案为：． 15. 图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，由勾股定理即可建立方程． 【详解】解：设的长度为x尺，则， ∵， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 16. 平面直角坐标系中，已知，．直线（k，b为常数，且）经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的综合问题，根据题意画出图形，求待定系数法求出的解析式，再根据直线经过点，求出，联立两直线求出点D的坐标，再根据靠近原点部分的面积为为等量关系列出关于k的等式，求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意画出图形如下， 设直线的解析式为：， 把，代入， 可得出：， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴直线， 联立两直线方程：， 解得：， ∴ ∵，， ∴，， 根据题意有：， 即， ， 解得：, 故答案为：． 17. 将有理数（不等于0和）按以下步骤进行运算： 第一步，求这个数的倒数； 第二步，求第一步所得倒数的相反数； 第三步，求把第二步所得相反数加1． 如，有理数按上述步骤运算，得到的结果是． 现将有理数按上述步骤运算，得到的结果记为，再将按上述步骤运算，得到的结果记为，再将按上述步骤运算，得到的结果记为，如此重复上述过程，……，求的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的倒数、相反数运算以及数字规律探究，解题关键是依据给定运算步骤求出前几项，找出循环规律，再利用规律进行计算． 根据题意得到每3个数作为一个循环，和为，共有675组，即可求出答案． 【详解】解：∵有理数， ∴的倒数是，的相反数是，，即． ∵， ∴的倒数是，的相反数是，，即． ∵， ∴的倒数是，的相反数是，，即． 由此可知计算结果以，，三个数为一个周期循环． 一个周期的和为， ∵， ∴ ． 故答案为：． 18. 在中，，点是斜边的中点，把绕点顺时针旋转，得，点，点旋转后的对应点分别是点，点，连接，，在旋转的过程中，面积的最大值是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点A作交的延长线于点G，求出，然后由旋转的性质可知点F在以A为圆心的长为半径的圆上运动，则可得如图中G、A、F三点共线时点F到直线的距离最大，求出距离的最大值，然后计算即可． 【详解】解：如图，在中，，，点是斜边的中点， ∴，，， ∴， 过点A作交的延长线于点G， ∴， 又∵在旋转的过程中，点F在以A为圆心的长为半径的圆上运动，， ∴点F到直线的距离的最大值为，（如图，G、A、F三点共线时） ∴面积最大值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了含直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，旋转的性质，圆的基本性质等知识，根据旋转的性质求出点F到直线距离的最大值是解答本题的关键． 三、解答题（本题共10小题，共66分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及零指数幂，化简二次根式，特殊角的三角函数值，熟练掌握知识点，正确计算是解题的关键． 分别计算零指数幂，化简二次根式和代入特殊角的三角函数值进行乘法计算，再进行加减计算． 【详解】解： 原式= ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】先按照分式运算顺序和法则进行化简，代入前将三角函数值代入求出a的值．再代入化简之后的式子求值即可． 【详解】解： ． ∵， 将代入得：． 【点睛】本题是分式的化简求值问题，考查了特殊的三角函数值和分式的混合运算及代入求值，要熟记30°、45°、60°的三角函数值；在分式的化简求值问题中，先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化，化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 21. 某校为了解学生的数学素养，随机抽取100名学生进行模拟测试（每位学员答5道数学题，其中答对4道及以上为优秀），经过两周训练，对这些学生进行第二次模拟测试，将这两次模拟成绩进行整理、分析，并制作成如下统计表． （1）在扇形统计图中，“答对4道”所在扇形的圆心角为________度． （2）若该校有1200名学生，估计第一次模拟测试达到“优秀”的学生人数． （3）你认为学生的两周训练是否有效？请用相关统计量说明理由． 【答案】（1） （2）人 （3）有效，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查从条形图与扇形图中获取信息，理解题意是关键； （1）由乘以“答对4道”的占比即可得到答案； （2）由乘以第一次测试答对4道及以上的占比即可得到答案； （3）由答对3道及以上的百分率的提升可得训练有效． 【小问1详解】 解：在扇形统计图中，“答对4道”所在扇形的圆心角为： ； 【小问2详解】 解：该校有1200名学生，第一次模拟测试达到“优秀”的学生人数有： （人）； 【小问3详解】 解：学生的两周训练有效，理由如下： ∵第一次训练答对3道及以上占， 第二次训练答对3道及以上占． 22. 下面为某中学数学兴趣小组在完成项目“测量合肥渡江战役纪念馆胜利塔高度”之后撰写的项目报告． 项目主题 测量合肥渡江战役纪念馆胜利塔高度 项目背景 合肥渡江战役纪念馆胜利塔作为重要的红色文化地标，其高度是一项关键数据．为了让大众更深入地了解胜利塔，某中学数学兴趣小组开展了测量胜利塔高度的实践活动 测量工具 测角仪 测量示意图 测量过程 1．在距离胜利塔底部一定距离的地面C处放置测角仪，测角仪高度为，测得胜利塔顶部A的仰角为 2．在与C水平距离为的地面E处放置另一测角仪，测角仪高度同样为，测得胜利塔顶部A的仰角为 请根据表中的测量数据，计算胜利塔的高度（结果精确到，参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点D、F分别作的垂线，垂足分别为G、H，则四边形和四边形都是矩形，则可得到，即点G与点H重合，再解和求出的长，最后根据建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D、F分别作的垂线，垂足分别为G、H，则四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴，即点G与点H重合， 设， 在中，，则， 中，，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：胜利塔的高度约为． 23. 为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． （1）求航空和航海模型的单价； （2）学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 【答案】（1）航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元； （2）当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，根据用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的列出方程求解即可； （2）设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个，先根据航空模型数量不少于航海模型数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出y关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元； 【小问2详解】 解：设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个， 由题意得，， 解得， ， ∵， ∴y随m增大而增大， ∴当时，y有最小值，最小值为， 此时有， 答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少． 24. 如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，. （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长. 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到，而，即可求证； （2）解求得，由三角形的中位线定理和平行四边形的性质得到，最后对运用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵是的中点，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴在中，由勾股定理得． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 25. 大运河畔有一条笔直的健身步道，小明、小亮分别从相距1500米的M、N两点同时出发，相向而行．两人离M点的距离s关于时间t的函数关系如图中折线所示．小明跑了一段路之后与小亮相距250米，休息1分钟之后与小亮相距400米，小明继续跑了4分钟后与小亮同时到达各自终点． （1）a的值为______； （2）求图中所对应的函数表达式； （3）求小明、小亮相遇的时间． 【答案】（1）10 （2） （3）分 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，从函数图象获取信息，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）根据题意可知1分钟小亮的路程为150米，则可求出小亮的速度，进而求出小亮到达终点的时间，即a的值； （2）先求出段小明的速度，进而求出B、C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）求出点A的坐标，进而得到段小明的速度，再用总路程除以两人的速度之和即可得到相遇时间． 【小问1详解】 解：由题意得，小亮的速度为米/分， ∴小亮到达其终点的时间为分， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得，段小明速度为米/分， ，， ∴， 设图中所对应的函数表达式为， 把，代入中得：， ∴， ∴图中所对应的函数表达式为； 【小问3详解】 解：由（2）可知， ∴段小明的速度为米/分， 分， ∴小明、小亮相遇的时间为分． 26. 已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点，点是线段上（不与点重合）的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，过点作轴垂线l，l与的图像交于点，当线段时，求点的坐标； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 将代入得，解得， 反比例函数表达式为， 【小问2详解】 解：如图，设，则， 把代入可得， 解得（舍）， ; 27. 如图，是的直径，点C是上的一点，点P是延长线上的一点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，求证：； （3）若于D，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）首先由直径得到，然后利用等边对等角得到，等量代换得到，进而证明即可； （2）利用得到，求出，然后利用直角三角形两锐角互余得到，进而求解即可； （3）设，证明出，得到，然后表示出，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 设， 在中，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 即，整理得， 解得，（舍去）， 故． 【点睛】此题考查了直径的性质，切线的判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 28. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点是轴上方抛物线上一点，射线轴于点，若，且，请直接写出点的坐标． （3）如图2，点是第一象限内一点，连接交轴于点，的延长线交抛物线于点，点在线段上，且，连接，若，求面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点，代入抛物线得到，解方程组即可得到答案； （2）设，，则，则，，从而表示出点的坐标为，代入抛物线解析式，求出的值即可得到答案； （3）求出直线的表达式，利用，得到，求出点的坐标，再根据进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点，， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：， 设，， ， ， ， 点， ， ， 点的坐标为， 点是轴上方抛物线上一点， ， 解得：（舍去）或， ； 【小问3详解】 解：设点，直线的解析式为， ， ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ， 在抛物线中，当时，， ， ， ， 设点的坐标为， ，， ， ， ， ， 解得：， 点的坐标为， ． 【点睛】本题为二次函数综合，主要考查了求二次函数的解析式、二次函数图象和性质、一次函数的应用、锐角三角函数、三角形面积的计算，确定关键点的坐标是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$