模型归类专题(一) 中点之四大模型&模型归类专题(二) 利用角平分线构造等腰三角形或全等三角形解题-【名师学案】2025年中考数学复习之堂堂清分层进阶学习法

模型归类专题（一）“中点”之四大模型 一阶方法技巧突破练 模型二构造中线 模型一构造中位线 税型展示 型展示 情形1：如图，在△ABC中，AB=AC,点D为BC的 如图，在△ABC中，点D是AB的中点. 中点 情形1：已知点E是AC的中点，连接DE 连接AD 情形2：过点D作DE∥BC交AC于点E B D C A一≌ 结论：ADLBC:AD平分∠BAC 情形2：如图，在R1△ABC中，∠C=90°，点D为AB 结论：DE=7BC:△ADED△ABC. 的中点 对点训练 1.如图，在△ABC中，AC=2√2，∠ACB= 120°，D是边AB的中点，E是边BC上一点， 结论：CD=AB. 若DE平分△ABC的周长，则DE的长为 过点训练 4.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点 120 D在CG上，BC=1,CE=3,H是AF的中 点，那么CH的长是 () B.E+1 2 C. D.3 A.2.5 B.5 c D.2 【点拨】过点D作DF∥AC交BC于点F. 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC =4,点N是BC边上一点，点M为AB边上 的动点，点D,E分别为CN,MN的中点，则 DE的最小值是 第4题图 第5题图 5.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,点 M为BC的中点，MN⊥AC于点N,则MN 的长是 E B 第2题图 第3题图 模型三构造垂直平分线 豫型果示 3.如图，△ABC中，D为AC的中点，过点D作 如图，在△ABC中，ED垂直平分BC DE⊥AC交CB的延长线于E,交AB于F, 若BF=3,F是DE的中点，则AF的长是 连接BE 【点拨】过点D作DN∥BC交AB于点N, 结论：BE=CE:ED平分∠BEC:∠EBC=∠C 87中考复习堂堂清·数学 对点训练 9.如图，在△ABC中，∠A=90°，点D是BC的 中点，点E是AB上一点，连接ED,过点D 6.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分 作DF⊥DE交AC于点F,连接EF.若BE AB,分别交AB,BC于D,E两点，若BE=5, =3,CF=25,则EF= CE=3,则AC的长为 () A.2 B.3 C.4 D.5 【点拨】延长ED至G,使DG=ED,连接FG,CG. D C E 二阶方法综合运用 第6题图 第7题图 10.如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6,点D 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6, 是BC的中点，点E在AB上，∠BED= AC=8,点D是AB的中点，过点D作DEI 30°，则DE的长是 AB交BC的延长线于点E,则CE的长为 模型四构造倍长中线或倍长类中线 D 豫型展示 11.如图，△ABC中，D是BC的中点，E是AC 情形1：倍长中线 在△ABC中，AD是BC边的中线. 上一点，连接DE并延长交BA的延长线于 F,若DE=EF,BF=4,则AF的长是 倍长中线 12.如图，在正方形ABCD中，BC=3,延长CD 结论：△ACD≌△EBD. 至点E,使得DE=1,EF⊥CE,EF=CE,连 情形2：倍长类中线 在△ABC中，D是边BC的中点，E是AB上一，点，连 接AF,CF,若G为AF的中点，则CG的长 接DE. 为 倍长类中线 结论：△BDE≌△CDF. 【点拔】连接AC,则AC-3√2，易证得∠ACF 用途：构造全等三角形，证明线段之间的数量关系。 90°，CF=√2CE=4√2，∴.AF=AC+CF= 8.如图，已知AB=12,AD=5, D 5/.CG-AF- 2 BC=10,AB⊥BC于点B,AB ⊥AD于点A,若E是CD的 中点，则AE的长是 【点拨】延长AE交BC于F, 引领学素备考新模式88 模型归类专题（二） 利用角平分线构造等腰三角形或全等三角形解题 一阶方法技巧突破练 如图，OP是∠MON的平分线，PALOP于点P 模型一利用角平分线构造全等三角形 像型果示 延长AP交ON于点B (1)如图，OP是∠MON的平分线，PA⊥OM于点A. 结论：△AOB是等腰三角形 作PB⊥ON于，点B 3.如图，点P是∠AOB的平分线OC上一点， PN⊥OB于点N,点M是线段ON上一点. 结论：PA=PB,△AOP≌△BOP 已知OM=3,ON=5,点D为OA上一点，若 满足PD=PM,则OD的长度为 (2)如图，OP是∠MON的平分线，A是射线OM上 任意一点。 在OV上截取 OB=OA,连接PB M N B 第3题图 第4题图 结论：△AOP≌△BOP 4.如图，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于 本质：“角平分线十截长补短法”构造等腰三角形 DAB=4,合S-号则BD的长是 1.如图，∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一 二阶 方法综合远用 点，CP∥OB,交OA于点C,PD⊥OB,垂足 5.如图，在△ABC中，AD 为D,且PC=4,则PD等于 是∠BAC的平分线，DE ⊥AB于点E,∠B=B C 30°，∠C=45°，BE=√3，则CD的长是 第1题图 第2题图 6.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于 2.如图，四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平 点D,E是BD的中点，若AB=2BC,AD= 分∠ABC,AB=8,BD=13,BC=12,则四边 5,求CE的长. 形ABCD的面积是 模型二利用角平分线构造等腰三角形 豫型展示 (1)利用“角平分线十平行线”构造等腰三角形 已知：∠1=∠2.AC∥OB 结论：△AOC是等腰三角形 B (2)利用“角平分线十垂直角平分线的垂线”构造等腰 三角形 89中考复习堂堂清·数学为等边三角形，DA=EB=FC,.AD=DF=EB =180°-∠FDE-∠E=180°-55°-45°=80. =EF=2,∠DEF=∠DFE=60°..∠DBF= 2.解：(1)BE=BF,理由如下：，DE⊥AB,DF ∠EFB=2∠DEF=30°，∠AFB=∠EFB+ ⊥BC,BD是△ABC的角平分线，∴.DE=DF, ∠BED=∠BFD=90°.又BD=BD, ∠DFE=90°，∠EFB-∠GFC=30°.作CH⊥ .Rt△BDE≌Rt△BDF..BE=BF.(2)12 BG交BG的延长线于点H,.CH=2CF=1, 3.7 4.925.4 解：过点C作CP⊥ FH=√22-1F=3.:∠AFB=∠H=90°， AF/CH.i△AGPn△CGH.∴部-品即 0 OE B OA于P,CQ⊥OB于Q,则∠CPO=∠CQE= 4 FG 解得FG=5,故答案为：30， ∠CQO=90°=∠AOB.∴.四边形CPOQ是矩 13-FG 形.OC平分∠AOB,点C是OC上一点，CP1 OA,CQ⊥OB,∴.PC=QC.又四边形PCQO是矩 形，.矩形PCQO是正方形.：'∠DCE=90°= 真题对练 ∠DCQ+∠ECQ,∠PCQ=90°=∠PCD+ ∠DCQ,∴.∠PCD=∠ECQ.又∠CPD= 6.C 7.40 证明：BD为等 ∠CQE,CP=CQ,.△PCD≌△QCE. △S△D=SAgE,∴.S图边形xE=SW边形WQ 边△ABC的中线，.BD⊥AC,∠1=60°.∴∠3 S么aE=Sg边#WxQ十S△D=SE方指代c)=CQ =30°.，BD=DE,.∠E=∠3=30°..∠2十 (CE·sm∠CEQ)=(4x)'=12. 6.3-1 ∠E=∠1=60°，∴.∠E=∠2=30°..CD=CE. 7.①②③8.①②④9.解：将△ABD绕点 9.C10.1211.√6 A顺时针旋转90°至△ACF,连接EF,则CF 中考新动向 BD=2,∠ACF=∠B,∠FAC=∠BAD,AF= 12.①③④ AD,∠BAC=90°，∠DAE=45°，.∠FAE= 导图内化目标 ∠EAC+∠FAC=∠EAC+∠BAD=∠BAC 等角轴等边相等60° 轴 60°互余 ∠DAE=90°-45°=45°=∠DAE.:AE=AE, 斜边的一半 .△AFE≌△ADE(SAS).∴.FE=DE. 模型归类专题（一）“中点”之四大模型 ∠BAC=90°，AB=AC,.∠B=∠ACB=45°. 1.C2.1.23.94.B5.2.46.C7.3 ∴.∠ECF=∠ECA+∠ACF=∠ECA+∠B= 8号 90°.在R△ECF中，由勾股定理得EF=2√5， .V2丽10.611.专12.2 .DE=25. 模型归类专题（二）利用角平分线构造等腰 三角形或全等三角形解题 1.22.503.3或74.2.55.√2 6. 解：延长BC至点F,使得CF F 第9题图 第10题图 10.解：EF=BE十DF.证明：将△ABE绕点A 逆时针旋转至△ADG的位置，使AB与AD重 =BC,连接DPF,AB=2BC,∴.BF=BA..BD 合.由旋转的性质得∠ADG=∠B,DG=BE,AG 平分∠ABC,∴.∠ABD=∠FBD.∴.△BDF≌ =AE,∠BAE=∠DAG,:∠B+∠ADC= △BDA..DF=DA=5.E为BD的中点， 180°，∴∠ADG+∠ADC=180°..C,D,G三点 CE是△BDF的中位线.CE=DF=, 共线.'∠FAD+∠DAG=∠FAD+∠BAE= 模型归类专题（三）全等三角形之七大模型 ∠BAD-∠EAF=∠BAD,·∠FAG= 1.(1)证明：AD=BE,∴.AB=DE.又AC ∠EAF.AF=AF,∴.△AEF≌2△AGF.∴.EF DF,BC=EF,.△ABC≌△DEF;(2)解： =FG.FG=DG+DF=BE +DF,..EF=BE △ABC≌△DEF,∴.∠A=∠FDE=55.∴.∠F 十DF 26