第18讲 锐角三角函数与解直角三角形-【名师学案】2025年中考数学复习之堂堂清分层进阶学习法

第18讲锐角三角函数与解直角三角形 教材知识梳理 基础对练 模型归类专题（四）解直角三角形的实际 1.(1)3 (2) 应用常见模型 5 43 (3) 1.102.53. 北 解：如图，过点 西十东 7 2.B3.60° 4.解：原式=2× .+4× 南 2 x-6x() =1+2-3=0. 5.C A作AD⊥OB于D.在Rt△AOD中，：∠ADO 解：过点A作AD⊥BC于D,则 =90,∠A0D=30,0A=4km,∴AD=20M =2km.在Rt△ABD中，.'∠ADB=90°，∠B= ∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°，∴.BD=AD ∠ADB=∠ADC=90°.在R1△ADC中，AD= =2km.∴.AB=√2AD=2√2km.即该船航行的 AC·sinC=2Xsin60°=√5，CD=√22-(W5)2 距离（即AB的长）为2√2km.答：该船航行的距 =L.在Rt△ABD中，BD=√AB-AD= 离为2√2km.4.4235.51.46.解：根据题 √W7)2-(W3)2=2.∴.BC=BD+CD=3. 7. 意，得AB=18m,DE=18m,∠A=30°，∠EBC 13.8m8.(65+10)m9.10√7 18 知识梳理 =60,在△AE中，AE=P 知识点一 3 18√3(m)∴.BE=AE-AB=(18√5-18)m.在 Rt△BCE中，CE=BE·tan60°=(183-18)X 知识点二 5=(54-18V5)m,∴.CD=CE-DE=54- 5 22 2 5 185-18≈5m.答：信号塔CD的高度约为5m. 知识点三 7. B 解：过点C作CE⊥AB于点E.由 2.90° a 知识点四 D560 仰角俯角 30° 南偏东 题意，得CD=AE=19m,CE=AD.在Rt△ACE 核心考点解读 中，am28°=5-是≈0.53，解得CE395.85. 10.B11.C12.D13.1614.5115.(30 AB 53)16.10.3 ÷AD≈35.85m,在R1△ABD中，an60°= 中考新动向 =_AB 17. 解：过P作PC⊥AB于C,在 35.85 =5,解得AB≈62.答：二七纪念塔AB 的高度约为62m. 第五单元四边形 第19讲多边形与平行四边形 教材知识梳理 Rt△APC中，∠A=37°，AP=100海里，∴.PC 基础对练 AP·sinA=100×sin37°≈100×0.6=60（海 1.(1)540°(2)12360°(3)1035(4)10 里)，AC=AP·c0s37°=100×0.8=80（海里）. 1440°144°(5)1260°轴92.(1)43 在Rt△PBC中，，∠B=45°，.BC=PC=60 32.5 CBD BCD(2)①②③⑤3.B (海里)..AB=AC+BC=80十60=140（海里）. 4.3 答：B处距离A处有140海里. 知识梳理 导图内化目标 知识点一 BC AC BC 133 AB AB AC 22 ∠B (n-2)×180°360°(m-3)(m-3） 相等 27第18讲锐角三角函数与解直角三角形 8年8考 1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sinA,cosA,anA),知道30°， 标 45°，60°角的三角函数值. 要 2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角. 求 3.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题. 教材知识梳理 回顾必备知识 塞人对练 知X 识梳理 1.【串题练透考点】如图，△ABC中，∠C=90° 知识点一 锐角三角函数的定义 (1)若AC=12,BC=5,则sinA= 如图，在R1△ABC ,cos A= ,tan A= 中，∠C=90°，正孩 sinA=∠A的对边 斜边 ∠A.∠B,∠C (2)若AC:AB=4:5,则sinB= 的对边分别为 ,cos B=,tan B= a.b.c. 余弦 0sA=∠A的年边 奸边 7 (3)若sinA=25,则cosA= ,tan A= 正切tanA= ∠A的对边 ∠A的邻边 2.式子 乞sin45°+√12sin60°-2tan45的值是 ★知识点二 特殊锐角的三角函数值 三角 ( 30 45° 60° 图示 函数 A.25-2 C.23 D.2 3.在△ABC中，若|2cosA-1|+(3-tanB)2 sin a 2 =0,则∠C= 2 60° 4.【人教九下P67练习T1变式】计算： 30 ■ C 2cos60°+4sin60°·tan30°-6cos°45° cos a N B145 dc tan a a 93中考复习堂堂清·数学 5.△ABC中，∠C=90,sinA=青，AC=6cm, ★知识点三直角三角形的边角关系 1.三边关系： 则BC的长是 ( a十序=c2(勾股定理). A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm 2.三角关系： 6.如图，在△ABC中，∠ACB=60°，AB=7, ∠A+∠B=∠C= AC=2,求BC的长 3.边角关系：sinA=cosB= cos A=sin B= tan A= tan B= t知识点四 解直角三角形的应用 7.【人教九下P75例4变式】 如图，无人机在空中A处测 4130 在视线与水平线所成的 60m 得某校旗杆顶部B的仰角 锐角中，视线在水平线 。视线 仰角、 上方的角脚做 为30°，底部C的俯角为 御角水平线 俯角 线 义俯角 视线在水平线下方的角 视线 60°，无人机与旗杆的水平 叫微 距离AD为6m,则该校的 旗杆高约为 (3≈1.73，结果精确 到0.1m) 坡面的铅直高度h和水 平宽度！的比叫做坡度 8.【人教九下P77练习T2变式】如图，大坝的横 城度、 (坡比)，用字母表示： 截面是梯形ABCD,AD∥BC,坝顶宽AD 坡角 坡面与水平钱的夹角a 4m,坝高AE=6m,斜坡AB的坡度i=1: 叫做坡角，i=tana √5，斜坡DC的坡角∠C=45°，那么坝底BC ,(如图) 的长是 如图，A点位于O点的 北偏东 方向，B点 北 ·东 位于O点的 方位角 第8題图 第9题图 60方向，C点位于O点 ·东 9.如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向 的北偏西45°方向（或西 60°B 行驶10km到B处，再从B处向正西方向 北方向) 行驶30km到C处，此时这艘船与A处的 距离是 km. 引领学素备考新模式94 核心考点解读 提升关键能力 核心考点（①直角三角形的边角关系 10.(2021·宜昌)如图，△ABC的顶点是正方 11.(2022·荆州)如图，在平面直角坐标系中， 形网格的格点，则cos∠ABC的值为( 点A,B分别在x轴负半轴和y轴正半轴 B号 C. D.22 上，点C在OB上，OC：BC=1:2,连接 3 AC,过点O作OP∥AB交AC的延长线于 P.若P(1,1),则tan∠OAP的值是() A.Bc D.3 第10题图 第11题图 核心考点②解直角三角形的实际应用 12.(2023·十堰)如图所示，有一天桥高AB为 的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是 m. 5m,BC是通向天桥的斜坡，∠ACB=45°， (参考数据：tan63°≈2) 市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的 底端C延伸到D处，使∠D=30°，则CD的 1102m 长度约为（参考数据：√2≈1.414,3≈ 1.732) D地面 A.1.59m B.2.07m 15.(2023·黄冈)综合实践课上，航模小组用航 C.3.55m D.3.66m 拍无人机进行测高实践.如图，无人机从地 a 面CD的中点A处竖直上升30m到达B 处，测得博雅楼顶部E的俯角为45°，尚美楼 顶部F的俯角为30°，已知博雅楼高度CE为 30°459 D C B 15m.则尚美楼高度DF为 m. 第12题图 第13题图 (结果保留根号) 13.(2022·黄冈)如图，有甲乙两座建筑物，从 0 甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角 a为45°，C点的俯角3为58°，BC为两座建 筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度CD 第15题图 第16题图 为6m,则甲建筑物的高度AB为 m. 16.(2023·仙桃改编)为了防洪需要，某地决定 (sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈ 新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为 1.60,结果保留整数). 梯形ABCD,斜面坡度=3：4是指坡面的 14.(2024·武汉)黄鹤楼是武汉市著名的旅游 铅直高度AF与水平宽度BF的比.已知斜 景点，享有“天下江山第一楼”的美誉.在一 坡CD长度为20m,∠C=18°，求斜坡AB 次综合实践活动中，某数学小组用无人机测 的长约为 m.(结果精确到0.1m, 量黄鹤楼AB的高度，具体过程如下：如图， 参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95， 将无人机垂直上升至距水平地面102m的C tan18°≈0.32) 处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B 95中考复习堂堂清·数学 中多新动向 导图内化目标 17.如图，一艘海警船在中国南海海域 正弦：sinA= 执行任务，它位于灯塔P的北偏东 锐角三 角函数 余孩：C0sA= 37°方向，距离灯塔100海里的A 正切：tanA= 处，它沿正南方向航行一段时间后， sin30°=c0s60°= 到达位于灯塔P的南偏东45°方向 特殊角 锐 的三角 cos30°=sin60°= 上的B处.这时，B处距离A处有 函数值 tan30° ,tan60° 多远？（参考数据：sin37°≈0.60， 角 三边关系：a十 =c2 cos37≈0.80，tan37°≈0.75) 直商三角 三角关系：∠A十 =∠C-90 形的边角 关系 边角关系：sinA=cosB= .cos A= 3> sin B= ,tan A= 解直角三 1.仰角、角问题 角形的实 2.方位角问题 际应用 3.坡度问题 备考满分演练 (见进阶作业本)》 引领学素备考新核式96