第17讲 等腰三角形与直角三角形-【名师学案】2025年中考数学复习之堂堂清分层进阶学习法

(③)互补 3.(1)垂线段 (2)相等 (SAS). 16.证明:;点O是CD的中点,.*.DC 核心考点解读 =CO. 在ABCD中,AD/BC,.D 16. B 17. B 18. C 19. B 20. C 21. B 22. OCE,DAO=E.在△ADO和△ECO中 C 23.C 24.D DAO-E, 中考新动向 D=OCE,.△ADO△ECO(AAS).:. 25.B 26.C DO-CO. 导图内化目标 AD=CE. 17.证明::BF ] AE,DG ]AE,. 180 90 60 60 BM AB 线段 360 90 $$$ G$A= $AFB=9 0{},$ABF+ $FAB=9 0 $ $ 180 相等 相等 相等 相等 180 6 ·:四边形ABCD是正方形,.FAB十DAG 8 垂线段 相等 相等 相 =90{*,AB=AD. '. DAG= ABF.在/\DAG 5 相等 8 互补 180 题设 结论 [ DAG- ABF, 和△ABF中, 第16讲 三角形与全等三角形 DGA- AFB,.△DAG 教材知识梳理 AD-AB, 基础对练 ABF(AAS)..'.AF-DG,BF=AG...FG (2)等腰 2.B 3.B 4.(1)135 1.(1)直角 AG-AF-BF-DG.:$BF-DG=FG. (2)85(3)> 5.(1)48 (2)14 中考新动向 18.18{*19.增大 (3)30*30*(4)1 (5)1/90* (6)86 5{ 6.2 4 5 85 45 7.解::AB//DE,.. 导图内化目标 等腰 B= DEF.(1)选②.:AB=DE,A= 直角 钝角 锐角 大于180{360{* 平行 一半。 D.B= DEF.:.△ABC△DEF(ASA). 相等 相等 第17讲 (2)选③.'BE=CF,.'BC=EF.又AB=DE 等腰三角形与直角三角形 B=DEF,.'△ABC△DEF(SAS).(3)选 教材知识梳理 ④..AC/DF,.ACB=F.又AB=DE, 基础对练 {18{ 72* 36*(2)412 B=DEF,'△ABC△DEF(AAS). 1.(1)3 8. (3)3 证明:.B是AD的中点,.'.AB=BD..BC/ △ABC、△ABE和△BEC 2.(1)50*或65。 (2)80{或20*3.(1)30{ (2)①6 ②120* DE,.ABC=D.在△ABC和△BDE中, 2(3) (AB-BD. 等腰 等边(4)43 4.(1)60*4 23 ABC- D.△ABC△BDE(SAS).: (2)2(3)3 1 5.A BC-DE, 知识梳理 C-E. 知识点一 知识梳理 (2)相等 C (3)平分线 中线 高 (4)一 知识点一 (1)相等 (2)等边 直角 等边 知识点二 知识点二 1.大于 小于 3.(1)180* (2)360” (3)不相 邻 不相邻 知识点三 知识点三 (1)互余(2)一半(3)一半(4)平方和 方a^2十b-c2 (2)互余 (3)平方和 平方 核心考点解读 1:21:4 典例精析 知识点四 【例1】 (1)证明:.AB=AC,B=C. 1.重合 2.(1)相等 相等 (2)相等 相等 FE BC.'{F+ C=90*,{BDE+ B=90$$ 相等 BED..F=BDE. 而 BDE= 核心考点解读 FDA,.F=FDA...AF=AD.. 9. 16 10. B 11. B 12.5 13. 18 14.48 △ADF是等腰三角形.(2)4 【解题依据】(1) 15.证明;四边形ABCD是平行四边形,..AB 有两个角相等的三角形是等腰三角形 (2)有一 =CD,AD=BC, B= D..AF=CE,'AD 角为60{的等腰角形是等边三角形 一AF=BC-CE,即DF=BE.在△ABE与 【例2】30 ### [AB-CD. 解::△DEF △CDF 中, B-D,:△ABE△CDF BE-DF, 25 为等边三角形,DA=EB=FC,.'.AD=DF=EB -180*-FDE-E-180{*-55^*-45^*-8$0*$ -EF-2.DEF=DFE-60*$.' DBF 2.解:(1)BE=BF,理由如下;..DE |AB,DF 1BC,BD是△ABC的角平分线,..DE=DF, BED= BFD = 90{。又 BD =BD$$$$$ DFE-90{*, EFB- GFC-30{}.作$CH1$ *.Rt△BDERt△BDF...BE-BF. (2)12 3.7 4.92 5.4 解:过点C作CP1 F$H= 2-1^= 3.·AFB= H-90{ $$$$ AF/CH..△AGFo△CGH.. AF FG .CHGH ,即 OA于P,CQ1OB于Q,则CPO=CQE= CQO=90{}=AOB.:四边形CPOQ是矩 3-FG 形。:OC平分AOB,点C是OC上一点,CP1 ##.# OA.CQ OB...PC=QC.又四边形PCQO是矩 形,'矩形PCQO是正方形。'DCE三90*} 真题对练 DCQ+ECQ,PCQ=90*=PCD十 DCQ,.PCD=ECQ. 又CPD= 8. 6.C 7.40 证明::BD为等 CQE,CP=CQ.:.△PCD△QCE... △S Pcp=S△aE... S四边形oxE=Sm边形oco+ SF=Sn边形ooco+S△Pco=S正方形Po,=CQ= 边△ABC的中线,.BDAC,1=60”$'3 -30{.BD=DE, E= 3=30”-2+ E- 1-60{.E- 2-30{}CD=CE. 7.①②③ 8.①②④ 9.解:将△ABD绕点 9.C 10.12 11.6 A顺时针旋转90*至ACF,连接EF,则CF 中考新动向 B$D=2,ACF=B,FAC=/BAD,AF$$ 12.①③④ AD, BAC=90{, DAE=45^{: FAE 导图内化目标 EAC+FAC=EAC+BAD=BAC- 等角 轴 等边 相等 60^{}轴 60{} 互余 DAE=90{*-45*-45^*- DAE.·AE=AE$ 斜边的一半 '△AFE△ADE(SAS)...FE=DE..: 模型归类专题(一)“中点”之四大模型 BAC-90$$AB=AC, B= ACB=45 $ 1.C 2.1.2 3.9 4.B 5.2.4 6.C 7. 'ECF=ECA十ACF=ECA+B= 813 90{}.在Rt△ECF中,由勾股定理得EF-2, 39.2 10.611.12. .DE-25. 模型归类专题(二)利用角平分线构造等腰 三角形或全等三角形解题 1.2 2.50 3.3或7 4.2.5 5.v2 #2 6. 解:延长BC至点F,使得CF 第9题图 第10题图 10.解:EF=BE十DF.证明:将△ABE绕点A 逆时针旋转至△ADG的位置,使AB与AD重 =BC.连接DF,'.'AB=2BC..'.BF=BA.·.BD$ 合.由旋转的性质得 ADG= B,DG=BE,AG 平分 ABC,.ABD=FBD..△BDF -AE,BAE= DAG,:B十ADC= △BDA...DF=DA=5..E为BD的中点.. 18 0{$.' ADG+ ADC-180{}:.C.D.G三点 共线。:FAD+DAG= FAD+BAE BAD-EAF- 2 BAD,: FAG= 模型归类专题(三) 全等三角形之七大模型 1.(1)证明:.AD=BE,..AB=DE.又AC EAF..AF=AF,..△AEF△AGF...EF DF,BC=EF,..△ABC△DEF;(2)解:: -FG. .'FG=DG+DF=BE+DF,.$EF-$BE$$$ △ABC△DEF.' A- FDE=55”. F +DF. 26第17讲等腰三角形与直角三角形 8年8考 1.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：探索并掌握等腰三角 课 形的判定 标 要 2.探索等边三角形的性质与判定 3.理解直角三角形的概念，探索并掌提直角三角形的性质与判定 4.探索勾股定理及其逆定理，并能应用它们解决一些简单的实际问题， 教材知识梳理 回顺必备知识 基人础对练 知人识梳理 1.【串题练透考点】【人教八上P79 ★知识点一 等腰三角形 练习T1变式】如图，△ABC中， AD⊥BC于点D且评分BC,BE 图形 平分∠ABC (1)若BC=6,∠BAC=36°，BD= (1)等腰三角形的两腰相等（图中AB=AC): ∠BAD= ，∠ACB= (2)等腰三角形的两个底角 (简称“等 ∠ABE= 边对等角”，图中∠B (2)若AB=5,BC=6,AD= ,△ABC的 (3)等腰三角形的顶角 、底边上的 面积是 性质 、底边上的 重合（简称“三 线合一”)： (3)若∠BAC=36°，图中有 个等腰三角 (4)等腰三角形是轴对称图形，有 条对称 形，分别是 轴： 2.(1)【分类讨论思想】等腰三角形的一个内角 (5)面积：图中S△A= 2BC·AD. 为50°，则它的一个底角的度数是 (2)【T2(1)变式】等腰三角形一个外角是 (1)有两边 的三角形是等腰三角形（定 判定 义)： 100°，则它的顶角的度数是 (2)等角对 3.【串题练透考点】如图，△ABC是等边三角 *知识点二 等边三角形 形，AD⊥BC于点D.延长AB到点E,连接 具有等腰三角形的所有性质， DE.AC=4. 三边 (1)∠CAD的度数为 性质 三个角 ,且每个角都等于 (2)若BD=BE 是轴对称图形，有 条对称轴 ①AE的长为 83 中考复习堂堂清·数学 ②∠ADE的度数为 续表 (3)若F是AC的中点，连接DF,则△AFD L三边都相等的三角形是等边三角形 是」 三角形，△CFD是 2.三个角都相等的三角形是等边三角形 判定 角形； 3.有一个角是 的等腰三角形是等边三 (4)△ABC的面积是 角形 S= 面积 (h=)[h是任意 边（长为a)上的高]. 4.【串题练透考点】如图，在Rt△ABCA ★知识点三 直角三角形 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC 直角三角形的性质 直角三角形的判定 2 cm. ()立角三角形的两个锐角 (1)∠B= .AB= (1)有一个角为90°的三 AC= cm; (2)直角三角形斜边上的中 角形是直角三角形 (定义)： (2)点D是AB的中点，则CD= cm; 线等于斜边的 (2)两个锐角 (3)CELAB,则CE= cm.BE= (3)在直角三角形中，如果 cm. 的三角形是直角三 一个锐角等于30°，那 5.下列选项中，不能使△ABC是直角三角形的 角形： 么它所对的直角边等 (3》勾胶定理的递定理： 是 于斜边的 (4)勾股定理：在直角三角 如果三角形的两边 A.∠A:∠B∠C=1:1:3 形中，两条直角边4，b 的 等于 B.AC:BC:AB=1:1:√2 季 等于斜 第三边的」 C.∠A:∠B:∠C=1:2:3 那么这个三角形是 边c的 即 直角三角形. D.∠A+∠B=∠C 核心考点解读 提并关键能力 核心考点1 等腰三角形（等边三角形）的性质和判定 名师在线 真题对练 等腰三角形的性质和判定可以用来证明角相等、线 6.(2020·仙桃)如图，已知△ABC和 段相等以及线段垂直，这是几何证明中最重要的知识之 △ADE都是等腰三角形，∠BAC= 一，它经常与其他几何知识（如四边形、圆等）综合在一起 ∠DAE=90°，BD,CE交于点F,连 考查 接AF.下列结论：①BD=CE;②BF 典例精析 ⊥CF:③AF平分∠CAD:④∠AFE 例①【人教八上P91复习T3变式】如图，△ABC是等 =45°.其中正确结论的个数有() 腰三角形，AB=AC,点D是AB上一点，过点D作 A.1个 B.2个 DE⊥BC交BC于点E,交CA的延长线于点F, C.3个 D.4个 引领学素备考新模式84 (1)证明：△ADF是等腰三角形； (2)若∠B=60°，BD=4,AD=2,则EC的长为 解答 D 第6题图 第7题图 7.(2020·黄冈)如图，在△ABC中，点 D在边BC上，AB=AD=DC,∠C =35°，则∠BAD= 0 8.(2023·荆州)如图，BD是等边 △ABC的中线，以D为圆心，DB的 长为半径画弧，交BC的延长线于 E,连接DE.求证：CD=CE 【解题依据】(1)问中用到的等腰三角形的判定依据是 :(2)中用到的等 边三角形的判定依据是 核心考点②)直角三角形与勾股定理 典团精析 真题对练 例2(2024·湖北)△DEF为等边三角形，分别延长 9.(2024·黄冈模拟)如图，所有阴影部 FD,DE,EF,到点A,B,C,使DA=EB=FC,连接 分的四边形都是正方形，所有三角形 AB,AC,BC,连接BF并延长交AC于点G.若AD= 都是直角三角形，已知正方形A,B, DF=2,则∠DBF= °，FG= C的面积依次为2,4,3，则正方形D 解答 的面积为 () A.7 B.8C.9 D.10 第9题图 第10题图 10.【新课标·数学文化】(2020·黄冈) 我国古代数学著作《九章算术》中有 这样一个问题：“今有池方一丈，葭 (jiā)生其中央，出水一尺.引葭赴 岸，适与岸齐，问水深几何？”（注： 85中考复习堂堂清·数学 丈、尺是长度单位，1丈=10尺)这 段话翻译成现代汉语，即为：如图， 有一个水池，水面是一个边长为1 丈的正方形，在水池正中央有一根 芦苇，它高出水面1尺，如果把这根 芦苇拉向水池一边的中点，它的顶 端恰好到达池边的水面.则水池里 水的深度是尺。 11.(2022·荆州)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，通过尺规作图得 到的直线MN分别交AB,AC于点 D,E,连接CD,若CE=3AE=1, 则CD= 中多新动向 图内化日标 12.如图，△BAC,△DEB和△AEF都 等边对 是等腰直角三角形，∠BAC= 等腰 性质{三线合 ∠DEB=∠AEF=90°，点E在 三角形 对称图形 △ABC内，BE>AE,连接DF交 判定：等角对 AE于点G,DE交AB于点H,连 三边 ·三个角都是 接CF.给出下面四个结论： 腰三 性质三线合一 等边 ①∠DBA=∠EBC:②∠BHE 三角形 对称图形 三个角都相等的三商形是等边三角形 ∠EGF;③AB=DF;④AD=CF 判定 有一个角是 的等腰三角形 其中所有正确结论的序号是 角三角 两锐角 性质 斜边上的中线等于 直角 30°角的性质 三角形 勾股定理 两锐角互余的三角形是直角三角形 判定 勾股定理逆定理 备考满分演练 (见进阶作业本) 引领学景备考新模式 86