第15讲 线段、角、相交线与平行线-【名师学案】2025年中考数学复习之堂堂清分层进阶学习法

本为28920元.6.解：(1)，篱笆长80m, AB+BC+CD=80..AB=CD=x,BC=y,..x 十x,可得x1=一 =多.设点E(m,m十 +y+x=80..y=80-2x.墙长42m,.0< 80-2.x≤42.解得，19≤x<40,∴.y=80-2.x(19 m,且-号<m<号：EF∥x轴Fm ≤x<40)..矩形面积S=BC·AB=y·x= 1 (80-2.x)x=-2x2+80x;(2)令S=750,则 mm+m小.∴s=EF=m-(分+ 2.x2十80x=750,整理得：x2-40x十375=0，此 3 时，△=6-4ac=(-40)2-4×375=1600 1500=100>0,∴.一元二次方程x2-40.x十375 <0,- 2 <m< 2当m= 2时，S =0有两个不相等的实数根，∴.围成的矩形花雨 面积能为750m2..x=一（-40)±100 2 .x 取得最大值之 解：(1)抛物线的 =25,x2=15..19≤x<40,.x=25;(3)S= O 8X -2x2+80x=-2(x-20)2+800,-2<0, 解析式为y=一x2一2x十3.(2)如图2中，连接 S有最大值.又19≤r<40,∴.当x=20时，S取 得最大值，此时S=800.即当x=20时，S的最 OP.设P(m,-m2-2n+3),S=S△)+Sax 大值为800.7.解：(1)①，火箭第二级的引发 +Sa=2×3X(-m-2m+3)+号×3× 点的高度为3.6km,.抛物线y=a.x2十x和直 线y=- 2x+b均经过点(9,3.6).3.6=81a (-m)+2×1X3=号(-m-3m+4)=- +9,3.6=- 受×9+6.解得a=一b=8.1. (m+)'+-号<0当m=-2时S ②由①知，y=-2x+8.1y= 5x2十x.·y 的值最大，最大值为号此时P(一，). 第四单元三角形 -+x=-(x-》+票最大值y 第15讲线段、角、相交线与平行线 教材知识梳理 km.当y=5-1.35=2.4km时，则-x 基础对练 4 1.2两点确定一条直线2.两点之间，线段最 十x=2.4.解得x1=12,x2=3.又x=9时，y= 短3.C4.25.(1)1680100800(2) 36>2.4当)=2.4km时，则-2c+8.1- ∠BOC∠BOC∠COD,∠AOE(3)=同 角的余角相等6.(1)35°(2)2(3)平分7. 2.4,解得x=11.4,11.4-3=8.4(km).∴.这两 (1)∠6∠2与∠5(2)70110(3)同位 个位置之间的距离8.4km:(2)当水平距离超过 同旁内内错8.D9.(1)<垂线段最短 15km时，火箭第二级的引发点为(9,81a+9), (2)310.(1)=(2)垂直平分线11.D 将(9,81a+9).(15,0)代人y=-2x+b,得81a 12.∥13.(1)70(2)110(3)70(4)110 14.= 2315.(1)①④(2)两个角是 +9= 专×9+6.0=- 号×15+b,解得b 对顶角这两个角相等(3)逆命题(4)两个 角相等 这两个角是同位角假 7.5,a= 27 <a<0.8.解：(1)抛 知识梳理 物线经过原点，∴2m2一m=0,解得m=0或2 知识点一 1.一条直线 一条 线段2.BCBC3.= ,m≠0，.m= 2,抛物线的解析式为y=十 2 xy=r+x=(+)》-顶点P的坐 知识点二 1.360°180°60'60”2.(1)90°(2)相等 3.(1)180° 标为(-2，一4)：(2)由题意得：当k=2时，y (2)相等4.相等角的平分线 知识点三 =2x+b经过点P(-2-1)2×(-)+ 1.相等2.180°4.(1)一条(2)垂线段 5.长度6.(1)距离(2)垂直平分线 6=-=子.∴y=2x+.由2x+= 知识点四 1.(1)一条(2)平行2.(1)相等(2)相等 24 (3)互补3.(1)垂线段(2)相等 (SAS).16.证明：，点O是CD的中点，.DO 核心考点解读 =CO.在□ABCD中，AD∥BC,∴.∠D= 16.B17.B18.C19.B20.C21.B 22. ∠OCE,∠DAO=∠E.在△ADO和△ECO中， C23.C24.D ∠DAO=∠E, 中考新动向 ∠D=∠OCE,∴.△ADO≌△ECO(AAS).· 25.B26.C DO=CO. 导图内化目标 AD=CE.17.证明：BF⊥AE,DG⊥AE, 线段BMAB3601809060 6090 ∠DGA=∠AFB=90°，∠ABF+∠FAB=90°. 180相等相等相等相等180 ∠6 :四边形ABCD是正方形，∴∠FAB十∠DAG ∠5∠8一垂线段相等相等 相 =90°，AB=AD.∴.∠DAG=∠ABF.在△DAG 等∠5相等∠8互补180题设结论 ∠DAG=∠ABF, 第16讲三角形与全等三角形 和△ABF中， ∠DGA=∠AFB,∴.△DAG≌ 教材知识梳理 AD=AB. 基础对练 AABF(AAS)..AF=DG,BF=AG..'FG= 1.(1)直角 (2)等腰2.B3.B4.(1)135 AG-AF=BF-DG..BF-DG=FG. (2)85(3)>> 5.(1)482(2)14 中考新动向 (3)30°30°(4)1(5)1∥90°(6)86 18.18°19.增大5 6.24585457.解：AB∥DE, 导图内化目标 ∠B=∠DEF.(1)选②.：'AB=DE,∠A= 等腰钝角直角 锐角 大于180° 360° ∠D,∠B=∠DEF,'.△ABC≌△DEF(ASA) 平行一半。相等相等 (2)选③.，'BE=CF,∴BC=EF.又AB=DE, 第17讲等腰三角形与直角三角形 ∠B=∠DEF,'.△ABC≌△DEF(SAS).(3)选 教材知识梳理 ④.，AC∥DF,∴.∠ACB=∠F.又AB=DE, 基础对练 ∠B=∠DEF,∴.△ABC≌△DEF(AAS).8. 1.(1)318°72°36°(2)412(3)3 证明：B是AD的中点，.AB=BD.,BC∥ △ABC、△ABE和△BEC2.(1)50°或65 DE,∴.∠ABC=∠D.在△ABC和△BDE中， (2)80°或20°3.(1)30°(2)①6②120°(3) AB=BD, 等腰 等边(4)4√5 4.(1)60°423 ∠ABC=∠D,∴.△ABC≌△BDE(SAS).. (2)2(3)w515.A BC=DE, 知识梳理 ∠C=∠E. 知识点一 知识梳理 (2)相等∠C(3)平分线 中线高 (4)一 知识点一 (1)相等(2)等边 直角等边 知识点二 知识点二 1.大于小于 3.(1)180° (2)360° (3)不相 相等 相等 60°三 3.60° 26 邻不相邻 知识点三 知识点三 (1)互余(2)一半(3)一半(4)平方和平 S△MD∠BAC 三边 顶点 BC BC 方a2+6=c2(2)互余(3)平方和平方 核心考点解读 1:21:4 典例精析 知识点四 【例1】(1)证明：AB=AC,∴.∠B=∠C. 1.重合2.(1)相等 相等(2)相等 相等 FE⊥BC,∴.∠F+∠C=90°，∠BDE+∠B=90 相等 =∠BED.∴.∠F=∠BDE.而∠BDE= 核心考点解读 ∠FDA,.∠F=∠FDA..AF=AD. 9.1610.B11.B12.513.1814.48 △ADF是等腰三角形.(2)4【解题依据】(1) 15.证明：四边形ABCD是平行四边形，.AB 有两个角相等的三角形是等腰三角形(2)有一 =CD,AD=BC,∠B=∠D.:AF=CE,∴AD 角为60°的等腰角形是等边三角形 -AF=BC-CE,即DF=BE.在△ABE与 (AB=CD, 【例2】30 解：：△DEF △CDF中，∠B=∠D,.△ABE≌△CDF BE=DF. 25第四单元三角形 8年4考 第15讲 线段、角、相交线与平行线 1会比较线段的长短，理解线段的和、差以及线段中点的意义， 2.理解角的概念，能比较角的大小，认识度，分、秒等角的度量单位，会进行角的和或差 的计算。 3.理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握它们的性质 4.掌握基本事实：①两点确定一条直线：②两点之间，线段最短：③在同一平面内，过一 点有且只有一条直线与已知直线垂直. 课 5.理解垂线、垂线段的概念，能过一点画已知直线的垂线，理解点到直线的距离的意 标 义，能度量点到直线的距离， 6.理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理与判定定理。 7.识别同位角、内错角、同旁内角. 8.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理与判定定理。 9.理解平行线的概念，探索并证明平行线的判定定理，掌握平行线的性质定理。 10.能用三角板和直尺过直线外一点画这条直线的平行线 11.通过具体实例，了解定义，命题的意义，了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个 互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立， 教材知识梳理 回顾必备知识 基人础对练 左练 知供梳人理 1.在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需 ★知识点一直线、射线、线段 要用 枚钉子，其依据为 1.两个基本事实 直线的基本事实：经过两点有 并 2.【人教七上P130习题T8(1)变 B地 且只有 直线，即两点确定一条直线. A把 式】如图，把弯曲的道路改直可以 线段的基本事实：两点之间， 最短. 缩短路程，其道理用几何知识解 道路改道 2.线段的和与差：如图，点B是线段AC上一点， 释应为 则有AC=AB+ .AB=AC- 3.已知A,B,C为直线AB上的三点，线段AB =9cm,BC=1cm.则A.C两点之间的距离 3.线段的中点：如图，点M是线段AB的中点， 是 则AM BM= AB. A.10 cm B.8 cm M C.10cm或8cm D.以上说法都不对 4.线段AB=8cm,点C是AB的中点，点M是 AC的中点，则AM的长是 cm. 73中考复习堂堂清·教学 5.【串题练透考点】如图，点O在直线BD上， ★知识点三 角及角的平分线 OC⊥OA,OE⊥BD,∠1=28°. 1.角度的换算：1周角= ,1平角= ,1°= ,1'= 2.余角： (1)定义：如果两个角的和等于 ,那么 (1)∠1 这两个角互余： (2)∠1的余角是 ,∠2的余角是 (2)性质：同角（或等角）的余角 :∠BOC的补角是 3.补角： (1)定义：如果两个角的和等于 ,那么 (3)∠1 ∠2，理由是： 这两个角互补： 6.【串题练透考点】如图，∠AOB=70°，点P是 (2)性质：同角（或等角）的补角 射线OC上一点. 4.角的平分线： 定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成 (2022版新 两个相等的角的射线，叫微这个角的 课标新增) 平分线. 的 (1)若OC平分∠AOB,则∠AOC= 平 角的平分线上的点到角两边的距离 分 性质 (2)PD⊥OB于点D,PE⊥OA于点E,若OC 平分∠AOB,PD=2,则PE= 角的内部到角的两边的距离相等的 (3)PD⊥OB于点D,PE⊥OA于点E,若PD 判定 点在 上 =PE,则OC ∠AOB. 7.【串题练透考点】如图，直线 ★知识点三相交线 a,b分别与直线c相交，∠1 1.对顶角的性质：对顶角 =70° 2.邻补角的性质：邻补角的和是 (1)∠1的对顶角是 3.三线八角（如图）： 邻补角是 (2)∠6= °，∠2= (3)∠1与∠3是 角，∠2与∠3是 角，∠2与∠4是 角. (1)同位角有：∠1与∠5，∠2与∠6，∠4与 8.如图，下列说法错误的是 ∠8，∠3与∠7： A.∠3与∠B是同旁内角 (2)内错角有：∠2与∠8，∠3与∠5： B.∠3与∠1是同旁内角 (3)同旁内角有：∠3与∠8，∠2与∠5. C.∠2与∠3是内错角 4.垂线的性质： D.∠1与∠2是同位角 (1)同一平面内，经过一点，有且仅有 直 利领学素备考新模式74 9.【人教七下P5“探究”变式】点P是直线I外一 线与已知直线垂直(2022版新课标新增)： 点，点A,B,D在直线1上，PC⊥直线1于点 (2)连接直线外一点与直线上各点的所有线 C,PA=5,PC=3,PB=4. 段中， 最短 (1)PC PD,理由是 5.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 (2)点P到直线I的距离是 垂线段的 10.【串题练透考点】如图，点P是线段 6.线段的垂直平分线： AB外一点，点D在AB上 (1)性质：线段垂直平分线上的点到线段两端 (1)若PD⊥AB,且AD 点的 相等； =BD,则PA PB: (2)判定：到一条线段两个端点距离相等的 (2)若PA=PB,则点P在线段AB的 点，在这条线段的 上 上 11.点P是任意一点，过点P画一条直线与BC ★知识点四平行线 平行，则这样的直线 () 1.平行公理及其推论： A.有且只有一条 B.有两条 (1)公理：经过直线外一点，有且仅有 C.不存在 D.有一条或不存在 直线和已知直线平行： 12.如图，直线a∥b,直线b∥c,则a C. (2)推论：如果两条直线都和第三条直线平 。 行，那么这两条直线 b 2.平行线的性质与判定： 判定 = (1)同位角 两直线平行： 第12题图 第13题图 性质 13.【串题练透考点】如图，a∥b. (2)内错角 判定 任质两直线平行； (1)若∠1=70°，则∠2= (2)若∠5=70°，则∠4= (3)同旁内角 判馆两直线平行： 性质 (3)若∠3=110°，当∠6= 时，c∥d; 3.两平行线间的距离： (4)若∠4=110°，当∠7= 时，c∥d. (1)定义：过平行线上的一点作另一条平行线 14.如图，AB∥CD,AC∥BD, 的垂线， 的长度叫做两条平行 ∠B=60°，AC=4,则AC 线间的距离； BD,AB CD, (2)性质：两条平行线间的距离处处 AB与CD之间的距离是 15.【串题练透考点】下列命题：①对顶角相等； ★知识点五命题 ②相等的角是对顶角；③同位角相等：④两 1.命题：判断一件事情的语句叫做命题，命题分 直线平行，同旁内角互补 为题设和结论两部分： (1)其中真命题是 (填序号)： 2.真命题：正确的命题. (2)命题①的题设是 ,结 3.假命题：不正确的命题 论是 4.互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的 (3)命题①和②互为 题设是第二个命题的结论，而第一个命题的 75中考复习堂堂清·数学 (4)写出命题③的逆命题，如果 结论是第二个命题的题设，那么这两个命题 那么 ,此逆命题是 称为互逆命题. 命题 核心考点解读 提升关键能力 核心考点⑦)线与角 16.(2022·十堰)如图，工人砌墙时，先在两个 ∠AOC的度数为 墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的 A.40° B.50 C.60° D.140 参照线，就能使砌的砖在同一条直线上.这 18.(2020·十堰)如图，将一副三角尺重叠放在 样做运用的数学知识是 () 一起，使直角顶点重合于点O.若∠AOC= A.两点之间，线段最短 130°，则∠BOD的度数为 () B.两点确定一条直线 A.30°B.40 C.509 D.60 C.垂线段最短 D.三角形两边之和大于第三边 E C7■ 第18题图 第19题图 A 19.(2024·湖北)如图，直线AB∥CD,已知∠1 第16题图 第17题图 =120°，则∠2= ( 17.(2020·孝感)如图，直线AB,CD相交于点 A.509 B.60 C.70 D.80 O,OE⊥CD,垂足为O.若∠BOE=40°，则 核心考点②)平行线的性质与判定（含学具使用） 20.(2020·宜昌)能说明“锐角a,锐角3的和是 47°，则图中∠G的度数是 锐角”是假命题的例证图是 A.80°B.76 C.66° D.56 D 21.【学具使用】(2022·襄阳)已知直线m∥n, 第22题图 第23题图 将一块含30°角的直角三角板ABC(∠ABC 23.(2023·宜昌)如图，小颖按如下方式操作直 =30°，∠BAC=60°)按如图方式放置，点A, 尺和含30°角的三角尺，依次画出了直线a, B分别落在直线m,n上.若∠1=70°.则∠2 b,c.如果∠1=70°，则∠2的度数为() 的度数为 A.110°B.70° C.40° D.30 24.(2020·荆州)将一张矩形纸片折叠成如图 所示的图形.若∠CAB=30°，则∠ACB的度 数为 () 2 A.30°B.40 C.60° D.70 22.(2023·荆州)如图所示的“箭头”图形中， AB∥CD,∠B=∠D=80°，∠E=∠F= A.45° B.55 C.65 D.75 引领学素备考新核式76 中多新动向 年图内化自标 25.【新课标·跨物理学科】(2024·深 两点确定一条直线 圳)如图，一束平行光线照射平面 两个基本事实}两点之间， A立B 直线和 图①D 镜后反射，若入射光线与平面镜夹 最短 线段 线段的中点：如图①，点M是线段AB 角∠1=50°，则反射光线与平面镜 的中点，则AM= 1 夹角∠4的度数为 () 角的换算：周角 °，平角 直角= °：1= ‘,1'= 余角：两个角的和等于二两个 角互为余角 A.40°B.50°C.60°D.70 角及角 余角、补角 补角：两个角的和等于 台两 26.【新情境·居民出行】图①是某品牌 个角互为补角 的平分 共享单车放在水平地面的实物图， 线 性质：同角（等角）的余角 同角（等角）的补角 图②是其示意图，其中AB,CD都 性质：角的平分线上的，点到角的两边的 距离 与地面（平行，∠BAC=40°， 角平分线 判定：角的内部到角的两边的距离 ∠MAC=80°，若AM∥BE,则 的点在角的平分线上 对顶角的性质：对顶角和等 ∠BCD= 年补角性质：互为邻补角的两个角之和等于 图 同位角：形状类似宇母“F”,如∠1与∠5， ∠2与 ∠4与∠8，∠3与∠7 三线 内错角：形状类似宇母“Z”,如∠2与∠8， 步 八角 ∠3与 同旁内角：形状类似宇母“U”,如∠2与 67 图② 相 图① ∠5，∠3与 交 线 在同一平面内，过一点有且只有 垂线的条直线与已知直线垂直 性质 连接直线外一，点与直线上各点的所有线 行 段中， 最短 性质：线较垂直平分线上的点与这条线段 图② 垂直平两个端点的距离 A.45°B.50°C.60° D.70° 分线 判定：与线段两个端点距离 的点 在这条线段的垂直平分线上 平行公公理：过直线外一点有且只有 理及其 条直线与这条直线平行 推论 推论：如果a∥b,a∥c,那么b∥c 同位角 祭两直钱手行如图@， 旋转b,若∠1 ,则a∥b 判定 定 内错角 性嘴 两直线平行，如图②， 平 性 旋转b,若∠2 .则a∥b 质 同旁内角 票西直线牛行，中 图②，旋转b,若∠3+∠8= 则a∥b 命题：判断一件事情的语句，叫做命题，它由 和 两部分组成 题 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题 假命题：如果题设成立，不能保证结论一定成立的 命題 备考满分演练 (见进阶作业本)】 77中考复习堂堂清·学