第14讲 二次函数的实际应用及综合-【名师学案】2025年中考数学复习之堂堂清分层进阶学习法

知识点一 :元，依题意得0=（一5x十550）(x一50)= ax2+bx+c -5.x2+800.x-27500=-5(x-80)2+4500, 知识点二 ,一5<0，.当x=80时，有最大值，最大值为 上下 b Aac-b2 Aac-b 2a 低 4500元.∴.为了每月所获利润最大，该商品销售 4a 4a 单价应定为80元.【例2】解：(1)栅栏总长 Aac-b2 高 Aac-b2 减小 增大 增大 为48m,AB的长为xm.:BC=(48-3.x)m, 4a Aa ∴.y=x(48-3.x)=-3.x2十48.x,由题意，得0< 减小 48-3x≤21，解得9x<16.∴.y关于x的函数 知识点五 解析式为y=-3.x+48.x(9≤x<16);(2)由(1) 1.>= 2.上下 得y=-3.x2+48.x=-3(x-8)2+192,,-3< 核心考点解读 0,9≤x<16,.当x=9时，y有最大值，最大值 真题对练 为-3×(9-8)2+192=189(m2)..当AB= 11.C12.A13.D14.D15.D16.B17. 9m时，矩形绿化带ABCD的面积y取最大值， D18.B19.②③④20.A21.D22.A 最大值为189m2:(3)9m≤AB≤10m.令-3.x 23.y=-x2十1（答案不唯一）24.y=2.x3或 +48.x=180,解得1=6，x2=10.当y=-3.x2+ y=-x2+4.x-4 48.x≥180时，6≤x≤10.，9≤x<16,.9≤x≤ 中考新动向 10,即9m≤AB≤10m.当矩形绿化带ABCD的 25.①②④ 面积不少于180m时AB长的取值范围是9m 导图内化目标 ≤AB≤10m.【例3】方法一：(12,0)(6， a.x2十b.x十c(a≠0)1.抛物线3.加减加 4.y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k y 8) 号x+8x3或9方法二：y y= =a(x-x1)(x-x2) 2 第14讲二次函数的实际应用及综合 一2土36【延伸问题】解：能，理 教材知识梳理 基础对练 如下：当x=2时，y=一 ×4=-8-g 1.102.15m3.(1)10≤x≤28解：(2)由题 意，得=(x-10)[1000-40(x-25)],即 (一2)-马>7“这瘦船能从这座桥下通过. =-40.x2+2400.x-20000=-40(.x-30)2+ 【例4】(1)(-1,0)(3,0)(0,3)y=-x 16000,,a=一40<0，.抛物线开口向下，有 +3(2)(1,-2+21+3)(t,-1+3)(1,0) 最大值.10≤x≤28，当x<30时，e随x的增 (t2-2t,-t+2t+3)(3)-t2+3t-t2+3t 大而增大，∴.x=28时，e有最大值，是一40× (28-30)2+16000=15840.答：销售单价定为 号(-1+动 (4)(1,4)(1,2) DI(u-xe) 每包28元时，每天的利润最大，最大利润是 (5)-t2+31 3 15840元. 4-12(-合) (2)解： 8 真题对练 该二次函数的图象上存在点P,使△PAB的面 5.(1)500 积为6.由(1)可知二次函数解析式为：y=一x2 解：(2)当200<x<600时，W=x(202 -x+2,A(-2,0),B(1,0),.AB=1-(-2)= 3.设P(m,m.Sap=2AB·n=6.n +10)+50100-)=02-40r+5000= =4..n=士4..当-x2-x+2=4时，△=1-8 六x-40)+4200,0>0,抛物线开口 =一7<0，无解，不符合题意，舍去：当一x2一x十2 向上..当x=400时，W有最小值，最小值为 =-4时，x1=-3,x2=2;.P(2,-4),P2(一3， 42000.当600<x≤700时，W=40.x+50(1000 -4). 一x)=一10.x+50000.,-10<0,.W随着x 核心考点解读 的增大而减小.∴.当x=700时，W有最小值，最 典例精析 小值为W=一10×70+50000=43000，综上可 【例1】(1)550-5.x解：依题意，得y=50十 知，当甲种蔬菜的种植面积为400m,乙种蔬菜 100-x×10=550-5.x. 的种植面积为600m2时，W最小：(3)由题意可 2 (2)解：依题意，得 (-5.x+550)(x-50)=4000,解得x1=70,x2= 得：40(0×400+10）×(1-10%)2+600×50 90.70<90,为使顾客获得更多的实惠，∴.销 (1-a%)2=28920,解得a1=20,a2=180(不合 售单价应定为70元：(3)解：设每月总利润为 题意，舍).∴.当a为20时，2025年的总种植成 23 本为28920元.6.解：(1)，篱笆长80m, AB+BC+CD=80..AB=CD=x,BC=y,..x 十x,可得x1=一 =多.设点E(m,m十 +y+x=80..y=80-2x.墙长42m,.0< 80-2.x≤42.解得，19≤x<40,∴.y=80-2.x(19 m,且-号<m<号：EF∥x轴Fm ≤x<40)..矩形面积S=BC·AB=y·x= 1 (80-2.x)x=-2x2+80x;(2)令S=750,则 mm+m小.∴s=EF=m-(分+ 2.x2十80x=750,整理得：x2-40x十375=0，此 3 时，△=6-4ac=(-40)2-4×375=1600 1500=100>0,∴.一元二次方程x2-40.x十375 <0,- 2 <m< 2当m= 2时，S =0有两个不相等的实数根，∴.围成的矩形花雨 面积能为750m2..x=一（-40)±100 2 .x 取得最大值之 解：(1)抛物线的 =25,x2=15..19≤x<40,.x=25;(3)S= O 8X -2x2+80x=-2(x-20)2+800,-2<0, 解析式为y=一x2一2x十3.(2)如图2中，连接 S有最大值.又19≤r<40,∴.当x=20时，S取 得最大值，此时S=800.即当x=20时，S的最 OP.设P(m,-m2-2n+3),S=S△)+Sax 大值为800.7.解：(1)①，火箭第二级的引发 +Sa=2×3X(-m-2m+3)+号×3× 点的高度为3.6km,.抛物线y=a.x2十x和直 线y=- 2x+b均经过点(9,3.6).3.6=81a (-m)+2×1X3=号(-m-3m+4)=- +9,3.6=- 受×9+6.解得a=一b=8.1. (m+)'+-号<0当m=-2时S ②由①知，y=-2x+8.1y= 5x2十x.y 的值最大，最大值为空此时P(一，)。 第四单元三角形 -+x=-(x-》+票最大值y 第15讲线段、角、相交线与平行线 教材知识梳理 km.当y=5-1.35=2.4km时，则-x 基础对练 4 1.2两点确定一条直线2.两点之间，线段最 十x=2.4.解得x1=12,x2=3.又x=9时，y= 短3.C4.25.(1)1680100800(2) 36>2.4当)=2.4km时，则-2c+8.1- ∠BOC∠BOC∠COD,∠AOE(3)=同 角的余角相等6.(1)35°(2)2(3)平分7. 2.4,解得x=11.4,11.4-3=8.4(km).∴.这两 (1)∠6∠2与∠5(2)70110(3)同位 个位置之间的距离8.4km:(2)当水平距离超过 同旁内内错8.D9.(1)<垂线段最短 15km时，火箭第二级的引发点为(9,81a+9), (2)310.(1)=(2)垂直平分线11.D 将(9,81a+9).(15,0)代人y=-2x+b,得81a 12.∥13.(1)70(2)110(3)70(4)110 14.= 2315.(1)①④(2)两个角是 +9= 专×9+6.0=- 号×15+b,解得b 对顶角这两个角相等(3)逆命题(4)两个 角相等 这两个角是同位角假 7.5,a= 27 <a<0.8.解：(1)抛 知识梳理 物线经过原点，∴2m2一m=0,解得m=0或2 知识点一 1.一条直线 一条 线段2.BCBC3.= ,m≠0，.m= 2,抛物线的解析式为y=十 2 xy=r+x=(+)》-顶点P的坐 知识点二 1.360°180°60'60”2.(1)90°(2)相等 3.(1)180° 标为(-2，一4)：(2)由题意得：当k=2时，y (2)相等4.相等角的平分线 知识点三 =2x+b经过点P(-2-1)2×(-)+ 1.相等2.180°4.(1)一条(2)垂线段 5.长度6.(1)距离(2)垂直平分线 6=-=子.∴y=2x+.由2x+= 知识点四 1.(1)一条(2)平行2.(1)相等(2)相等 24第14讲 二次函数的实际应用及综合 能 1.通过对实际问题的分析,体会二次函数的意义. 2.会求二次函数的最大值或最小值,并能确定相应的自变量的值,能利用二次函数解 决简单的实际问题 教材知识梳理 回顾必备知识 基础对练 1.(2023·宜昌)如图,一名学生推铅球:铅球行 *知识点一 二次函数的实际应用 进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之 1.解题步骤 -12(-10)(c十4),则铅球 间的关系是一一 (1)根据题意列出二次函数的解析式 推出的距离OA-__ (2)根据已知条件确定自变量的取值范围; m. (3)利用二次函数的性质和自变量的取值范 y/m 18m 围求出最大(小)值.(2022版新课标新增) 【温馨提示】二次函数的最大(小)值不一定是实际问题 Am 的最大(小)值,一定要结合实际问题中的自变量的取 第1题图 第2题图 值范围确定最大(小)值. 2.【人教九上P57复习题T7变式】如图,用一段 2.常考题型 长为30m的篱爸围成一个一边靠墙的矩形 类型一 实物抛物线 菜园,墙长为18m,要使菜园的面积最大,则 (1)建立平面直角坐标系; 步 平行于墙面的边长为 (2)利用待定系数法确定抛物线的解析式; 罪 3.【人教九上P50“探究2”变式】某药店进了一 (3)利用二次函数的性质解决实际问题 批口罩,每包进价10元,每包销售价定为25 常用类型:桥梁、隧道、体育运动等 元时,每天销售1000包,经一段时间调查,发 类型二 二次函数在面积问题中的应用 现每包销售单价每上涨1元,每天就少卖40 ((1)根据几何面积知识探求图形的面积关 共 包,其销售单价不低于进价,销售利润率不高 系式: 于180%,设每包销售价为:元(:为正整数) 骤(2)根据面积关系式确定函数解析式; (1)写出:的取值范围为 (3)确定二次丽数的最值,解决问题 (2)设每天的总利润为w元,当每包销售价定 类型三 二次函数在销售问题中的应用 为多少元时,该药店每天的利润最大?最 ((1)读懂题意,借助销售问题中的利润等 大利润是多少元? 公式寻找等量关系; 骤(2)确定函数解析式; (3)确定二次函数的最值,解决实际问题 65 中考清·&学 【温馨提示】运用二次函数的性质求实际问题中的最大 值和最小值的一般方法是:①列出二次函数的解析式, 并根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围; ②配方或利用公式求顶点:③检查项点是否在自变量 的取值范围内或检查所求最值是不是符合要求 a.若函数的对称轴在自变量的取值范围内,顶点 纵坐标即为其最值。 b.若函数的对称轴不在自变量的取值范围内,可 根据函数的增减性求解,再结合自变量在两端时函数 值的对比,从而求解出最值. 4.(2024·扬州改编)如图,已知二次函数y *知识点二 二次函数与几何综合 一}十x十c的图象与x轴交于A(一2,0). 1.最值问题 B(1,0)两点. 当二次函数的自变量x取全体实数时,我们 (1)一 .顶点 可将二次函数的一般式v=ar十bx十c(a (2)该二次函数的图象上是否存在点P,使 ),直接 4a 八PAB的面积为6,若存在,请求出点P 4ac-b 可得函数最值为 的坐标,若不存在,请说明理由 4a -.也就是抛物线顶点 的纵坐标 2.存在性问题 注意灵活运用数形结合思想,可先假设存在: 再借助已知条件求解,如果有解(求出的结果 符合题目要求),则假设成立,即存在;如果无 解(求出的结果不符合题目要求),则假设不 成立,即不存在 3.动点问题 通常利用数形结合、分类讨论和转化思想,借 助图形,切实把握图形运动的全过程,动中取 静,选取某一时刻作为研究对象,然后根据题 意建立方程模型或者函数模型求解 引领厚案备考新摸武 66 核心考点解读 提升关键能力 核心考点 利用二次函数性质解决实际问题 名师在线 真题对练 用待定系数法可求出二次函数的解析式, 5.(2023·黄冈)加强劳动教育,落实五育并举。 确定二次函数的解析式一般需要三个独立的条 孝礼中学在当地政府的支持下,建成了一处 件,根据不同的条件,选择不同的设法,(1)设一 劳动实践基地,2023年计划将其中1000m 般式:y=ax*}十bx十c(a亡0).若已知条件是图 的土地全部种植甲乙两种蔬菜,经调查发现: 象经过三个点,则可设所求的二次函数解析式 为y一ar^{}十bx十c,将已知条件代入,即可求出 甲种蔬菜种植成本y(单位:元/m})与其种植 a.b,c的值.(2)设交点式:y=a(x一x)(x 面积x(单位:m{})的函数关系如图所示,其中 x。)(a关0).若已知二次函数的图象与工轴的两 200{ x700;乙种蔬菜的种植成本为50元/m. 个交点的坐标分别为(x,0),(x。,0),则可设所 (1)当x=m^时,y=35元/m};$ 求的二次函数解析式为y一a(x一x)(x一x). (2)设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W 将第三点(n,n)的坐标(其中m,n为已知数)代 元,如何分配两种蔬菜的种植面积,使W 入,求出待定系数a,最后将解析式化为一般式 最小? (3)设顶点式:y=a(x一h){}+k(a才0).若已知 (3)学校计划今后每年在这1000m{}土地上, 二次函数图象的项顶点坐标或对称轴方程与最大 均按(2)中方案种植疏菜,因技术改进,预 值(或最小值),则可设所求的二次函数解析式 为y一a(x一h){}十k,将已知条件代入,求出待 计种植成本逐年下降,若甲种蔬菜种植成 定系数a,最后将解析式化为一般式。 本平均每年下降10%,乙种蔬菜种植成本 类型一 利润问题 平均每年下降a%,当a为何值时,2025 典例精析 年的总种植成本为28920元? ① 【串题突破核心考点】【人教九上P50“探 (元/m) 究2”变式】某超市销售一种商品,每件成本 为50元,销售人员经调查发现,销售单价为 200 O 100元时,每月的销售量为50件,而销售单价 600700x(m) 每降低2元,则每月可多售出10件,且要求 销售单价不得低于成本 (1)求该商品每月的销售量y(件)与销售单价 x(元)之间的函数关系式;(不需要求自变 量取值范围) 单价x/元 100 错售量y/件 50 67 中考签习堂查清·数学 (2)若使该商品每月的销售利润为4000元, 并使顾客获得更多的实惠,销售单价应定 为多少元?(温馨提示:注意题干上描述的 前提条件“要求销售单价不得低于成本” (3)超市的销售人员发现:当该商品每月销售 量超过某一数量时,会出现所获利润反而 减小的情况,为了每月所获利润最大,该商 品销售单价应定为多少元? 类型二 面积问题 典例精析 ... 真题对练 ②【2022课标例71改编】如图,某小区决定 6.(2024·湖北)学校要建一个矩形花圃,其中一 要在一块一边靠墙(墙长21m)的空地上用概 边靠墙,另外三边用篇笛围成,已知墙长42m; 栏围成一个矩形绿化带ABCD,绿化带的一 篱笛长80m.设垂直于墙的边AB长为xm. 边靠墙,中间用栅栏隔成两个小矩形,所用概 平行于墙的边BC为ym,围成的矩形面积为 栏总长为48m.设AB的长为xm,矩形绿化 Sm2. 带的面积为ym. (1)求y与x,S与y的关系式 (1)求v与x之间的函数解析式,并写出自变 (2)围成的矩形花间面积能否为750m{},若 量x的取值范围; 能,求出x的值. (2)当AB的长是多少米时,矩形绿化带 (3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值? ABCD的面积v取得最大值?最大值是 若存在,求出这个最大值,并求出此时; 多少? 的值. (3)若要求矩形绿化带ABCD的面积不少于 180m{},请直接写出AB长的取值范围 引领厚案备考新摸式 68 类型三 抛物线型问题 典例精析 真题对练 【③【人教九上P51“探究3”变式】如图,这是 7.(2024·武汉)16世纪中叶,我国发明了一种 抛物线形拱桥,当拱顶离水面8m时,水面宽 新式火箭“火龙出水”,它是二级火箭的始祖 AB为12m.当水面上升6m时达到警戒水 火箭第一级运行路径形如抛物线,当火箭运 位,此时拱桥内的水面宽度是多少米? 行一定水平距离时,自动引发火箭第二级,火 ## 箭第二级沿直线运行,某科技小组运用信息 技术模拟火箭运行过程,如图,以发射点为原 ()A 点,地平线为x轴,垂直于地面的直线为y 图 图2 轴,建立平面直角坐标系,分别得到抛物线y 下面给出了解决这个问题的两种方法,请补 充完整: 十6.其中,当火箭 方法一:如图1,以A为原点,AB所在直线为 运行的水平距离为9km时,自动引发火箭的 轴,垂直于AB所在的直线为y轴,建立平面直 第二级. 角坐标系,此时点B的坐标为 ,抛物 线的顶点坐标为 .可求这条抛物线 的函数解析式为 .当y-6 图1 69 中考蕴习堂堂清·数学 ,即可解决 时,求出自变量x的值为 y/km(火箭第二级的引发点) 这个问题. (发射点)(地平线) 9(落地点)x/km 方法二:如图2,以抛物线顶点为原点,对称轴 图2 为y轴,建立平面直角坐标系,此时这条抛物 (1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6 线的函数解析式为 km. 当y一 时,求出自变量x的值为 ①直接写出a,的值; 即可解决这个问题 ②火箭在运行过程中,有两个位置的高度 由此可知,当水面上升6m达到警戒水位,此 比火箭运行的最高点低1.35km,求这两 时拱桥内的水面宽度是 m. 个位置之间的距离 【延伸问题】若按照方法二建立平面直角坐 (2)直接写出a满足什么条件时,火箭落地点 标系,一艘装满物资的小船,露出水面的高为 与发射点的水平距离超过15km. 0.5m,宽为4m(横断面如图),这艘船能在 警戒水位下从这座拱桥底下通过吗?请说明 理由. 0.5m 引领学案各考新摸式。 70 核心考点 二次函数与几何的综合(线段与面积) 典例精析 真题对练 则④【串题突破核心考点】如图1,抛物线y= 8.(2023·襄阳节选)在平面直角坐标系中,直 一r^*+2x+3与x轴交于A,B两点,与y轴 线/:y=hx+b经过抛物线y=x②+2n+$ 交于点C,点P是抛物线第一象限内的一个 2n{}一n(n关0)的顶点.如图,当抛物线经过 动点,过点P作PH x轴于H,交直线BC 原点时,其顶点记为P 于点Q,顶点是D (1)求抛物线的解析式并直接写出点P的坐 # 标; (2)当一2时,动点E在直线/下方的抛物 线上,过点E作EF/x轴交直线/于点 图1 图2 图3 F.令S一EF,求S的最大值 ### (1)点A的坐标为 ,点B的坐标为 ,点C的坐标为 ,直线 BC的解析式为 (2)【突破点1 点的坐标表示】设点P的横 备用图 坐标为7,则点P的坐标可表示为 ,点Q的坐标可表示为 ,点H的坐标可表示为 ,作PM/:轴与直线BC交于 点M,则点M的坐标可表示为 (3)【突破点2 线段长度的表示】PM的长表 示为。 .PQ的长表示为 ,点P到直线BC的距离为 (4)【突破点3 抛物线中面积的求法】如图 2,点D的坐标为 ,△CDB的面 积有两种求法: ①铅垂法:作DG :轴于点G,交直线 BC于点1,点I的坐标为 ,则 Scp= 一 ②分割法:连接OD. 71 中考签习堂查清·数学 S.cp-Sop+S△opg-SB0 (5)【突破点4 二次函数面积最值的应用】如 图3,点P是抛物线第一象限内一动点 设点P的横坐标为7.试用,表示△PCB 9.(2022·随州节选)如图1,平面直角坐标系 的面积,并求其最大值 xOy中,抛物线y=ax*+bx十c(a<0)与x 解:作PQ/y轴交线段BC于点Q,则 轴分别交于点A和点B(1,0).与y轴交于点 PQ-y-yo= C.对称轴为直线x=-1,且OA=OC,P为 抛物线上一动点. (1)直接写出抛物线的解析式; #3#+0--3(-3)#2(0<#<# (2)如图2,连接AC,当点P在直线AC上方 3), 时,求四边形PABC面积的最大值,并求 当 时,△PCB的面积最大,最 出此时P点的坐标 ##### 大值为。 图2 备考满分演练 (见进阶作业本) 引领厚案备考新摸式。 72