第13讲 二次函数的图象和性质-【名师学案】2025年中考数学复习之堂堂清分层进阶学习法

导图内化目标 2.正半轴原点负半轴3.加减 1,0.B2,2代人=c+6,得2解 第12讲反比例函数及其应用 得k=一2，b=6,即一次函数的解析式是y= 教材知识梳理 一2x十6.由图象可知：y1<y时x的取值范围 基础对练 是1<x<2.(3)215.(1)-4(2)①④ 1.C2.(1)第二、第四双曲线增大(2)一3 (3)x<0或x>4 <x<0(3)①<②< ③> ④y>y>y 中考新动向 (3)A4.1)y=-3 A 3.(1)C(2)4 (2)C 16. 5.B 之(1)解：：点A(1,4)在反比例 知识梳理 知识点一 函数y=第一象限的图象上，k1=1×4=4. 飞+0 不等于0 知识点二 “反比例函数为y=兰将点A先向左平移5个 第一、第三 第二、第四 减小增大 轴 中 单位长度，再向下平移m个单位长度后得到点C 心士x 坐标原点 知识点 （一4,4一m),:点C恰好落在反比例函数y=匀 1.k1 2些 21k -k2 2 第三象限的图象上，4一m=m=5.C 核心考点解读 (-4,-1).把点C坐标代入y=k2x,得-1= 典例精析 4:=子直线y=x的解析式为y 【例1】解：(1)：一次函数y=x十m经过点A (-3,0),点B(m,4).3+m=0解得 1 (2)15 1n+m=4. 导图内化目标 m=3点B1,4).:反比例函数y=经过 1.kkx12.一、第三减小二、第四增大 1n=1. 第13讲二次函数的图象和性质 点B(1,4),.k=1×4=4:(2):点A(-3,0), 教材知识梳理 B(1,4),:AO=3.SANm=AOX Iy= 基础对练 1.B2.(1)解：画出函数图象如图所示： 3×3X4=6.5ar=A0Xe=号0.由题 3 意得受<6，<4.e>1.C的横坐标 a的取值范围为a>1.【例2】(1)1解：描 点如图所示： 20 543-2-012345 (2)y=-x2+2.x+33(3)下-(x-1)2+4 x=1(1,4)大4(4)2(-1,0)和(3， 0)(0,3)(5)-12≤y≤4(6)(5，-12) (2)y=日一的图象关于y轴对称（答案不 6 (7)y1<y<y2 (8)<是3.C+.左2下 35.(1)y=-4(.x-1)2(2)y=3(x-2)2 唯一)(3)①x1=1,x2=-1②x≤-2或x≥ 2(3)y=-x2-2x+8(4)y=2.x2+3.x-4 2 6.B7.168.(1)x=-1,x2=5(2)-1< 真题对练 <5(3)x<-1或x>59.(1)<>> 6.C1.C81(答案不唯-)9.多 (2)=< 10.8 <(3)>(4)>=(5)> <(6)=< 10.C 11.812.213.D14.(1)42(2)解：把A 知识梳理 22 知识点一 w元，依题意得w=(一5.x十550)(x一50)= ax2+bx+c -5.x2+800.x-27500=-5(x-80)2+4500, 知识点二 ,一5<0，.当x=80时，有最大值，最大值为 上下 b 4ac-b Aac-b2 4500元.∴.为了每月所获利润最大，该商品销售 2a 4a 低 4a 单价应定为80元.【例2】解：(1)栅栏总长 Aac-b2 高 Aac-b2 减小 增大 为48m,AB的长为xm.:BC=(48-3.x)m, 4a Aa 增大 ∴.y=x(48-3.x)=一3.x2十48x.由题意，得0< 减小 48-3x≤21，解得9≤x<16.∴·y关于x的函数 知识点五 解析式为y=-3.x2+48.x(9≤x<16);(2)由(1) 1.>= 2.上下 得y=-3.x2+48.x=-3(x-8)2+192,,-3< 核心考点解读 0,9≤x<16,.当x=9时，y有最大值，最大值 真题对练 为-3×(9-8)2+192=189(m2)..当AB 11.C12.A13.D14.D15.D16.B17. 9m时，矩形绿化带ABCD的面积y取最大值， D18.B19.②③①20.A21.D22.A 最大值为189m;(3)9m≤AB≤10m.令一3x 23.y=一x2十1（答案不唯一）24.y=2x一3或 +48x=180,解得x=6,x2=10.当y=-3x2+ y=-x2+4.x-4 48x≥180时，6≤x≤10.，9≤x<16,.9≤x≤ 中考新动向 10,即9m≤AB≤10m.当矩形绿化带ABCD的 25.①②④ 面积不少于180m2时AB长的取值范围是9m 导图内化目标 ≤AB≤10m.【例3】方法一：(12,0)(6， a.x2+b.x十c(a≠0)1.抛物线3.加减加 减4.y=ax2+bx十cy=a(x-h)2+ky 8) y= 号+号：3或9方法二：y =a(x-x)(x-x2) 第14讲二次函数的实际应用及综合 一2士36【延伸问题】解：能，理由 教材知识梳理 基础对练 如下：当x=2时，y= ×4=-8- 9 1.102.15m3.(1)10≤x≤28解：(2)由题 意，得w=(x-10)[1000-40(x-25)],即 （一2)=号>？这艘船能从这座桥下通过。 =-40x2+2400.x-20000=-40(x-30)2+ 【例4】(1)(-1,0)(3,0)(0,3)y=-x 16000,.a=一40<0，∴.抛物线开口向下，w有 +3(2)(1,-t2+2t+3)(t,-1+3)(t,0) 最大值.10≤x≤28，当x<30时，w随x的增 (t2-2t,-t2+2t+3)(3)-t2+3t-t2+3t 大而增大，∴.x=28时，阳有最大值，是一40× (28-30)2+16000=15840.答：销售单价定为 9-1+ (4)(1,4) (1,2) DI(tn-ze) 每包28元时，每天的利润最大，最大利润是 (5)-t2+3t 3 15840元.41)-12(2是) 8 (2)解： 真题对练 该二次函数的图象上存在点P,使△PAB的面 5.(1)500 积为6.由(1)可知二次函数解析式为：y=一x2 解：(2)当200≤x≤600时，W=x(207 -x+2,A(-2,0),B(1,0),.AB=1-(-2)= 3.设P(m,m),Sa=2AB·n=6.nl +10)+501000-)=0r-40r+5000= =4..n=士4..当-x2-x十2=4时，△=1一8 六-400+4200，动>0.抛物线开口 =一7<0，无解，不符合题意，舍去；当一x2一x十2 向上..当x=400时，W有最小值，最小值为 =-4时，1=-3，x2=2；.P1(2,-4),P2(-3, 42000.当600<x≤700时，W=40x+50(1000 -4). -x)=一10.x十50000.，-10<0，.W随着x 核心考点解读 的增大而减小.∴.当x=700时，W有最小值，最 典例精析 小值为W=一10×70+50000=43000，综上可 【例1】(1)550-5.x解：依题意，得y=50+ 知，当甲种蔬菜的种植面积为400m,乙种蔬菜 100-L×10=550-5.x. (2)解：依题意，得 的种植面积为600m2时，W最小；(3)由题意可 (-5.x十550)(x-50)=4000,解得x1=70,x2= 得：400(20×400+10）×(1-10%)2+600×50 90.70<90,为使顾客获得更多的实惠，∴.销 (1-a%)2=28920,解得a1=20,a,=180(不合 售单价应定为70元：(3)解：设每月总利润为 题意，舍).∴.当a为20时，2025年的总种植成 23第13讲二次函数的图象和性质 8年8考 1,会通过分析实际问题的情境确定二次函数的解析式，体会二次函数的意义。 2.会用描点法画出二次函数的图象，会利用一些特殊点画草图，通过图象了解二次西 数的性质，知道二次函数的系数与图象形状和对称轴的关系，会求其图象与坐标轴的交点 课 坐标。 标 3.会用配方法将数字系数的二次函效化为顶点式，能由此得出其顶，点坐标，开口方向、 求 对称轴 4,会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的位， 5.知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程 的近似解. 教材知识梳理 回顾必各知识 ○右福 知X识梳理 1.下列函数中是二次函数的是 ★知识点一 二次函数的概念 A.L=2m+5 B.y=-3.x2+1 般地，形如y (a,b,c是 C.y=-x D.y=ka+b 常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中，x是 自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数 和常数项. 2.【串题练透考点】小明在探究二次函数y=ax2 ★知识点二 二次函数的图象和性质 十bx十c(a≠0)的图象与性质的过程中，x与 二次函数y=a.x2十bx十c(a,b,c为常数，a y的几组对应值列表如下： 函数 ≠0) -2 -10 2 3 a的 -5 0 3 4 0 a>0 a<0 符号 根据表格所提供的数据，完成下列习题： (1)如图，在平面直角坐标系中画出函数的图象： 图象 开口 开口向 开口向 3 方向 对称轴 = 直线x (2022 注：画图象，了解二次函数的性质，知道二次 版新课 函数的系数与图象形状与对称轴的关系， 标新增】 引领学案各考新携式 58 (2)该二次函数的解析式为 续表 01= 顶点 b (3)该二次函数图象的开口向 ,将其解 坐标 2a' 2a' 析式化为顶点式为y= 对称轴为直线 ,顶点坐标为 最值 抛物钱有最 抛物钱有最 ,函数有最 值，其值为 (2022 点，当x= b 2a 时，y 点，当x= (4)该二次函数图象与x轴有 个交点， 版新课 交点坐标为 :与y轴 标新增)】 有最小值，为 有最大值，为 的交点坐标为 (5)当一2≤x≤5时，y的取值范围为 在对 当x< b 时，y 当x<一 称轴 随x的增大而 随x的增大而 (6)若二次函数图象上的点A(一3，n)关于对 增 左侧 称轴对称的点为点B,则点B的坐标为 减 性 在对 当x> 时y 当x> 2a (7)若（一3，y),(1,y2),(2,y)是该函数图 称轴 随x的增大而 随黑的增大而 象上的点，则y,y2,为的大小关系为 右侧 (用“<”连接)； (8)点A(k一1，y1),B(k,y)都在该函数图象 【温馨提示】二次函数的图象由对称轴分开，在对称轴 上，若y<,则k的取值范围为 的同侧具有相同的性质，在顶点处有最大值或最小值， 如果自变量的取值中不包含顶，点，那么最大值或最小 值在距离对称物最近处取得. 3.抛物线y-:先向上平移3个单位长度，再 ★知识点三二次函数图象的平移 保持抛物线y=ax的形状不变，使其顶点平移 向右平移1个单位长度，所得抛物线的解析 到(h,)处，具体平移方法如下： 式是 ( 向上传>0)【我下(<0)】 A.y-(+1+3 平移|个蛇住长度 -ax+k ← By-+102-3 平轮游个纯位长斑 C.4(x1D2+3 -a(x-h) v-alx-h)+k 向上(k)【或Fk<】 D.y-x-1D-3 平移表个平位关度 【温馨提示】点坐标的平移规律：“左减右加，上加下 4.将抛物线y=2(x-3)2+2向 平移 减”：函数图象的平移规律：“左加右减，上加下减”，两 个单位长度，再向 平移 个单位长 者要区分开， 度，可得到抛物线y=2(x-1)2-1. 59中考复习堂堂清·教学 5.【串题练透考点】根据下列已知条件，求二次 *知识点四 用待定系数法求二次函数的解析式 函数的解析式： 选用解析 (1)已知二次函数的顶点在x轴上，且横坐标 已知条件 形式 式的形式 为1，过另一点(2，一4)，则二次函数的解 抛物线上三点的 般选用 y-ax+bx+c(a.b.c 析式为 坐标 一般式 为常数，a≠0) (2)已知二次函数的顶点坐标为(2，一2)，且 抛物线的顶点坐 y=a(x-h)2十k(a≠ 其图象经过点(3,1)，则该二次函数的解 般选用 标或对称轴与最 0),(h,k)为抛物线的 析式为 顶点式 大（小）值 顶点坐标 (3)已知二次函数的图象经过点（一4,0），(2， 抛物线与x轴 y=a(r一x1)(r-t1) 0),(0,8),则二次函数的解析式为 般选用 的两个交点的横 (a≠0)，4为抛物 交点式 坐标 线与x轴交点的横坐标 (4)已知二次函数的图象经过点（一1，一5）， (0,一4)和(1,1)，则二次函数的解析式为 6.二次函数y=2x2-3.x-c(c>0)的图象与x 知识点五二次函数与一元二次方程、不等 轴的交点情况是 ( 式的关系阶等高 A.有1个交点 B.有2个交点 1.二次函数与一元二次方程的关系(2022版新 C.无交点 D.无法确定 课标新增)】 7.若抛物线y=x2一8.x十k与x轴只有一个公 二次函数y=a.x2十 共点，则k的值为 一元二次方程a,x2十bx十c hx十c(a≠0)的图象 8.【串题练透考点】【人教九上P47习题T5变 0(a≠0)根的情况 与x轴的交，点情况 式】二次函数y=一x2十b.x十c的部分图象如 两个交点(x1,0), 有两个不相等的实数根x1, 图所示： (x4,0) x:b-4ac 0 有两个相等的实数根=x: 一个文点（品0 b 6-4ac 2a 0 (1)方程一x2十bx十c=0的根为 无交点 无实致根，b一4ac 0 2.二次函数与不等式的关系 (2)一元二次不等式一x2十bx十c>0的解集 不等式ax2+bx+c>0(或a.x2+bx十c<0)的 是 解集为二次函数y=ax2+bx+c位于x轴 (3)一元二次不等式一x2十b.x十c<0的解集 方（或 方)部分的图象所对应的 是 x的取值范周. 引领学案各考新挑式 60 9.【串题练透考点】已知二次函数y=a:x2十b.x ★知识点六 二次函数的图象与字母系数的关系 十c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x 项目 字母的符号 图象的特征 =1,与x轴的一个交点为A(一1,0)，结合图 字母 象填空（填“>”、“<”或“=”） a>0 开口向上 a<0 开口向下 (1)a 0,b 0,c 0: b=0 对称轴为y抽 (2)2a+b 0,2a-b 0.abc 0: ab>0 (3)b-4ac 0: 对称轴在y轴左侧 b (a与b同号) (4)a+b+c 0.a-b+c0: ab<0 对称轴在y轴右侧 (5)4a+2b+c 0,4a-2b+c 0: (a与b异号) (6)9a+3b+c 0,9a-3b+c 0 c=0 经过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 6-4ac=0 与x物有唯一交点（顶点） o b-4ac b-4ac>0 与x轴有两个不同交点 第9题图 第10题图 -4ac<0 与x抽没有交，点 10.如图所示，直线l为二次函数y=ax2十b.x十 当x=1时，y=a十b+c c(a≠0)的图象的对称轴，则下列说法正确 特殊 当x=一1时，y=a-b+c 的是 ( 关系 若a+b+c>0,即x=1时，y>0 A.b恒大于0 B.a,b同号 若a-b十c>0,即x=一1时，y>0 C.a,b异号 D.以上说法都不对 核心考点解读 提升关健能力 核心考点①二次函数的图象与性质 11.(2024·湖北)抛物线y=ax2+bx十c的顶 13.(2022·潜江)二次函数y=(x十m)2+n的 点为（一1，一2），抛物线与y轴的交点位于 图象如图所示，则一次函数y=mx十n的图 x轴上方.以下结论正确的是 象经过 A.a<0 B.c<0 A.第一、二，三象限 C.u-b+c=-2 D.b*-4ac=0 B.第一、二、四象限 12.(2021·仙桃)若抛物线y=x十bx十c与x C.第一、三、四象限 轴两个交点间的距离为4.对称轴为直线x D.第二、三、四象限 =2,P为这条抛物线的顶点，则点P关于x 14.(2022·襄阳)二次函数y=ax2+bx+c的 轴的对称点的坐标是 图象如图所示，则一次函数y=bx十c和反 A.(2,4) B.(-2,4) C.(-2,-4) D.(2,-4) 比例函数y=:在同一平面直角坐标系中的 61中考复习堂堂清·数学 图象可能是 15.(2022·荆门)若函数y=a.x2-x+1(a为常 数)的图象与x轴只有一个交点，那么a满 足 () A.a- Ba<号 C.a=0或a= 4 D.a=0或a-号 核心考点2二次函数的图象与字母的关系 名师在线 真题对练 根据二次函数y=a.x°十bx十c(a≠0)的图象确定系数a,b,c 16.(2020·襄阳)二次函数y=a.x2十 及相关问题常见以下几种形式： bx十c的图象如图所示，下列结论： (A)直接判断a,b,c的正负性 ①ac<0:②3a+c=0:③4ac-b< 1.a的正负性：开口向上，a>0:开口向下，a<0. 0:④当x>一1时，y随x的增大而 2,h的正负性：由于抛物线对称轴为直线工=一 ，所以6的 减小.其中正确的有 () 正负性与对称轴的位置和a的正负性相关联，对称轴在y轴的左 侧时，a,b符号相同，对称轴在y轴的右侧时，a,b符号相反，对称 轴为y轴时，b=0(简记为：左同右异中为0). 3.c的正负性：C表示抛物线与y轴交点的纵坐标，即当x= A.4个B.3个C.2个D.1个 0时，y=C,所以当抛物线与y轴的交点在x轴的上方时，c>0, 17.(2023·鄂州)如图，已知抛物线y 当抛物线与y轴的交点在x轴的下方时，c<0(c与y轴来 =ax十b.x十c(a≠0)的对称轴是直 相见) 线x=1,且过点（一1,0），顶点在第 4.abc的正负性：a,bc确定，则随之确定 一象限，其部分图象如图所示.给出 (B)与对称轴相关的探究 以下结论：①ab<0:②4a+2b十c> 5.a与b的关系：由对称轴方程的值变形得出. 0:③3a十c>0:④若A(x1,y1), 6.2a十b的正负性：2a十b的正负性道常是由对称轴x B(x,y2)(其中x1<x)是抛物线 品的值与1的大小关系湘关，在变彩时要特鞘注意口的正负性 上的两点，且x1十x2>2,则y> y,其中正确的选项是 () 对位的影响，加：)若一会>1，且开口向上即a>0,则2a十b< A.①②③ B.①③④ 0:(2)若一会>1，且开口向下，即a<0,则2a+6>0:(3)若一品 C.②③④ D.①②④ <1,里开口向上：即a>0,则2a+b>0:4若一名<1，且开口向 下，即a<0,则2a十b<0. 026 7.2a一b的正负性：2a-b的正负性通常是由对称轴x 第17题图 第18题图 引领学案各考新挑式 62 名的值与一1的大小关系和关，在变彩时要特别注客。的王负 18.(2023·随州)如图，已知开口向下 的抛物线y=ax2十bx十c与x轴交 性对值的影响，知：(1)若-会>-1，且开口向下，即a<0,则20 于点(6,0)，对称轴为直线x=2,则 b0:(2)若一会>-1，且开口向上，即a>0,剥2a-6>0:(3) 下列结论正确的有 () ①abc<0: 若一名-1且开口向下，脚a<0,明2a-b>0:（0若- b∠ ②a-b+c>0: 一1，且开口向上，即a>0,则2a一b<0. ③方程cx2十b.x十a=0的两个根为 (C)与顶点相关的探究 8.4ac-,4ac一=4a与顶点的纵坐标相关. 4a ①抛物线上有两点P(x1,)和 (D)由特殊的x值判断对应y值的大小 Q(x2,y),若x1<2<x2且x1+x 9.利用x的特殊值判断一些代数式的正负性：当x=1时，y >4,则y<y2, =a+b+c:当x=-1时，y=a-b+c:当x=2时，y=4a+2h+c: A.1个 B.2个 当x=-2时，y=4a-2b十c:当x=3时，y=9a十3b+c:当x= C.3个 D.4个 一3时，y=9a一3b十c.对于取x的特殊值得到代数式的正负性， 19.(2024·武汉)抛物线y=a.x十br十 重点看当x等于某一特殊值时对应的抛物线上的点在工轴的上 c(a,b,c是常数，a<0)经过(-1,1)， 方还是下方，在x轴上方，则y大于0，即对应的代数式的值大于 (m,1)两点，且0<m<1.下列四个 0:在x轴下方，则y小于0.即对应的代数式的值小于0. 结论：①b>0:②若0<x<1,则a(x (E)与一元二次方程的联系 -1)2+b(x-1)+c>1:③若a= 10.△的正负性：△是根的判别式，由于一元二次方程是二次 一1，则关于x的一元二次方程ax 函数y=0的特殊情况，所以可以从抛物线与x轴的交点个数来 十b.x十c=2无实数解： 判断△的正负性.与x轴有两个交点时，一4ac>0:与x轴的交 ①点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线 点有一个时，b一4ac=0:与x轴没有交点时，-4ac<0. 11,利用交点求对称轴：若抛物线与x轴的交点分别为(x1, 上，若x1十x2>一 >,总有 0),(,0),则对称轴为直线x=十西 2 为，则0<m≤号 12.平移法判斯方程的根的情况 其中正确的是 (填写 如：判断a.x十bx十c一3=0的根的情况，可以借助平移表示 序号). 向下平移了三个单位长度，看此时与y=0有几个交点. 核心考点3)待定系数法确定二次函数解析式 20.(2024·包头)将抛物线y=x2+2x向下平 D.y=(x-1)2-2 移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为 21.(2024·陕西)已知一个二次函数y=ax2十 b.x十c的自变量x与函数y的几组对应值 A.y=(x+1)-3 如下表， B.y=(x+1)2-2 -2 C.y=(x-1)2-3 8 0 63中考复习堂堂清·教学 则下列关于这个二次函数的结论正确的是 次函数y=a.x2十b.x十c的顶点在y轴正半 轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那 A.图象的开口向上 么这个二次函数的解析式可以是 B.当x>0时，y的值随x的值增大而增大 C.图象经过第二、三、四象限 24.(2022·荆州)规定：两个函数y,y的图象 D.图象的对称轴是直线x=1 关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函 22.(2020·孝感)将抛物线C1:y=x2-2x+3 数”.例如：函数y=2x+2与2=一2x+2 向左平移1个单位长度，得到抛物线C,抛 的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y 物线C与抛物线C关于x轴对称，则抛物 函数”.若函数y=k.x2十2(k一1)x十k一3(k 线C3的解析式为 为常数)的“Y函数”图象与x轴只有一个交 A.y=-x2-2 B.y=-x2+2 点，则其“Y函数”的解析式为 C.y=x2-2 D.y=x2+2 23.【新中考·结论开放】（中考·上海）一个二 中考新动向 母图内化标 25.已知二次函数y=a.x十b.x十c的y 二次函数的 与x的部分对应值如表： 概念 L,二次函数的图象： -3 5 2.二次函数的性质 0 5 9 5 -27 3.二次函数的平移：左右平移变自变量，左 下列结论： 二次函数的 ,上下平移变常数项，上 ①abc>0; 图象和性质 ②关于x的一元二次方程ax2+b.x 数 一般式： 的 十c=9有两个相等的实数根； 4.待定系数法顶点式： 象 ③当一4<x<1时，y的取值范围 交点式： 质 为0<y<5: 二次函数与 一元二次方 二次函数与一元二次方程 ④若点(m,y),(-m一2,2)均在 程、不等式 二次函数与不等式的关系 二次函数图象上，则y=y2: 的关系 ⑤满足a.x2十(b+1)x+c<2的x 二次函数的 二次函数的图象与字母系数的关系 图象与字母 的取值范围是x<一2或x>3. 系数的关系 二次西数的图象与反比例函数，一次函数的关系 其中正确结论的序号为 备考满分演练 (见进阶作业本) 引领学案各考新棋式 64