第11讲 一次函数-【名师学案】2025年中考数学复习之堂堂清分层进阶学习法

8年7考 第11讲 一次函数 1能根据简单实际问题中的已知条件确定一次函数的解析式：会在不同问题情境中运 用待定系数法确定一次函数的解析式 课 2.认识正比例函数中两变量之间的对应规律， 标 3.会画一次函数的图象，求其图象与坐标轴的交点坐标，根据一次函数的解析式y= 要 kx十b(k≠0)探索并理解k值的变化对函数图象的影响. 求 4.会根据一次函数的图象体会一次函数与二元一次方程的关系 5.能在实际问题中列出一次函数的解析式，并结合其图象与解析式的性质解决简单的 实际问题. 教材知识梳理 回顾必备知识 基础对人练 左徐 右 知识梳理 1.【概念辨析】当 时，函数y=x”-15 ★知识点一 一次函数的概念及性质 十(4一n)是一次函数：当 时，函数y 1.一次函数：一般地，如果y (k,b是 =x-15+(4一n)是正比例函数 常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数 2.【T1变式】若函数y=(n+1)x-是正比例 2.正比例函数：特别地，当b 时，y=kx 函数，且图象分布在第一、三象限。 十b变为 (k是常数，k≠0)，这时y (1)n的值为 ； 叫做x的正比例函数 (2)若A(x1,y1),B(x,)两点在该函数图 图象 象上，且x1<x2,则y y2.(填“>” k>0 k<0 或“<”) 正比例 3.在平面直角坐标系中，一次函数y=2x一3的 函数y= 图象是 kx(k≠0) b>0 b<0 b>0 b<0 平果话 一次函数 y=kx十b (≠0)】 4.【串题练透考点】若函数y=(n一2)xm3一1是 第一、二、 第一、三 第一、二 第二、三 经过象限 关于x的一次函数，且y随x的增大而诚小. 三象限 四象限 四象限 四象限 (1)n的值为 y随x的增大而 y随x的增大而 性质 (2)该图象经过第 象限： (3)若0≤x<2,则y的取值范围是 与坐标 与x轴的交点坐标为 轴交点 与y轴的交点坐标为 引领学素备考新模式44 (4)对于此一次函数，下列说法中正确的是 【知识拓展】 ( 1.直线y=kx十b的位盟由k和b的符号决定：k决定 A.y随x的增大而增大 直线从左向右呈上升还是星下降趋势，k越大，直 B.该函数图象与y轴的交点坐标为(0,1) 线越陡：k越小，直线越平缓 C.点(1,1)在该函数的图象上 2.一次函数的图象是一条直线，但直线不一定是一次 函数的图象，如直线x=a不是一次函数的图象. D,该函数图象与x轴的交点坐标为一石0) (5)将此函数的图象向上平移2个单位长度， ★知识点二 一次函数图象的平移 所得函数的图象对应的解析式是 平移前 平移方向(m>0) 平移后 规律 向左平移m个单位长度 y=k(x十m)十b左加 (6)若某一次函数的图象平行于此函数的图 y=kx 向右平移m个单位长度y=(x一m)十b右减 象，且经过点A(一1，一3)，则此一次函数 十b 向上平移m个单位长度 y=k.x十b十m上加 的解析式是 (k≠0) 向下平移m个单位长度 y=kx十b一m下减 【知识拓展】对于两个一次函数y=kx十和y=2x十4： (1)若两个一次函数的图象平行，则k=k,且b≠b: (2)若两个一次函数的图象垂直，则k1·k:=一1. 5.已知一次函数y=kx十b的图象经过点(3,5) *知识点三一次函数解析式的确定 与（一4，一9）.求这个一次函数的解析式. 设 设一次函数的解析式为y=kx十(k≠0). 找出一次函数图象上的两点，将其坐标代入西 数解析式，得到二元一次方程组。 解 解这个方程组，求出待定系数k,b的值. 写 将求得的k,b的值代入，写出一次函数的解析式， 6.【串题练透考点】如图，直线y=x十b经过点 知识点四一次函数与方程（组）、不等式的关系 A(5,0),B(1,4). 1.一次函数与一元一次方程的 v=kx+b 关系 =2r-4 方程kx十b=0的解x=一 v=kx+b 台一次函数y=kx十b的图象与x轴交点A 的 (1)方程k.x十b=0的解是 2.一次函数与一元一次不等式的关系 (2)不等式k.x十b<0的解集是 (1)从“数”上看： (3)kx十b>4的解集是 ①kx十b>0的解集是y=k,x十b中，y> 45中考复习堂堂清·数学 (4)若直线y=2x-4与直线AB相交于点 时x的取值范围； C,则点C的坐标为 ,由图象可 ②kx十b<0的解集是y=kx十b中，y< y=2x-4. 时x的取值范围； 得二元一次方程组 的解为 y=kx+b (2)从“形”上看： ①kx+b>0的解集是函数y=kx十b的图 (5)根据图象，写出关于x的不等式2x一4≥ 象位于x轴 时，对应的点的横 kx十b的解集是 坐标： (6)根据图象，写出关于x的不等式组0<2x ②kx十b<0的解集是函数y=kx十b的图 一4<kx+b的解集是 象位于x轴 时，对应的点的横 坐标. y1=k1x十b1, 3.如图，二元一次方程组 的解 y2=k2x十b2 是对应两个一次函数图象交点B y= 的横坐标、纵坐标 y=k x+b y=kx+b. B(m,n) y,=kx+b. y,=kx+b. 7.【一材多题】如图，已知一次函数y=一4x十b 知识点五 一次函数与几何图形 的图象过点M,且与y轴交于点V,连接 求三角形的面积 OM. 1.一条直线与坐标轴围成的三角形的面积：如 (1)b的值为 图1，S△AB0= 20A0B=x·l (2)△MON的面积为： (3)若点K在x轴上，S△ov=15,求点K的 B 坐标. BO D 图1 图2 图3 2.两条直线与x轴围成的三角形的面积：如图2， Saw=号BC·AD=司 xe一xg·IyAl. 3.两条直线与y轴围成的三角形的面积：如图3， Sae=2BC,AD=n-c·x 引领学常备考新核式46 8.(2023·恩施州)为积极响应州政府“悦享成 ★知识点六 一次函数的应用 长·书香恩施”的号召，学校组织150名学生 1.解题步骤： 参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生 (1)根据题意设问题中的变量： 购买一套服装.经市场调查得知，购买1套男 (2)建立一次函数模型； 装和1套女装共需220元：购买6套男装与 (3)确定自变量的取值范围： 购买5套女装的费用相同. (4)与方程（组）或不等式（组）结合解决实际 (1)男装、女装的单价各是多少？ 问题 (2)如果参加活动的男生人数不超过女生人 2.方案问题： 数的号，购买服装的总费用不超过17000 通常涉及两个相关量，根据所满足的关系式， 列不等式，求出某一个变量的取值范围，再根 元，那么学校有几种购买方案？怎样购买 据另一个变量所满足的条件，即可确定有多 才能使费用最低，最低费用是多少？ 少种方案。 3.最值问题： (1)有具体方案时，将所有求得的方案的值计 算出来，再进行比较； (2)求出函数关系式，由一次函数的增减性确 定最值；若为分段函数，应分类讨论，先计 算出每个分段函数的最值，再进行比较， 最后确定最值， 4.常见类型： (1)简单应用：一般只涉及一个简单解析式的 实际问题，要根据解析式求变量的值、求 最大（小）值等： (2)分段函数问题：函数关系随自变量取值范 围的变化而变化，如阶梯收费问题（水费、 电费、出租车收费等)、促销问题、计算机 程序等； (3)双图象问题：问题情境涉及两个相关解析 式，如方案选择、相遇问题等 47中考复习堂堂清·数学 核心考点解读 提升关健能力 核心考点①一次函数的图象和性质 9.(2020·荆州)在平面直角坐标系中，一次函 楚河 汉界 数y=x十1的图象是 马 第10题图 第13题图 11.(2021·仙桃)下列说法正确的是 ( A.函数y=2x的图象是过原点的射线 B.直线y=一x十2经过第一、第二，第三象 限 C两数y=一是(<0y随x增大而增大 10.【新课标·数学文化】(2023·鄂州)象棋起 D.函数y=2x一3，y随x增大而减小 源于中国，中国象棋文化历史悠久，如图所 12.(2021·黄石)将直线y=一x十1向左平移 示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐 m(m>0)个单位长度后，经过点(1，一3)，则 标系，使棋子“帅”位于点（一2，一1）的位置， m的值为 则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所 13.(2024·凉山州)如图，一次函数y=kx十b 在的点的一次函数解析式为 ( ) 的图象经过A(3,6),B(0,3)两点，交x轴于 A.y=x+1 B.y=x-1 点C,则△AOC的面积为 C.y=2x+1 D.y=2x-1 核心考点② 一次函数与方程（组）、不等式的关系 14.(2022·鄂州)数形结 是x<2,则一次函数y=kx十b的图象大致 v=kx+b 合是解决数学问题常 是 用的思想方法.如图， 一次函数y=kx十b(k, b为常数，且k<0)的图象与直线y=了x都 经过点A(3,1),当kx十b<3x时，x的取 值范围是 () A.x>3 B.x<3 -3-2-10123 -3-2-11012 C.x<1 D.x>1 15.(中考·广东)已知不等式kx十b<0的解集 D 利顿学景备考新模式48 核心考点3 一次函数的应用 名师在线 真题对练 运用一次函数图象及其性质可以帮助我们解决实际 16.【新课标·跨物理学科】(2024·湖 生活中的许多问题，如利润最大、成本最小、话费最省、最 北)铁的密度约为7.9kg/cm3,铁 佳设计方案等问題，我们应善于总结规律，达到灵活运用 的质量m(kg)与体积V(cm)成正 的目的，应用一次函数解决实际问题常见的三种题型： 比例.一个体积为10cm3的铁块， (1)建立函数模型，然后借助方程或不等式或函数图象来 它的质量为 解决方案选择问題：(2)利用一次函数的图象的性质，如 17.【新课标·综合与实践】(2023·宜 增减性等来解决生活中的最优化问题，它常与方程（组） 昌)某食用油的沸点温度远高于水 的沸点温度.小聪想用刻度不超过 或不等式（组）一起考查；(3)与分段函数相关的实际问 100℃的温度计测算出这种食用油 題，要注意理清分段的标准。 沸点的温度.在老师的指导下，他在 典例精析 锅中倒入一些这种食用油均匀加 例【新情境·地域特色】(2023·襄阳)在襄阳市创建 热，并每隔10s测量一次锅中油 “经济品牌·特色品牌”政策的影响下，每到傍晚，市内 温，得到的数据记录如下： 某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉 时间t/s 0 10 20 30 40 串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进 油温y/℃ 10 30 50 70 90 行加工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成 / 本为n元/支：两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与 90 0 成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）： 50 数量（支） 30 次数 总成本（元） 20 海鲜串 肉串 10 01020304050t/s 第一次 3000 4000 17000 (1)小聪在直角坐标系中描出了表 第二次 4000 3000 18000 中数据对应的点.经老师介绍， 针对团体消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200 在这种食用油达到沸点前，锅中 支时，每支售价5元：超过200支时、不超过200支的 油温y(单位：℃)与加热的时间 部分按原价，超过200支的部分打八折.每支肉串的售 t(单位：s)符合初中学习过的某 价为3.5元. 种函数关系，填空：可能是 (1)则m= 函数关系（请选填“正比例” (2)五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费 “一次”“二次”“反比例”)： 海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400 (2)根据以上判断，求y关于t的函 数解析式： 支.在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支， (3)当加热110s时，油沸腾了，请 店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函 推算沸点的温度. 数关系式，并写出自变量x的取值范围： (3)在(2)的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了 200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉 串降价a(0<a<1)元，但要确保本次消费获得肉 49 中考复习堂堂清·数学 串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求α的最 大值 解答 中人考人新人动向 导图内化自标 18.【新课标·传统文化】如图，大拇指 1,k决定方向（上升或下降） 与食指尽量张开时，两指尖的距离 一次函数 b>0: d称为“一柞长”，某项研究表明身 的图象与 2.b决定与y轴交点位置{b=0: 高与“一柞长”成一次函数关系，如 性质 b<0: 图是测得的身高与“一柞长”的一 3.平移：上下平移变常数，上 下 组数据： 一次函数 次 解析式的 设 代 一捧长d(cm) y=kx十b一列方程组一→解方程组→下结论 16 17 18 19 数 确定 身高h(cm) 162 172 182 192 一次函数与 与一元一次方程关系 (1)按照这组数据， 方程、不等 与一元一次不等式关系 可求身高五与一 式（组）关系 与二元一次方程组的关系 柞长d之间的函 一次函数 {方案问题 数关系式是 ·实际问题建模 的应用 最值问题 (2)某同学一拃长为16.8cm,该同 学的身高是 (3)若某人的身高为185cm,一般 情况下他的一柞长d应是 备考满分演练 (见进阶作业本) 引领学素备考新模式50-2)(6,1)或(-2,1)(4)(-2，-2) (2,2) (2)5(3)解：设点K的坐标为(，0).由题意， (2,-2)(5)(0,2) (0,1) 4.(1,-3) 5.B 6.解：列表法表示为： 得S△MN= 20N·k=15.解得k=士6.∴点 K的坐标为（一6,0）或(6,0).8.解：(1)设男装 边数n 3 5 单价为x元，女装单价为y元，根据题意，得 内角和m/度 180 360 540 720 z十y=220·解得工二100答：男装单价为10 16x=5y. 1y=120.1 解析式法表示为：m=180(n 2),n≥3，且n为 元，女装单价为120元；(2)设参加活动的女生有 整数.7.x≠08.C a人，则男生有(150一a)人，根据题意，可得 知识梳理 2 知识点一 150-a≤3， 解得90≤a≤ (1)y (2).x (3)(0,0) (1)相等 (2)互为相 120a+100(150-a)≤17000. 反数(1)纵(2)横 100,a为整数，a可取90,91,92,93,94,95， 知识点二 96,97,98,99,100,一共11个数.故一共有11种 lyl zl √/x2+y 方案，设总费用为e元，则w=120a十100(150 知识点三 -a)=15000十20a,.20>0,∴.随着a的增 (a,-b)(-a,b)(-a,-b)x+ax-a 大而增大.∴.当a=90时，有最小值，最小值为 y+b y-b 15000+20×90=16800(元).此时，150-a=60 知识点四 (套)，答：当女装购买90套，男装购买60套时， 1.唯一确定x2.(1)列表法(2)图象法 所需费用最少，最少费用为16800元. (3)解析式法3.(1)列表(2)描点(3)连线 知识梳理 知识点五 知识点一 实零非负数零公共 1.kx+b2.=0 y=k.x增大减小(0，b) 核心考点解读 知识点四 典例精析 1.横坐标 2.(1)①0 ②0(2)①上方②下 【例】D解：下层圆柱底面半径大，水面上升块， 方3.m 上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上 核心考点解读 则水面上升更慢，所以对应图象是第一段比较 典例精析 陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓.故 【例】(1)32(2)解：当0<x≤200时，店主获 选：D. 得海鲜串的总利润为y=(5-3)x=2x:当200< 真题对练 x≤400时，店主获得海鲜串的总利润为y=(5 9.C10.D11.A12.A13.(-3,1) 3)×200+(5×0.8-3)(x-200)=x+200:.y 14.(1,-2)15.(-1,8)16.B17.C18.D 2.x(0<x≤200)， 19.C x十200(200<r≤400)：(3)解：设降价后获 中考新动向 得肉串的总利润为之元，令=之一y.200<x 20.B ≤400，.2=(3.5-a-2)(1000-x)=(a 导图内化目标 1.5)x+1500-1000a..=x-y=(a-2.5)x (x,y十b)(x,y一b)分母≠0被开方式≥0 +1300-1000a.0<a<1,.a-2.5<0.. 分母≠0被开方式≥0 随x的增大而减小.当x=400时，心的值最小， 第11讲 一次函数 由题意可得≥y,.≥0，即(a一2.5)×400十 教材知识梳理 1300-1000≥0.解得a≤0.5.∴.a的最大值为0.5. 基础对练 真题对练 1.n=±4n=42.(1)2(2)<3.D 9.C10.A11.C12.313.914.A15.B 4.(1)-4(2)二、三、四(3)-13<y≤-1 16.79kg17.(1)一次(2)解：设锅中油温y (4)D(5)y=-6.x+1(6)y=-6.x-9 与加热的时间t的函数关系式为y=kt十b(k≠ 5.解：：一次函数y=kx十b的图象经过点(3,5) 0),将点(0,10)，(10,30)代入，得 与-4.9-都得伦21. 白004。=30.解得合仁6y=2+10:(3)第： b=10, 这个一次函数的解析式为：y=2x一1.6.(1)x 当t=110时，y=2×110+10=230(℃)，.经过 =5(2)x>5(3)x<1(4)(3,2) 推算，该油的沸点温度是230℃. x=3, y=2 (5)x≥3(6)2<x<37.(1)-5 中考新动向 18.(1)h=10d+2(2)170cm(3)18.3cm 21 导图内化目标 (1,4),B(2,2)代入2=kx+b,得 k十b=4,解 2.正半轴原点负半轴3.加减 2k+b=2. 第12讲反比例函数及其应用 得k=一2，b=6,即一次函数的解析式是y 教材知识梳理 一2x+6.由图象可知：y<y2时x的取值范围 基础对练 是1<x<2.(3)215.(1)-4(2)①④ 1.C2.(1)第二、第四双曲线增大(2)一3 (3)x<0或x>4 <x<0 (3)①<②< ③> ④y2>yg>y 中考新动向 3.(1)C(2)4 (3)A4.(1)y=-3 (2)C 16 5.B 证(1)解：点A(1,4)在反比例 知识梳理 知识点一 函数y=第一象限的图象上，k1=1X4=4. ≠0 不等于0 知识点二 ∴反比例函数为y=将点A先向左平移5个 第一、第三 第二、第四 减小增大 轴 中 单位长度，再向下平移个单位长度后得到点C 心士x 坐标原点 知识点 （一4,4一m).:点C恰好落在反比例函数y= 1.k| 2号 21k k:一k2 第三象限的图象上4-m=m=5.“C 2 核心考点解读 (-4,-1).把点C坐标代入y=k2x,得-1= 典例精析 一心k:=子直线y=k:x的解析式为y 【例1】解：(1)：一次函数y=x十m经过点A 1 （-3,0),点B(,4,一3+m=0解得 (2)15 n+m=4. 导图内化目标 m=3,点B1,4.:反比例函数y=经过 1.kkx2.一、第三减小二、第四增大 n=1. 第13讲二次函数的图象和性质 点B(1,4),.k=1×4=4:(2)点A(-3,0), 教材知识梳理 点B(1,4)A0=3.∴SAMw=号A0Xyg= 基础对练 1.B2.(1)解：画出函数图象如图所示； 号×3X4=6,Sx=7A0Xc=2o,由题 3 意得2e<6,<4.“>1.C的横坐标 a的取值范围为a>1.【例2】(1)1解：描 点如图所示： 4-3210 44+4+4444 -4-321012 (2)y=-x2+2.x+33(3)下-(x-1)2+4 x=1(1,4)大4(4)2(-1,0)和(3， 0)(0,3)(5)-12≤y≤4(6)(5，-12) (2y=一x的图象关于y轴对称（答案不 6 (7)y1<ya<y2 (8)<号3.C4左名下 35.(1)y=-4(.x-1)2(2)y=3(.x-2)2 唯一)(3)①x1=1,x2=一1②x≤-2或x≥ 2(3)y=-x2-2.x十8(4)y=2.x2+3.x-4 2 6.B7.168.(1)x1=-1,x2=5(2)-1<x 真题对练 <5(3)x<-1或x>59.(1)<>> 6.C7.C8.1(答案不唯-)9.号 10.8 (2)=<<(3)>(4)>=(5)> (6)=<10.C 11.812.213.D14.(1)42(2)解：把A 知识梳理 22