第6讲 一次方程(组)及其应用-【名师学案】2025年中考数学复习之堂堂清分层进阶学习法

导图内化目标 4.C5.A6.20%7.18.解：，降价1元， 被开方式是非负数1.分母2.开得尽方 可多售出2件，∴.设降价x元，可多售出2x件， 1.≥a2.lal 盈利的钱数为50一x,由题意得：(50一x)(30十 第二单元方程（组）与不等式（组）】 2.x)=2100.化简得：x2一35.x十300=0.解得：x 第6讲一次方程（组）及其应用 =15,x2=20.该商场为了尽快减少库存，.降 教材知识梳理 的越多，越吸引顾客.∴x=20.答：每件商品降价 基础对练 20元时，商场日盈利可达到2100元. 1.A2.(1)①③④⑤⑥③⑥(2)53.(1)① 知识梳理 等号右边的1漏乘了最小公倍数6.x一2(2.x 知识点一 1)=6+3(x-3)(2)x=54.15.方法一： 1.一个2 2.a.x2十b.x十c=03.相等 解：由①，得y=3-5x.③把③代入②，得3.x 知识点二 2(3-5.x)=7.解得x=1.把x=1代入③，得y -b士√b-4ac =一2.所以原方程组的解为x二1， 负根 y=-2. 方法二： 2a 知识点三 解：①×2+②，得13.x=13.解得x=1.把x=1 1.(1)两个不相等(2)两个相等(3)没有 代入①，得5十y=3.解得y=一2.所以原方程组 的解为2.6B元C《C解：设每 (4)4≥0且a≠02.-bC aa 知识点四 辆大货车一次可以运货xt,一辆小货车一次可 2.(1)a(1±x)"=b3.(1)(a-2x)(b-2x) 以运货yt,根据题意列方程组，得 (2)(a-x)(b-x)(3)(a-x)(b-x) 2经解得.4X4+3x25 4.(1)售价成本进价利润率(2)成本 (3)单件产品的利润销售量 23.5(t).答：4辆大货车与3辆小货车每一次可 核心考点解读 以运货23.5t. 知识梳理 9.110.-111.2或-112.(1)k> 号且6 知识点一 ≠0(2)解：x1=3+√14，x2=3-√14. 1.c 2.be 13.解：(1)证明：△=(m十2)2一8m=m2-4m十4 =(m一2)2.，不论m为何值时，(m-2)2≥0， 知识点二 1.等式3.11整式4.(1)最小公倍数分 .△≥0.∴.方程总有实数根；(2)m=1.14.1 母括号(2)相反 15.-516.- 3 17. 18.解：(1)k>2: 知识点三 y=4xx+4.x=20 7x=14 (2):方程的两个根为a,3,明=后=3-k 核心考点解读 .k2=3-k十3k.解得k1=3,k2=一1（舍去）. 10.211.112.k<213.A14.A15.A 19.C20.解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长 16.D17.30020018.53 为xm,可以得出平行于墙的一边的长为(25 中考新动向 2.x十1)m,由题意，得x(25-2.x+1)=80,化简， 19.3(x+4)=5(x-4) 青-4=+4 得x2-13.x十40=0，解得x1=5,x2=8,当x=5 时，26-2.x=16>12(舍去)，当x=8时，26-2.x 导图内化目标 10<12.答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m. 性质1性质2一元代入消元法加减消元法 中考新动向 第7讲 一元二次方程及其应用 21.36 教材知识梳理 导图内化目标 基础对练 ax2十b.x+c=0(a≠0)直接开平方配方 公 1.(1)3(2)-5-6(3)B(4)-32.(1)直 式因式分解 接开平方(2)配方(3)因式分解(4)公式 第8讲分式方程及其应用 (或者配方)二解：(x十6)=9，.即x十6= 教材知识梳理 3,x+6=-3.∴.x1=-3,x2=-9.(5)解：x 基础对练 =1,x2=3.(6)解：x1=一1十√3，x2=-1 1.-13(x-2)分母-1十6括号一1 √3.3.(1)B(2)1(3)m>1(4)m≤1 +6+1移项6同类项31103 (5)-3-3(6)①-2-2②-2③8 2.(1)一去分母时，常数项未乘最简公分母 19第二单元 方程(组)与不等式(组 第6讲 一次方程(组)及其应用 8年6考 1.能根据具体问题中的数量关系列出方程,理解方程的意义。 2.掌握等式的基本性质,能运用等式的性质进行等式的变形,能根据等式的性质解一 元一次方程. 3.能根据二元一次方程组的特征,选择代入消元法或加减消元法解二元一次方程组, 能解简单的三元一次方程组. 教材知识梳理 回顾必备知识 基础对练 左 1.下列利用等式的基本性质变形错误的是 *知识点一 等式的性质及其应用 ) 应用 1.若a-),则a士c-b士__- →移项. A.如果一 2-4,那么:--2 →去分母(方程 B.由2x-12得x-6 两边同时乘各分母的最小公倍数);若a一b. C.如果x十1-y-9,那么x-y=-9-1 应用 c子0,则二 →系数化为1. D.如果x-3-5,那么x-5十3 2.【概念辨析】下列各式中,请按要求填空: *知识点二 一元一次方程及其解法 1 1.方程:含有未知数的__: 2.方程的解:能够使方程成立的未知数的值 ) 3.一元一次方程:含有个未知数,并且含 有未知数的项的次数都是的 ()其中 是方程, 方 是一元一次方程: 程,叫做一元一次方程 (2)若方程的解是x一1,m的值是. 4.解一元一次方程的步骤及需注意的问题; 3.【新课标·过程纠错】老师让同学们解方程x (1)去分母:等号两边都乘以所有分母的 2-1-1+-3. ,不要漏乘不含 的项 ③ ,小陶同学给出了如下的 (整数项或是单独的字母项),去分母时, 解答过程. 若分子是多项式应带上 解:去分母,得6x-2(2x-1)-1+3(x-3). (2)去括号:括号前是负因数时,去括号后的 )依据性质2 各项与原括号里的各项的符号 . 引领厚案备考新摇式。 20 去括号,得6x-4x-2-1+3x-3 去括号时,括号外的因数要与括号里的每 )依拢分配律 一项相乘,不要漏乘; ② (3)移项:把等号一边的某项移到等号的另一 移项,得6x-4x+3x-1-3-2 边时要变号: ③依性质1 (4)合并同类项:只把系数相加,字母及其指 数不变; 合并,得5x--4. 依据 整式加法 (5)系数化为1,等号两边同时除以未知数的 依据 系数化为1,得x-一 2性质3 系数(或是乘以未知数的系数的倒数) 根据小陶同学的解答过程,你发现 (1)从第 步开始出现错误,错误的原因 是: 这一步正确的书写为: (2)正确的答案是: x+2y-m. *知识点三 二元一次方程组的解法 4.已知关于x,y的二元一次方程组 l2x十y-4 解二元一次方程组的基本思想是消元 的解满足x一y-3,则n的值为_. 方法 方程组系数特点 步骤 5.【一题多解练透考点】用下列方法解方程组 [5.x十y-3,① 变一-用含有一个未知数 3x-2-7.② 方程组中一个方程 的代数式表示另一个未知 的常数项为0或数; 方法一(代人消元法): 代入 者某一个未知数的 代--消去一个未知数: 消元 由①,得 系数为1或一1, 法 (用r [-4-0.① 表示y).再代入②,得 如 x十y-20.② .求得的值. 继而求得y的值 化一-将同一个未知数的 方法二(加减消元法); 方程组中某一个未 系数化相等或互为相反数; 加减 知数的系数的绝对 加减一-消去一个未知数: 值相等或成倍数关 消元 ①X2十②,得 系,如 字。 (消去y).求得文的值,把 [2x十2y-1,① x的值代入①或②,求得y 3x-4y-12.② 的值. 21 中考氢习堂查清·数学 6.为了增强学生的安全防范意识,某校初三(1) *知识点四 一次方程(组)的应用 班班委举行了一次安全知识抢答赛,抢答题 1.列一次方程(组)解应用题的一般步骤 一共20个,记分规则如下:每答对一个得5 (1)审;(2)设;(3)列;(4)解;(5)验;(6)答 分,每答错或不答一个扣1分,小红一共得70 2.一次方程(组)常用的等量关系 分,则小红答对的个数为 ) 常考类型 重要等量关系式 A.14 B.15 C.16 D.17 胸买问题 总价一单价×数量 7.某超市正在热销一种商品,其标价为每件12 元,打8折销售后每件可获利2元,该商品每 销售额一售价×销量 ) 件的进价为 利润一售价一进价一进价×利润率 A.7.4元 利润问题 B.7.5元 售价一标价×折扣(如打八折即“标价× 0.8”) C.7.6元 D.7.7元 一#100% 利润率一 8.【新课标·数学文化】中国清代算书《御制数 理精蕴》中有这样一题:“马四匹、牛六头,共 价四十八两(我国古代货币单位):马三匹、牛 工作总量(常设为1)一工作效率×工作时间 工程 甲、乙合作的工作效率一甲的工作效率十 五头,共价三十八两,问马、牛各价几何?”设 问题 乙的工作效率 马每匹x两,牛每头y两,根据题意可列方程 组为 ( _ 基本量之间的关系:路程一速度×时间 (6x+4y-48. 6x十4y-38. 1.直线相遇与追及问题: B. 15x+3y-38 15x+3y-48 (1)相遇问题(相向而行):全路程一速 (4x十6y-48. (4x十6y-38. C. 度和×相遇所用的时间 D. 3r+5y-38 3x十5y-48 (2)追及问题: ①同地不同时出发:前者走的路程 9.有大小两种货车,3辆大货车与4辆小货车一 一追者走的路程 次可以运货22t,5辆大货车与2辆小货车一 ②同时不同地出发: 次可以运货25t,则4辆大货车与3辆小货车 行程 前者走的路程十两者间的距离一 问题 一次可以运货多少t? 追者走的路程 2.环形路上相遇与追及问题: (1)环形相遇:甲路程十乙路程一环形 周长 (2)环形追及:快者路程一慢者路程一 环形周长 3.航行问题: 顺水速度一静水速度十水流速度 逆水速度一静水速度一水流速度 引领厚案备考新摸式 22 核心考点解读 提升关键能力 核心考点 非负数的性质与整体思想 10.(2020·黄冈)若lx-2+x十y=0,则 ([x+y-3.① 12.(2022·荆州)已知方程组 的解满 x-y-1② 足2x-3y 5,则的取值范围是 11.(2022·随州)已知二元一次方程组 [r+2y-4. 则x-y的值为__ l2x+y-5. 核心考点2 一次方程(组)应用 13.(2024·湖北)我国古代数学著作《九章算 15.(2022·随州)我国元朝朱世杰所著的《算学 术》中记载了一个关于“方程”的问题:“今有 启蒙》中记载:“良马日行二百四十里,驽马 牛五、羊二,直金十两,牛二、羊五,直金八 日行一百五十里,驽马先行一十二日,问良 两,问牛羊各直金几何?”译文:“今有牛5 马几何追及之,”意思是:“跑得快的马每天 头,羊2头,共值金10两,牛2头,羊5头; 走240里,跑得慢的马每天走150里,慢马 共值金8两,问牛、羊每头各值金多少?”若 先走12天,快马几天可以追上慢马?”若设 设牛每头值金x两,羊每头值金y两,则可 快马x天可以追上慢马,则可列方程为 列方程组是 ) ( [5x+2y-10. (2x+5y-10. A. B.{ 12x+5y-8 15x+2y-8 A.150(12+x)-240x 5x+5y-10. 5x+2y-10. B.240(12+x)-150x C. D. 2x+5y-8 12x+2y-8 C.150(x-12)-240 14.(2022·十堰)我国古代数学名著《张卧建算 D.240(x-12)-150x 经》中记载:今有清酒一斗直粟十斗,醋酒一 16.(2022·武汉)幻方是古老的数学问题,我国 斗直粟三斗,今持粟三解,得酒五斗,问清、 古代的《洛书》中记载了最早的幻方一一九 醋酒各几何?意思是:现有一斗清酒价值10 宫格,将9个数填入幻方的空格中,要求每 斗谷子,一斗醋酒价值3斗谷子,现拿30斗 一横行、每一坚列以及两条对角线上的3个 谷子,共换了5斗酒,问清、醋酒各几斗?如 数之和相等,例如图(1)就是一个幻方,图 果设清酒工斗,那么可列方程为 - (2)是一个未完成的幻方,则x与y的和是 A.10x+3(5-x)-30 ( B.3x+10(5-x)-30 3620 2 3 (1) 30-x-5 (2) D._ A.9 B.10 C.11 10 3 D.12 23 中考篡习堂堂清·&学 17.(2020·黄冈)已知A,B两件服装的成本共 18.(2018·襄阳)我国古代数学著作《九章算 500元,服装店老板分别以30%和20%的利 术》中有一道阐述“盈不足术”的问题,译文 润率定价后进行销售,该服装店共获利130 为:现有几个人共同购买一个物品,每人出8 元,B服装的成 元,则A服装成本是 元,则多3元;每人出7元,则差4元,则这 元. 本。 个物品的价格是元. 19.【新课标·传统文化】 等式的基本性质与解方程 填空: 端午节(西塞神舟会)又名“龙舟 一元一次方程:解一元一次方程的步骤 会”,是流传于湖北省黄石市的地方 [思想→转化(化二元为 一次方程(组)二元一次方 及其应用 民俗,国家级非物质文化遗产之一. 程组的解法消元方法 一艘龙舟航行于A,B两个码头之 [解题步骤:审→设→列→解→ 间,龙舟顺水航行需3h,逆水航行 一次方程(组) 验→答 需5h,已知水流速度是4km/h,求 的应用 常见关系式 这两个码头之间的距离。 思路一:设船在静水中速度为xkm/h. 得方程: 思路二:设A.B两码头之间的距离 为xkm,列方程: 备考满分演练 (见进阶作业本) 引领厚案备考新摸式 24