第5讲二次根式-【名师学案】2025年中考数学复习之堂堂清分层进阶学习法

第5讲二次根式 8年29考 1,了解二次根式、最简二次根式的概念 标 2.了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会运用它们进行简单的四 要 则运算. 求 3.能用有理数估计一个二次根式的大致范围. 教材知识梳理 回顾必备知识 左练 1.【概念辨析】下列式子中，一定是二次根式的 ★知识点一 二次根式及其相关概念 为 ( 1定义：形如 的式子叫做二次根式。 A.a B.2C.r2+1 D.-1 判断一个式子是否是二次根式要紧扣两点： 2.【人教八下P5习题T1及变式】 (1)形如 的形式； (1)a取何值时，下列式子有意义： (2)被开方数是 3-a: 2.最简二次根式应满足的条件：(1) Ja+1 :(2) (2)下列二次根式中是最简二次根式的是 (选填序号) ①√10②√0.2③8 ④2 3.(1)判断正误： ★知识点二二次根式的性质 ①√2=2 ( L.双重非负性：√a 0且a≥0. ②√(-2)F=-2 2.(a)2= (a≥0) ③√(-2)=2 (a≥0)， 3.a= ④(-√2)2=-2 (a≤0). 【技巧】平方在根号外，直接去根号：平方在根号内，加 @g-号 上绝对值再讨论. ⑥4 4.ab= (a≥0，b≥0). =45 2√5 5.6 (a≥0，b>0). (2)【人教八下P5习题T9变式】已知24n是 6.非负数的性质【常见的非负数：a|,a,wa(a 整数，则正整数n的最小值是 ≥0)】：若几个非负数的和为0，则每个非负数 4.(2023·荆州改编)若√1一a+(b+3)=0,则 都为 |a+b的值是 如a2+b十c=0,则a=b=c=0. 17中考复习堂堂清·学 5.下列计算正确的是 ★知识点三二次根式的运算 A.√2+5=7 B.42-√2=3 1.二次根式的乘法法则：(1)a·√石= c侵×vm=3 (a≥0，b≥0) 6.(2023·恩施州)计算：√3×√12 2.二次根式的除法法则：口 (a≥0，b 7.(2024·河北一模)若？×√⑧=4，则“？”是 >0). 8.【人教八下P15习题T3变式】计算：√2 3.二次根式的加减法：先把各个二次根式化为 8+√32= 二次根式，再把被开方数 的 9.【人教八下P15习题T4(2)变式】计算： 二次根式进行合并. 4.二次根式混合运算： (2+3)·(2-3)-5X⑤ (1)二次根式的混合运算与实数中的运算顺序 一样，先 ,再乘除，最后 有括号的先算括号里的： (2)在二次根式的运算中，多项式乘法法则和 乘法公式仍然适用.在判断能否运用公式 时，一般把二次根式化成最简二次根式， 再灵活选择公式： (3)注意结果要化为最简二次根式。 10.如图，M,N,P,Q是数轴上的点，那么一√3 *知识点四二次根式的估算 在数轴上对应的点可能是 ( 二次根式估值时，一般先对二次根式平方， M wep 找出与二次根式平方后所得数字相邻的两个开 得尽方的整数，对其进行开方，就可以确定这个 A点MB.点NC.点P D.点Q 二次根式在哪两个整数之间.例如，估算√7在哪 11.(2024·重庆)已知m=√27一√5，则实数m 两个整数之间时，先对√7平方，找出与7相邻的 的范围是 ( 两个开得尽方的整数4和9，因为4<7<9，所 A.2<m<3 B.3<m<4 C.4<m<5 D.5<m<6 以W4<7<⑨，即2<7<3. 12.【新中考·结论开放】(2024·滨州)写出 个比，3大且比√0小的整数 核心考点解读 提升关枝能力 引领学常各考新挑式18 核心考点)二次根式的代数式有意义 13.(2021·襄阳)若二次根式√x+3在实数范 14.(2022·恩施)函数y= x+1 的自变量x 围内有意义，则x的取值范围是 () x-3 A.x≥-3 B.x≥3 的取值范围是 C.x≤-3 D.x>-3 A.x≠3 B.x≥3 C.x≥-1且x≠3D.x≥1 核心考点②二次根式的化简及混合运算 15.(2022·潜江)下列各式计算正确的是( A.√5+1 B.5-1 A.√2+3=5 B.43-33=1 C.23 D.1-3 C./12÷2=6 D.v2×3=√6 17.(2022·荆州)若3-√2的整数部分为a,小 16.(2020·荆州)若x为实数，在“(3+1) 数部分为b,则代数式(2十√2a)·b的值是 ☐x”的“口”中添上一种运算符号（在“+， 一，×，÷”中选择)后，其运算的结果为有理 18.(2021·荆州)已知：a +(-5),b 数，则x不可能是 =(3十√2)(3-2)，则a+b 专人新 母图内化标 动向一： 二次根式的定义：一般地，形如√a(a≥0)的式子 19.【新中考·条件开放】请写出一个正 二次根 二次根式有意义的条件： 整数m的值使得√8m是整数：m 式的相 L被开方数不含 关概念」 最简二次根式： 同时满足两个条件 2.被开方数不含能 动向二： 的因数或因式 20.若式子√一I在实数范围内有意 a 0(a≥0)， 1. 义，则x的取值范围是 () 二次根式的性质： (a)2= (a≥0) A.r<1 B.x>1 2.√a= C.x≤1 式 D.x≥1 二次根式的运算 1.先对二次根式平方 (T)=11 2.找出与平方后所得数字相邻 二次根 的两个开得尽方的整数 确定9和16 式估值 3.对以上两个整数开方 =3,√16=4 4.确定这个根式的值在开方后 所得的两个整数之间 3<√1T<4 备考满分演练 (见进阶作业本) 19中考复习堂堂清·教学知识点四 1.乘积2.(1)提公因式法(2)(a+b)(a一b) (x+1)(x-1=x-1十x十1=2x.20.解：原 (a±b) 2x-y 核心考点解读 式=Lx+y w]·生 (x-y)2 x一y 16.D17.B18.C19.C20.-a2+b 2.x-y-xy).x十y=x.x+y=x 21.2922.解：原式=4.x3+2.x-4x2(x+1)= x+y x+y/ x-y x+y x-yx-y 4.x3十2x-4x3-4x2=2x-4x2.23.解：原式= ”x=(3）=2y=(-2023)°=1原式 4xy-2xy+3xy=5.xy,当x=2,y=-1时，原 式=5×2×(-1)=-10.24.解：原式=(x2+ 2=2. 21.解：原式=[D 2x 4x十4)-(x2+3)=x2十4x十4-x2-3=4x+ 1.当x=-2时，原式=4×(-2)十1=-7. 25.626.(1)(a-1)(2)(y-1)(x-4) ]·兴 (3)xy(x+3)(x-3) 十1.x2-x-1=0,∴.x2=x+1.原式= 第4讲分式 教材知识梳理 x十1=1. 22.解：原式=a-1.(a十1) a (a+1)(a-1) 基础对练 1.②④①③⑤⑥2.(1)x≠4(2)x=2 =a+1.解不等式①，得a>2.解不等式②，得a 3.C4.D5.D6.(.x-2)(x+3)2 <4.则2≤a<4.所以a的最小整数值是2，所 7.(1)21y (2)y-x (3)9.zy 4a (4)68.m 以，原式=2十1=3 2 . 23.解：原式 1 1 9. x+1 10. 11.解：原式 2 x-y 3a-1_a2-1 a+1 -a(a-3) a十1a+I (a-3)7 a+1 、1 (x+1)(x-1)≠0，x≠1且x≠ a+1 (a-3)9 a-3 -1.∴=2或3.当x=2时，原式=2=1 知识梳理 第5讲二次根式 知识点一 教材知识梳理 1.字母整式2.(1)分母不等于0(2)分母 基础对练 等于0(3)分子等于0且分母不等于03.0 1.C2.(1)a≤3a>-1(2)①④3.(1)①/ 公因式公因式相等 ②×③√④×⑤/⑥×(2)64.2 知识点二 乘方乘法约分加减括号 5.C6.67.28.3√29.解：原式=2-3-3 核心考点解读 =一4. 10.A11.B12.2(答案不唯一) 12.x≠113.x=014.0(答案不唯一)15.1 知识梳理 16.解：原式=+1-2x=x-1) 知识点一 x-1 x一1 =x-1. l.a(a≥0) (1)√a(2)非负数2.(1)被开 17.解：原式=1·a十1D(a-1D=1 方数不含分母(2)被开方数不含能开得尽方的 a+1a(a-1) a 因数或因式 1解：原式=得-品 知识点二 a+3 2(a+3）=2 1.≥ 2.a3.ala-a4.√a·b5 Va a-1)=。19.1)②③解：(1)甲同 学的解法是：先把括号内两个分式通分后相加， 6.0 再进行乘法运算，通分的依据是分式的基本性 知识点三 质，故答案为：②.乙同学的解法是：根据乘法的 1.ab 2. 3.最简 相同4.(1)乘方 分配律，去掉括号后，先算分式的乘法，再算加 b 法，故答案为：③：(2)选择乙同学的解法.规范解 加减 核心考点解读 13.A14.C15.D16.C17.218.2 中考新动向 19.2(答案不唯一)20.D 18 导图内化目标 4.C5.A6.20%7.18.解：，降价1元， 被开方式是非负数1.分母2.开得尽方 可多售出2件，∴.设降价x元，可多售出2x件， 1.≥a2.|a 盈利的钱数为50一x,由题意得：(50一x)(30十 第二单元方程（组）与不等式（组） 2.x)=2100.化简得：.x2一35.x十300=0.解得：x 第6讲一次方程（组）及其应用 =15,x2=20.,该商场为了尽快减少库存，∴.降 教材知识梳理 的越多，越吸引顾客.∴x=20.答：每件商品降价 基础对练 20元时，商场日盘利可达到2100元. 1.A2.(1)①③④⑤⑥③⑥(2)53.(1)① 知识梳理 等号右边的1漏乘了最小公倍数6x一2(2.x 知识点一 1)=6十3(x-3)(2)x=54.15.方法一： 1.一个22.a.x2+bx十c=03.相等 解：由①，得y=3-5.x.③把③代入②，得3x 知识点二 2(3-5x)=7.解得x=1.把x=1代人③，得y 二之.所以原方程组的解为2。 负根 -b±√-4ac 方法二： 2a 知识点三 解：①×2+②，得13x=13.解得x=1.把x=1 1.(1)两个不相等(2)两个相等(3)没有 代人①，得5十y=3.解得y=一2.所以原方程组 的解为26B7.C8,C9解：设每 (4)4>0且a≠02.-bc aa 知识点四 辆大货车一次可以运货x,一辆小货车一次可 2.(1)a(1士x)"=b3.(1)(a-2x)(b-2x) 以运货y,根据题意列方程组，得 (2)(a-x)(b-x)(3)(a-x)(b-x) 2y解得2.4X4十3X25 4.(1)售价成本进价利润率(2)成本 (3)单件产品的利润销售量 23.5(t).答：4辆大货车与3辆小货车每一次可 核心考点解读 以运货23.5t. 知识梳理 9.110.-111.2或-112.(1)k>- 号且大 知识点一 ≠0(2)解：x1=3+√14，x2=3一√14， 1.c 2.bc 13.解：(1)证明：△=(m十2)2一8m=m2-4m+4 =(m一2)2.，不论m为何值时，(m一2)2≥0， 知识点二 .△>0..方程总有实数根；(2)m=1.14.1 1.等式3.11整式4.(1)最小公倍数 分 母括号(2)相反 15.-516.- 3 1n.2 18.解：(1)k>2: 知识点三 y=4.xx+4.x=207x=14 (2)·方程的两个根为a,B,.邱=￡=3一k. a 核心考点解读 .k2=3一k十3k.解得k1=3,k2=一1（舍去）. 10.211.112.k<213.A14.A15.A 19.C20.解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长 16.D17.30020018.53 为xm,可以得出平行于墙的一边的长为(25 中考新动向 2x十1)m,由题意，得x(25-2x+1)=80,化简， 19.3(x+4)=5(x-4) -4=+4 得x2-13x+40=0,解得x1=5,x2=8,当x=5 时，26-2.x=16>12(舍去)，当x=8时，26-2.x= 导图内化目标 性质1性质2一元 代人消元法加减消元法 10<12.答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m 中考新动向 第7讲 一元二次方程及其应用 21.36 教材知识梳理 导图内化目标 基础对练 a.x2+b.x十c=0(a≠0)直接开平方配方公 1.(1)3(2)-5-6(3)B(4)-32.(1)直 接开平方(2)配方(3)因式分解(4)公式 式因式分解 > 第8讲分式方程及其应用 (或者配方)二解：(x十6)2=9，.即x十6= 教材知识梳理 3,x十6=-3..x1=-3,x2=-9.(5)解：x 基础对练 =1,x2=3.(6)解：x1=-1十√3，x2=-1 1.-13(x一2)分母一1十6括号一1 √3.3.(1)B(2)1(3)m>1(4)m≤1 十6十1移项6同类项31103 (5)-3-3(6)①-2-2②-2③8 2.(1)一去分母时，常数项未乘最简公分母 19