精品解析：广东省普宁市第二中学2024-2025学年八年级下学期第一次素质测评数学试题

2024—2025学年度第二学期核心素养1 八年级 数学试卷 考试时长：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，7 B. 8，10，15 C. 6，8，10 D. 7，24，26 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，不能够成三角形，故本选项不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，能构成直角三角形，故本选项符合题意； D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C 2. 给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是（ ） A 5 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．运用不等式的定义进行判断． 【详解】解：①是不等式； ②是不等式； ③是等式， ④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式， ⑤是不等式， ⑥是不等式． 不等式有①②⑤⑥，共4个． 故选：D． 3. 若x＞y，则下列式子错误的是（ ） A. x﹣3＞y﹣3 B. ﹣3x＞﹣3y C. x+3＞y+3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质在不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变即可得出答案． 【详解】解：A、不等式两边都减3，不等号的方向不变，正确，故本选项不符合题意； B、乘以一个负数，不等号的方向改变，错误，故本选项符合题意； C、不等式两边都加3，不等号的方向不变，正确，故本选项不符合题意； D、不等式两边都除以一个正数，不等号的方向不变，正确故本选项不符合题意． 故选：B． 4. 若等腰三角形的一边长为，周长为，则此等腰三角形的底边长是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理，是解题的关键．长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解． 【详解】解：当长是的边是底边时，腰长为，三边为，，，等腰三角形成立； 当长是的边是腰时，底边长是：，而，不满足三角形的三边关系． 故底边长是： 故选：C． 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等 B. 有一个角等于的三角形是等边三角形 C. 等腰三角形的高线，中线，角平分线互相重合 D. 在直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查命题的真假判断、全等三角形判定、等边三角形判定、等腰三角形性质、勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理．根据正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，利用三角形相关的性质定理，全等三角形判定、等边三角形判定、等腰三角形性质、勾股定理，对选项进行一一判断，即可解题． 【详解】解：A、斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等，所以A是真命题，符合题意． B、有一个角是的三角形不一定是等边三角形，所以B不是真命题，不符合题意． C、等腰三角形底边上的高线，中线，顶角平分线互相重合，所以C不是真命题，不符合题意． D、在直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5或，所以D不是真命题，不符合题意． 故选：A． 6. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式，将不等式的解集表示在数轴上即可． 【详解】解： 移项合并得：， 系数化1得：， 表示在数轴上为∶ 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，并把解集表示在数轴上，正确解出不等式是解答本题的关键． 7. 如图是一个跷跷板的示意图，立柱与地面垂直（于点），跷跷板的一头着地时，点在同一水平线上，若时，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半，求解即可． 【详解】解：∵，点在同一水平线上， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 8. 已知a＜3，则不等式（a﹣3）x＜a﹣3的解集是（　　） A. x＞1 B. x＜1 C. x＞﹣1 D. x＜﹣1 【答案】A 【解析】 【详解】因为a＜3， 所以a﹣3＜0． 两边同时除以a﹣3得： x＞1． 故选A． 9. 如图，在中，为的平分线，于，于，的面积是，，，则的长（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】本题考查的是角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式计算即可． 解：∵为的平分线，于，于， ∴． ∵的面积是，，， ∴， ∴， ． 故选：A． 10. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列五个结论：其中一定正确的结论有（ ）个． ①；②；③；④点到各边的距离相等；⑤设，，则．（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和定理：①根据角平分线定义及可得出，，由此可得出结论；②由于与不一定相等，则与不一定相等，进而得到与不一定相等；③先根据角平分线的性质得出，再由三角形内角和定理即可得出结论；④根据角平分线的性质即可得出结论；⑤连接，根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：和的平分线相交于点G， ， ， ， ， ， 同理可得， ，故①正确； ∵与不一定相等，， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等，故②错误； 和的平分线相交于点G， ， ，故③错误； 和的平分线相交于点G， 点G到的距离相等，到的距离相等， 点G到各边的距离相等，故④正确； 如图所示，连接， 点G到各边的距离相等，，， ，故⑤正确． 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. x与y的平方和不大于用不等式可表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，根据题目中的语句可知x的平方与y的平方之和不大于10，然后写出不等式即可． 【详解】解：根据题意，得 ， 故答案为：． 12. 用反证法证明“已知的三边长为，，，若，则不是直角三角形”时，应先假设________． 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】本题考查了反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立即可求解． 【详解】解：反证法证明“已知的三边长为，，，若，则不是直角三角形”时，应先假设的是直角三角形， 故答案为：是直角三角形 ． 13. 如图，直线与相交于点，那么不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式的关系，先求出点P的坐标，再找到直线的图象在直线的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∴由函数图象可知，不等式的解集是， 故答案为：． 14. 已知关于的不等式组无解，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，再根据原不等式组无解可得，求解即可． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②得：， ∵关于x的不等式组无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，等边的边长为，是边上的中线，是上的动点，是边上一点，若，的最小值为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最短路径问题，等边三角形的性质，中位线定理，勾股定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键．连接，与交于点，取中点，连接，推出，则就是的最小值，利用中位线定理推出和的长度，再通过勾股定理运算求解即可． 【详解】解：连接，与交于点，取中点，连接，如图所示， ∵为等边三角形，是边上的中线， ∴为的中垂线， ∴，则就是的最小值， ∵等边的边长为，， ∴， ∴， 又∵是边上的中线， ∴是的中位线， ∴，， 又∵为的中点， ∴为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴． 在直角中，，， ∴， ∴． ∵ ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解不等式：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】x≤1，数轴见解析 【解析】 【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1的方法解不等式，然后把解集表示在数轴上． 【详解】解：去分母得，2（2x+1）-3（1-x）≤6， 去括号得：4x+2-3+3x≤6， 移项得：4x+3x≤6-2+3， 合并同类项得：7x≤7， 系数化为1得：x≤1． 这个不等式的解集在数轴上表示： ． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． 17. 一块田地的形状如图所示，已知，求该田地的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理逆定理的应用等知识．连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，得到， 利用割补法即可求出该田地的面积． 【详解】解：连接， 在中，根据勾股定理，可得， ∵， ∴ ∴是直角三角形， ∴， ∴该田地的面积＝的面积-的面积 = 答：该田地的面积是． 18. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点，，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）所作的图中，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理： （1）根据作已知直线的垂直平分线的作法画出图形，连接即可； （2）根据线段垂直平分线的性质，可得，再由等腰三角形的性质可得，求出，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：如图，直线l即为所求； 【小问2详解】 解：垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， （负值舍去）． 四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，，平分，，垂足为点． （1）线段与是否垂直？说明理由； （2）若，，求的周长． 【答案】（1），理由见解析 （2）周长为 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质,全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握全等三角形的对应边、对应角相等和等腰三角形底边上的中线、高线和顶角的平分线相互重合是解题的关键． （1）利用条件证明，利用等腰三角形的三线合一的性质可证明结论； （2）利用勾股定理求出，再利用（1）的结论可求得，且，可求得，即可求解． 【小问1详解】 解：，理由如下： 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又平分， ； 【小问2详解】 ，， 由勾股定理可得， ， ， 又， ， ， 即的周长为． 20. 东海龙宫里有一家珍珠商店，店主用1200元购进了甲、乙两种珍珠，已知甲种珍珠每颗进价12元，乙种珍珠每颗进价10元，店主将甲种珍珠以每颗15元出售，乙种珍珠以每颗12元出售，全部售完后共获利270元． （1）这家珍珠商店购进甲、乙两种珍珠各多少颗？ （2）店主决定再次进货，进价不变，购进甲种珍珠的数量与第一次相同，而乙种珍珠的数量是第一次购进乙种珍珠的数量的2倍．乙种珍珠仍按原价出售，但甲种珍珠需要降价出售，若希望再次销售完毕后获利不少于340元，甲种珍珠每颗最低售价应为多少元？ 【答案】（1）珍珠商店购进甲种珍珠50颗，乙种珍珠60颗 （2）甲种珍珠每颗的最低售价为14元 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组解应用题的方法和步骤，列一元一次不等式及解一元一次不等式的方法和过程．在解答的过程中建立等量与不等量关系式是关键． （1）设珍珠商店购进甲种珍珠颗，乙种珍珠颗，根据其进价和利润建立等量关系列出方程组求出其解即可． （2）设甲种珍珠每颗的售价为元，就可以求出甲种珍珠每颗的利润，表示出甲种珍珠的总利润再加上乙种珍珠的总利润就是两种珍珠销售完后的总利润，由题意就可以建立不等式．从而求出其解． 【小问1详解】 解：设珍珠商店购进甲种珍珠颗，乙种珍珠颗，由题意，得 ， 解得． 答：珍珠商店购进甲种珍珠50颗，乙种珍珠60颗； 【小问2详解】 解：设甲甲种珍珠每颗的售价为元，由题意得， ， 解得：． 答：甲种珍珠每颗的最低售价为14元． 21. 在中，，，，垂足为G，且，，其两边分别交边于点E，F． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出是等边三角形； （2）由是等边三角形，得出，证出，由证明可得． 【小问1详解】 ， ， ， ， ， 是等边三角形； 【小问2详解】 是等边三角形， ， ， ， ， 在与中， ， ． 五、解答题（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 若一个不等式组有解且解集为（），则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组对于不等式组中点包含． （1）已知关于的不等式组：，以及不等式组：， ①解集中点值为 ． ②不等式组对于不等式组 （填“是”或“不是”）中点包含． （2）已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，求的取值范围． （3）关于的不等式组：（）和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之积为，求的取值范围． 【答案】（1）①； ②是 （2） （3） 【解析】 【分析】（）①求出不等式组的解集，再根据解集中点值的定义求出的解集中点值即可；②根据不等式组的解集判断即可求解； （）求出不等式组和的解集，进而得到，据此即可求解； （）求出不等式组和的解集，进而可得，再根据所有符合要求的整数之积为，可得，即得到，据此即可求解； 本题考查了解一元一次不等式组，由不等式组的解集情况求参数，理解新定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：①解不等式组得，， ∴不等式组的解集中点值为， 故答案为：； ②∵不等式组：，不等式组的解集中点值为， ∴不等式组对于不等式组是中点包含， 故答案为：是； 【小问2详解】 解：解不等式组得，， ∴不等式组的解集中点值为 解不等式组得，， ∵不等式组对于不等式组中点包含， ∴ 解得； 【小问3详解】 解：解不等式组得，， ∴不等式组解集中点值为， 解不等式组得，， ∵不等式组对于不等式组中点包含， ∴， 解得， ∵所有符合要求的整数之积为， ∴可取或可取， ∴或， 即． 23. （1）问题提出：如图1，点为等腰内一点，，若另有一个以、为腰的等腰且，求证：． （2）尝试应用：如图2，点为等腰外一点，，过点的直线分别交的延长线和的延长线于点与交于，若，求证：． （3）问题拓展：如图3，中，，点，分别在边，上，交于点，等边的边与相交于点．若，请直接写出的长度． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质可证得，，进而得证，即可利用证明． （2）延长至G，使 ，连 接，设 交于K，如图：证明，，可得，再进一步可得结论； （3）过作于，连接，证明，进而证明，可得，则，证明，可得，再进一步可得答案． 【详解】（1）证明：是以、为腰的等腰三角形， ， ， ， 在和中， ， ∴ （2）证明：延长至，使，连接，如图： ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ； （3）过作于，连接． 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角的判定及性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，含的直角三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期核心素养1 八年级 数学试卷 考试时长：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，7 B. 8，10，15 C. 6，8，10 D. 7，24，26 2. 给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是（ ） A. 5 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若x＞y，则下列式子错误的是（ ） A. x﹣3＞y﹣3 B. ﹣3x＞﹣3y C. x+3＞y+3 D. 4. 若等腰三角形的一边长为，周长为，则此等腰三角形的底边长是（ ） A. 或 B. C. D. 或 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等 B. 有一个角等于三角形是等边三角形 C. 等腰三角形的高线，中线，角平分线互相重合 D. 在直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5 6. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是一个跷跷板的示意图，立柱与地面垂直（于点），跷跷板的一头着地时，点在同一水平线上，若时，则的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知a＜3，则不等式（a﹣3）x＜a﹣3的解集是（　　） A. x＞1 B. x＜1 C. x＞﹣1 D. x＜﹣1 9. 如图，在中，为的平分线，于，于，的面积是，，，则的长（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列五个结论：其中一定正确的结论有（ ）个． ①；②；③；④点到各边的距离相等；⑤设，，则．（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. x与y的平方和不大于用不等式可表示为__________． 12. 用反证法证明“已知三边长为，，，若，则不是直角三角形”时，应先假设________． 13. 如图，直线与相交于点，那么不等式的解集是__________． 14. 已知关于的不等式组无解，则的取值范围为_____． 15. 如图，等边的边长为，是边上的中线，是上的动点，是边上一点，若，的最小值为 ___________． 三、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解不等式：，并将解集在数轴上表示出来． 17. 一块田地的形状如图所示，已知，求该田地的面积． 18. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点，，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）所作图中，若，求的长． 四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，，平分，，垂足为点． （1）线段与是否垂直？说明理由； （2）若，，求的周长． 20. 东海龙宫里有一家珍珠商店，店主用1200元购进了甲、乙两种珍珠，已知甲种珍珠每颗进价12元，乙种珍珠每颗进价10元，店主将甲种珍珠以每颗15元出售，乙种珍珠以每颗12元出售，全部售完后共获利270元． （1）这家珍珠商店购进甲、乙两种珍珠各多少颗？ （2）店主决定再次进货，进价不变，购进甲种珍珠的数量与第一次相同，而乙种珍珠的数量是第一次购进乙种珍珠的数量的2倍．乙种珍珠仍按原价出售，但甲种珍珠需要降价出售，若希望再次销售完毕后获利不少于340元，甲种珍珠每颗最低售价应为多少元？ 21. 在中，，，，垂足为G，且，，其两边分别交边于点E，F． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 五、解答题（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 若一个不等式组有解且解集为（），则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组对于不等式组中点包含． （1）已知关于的不等式组：，以及不等式组：， ①的解集中点值为 ． ②不等式组对于不等式组 （填“是”或“不是”）中点包含． （2）已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，求的取值范围． （3）关于的不等式组：（）和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之积为，求的取值范围． 23. （1）问题提出：如图1，点为等腰内一点，，若另有一个以、为腰的等腰且，求证：． （2）尝试应用：如图2，点为等腰外一点，，过点的直线分别交的延长线和的延长线于点与交于，若，求证：． （3）问题拓展：如图3，中，，点，分别在边，上，交于点，等边边与相交于点．若，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $