精品解析：2025年湖南省长郡中学集团九年级中考二模考试数学试题

九年级期中检测试卷 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．） 1. 下列四个数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了负数的定义，绝对值的性质，负数的相反数，负数的平方是正数，理解相关知识是解答关键． 根据绝对值的性质来判断A，负数的定义来判定B，负数的相反数来判定C，负数的平方是正数来判定D． 【详解】解：A． ，它是正数，故此项不符合题意； B． 是负数，故此项符合题意； C． ，它是正数，故此项不符合题意； D． ，它是正数，故此项不符合题意． 故选：B． 2. 随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占．将0.0000007用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：将0.0000007用科学记数法表示应为， 故选：C． 3. 某小组名学生的中考体育分数单位（分）如下：，，，，，，，，则该组数据的众数、中位数分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 先将数据按照从小到大重新排列，再根据众数和中位数的定义求解可得． 【详解】解：将这组数据排列为，，，，，，，， 所以这组数据的众数为，中位数为， 故选：． 4. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件是解题的关键．根据二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，， ∴且， 解得． 故选：C． 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：； 故选D． 6. 如图，在中，为的直径，B为上一点．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键；因此此题可根据圆周角定理进行求解 【详解】解：与是同弧所对的圆心角与圆周角，， ∴． 故选：A． 7. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数．根据题意利用锐角三角函数即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 8. 为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】表示出第二批面粉的采购量，根据“每千克面粉价格提高了0.4元”这一等量关系即可列方程． 【详解】设第一批面粉采购量为x千克，则设第二批面粉采购量为千克，根据题意，得 故选：A 【点睛】本题考查列方程解决实际问题，找出题中的等量关系列出方程是解题的关键． 9. 如图，等边三角形OAB，点B在x轴正半轴上，，若反比例函数图象的一支经过点A，则k的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点A作AC⊥x轴于点C，则可根据勾股定理和三角形的面积求出OC和OA的长度，即可得出点A的坐标，将点A坐标代入反比例函数表达式即可求出k． 【详解】 过点A作AC⊥x轴于点C， ∵三角形AOB为等边三角形， ∴∠AOB=60°， 设点A（a，b）， 则CO=a，AO=AB=OB=2a，根据勾股定理可得∶AC=b=， ∵， ∴，，解得：a=2， ∴b=，即点A(2， )， 把点A(2， )代入得，k=， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数得图像和性质，等边三角形的性质，熟练的掌握反比例函数的性质和等边三角形的性质是解题的关键． 10. 如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G．则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中不一定正确的是（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的内心与外心．利用三角形内心的性质得到，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据垂径定理则可对③进行判断；通过证明得到，则可对④进行判断． 【详解】解：∵E是的内心， ∴平分， ∴，故①正确； 如图，连接， ∵E是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵点G为的中点， ∴G一定在上， ∴，故③正确； 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 若，则，显然不可能，故④错误． 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，根据题意，提取公因式，即可求解． 【详解】解：, 故答案为： ． 12. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的乘除运算法则计算即可得到结果． 【详解】解： ． 13. 如图，直线分别与直线，相交，，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，邻补角的含义，先证明，再利用邻补角的含义可得答案． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴； 故答案为： 14. 如图所示，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O，A，B均为格点，则扇形OAB的面积大小是___． 【答案】． 【解析】 【详解】解：∵每个小方格都是边长为1的正方形， ∴OA=OB==， ∴S扇形OAB===． 故答案为． 【点睛】本题考查扇形面积的计算，熟记公式正确计算是解题关键． 15. 如图，抛物线的顶点为P(－2，2)与y轴交于点A(0，3)，若平移该抛物线使其顶P沿直线移动到点，点A的对应点为，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为_____ 【答案】12． 【解析】 【分析】连接AP，A′P′，过点A作AD⊥PP′于点D，根据平移的性质得出四边形APP′A′是平行四边形，进而得出AD，PP′的长，求出面积即可． 【详解】解：连接AP，A′P′，过点A作AD⊥PP′于点D， 由题意可得出：AP∥A′P′，AP＝A′P′， ∴四边形APP′A′是平行四边形， ∵抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3），平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2）， ∴PO2，∠AOP＝45°， 又∵AD⊥OP， ∴△ADO是等腰直角三角形， ∴PP′＝22＝4， ∴AD＝DO＝sin45°•OA3， ∴抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为：412． 故答案为：12． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法和勾股定理等知识，根据已知得出AB， 是解题关键． 16. 甲、乙、丙三位同学踢球时，不小心将班级的玻璃打破，当班主任追问时，甲说：“是丙打破的．”乙说：“不是我打破的．”丙说：“甲说谎．”三个人中只有一人说了真话，请你判断：玻璃是________打破的． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题须分别分析甲、乙、丙三人说的话，再根据三人中只有一人说的是真话，进行推理即可得出结论． 【详解】解：根据题意可得：玻璃是乙打破的 ∵此时乙说：“不是我打破的”则乙说的是假话 甲说：“是丙打破的”也是假话， 则丙说：“甲说谎”是真话， ∴玻璃是乙打破的符合题意 故答案为乙 【点睛】本题考查推理与论证，在解题时要能根据题意进行推理与论证得出正确答案是本题的关键． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂、有理数的乘法，先计算算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂、有理数的乘法，再计算加减即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】不等式组的解集为：． 在数轴上表示其解集如下： 【解析】 【分析】先解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，从而可得答案． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴， ∴不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，掌握不等式组的解法与步骤是解本题的关键． 19. 在学习了特殊平行四边形的判定后，数学兴趣小组进行了进一步的思考，在任意三角形中满足什么样的条件构造的四边形，可以判定为菱形呢？他们发现，三角形某个角的角平分线与对边交于一点，该角顶点与交点所构成的线段的垂直平分线与该角的两边所在直线交于两点，该角的顶点以及三个交点所构成的四边形是菱形，可利用证明三角形的全等得到此结论．根据他们的想法与思路，及（1）中的作图完成（2）中的填空： （1）如图2，在中，平分，交于点．用尺规作的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，； （2）在（1）所作的图形中，求证：四边形是菱形． 证明：∵平分， ， 又∵垂直平分， ， ， ． 又∵垂直平分， ①______，， ②______， ， ∴四边形是菱形． 进一步研究还可发现，在直角三角形中，直角的角平分线与对边交于一点，直角顶点与交点所构成的线段的垂直平分线与两直角边所在直线交于两点，直角顶点与三个交点所构成的四边形是③______． 【答案】（1）作图见解答 （2）①；②；③正方形 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、菱形的判定，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可． （2）根据全等三角形的判定与性质、菱形的判定，正方形的判定填空即可． 【小问1详解】 解：如图，分别以点和点为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧分别相交于两点，连接这两点交于点，交于点， 则直线即为所求． 【小问2详解】 证明：∵平分， ． 又∵垂直平分， ， ， ． 又∵垂直平分， ，， ， ， ∴四边形是菱形． 进一步研究还可发现，在直角三角形中，直角的角平分线与对边交于一点，直角顶点与交点所构成的线段的垂直平分线与两直角边所在直线交于两点，直角顶点与三个交点所构成的四边形是正方形． 故答案为：①；②；③正方形． 20. 为保证每位同学在学校组织的课外体育活动中，都能参与自己最喜欢的球类项目，学校体育社团随机抽取部分同学进行“最喜欢的球类项目”的调查（每人只能选择一项），根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图： 请根据统计图回答下列问题： （1）本次调查的总人数是______人，估计全校名学生中最喜欢乒乓球项目的约有______人； （2）补全条形统计图； （3）学校体育社团为了制订训练计划，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率． 【答案】（1），； （2） 补全条形统计图如下： （3）． 【解析】 【分析】（）用最喜欢足球的学生人数除以其百分比可求出调查的总人数，用乘以最喜欢乒乓球项目的百分比可求出最喜欢乒乓球项目的学生人数； （）求出最喜欢篮球项目的学生人数和最喜欢羽毛球项目的学生人数，即可补全条形统计图； （）画出树状图，根据树状图即可求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图及正确画出树状图是解题的关键． 【小问1详解】 解：本次调查的总人数是人， 估计全校名学生中最喜欢乒乓球项目的约有人， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：最喜欢篮球项目的学生有人， ∴最喜欢羽毛球项目的学生有人； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果有种， ∴抽取的两人恰好是甲和乙的概率为． 21. 如图，点C在以为直径的上，过点C作的切线l，过点A作，垂足为D，连接． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接，如图所示： ∵是的切线，点C在以为直径的上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】题目主要考查切线的性质，相似三角形的判定和性质及勾股定理解三角形，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）连接，根据题意得，，利用等量代换确定，再由相似三角形的判定即可证明； （2）先由勾股定理确定，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 由（1）得， ∴即， ∴， ∴的半径为． 22. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为 （2）购买的这种健身器材的套数为200套 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； 【小问2详解】 解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 23. 如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，. （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长. 【答案】（1） 证明：∵是的中点，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到，而，即可求证； （2）解求得，由三角形的中位线定理和平行四边形的性质得到，最后对运用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴在中，由勾股定理得． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 24. 已知抛物线． （1）如图1，将抛物线在直线下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点恰好在x轴上，求抛物线的对称轴及a的值； （2）如图2，抛物线的图象记为“G”，与y轴交于点，过点的直线与（1）中的图象“W”交于P，C两点，与图象“G”交于点D． ①当时，求的值； ②当时，请用合适的式子表示（用含的式子表示）． 【答案】（1）抛物线的对称轴为直线； （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查二次函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键； （1）根据题意，分别求出抛物线的对称轴和点的纵坐标，即可求解； （2）①证明，即可求解； ②当且和时，证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解； 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线：，即为． 当时 根据翻折可知点的纵坐标为，即点的坐标为 ． 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 即抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：， 图象“W”的解析式为：， ①当时，图象“G”的解析式为：， 设直线的解析式为， 当时， 解得：或； 点的横坐标为， 当， 解得：或； 点的横坐标为； 当时， 解得：或； 点的横坐标为； 如图，作轴，过点作轴交于点， 作轴，过点作交于点， 由各点横坐标可得：， ， ， 轴，轴， ， ， ，， ， ， ， ； ②当且时，图象“G”是解析式为：， 由①可得点的横坐标为，点的横坐标为， 当， 解得：， 点的横坐标为：； 当时，如图，作轴，过点作轴，交于点，过点作轴交于点； 由各点横坐标可得：， ， ，， ， ， ； 当时，如图，作轴，过点作轴，交于点，过点作轴交于点， 由各点横坐标可得：， ， ，， ， ， 则； 综上所述，用含的式子表示为； 25. 如图1，在的网格中，的半径为1．若将绕点Q旋转可以得到的圆心角（与点T重合），则我们称是的以点Q为中心的“郡角”． （1）如图1，，，的顶点D，K，G都在格点上．在，，中，的以点Q为中心的“郡角”是______； （2）如图2，在平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上的一点，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，两点，若，若是的以点A为中心的“郡角”，P为上的一个动点，平分交于点Q．当P点运动时，线段的长度是否改变？若不变，请求出的值；若改变，请说明理由； （3）如图所示，为上的一个点，是直径延长线的一点，经过圆心，且连接交直径于点，点在直线上，若是的以点为中心的“郡角”，且，求的值． 【答案】（1） （2）不随的位置变化； （3） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； （1）根据“郡角”的定义即可求解； （2）连接 ，，判定是等边三角形，结合角平分线的性质可得，进而证明，即可求解； （3）根据勾股定理，求得的长度，进而求解的长度，进而求得的长度，然后过点作于点，证明，然后利用勾股定理求得的长度，进而求解； 【小问1详解】 解：根据题意，可知在，，中，的以点为中心的“郡角”是； 故答案为： 【小问2详解】 解：不随的位置变化，； 连接 ，， 是的以点为中心的“郡角”，， ， 是等边三角形， ∵直径 ， ，， ， 又平分， ， ； 即：， ； 【小问3详解】 解：是的以点为中心的“郡角”， ， ，且，； ， ， ， 设半径 ， ， 解得：， ， ，即， 过点作于点， 设，则， ，， ， 即 ，即， ， ， ， 解得：， ，， ， ； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期中检测试卷 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．） 1. 下列四个数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占．将0.0000007用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 某小组名学生的中考体育分数单位（分）如下：，，，，，，，，则该组数据的众数、中位数分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，为的直径，B为上一点．若，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，等边三角形OAB，点B在x轴正半轴上，，若反比例函数图象的一支经过点A，则k的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G．则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中不一定正确的是（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：_____________． 12. 计算的结果是______． 13. 如图，直线分别与直线，相交，，若，则的度数为______． 14. 如图所示，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O，A，B均为格点，则扇形OAB的面积大小是___． 15. 如图，抛物线的顶点为P(－2，2)与y轴交于点A(0，3)，若平移该抛物线使其顶P沿直线移动到点，点A的对应点为，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为_____ 16. 甲、乙、丙三位同学踢球时，不小心将班级的玻璃打破，当班主任追问时，甲说：“是丙打破的．”乙说：“不是我打破的．”丙说：“甲说谎．”三个人中只有一人说了真话，请你判断：玻璃是________打破的． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： 18. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 19. 在学习了特殊平行四边形的判定后，数学兴趣小组进行了进一步的思考，在任意三角形中满足什么样的条件构造的四边形，可以判定为菱形呢？他们发现，三角形某个角的角平分线与对边交于一点，该角顶点与交点所构成的线段的垂直平分线与该角的两边所在直线交于两点，该角的顶点以及三个交点所构成的四边形是菱形，可利用证明三角形的全等得到此结论．根据他们的想法与思路，及（1）中的作图完成（2）中的填空： （1）如图2，在中，平分，交于点．用尺规作的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，； （2）在（1）所作的图形中，求证：四边形是菱形． 证明：∵平分， ， 又∵垂直平分， ， ， ． 又∵垂直平分， ①______，， ②______， ， ∴四边形是菱形． 进一步研究还可发现，在直角三角形中，直角的角平分线与对边交于一点，直角顶点与交点所构成的线段的垂直平分线与两直角边所在直线交于两点，直角顶点与三个交点所构成的四边形是③______． 20. 为保证每位同学在学校组织的课外体育活动中，都能参与自己最喜欢的球类项目，学校体育社团随机抽取部分同学进行“最喜欢的球类项目”的调查（每人只能选择一项），根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图： 请根据统计图回答下列问题： （1）本次调查的总人数是______人，估计全校名学生中最喜欢乒乓球项目的约有______人； （2）补全条形统计图； （3）学校体育社团为了制订训练计划，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率． 21. 如图，点C在以为直径的上，过点C作的切线l，过点A作，垂足为D，连接． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 22. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 23. 如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，. （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长. 24. 已知抛物线． （1）如图1，将抛物线在直线下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点恰好在x轴上，求抛物线的对称轴及a的值； （2）如图2，抛物线的图象记为“G”，与y轴交于点，过点的直线与（1）中的图象“W”交于P，C两点，与图象“G”交于点D． ①当时，求的值； ②当时，请用合适的式子表示（用含的式子表示）． 25. 如图1，在的网格中，的半径为1．若将绕点Q旋转可以得到的圆心角（与点T重合），则我们称是的以点Q为中心的“郡角”． （1）如图1，，，的顶点D，K，G都在格点上．在，，中，的以点Q为中心的“郡角”是______； （2）如图2，在平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上的一点，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，两点，若，若是的以点A为中心的“郡角”，P为上的一个动点，平分交于点Q．当P点运动时，线段的长度是否改变？若不变，请求出的值；若改变，请说明理由； （3）如图所示，为上的一个点，是直径延长线的一点，经过圆心，且连接交直径于点，点在直线上，若是的以点为中心的“郡角”，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $