精品解析：甘肃省陇南市礼县2024-2025学年九年级下学期学情监测数学试卷

2024-2025学年九年级学情监测试卷数学 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 10的相反数是（ ） A. －10 B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义直接求解． 【详解】解：10的相反数是－10． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答本题的关键． 2. 如图所示的正六棱柱，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从上面看，看到的图形是一个正六边形，即看到的图形如下： ， 故选：C． 3. 若点与点关于原点成中心对称，则的值是（ ） A. 3 B. C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，代数式求值，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据关于原点对称的两个点横、纵坐标互为相反数求出 ，，然后代入求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴，， 解得 ，， ∴． 故选：B． 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，直接根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 5. 如图，， ，当时， 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义和直角三角形的性质，由 得，再利用直角三角形的性质得出，最后根据平行线的性质即可求解，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和直角三角形的性质． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选： 6. 如图，在中，点，分别在边，上，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解此题的关键．易证，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，继而求得答案． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴， 故选C. 7. 如图圆的半径是4，是弦， 且A是弧的中点，则弦的长为（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦之间的关系，连接，根据圆周角定理得到 ，由A是弧的中点得到，则是等边三角形，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵ ， ∴ ， ∵A是弧的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故选：C． 8. 小明家和小文家在2024年1～7月份用水量变化状况如图所示．从图中看出，下列结论不正确的是（　　） A. 2～6月份小文家用水量逐渐减少 B. 4～7月份小明家用水量逐渐增多 C. 小明家在4月份用水量最少 D. 6月份小明家和小文家的用水量相同 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查折线统计图的运用，解决本题需要从统计图获取信息，关键是明确图表中数据的来源及所表示的意义，依据所示的实际意义获取正确的信息．看图逐项判断即可． 【详解】解：A、2～6月份小文家用水量逐渐减少，正确，故不符合题意； B、4～7月份小明家用水量逐渐增多，正确，故不符合题意； C、小明家在4月份用水量最少，正确，故不符合题意； D、6月份小明家和小文家的用水量相同，错误，应该是5月份相同，故符合题意． 故选：D． 9. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？设共有个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查古代数学问题，涉及列一元一次方程解决应用题，设共有个人，根据等量关系列出方程即可得到答案，读懂题意，由物品总价值不变建立等量关系是解决问题的关键． 【详解】解：设共有个人，则可列方程为， 故选：A． 10. 如图，矩形中，点为的中点，动点从点出发，沿折线匀速运动，到达点时停止运动，连接，，设为，为，且关于的函数图象如图所示，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是从函数的图象获取信息、矩形性质、勾股定理，解题关键是正确从函数的图象中获取信息． 先从函数图象中得到当时，；点运动到点时，，再结合矩形性质、勾股定理即可得解． 【详解】解：结合图和函数图象可得， 当时，；点运动到点时，， 即点和点重合时，；点运动到点时，， 矩形中，点为的中点， ， 点运动到点时，是直角三角形， ， 由图可知，当点运动到点时，取最大值， 最大值为． 故选：． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解：_________. 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再按照平方差公式进行分解即可得到答案； 【详解】解：， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，掌握平方差公式是解题的关键； 12. 已知是方程 的两个不相等的实数根，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程解的定义，将代入已知方程求得，然后根据根与系数的关系知，最后整体代入所求的代数式求值即可． 【详解】解：∵是方程 的两个不相等的实数根， ∴，即；， ∴． 故答案为：5． 13. 将抛物线向右平移个单位，所得抛物线的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移规律,左加右减,上加下减即可解题. 【详解】由题可知, 抛物线向右平移个单位变为. 【点睛】本题考查了二次函数的平移规律,属于简单题,熟悉平移规律是解题关键. 14. 截至2024年9月，我国共13位共和国勋章获得者，老师制作了正面分别书写有孙家栋、于敏、袁隆平、黄旭华四位共和国勋章获得者为国奉献的事迹的四张卡片，除此之外背面完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片上分别写有袁隆平和黄旭华事迹的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用树状图和列表法求概率，解题的关键在于根据题意画出树状图．利用树状图展示12种等可能的结果数，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算，即可解题． 【详解】解：记孙家栋、于敏、袁隆平、黄旭华四位共和国勋章获得者分别为A，B，C，D， 根据题意可画树状图如下： 由图知，共有12种等可能的结果数，其中两张卡片上分别写有袁隆平和黄旭华事迹的有2种结果， 所以两张卡片上分别写有袁隆平和黄旭华事迹的概率是． 故答案为：． 15. 如图，已知直线m，n被一组平行线，，所截，交点分别为A，B，C和D，E，F，若 ，，则等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，据此可得答案． 【详解】解：∵ ，， ∴ ∵， ∴， 故答案为：． 16. 正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为，点B的坐标为 ．若反比例函数的图象经过点C，则k的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题目主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数解析式的确定等，过点C作轴，由正方形的性质得出，再利用各角之间的关系得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，确定点C的坐标，然后代入函数解析式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点C作轴， ∵点A的坐标为，点B的坐标为 ， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点C代入反比例函数可得： ， 故答案为：． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂和含乘方的有理数混合计算，先计算乘方，负整数指数幂和零指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的方法． 将①去括号，移项并合并同类项，未知数系数化求出不等式的解集，再由②去分母，去括号，移项并合并同类项，未知数系数化求出不等式的解，综合两不等式的解即可确定出不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得：， ， ； 解不等式②得：， ， ， ， 不等式组的解集为． 19. 先化简，再求值：，其中 ． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分并化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当 时，原式． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为 ，， ． （1）画出关于轴对称的； （2）以点为位似中心，在第四象限内将按相似比放大，画出放大后的图形． 【答案】（1） 如图，即为所求： （2）如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质和位似图形，解题关键是能够由轴对称的性质（位似图形的性质）先确定变化后关键点的坐标，然后再连线即可． （1）由轴对称的性质先确定、、的坐标，再描点，连线即可； （2）根据位似图形的性质确定、、的坐标，再连线即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 小红和小明准备在寒假期间游览一个江阴本地的著名景点，备选景点有鹅鼻嘴公园（记为A）、海澜飞马水城（记为B）、华西村（记为C）、徐霞客故居（记为D），他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同． （1）小红选择去海澜飞马水城的概率为______； （2）若小红已去过鹅鼻嘴公园，准备在B、C、D中选一个地点游玩，若小明已去过徐霞客故居，准备在A、B、C中选一个地点游玩，请用树状图或列表的方法求小红和小明正好选择同一个景点的概率． 【答案】（1）； （2）小红和小明正好选择同一个景点的概率为． 【解析】 【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率，简单的概率公式，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）用列表法展示所有种等可能的结果数，找出小红和小明正好选择同一个景点的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，共有种等可能的结果，其中小红选择去海澜飞马水城的结果有种， ∴小红选择去海澜飞马水城的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： A B C B C D 共有种等可能情况，其中小红和小明正好选择同一个景点的结果有：，，共两种， ∴小红和小明正好选择同一个景点的概率为． 22. 如图，高层大楼前面建有一层地上车库，车库的对面有一幢低层楼房．某校数学实践活动小组想要测量高层大楼的高度，他们在楼房的窗户口点处测得车库地面边缘点的俯角为，测得大楼顶端的仰角为．已知，车库长度，求高层大楼的高度．（点，，在同一水平直线上，参考数据： ，， ，，结果精确到） 【答案】米 【解析】 【分析】作辅助线过点作，垂足为，利用三角函数可求出在中的长度，即可表示出 的长度，同理利用三角函数可求出在中的长度，最后由计算即可． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：，，，， ， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵,， ∴， ∴（米） 答：大楼的高约为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角问题，解题的关键是构造直角三角形利用三角函数求对应边长． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，神舟十九号航天员乘组顺利进驻中国空间站．星光中学为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，举办了航空航天知识竞赛活动．现从七、八年级各随机抽取了20名学生的成绩（百分制，且成绩为整数）为样本，分为A（0分~84分），B（85分~89分），C（90分~94分），D（95分~100分）四个分数段进行统计，绘制如下不完整的统计图表及数据信息： 七年级：78，79，82，83，84，85，86，87，88，89，90，90，90，93，94，94，95，96，97，100． 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94． 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 89 b 八年级 89 a 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ________， ________， ________； （2）根据以上数据，请你推断哪个年级的成绩更好，并说明理由；（一条理由即可） （3）成绩在D（95分~100分）的学生可以获得奖励，若该校七年级有400名学生，八年级有500名学生，估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数． 【答案】（1），， （2）八年级成绩更好， 理由： 八年级的中位数高于七年级的中位数，则八年级的成绩更好. （3）七、八年级可以获得奖励的学生总人数有人 【解析】 【分析】本题考查从扇形图与统计表中获取信息，求解中位数和众数，利用样本估计总体： （1）根据中位数和众数的确定方法，求出的值即可，再求解类占比即可得到类占比； （2）利用中位数或众数进行分析即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：七年级：78，79，82，83，84，85，86，87，88，89，90，90，90，93，94，94，95，96，97，100． ∴出现的次数最多，众数， 八年级类有 （人），类有（人）， 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94． ∴排在第个，第个数据为， ， ∴八年级数据的中位数； ∵类占比为：， ∴类占比为：， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵七年级类人数有人，八年级类占比， ∴该校七年级有400名学生，八年级有500名学生，七、八年级可以获得奖励的学生总人数有：（人）. 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，，与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求一次函数的表达式． （2）若点P为x轴上的一个动点，当 的面积是9时，求点P的横坐标． 【答案】（1） （2） 或11 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题： （1）将代入，求出反比例函数解析式，进而求出B点坐标，利用待定系数法可求一次函数解析式； （2）设点P的横坐标为n，求出C点坐标，根据列方程，求出n值即可． 【小问1详解】 解：将代入，得， 将代入，得． ∴． 将，代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：设点P的横坐标为n， 将代入 ，解得，， 即， ∴，， 解答或． ∴点P的横坐标为 或11． 25. 如图，在中，，以为直径的 交于点，过点作 ，垂足为点，延长交 于点，连接． （1）求证：是 的切线； （2）连接，若， ，求的长． 【答案】（1） 证明：连接 ， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 于点， ∴ ， ∵ 是 的半径，且 ， ∴是 的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接 ，利用等腰三角形性质推出 ，结合 得到 ，从而根据切线判定定理完成证明． （2）先利用为直径得到，设 ，在 中用勾股定理求出的长度，进而得到 的长度；再通过矩形性质得到的长度，最后在 中用勾股定理计算 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，延长 交于点 ， ∵是 的直径， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ∵， ， ， ， ∴ ， ， ∵， ∴ ， 解得， ∴ ， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理的应用，熟练掌握切线的判定定理和勾股定理，结合等腰三角形与矩形的性质进行边角转化是解题的关键． 26. 如图1，在正方形ABCD中，，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，作交边AD于点N． （1）当F为BE中点时，求证：﹔ （2）如图2，若，求的值． 【答案】（1） 证明：为的中点， ， 四边形为正方形， ， ， ， ， （）， ， ，， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定； （1）先证明得出，根据，以及正方形的性质即可得证； （2）根据正方形的性质可得，得出，根据已知条件设，则，求得，进而求得，证明，取得，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形ABCD为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴ 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 27. 如图，抛物线 的对称轴是直线，与轴相交于，两点，其中点的坐标为，且点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线与轴的交点，在对称轴直线上找一点，使得的周长最小，求点的坐标． （3）点是直线上方抛物线一动点，不与点重合，求点坐标使与的面积相等． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2） （3）点使与的面积相等 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据的周长等于，其中为定值，当 值最小时，的周长最小，根据对称性得到，得到三点共线时，的周长最小，求出直线与对称轴的交点即可； （3）根据平行线间的距离处处相等，以及同底等高的两个三角形的面积相等，将直线平移至过点，求出平移后的直线与抛物线的交点，即为点的坐标． 【小问1详解】 抛物线的对称轴为，点坐标为与在抛物线上， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 ∵的周长等于，为定值， ∴当 值最小时，的周长最小， 由于、关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴三点共线时，的周长最小， 即：点为直线与的交点时，的周长最小， 由（1）知，抛物线的解析式为，令，则， ， 设直线解析式为，把 代入，得，解得， 直线的解析式为 ， 当时，， ； 【小问3详解】 设过点平行于的直线为 ，将点代入，得：， 直线解析式为， ∵与的面积相等 ∴点为直线与抛物线的交点， 联立，解得：（B点，舍去）或； 点． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，将军饮马模型解决周长最小问题．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年九年级学情监测试卷数学 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 10的相反数是（ ） A. －10 B. 10 C. D. 2. 如图所示的正六棱柱，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 若点与点关于原点成中心对称，则的值是（ ） A. 3 B. C. 5 D. 7 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 5. 如图，， ，当时， 的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点，分别在边，上，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图圆的半径是4，是弦， 且A是弧的中点，则弦的长为（ ） A. B. C. 4 D. 6 8. 小明家和小文家在2024年1～7月份用水量变化状况如图所示．从图中看出，下列结论不正确的是（　　） A. 2～6月份小文家用水量逐渐减少 B. 4～7月份小明家用水量逐渐增多 C. 小明家在4月份用水量最少 D. 6月份小明家和小文家的用水量相同 9. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？设共有个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，点为的中点，动点从点出发，沿折线匀速运动，到达点时停止运动，连接，，设为，为，且关于的函数图象如图所示，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解：_________. 12. 已知是方程 的两个不相等的实数根，则______． 13. 将抛物线向右平移个单位，所得抛物线的解析式为________． 14. 截至2024年9月，我国共13位共和国勋章获得者，老师制作了正面分别书写有孙家栋、于敏、袁隆平、黄旭华四位共和国勋章获得者为国奉献的事迹的四张卡片，除此之外背面完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片上分别写有袁隆平和黄旭华事迹的概率是__________． 15. 如图，已知直线m，n被一组平行线，，所截，交点分别为A，B，C和D，E，F，若 ，，则等于________． 16. 正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为，点B的坐标为 ．若反比例函数的图象经过点C，则k的值为_______． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 先化简，再求值：，其中 ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为 ，， ． （1）画出关于轴对称的； （2）以点为位似中心，在第四象限内将按相似比放大，画出放大后的图形． 21. 小红和小明准备在寒假期间游览一个江阴本地的著名景点，备选景点有鹅鼻嘴公园（记为A）、海澜飞马水城（记为B）、华西村（记为C）、徐霞客故居（记为D），他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同． （1）小红选择去海澜飞马水城的概率为______； （2）若小红已去过鹅鼻嘴公园，准备在B、C、D中选一个地点游玩，若小明已去过徐霞客故居，准备在A、B、C中选一个地点游玩，请用树状图或列表的方法求小红和小明正好选择同一个景点的概率． 22. 如图，高层大楼前面建有一层地上车库，车库的对面有一幢低层楼房．某校数学实践活动小组想要测量高层大楼的高度，他们在楼房的窗户口点处测得车库地面边缘点的俯角为，测得大楼顶端的仰角为．已知，车库长度，求高层大楼的高度．（点，，在同一水平直线上，参考数据： ，， ，，结果精确到） 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，神舟十九号航天员乘组顺利进驻中国空间站．星光中学为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，举办了航空航天知识竞赛活动．现从七、八年级各随机抽取了20名学生的成绩（百分制，且成绩为整数）为样本，分为A（0分~84分），B（85分~89分），C（90分~94分），D（95分~100分）四个分数段进行统计，绘制如下不完整的统计图表及数据信息： 七年级：78，79，82，83，84，85，86，87，88，89，90，90，90，93，94，94，95，96，97，100． 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94． 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 89 b 八年级 89 a 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ________， ________， ________； （2）根据以上数据，请你推断哪个年级的成绩更好，并说明理由；（一条理由即可） （3）成绩在D（95分~100分）的学生可以获得奖励，若该校七年级有400名学生，八年级有500名学生，估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，，与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求一次函数的表达式． （2）若点P为x轴上的一个动点，当 的面积是9时，求点P的横坐标． 25. 如图，在中，，以为直径的 交于点，过点作 ，垂足为点，延长交 于点，连接． （1）求证：是 的切线； （2）连接，若， ，求的长． 26. 如图1，在正方形ABCD中，，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，作交边AD于点N． （1）当F为BE中点时，求证：﹔ （2）如图2，若，求的值． 27. 如图，抛物线 的对称轴是直线，与轴相交于，两点，其中点的坐标为，且点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线与轴的交点，在对称轴直线上找一点，使得的周长最小，求点的坐标． （3）点是直线上方抛物线一动点，不与点重合，求点坐标使与的面积相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $