2025年湖南中考数学一轮复习训练 专题8：因式分解

专题8：因式分解 一、选择题： 1.把多项式分解因式，应提取的公因式是(    ) A. B. C. D. 2.对任意整数，都能(    ) A. 被整除 B. 被整除 C. 被整除 D. 被整除 3.下列因式分解结果正确的是(    ) A. B. C. D. 4.多项式因式分解的结果是(    ) A. B. C. D. 5.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为(    ) A. B. C. D. 6.已知，那么等于(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 7.一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式：          ． 8.因式分解_____． 9.若，，则______． 10.一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式：          ． 11.在实数范围内分解因式： ______． 12.分解因式：           ． 13.若，，则 ______． 14.因式分解：          ． 三、解答题： 15.已知：，，求下列代数式的值：     16.数学教科书中这样写道： “我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与负数有关的问题或求代数式最值，最小值等． 例如：分解因式； 例如求代数式的最小值可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料配方法解决下列问题： 分解因式： ______． 当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 17.阅读理解 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， ， ， 由等式恒等原理可知：，， 由解得：，， 另一个因式为，的值为． 活学活用： 若，则           若二次三项式有一个因式是，求另一个因式． 18.阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： ； ． 19.一种混凝土排水管，其形状为空心的圆柱体，它的内径，外径，长浇制一节这样的排水管需要多少立方米的混凝土结果保留？怎样计算较简便？ 20.对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为配方法．利用以上配方法解决下列问题： 利用配方法分解因式：． 求二次三项式的最小值． 已知是实数，试比较与的大小，请说明理由． 21.阅读与理解： 将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：竖分二次项与常数项：，． 交叉相乘，验中项交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项； 横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法． 例：解方程． 解：， 或， ，； 请用上述方法解答下列问题． 因式分解：           ； 解方程：； 已知，求的值． 22.如图，农场打算把一块正方形空地分割成块方形田地，并计划在两块边长分别为、的正方形空地上种树图中的阴影部分和，用作鱼塘的两块长方形的面积之和记作． 根据题意填空：           用含字母、的代数式表示； 比较与的大小：           ； 如果，且平方米，求这块正方形空地的面积． 23.你能把多项式因式分解吗？ 上式能利用完全平方公式进行因式分解吗？ 常数项是哪两个因数的乘积？一次项系数是否等于的某两个因数的和？ 由多项式乘法，，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解． 多项式的特征是二次项系数为，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． 你能据此将写成两个一次多项式的乘积吗？ ________________________ ____________ 请把填上数后的两个一次多项式相乘，验证乘积是否等于． 从第题，你能看出把进行因式分解的关键步骤是什么吗？ 你能运用上述方法将多项式进行因式分解吗？ 答案和解析 1.【答案】  【解析】根据题意可得提取即可得到答案． 【详解】解： ， 故选C． 2.【答案】  【解析】根据平方差公式，分解因式后判断，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． 【详解】， 故一定能被整除， 故选B． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了因式分解十字相乘法、公式法，解决本题的关键是掌握因式分解的方法． 根据因式分解的方法进行计算即可判断． 【解答】 解：因为，故A错误； B.因为，故B错误； C.因为，故C错误； D.因为，故D正确． 故选：． 4.【答案】  【解析】本题考查因式分解，利用十字相乘法求解即可． 【详解】， 故选：． 5.【答案】  【解析】解：、右边不是积的形式，不是因式分解，故本选项错误； B、符合因式分解的定义，故本选项正确； C、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误； D、左边不是多项式，不是因式分解，故本选项错误； 故选：． 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 本题考查了因式分解的意义，关键是熟练掌握定义，区别开整式的乘除运算． 6.【答案】  【解析】解：已知等式变形得：， 可知， 则． 故选：． 已知等式左边分解因式得到结果，即可确定出的值． 此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 7.【答案】答案不唯一  【解析】本题主要考查多项式的因式分解．根据提取公因式、平方差公式或完全平方公式等知识解答即可． 【详解】解：一个多项式，把它因式分解后有一个因式为， 设另一个因式为， ． 故答案为：答案不唯一． 8.【答案】．  【解析】【详解】解： ， 故答案为． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了代数式求值和用平方差公式进行因式分解，能够正确分解因式是解此题的关键．先根据平方差公式分解因式，再代入求出即可． 【解答】 解：，， ， 故答案为：． 10.【答案】答案不唯一  11.【答案】  【解析】解： 故答案为： 首先提取公因式，进而利用平方差公式进行分解即可． 此题主要考查了实属范围内分解因式，熟练利用平方差公式分解因式是解题关键． 12.【答案】  【解析】原式 ． 故答案为． 13.【答案】  【解析】解：，， 原式 ， 故答案为：． 先提公因式得到，再整体代入求解即可． 本题考查因式分解、代数式求值，熟练掌握以上知识点是关键． 14.【答案】  【解析】首先将拆项，进而利用提取公因式法以及公式法分解因式进而得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 15.【答案】解：，， ； ，，， ， ， ．  【解析】此题考查了完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．完全平方公式：． 利用完全平方公式变形式解答即可； 先把提公因式，再利用完全平方公式解答即可． 16.【答案】；   当，时，多项式有最小值；   当，时，多项式有最小值．  【解析】解： ， 故答案为：； ， 当，时，多项式有最小值； ， 当，时，多项式有最小值． 将多项式加再减，利用配方法可得； 将多项式配方后可得结论； 将多项式配方后可得结论． 本题主要考查了因式分解十字相乘法，配方法的应用，非负数的性质，将多项式配方，再利用非负数的性质解答是解题的关键． 17.【答案】解：； 设另一个因式为，得， ， ， 由等式恒等原理可知：，， 由解得：，， 另一个因式为．  【解析】【分析】 本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式． 将展开，根据所给出的二次三项式即可求出、的值，代入计算即可； 设另一个因式为，得，可知，，继而求出和的值及另一个因式． 【解答】 解：， ， ， 由等式恒等原理可知：，， 由解得：，， ； 故答案为：； 见答案． 18.【答案】解： ；   【解析】直接利用例题进行补项，进而分解因式得出答案． 将分解成和，利用完全平方和平方差公式分解即可． 此题主要考查了分组分解法分解因式，正确补项是解题关键． 19.【答案】解： ， ． 答：浇制一节这样的排水管需要的混凝土．  【解析】利用圆柱的体积公式，浇制一节这样的排水管需要的混凝土为，然后把，外径，长代入计算，最后结果保留． 本题考查了因式分解的应用，利用因式分解简化计算问题． 20.【答案】【小题】 解： ； 【小题】 ， 当时，二次三项式的最小值为； 【小题】 ， ．   【解析】  本题主要考查配方法及整式的加减运算，掌握因式分解，完全平方公式是解题的关键， 利用配方法先对原式，然后再，然后利用平方差公式分解因式即可；   利用配方法求出二次三项式的最小值即可；   将两式作差，通过跟进行比较即可得出结论． 21.【答案】【小题】   【小题】 ， ， 或， ； 【小题】 ， ， 或， 或．   【解析】  本题考查了十字相乘法因式分解，利用十字相乘法因式分解解一元二次方程，掌握十字相乘法分解因式是解答本题的关键． 利用十字相乘法分解即可； 【详解】解：． 故答案为：；   利用十字相乘法因式分解因式求解即可；   利用十字相乘法因式分解因式得，进而可求出的值． 22.【答案】【小题】   【小题】 由，得，即 将的两边同时除以，得 分解因式，得， 解得舍去或， 这块正方形空地的面积为 平方米   【解析】  本题考查了整式的运算以及代数式大小比较的知识点，解题的关键是根据图形准确表示出各部分面积，并熟练运用整式运算法则进行计算和比较。 根据图形中长方形面积公式，找到鱼塘两块长方形的长和宽，从而得出的代数式；将与作差，通过完全平方公式判断差的正负，进而比较大小。 【详解】． 故答案为：． 故答案为：．   根据已知条件得到化简求得，再根据平方米，求解出，  的值，再计算正方形空地的面积。 23.【答案】解：不能利用完全平方公式进行因式分解． 常数项，一次项系数， 答：常数项是和乘积，一次项系数正好等于的某两个因数与的和； ， 故答案为：，，，，，； ， 关键的步骤为：将常数项分解成两个因数的积，而一次项系数正好等于这两个因数的和， ．  【解析】不符合完全平方公式的结构形式，因此不能利用完全平方公式； 常数项是和乘积，一次项系数正好等于的某两个因数与的和； 转化为即可； 关键的步骤为：将常数项分解成两个因数的积，而一次项系数正好等于这两个因数的和， 利用上述的方法进行分解． 考查十字相乘法分解因式，关键是将常数项分解成两个因数的积，而一次项系数正好等于这两个因数的和． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$