精品解析：河南省周口市沈丘县中英文等校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

2024-2025学年第二学期第一次教学测评 八年级数学 注意事项： 1．此卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用钢笔或圆珠笔在答题卡上答题，答题前请将姓名、准考证号填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，甲、乙、丙、丁四人手中各有一个圆形卡片，则卡片中的式子是分式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 函数中自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 生物具有遗传多样性，遗传信息大多储存在DNA分子上，一个DNA分子直径约为0.0000002cm，这个数量用科学记数法可表示为（ ） A. 0.2×10－6cm B. 2×10－6cm C. 0.2×10－7cm D. 2×10－7cm 4. 已知点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. （山东菏泽期末） 5. 下列说法正确的是（ ） A. 分式的值为零，则的值为 B. 根据分式的基本性质，可以变形为 C. 分式中的都扩大倍，分式的值不变 D. 分式是最简分式 6. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，两点，当一次函数大于反比例函数的值时，的取值范围是　　 A. B. C. D. 7. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（ ） A B. C. D. 8. 硫酸钠（）是一种主要的日用化工原料，主要用于制造洗涤剂和牛皮纸制浆工艺．硫酸钠的溶解度y（）与温度t（）之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 当温度为时，硫酸钠的溶解度为 B. 硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C. 当温度为时，硫酸钠的溶解度最大 D. 要使硫酸钠的溶解度大于，温度只能控制在 9. 已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的所有整数的和为（ ） A 2 B. 5 C. 6 D. 9 10. 如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线（x＞0）上，连接BC交AD于P，连接OP，则图中是（ ） A. B. 3 C. 6 D. 12 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 使得分式有意义的条件是________． 12. 点与点关于y轴对称，则_______． 【学科素养·创新意识】 13. 定义[p，q]为一次函数y=px+q的特征数，若特征数是[2，k-2]的一次函数为正比例函数，则k的值是______． 14. 若关于的分式方程无解，则______． 15. 如图，直线与反比例函数交于两点，且为中点，过的直线交反比例函数图象的另一点，连接交轴于点，连接，若，则的值为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解分式方程： （1）； （2） 17. 如图，已知函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数的图象交于点C，点C的横坐标为2，求线段的长． 18. 先化简：，再从不等式组的解集中选一个合适的整数作为a的值代入求值． 19. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C，交正比例函数的图像于点D． （1）求a的值及正比例函数的表达式； （2）若，求的面积． 20. 已知，． （1）当时，判断与0的大小关系，并说明理由； （2）设，若是整数，求的正整数值． 21. 某蔬菜生产基地气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： （1）求这天的温度y与时间x的函数关系式； （2）解释线段BC的实际意义； （3）若大棚内温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？ 22. 阅读：对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解分别为，． 应用上面的结论解答下列问题： （1）方程的两个解中较小的一个为______； （2）解关于x的方程首先我们两边同加1成，设两个解分别为，（），则______，______； （3）关于x的方程的两个解分别为，（），求的值． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，过点A作y轴的垂线，垂足为M． （1）求一次函数和反比例函数解析式； （2）求的面积； （3）在y轴上求一点P，使最小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期第一次教学测评 八年级数学 注意事项： 1．此卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用钢笔或圆珠笔在答题卡上答题，答题前请将姓名、准考证号填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，甲、乙、丙、丁四人手中各有一个圆形卡片，则卡片中的式子是分式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的定义“形如，B中含有字母的式子叫分式”逐项判断即可求解． 【详解】解：甲、是分式； 乙、中，是一个数，故不是分式； 丙、是分式； 丁、，分母不含字母，不是分式． 综上，是分式的有甲、丙，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题的关键． 2. 函数中自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式有意义分母不为0直接求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， 解得：， 故选C； 【点睛】本题主要考查函数自变量x的取值范围，涉及分式时要使分式有意义，保证分母不为0． 3. 生物具有遗传多样性，遗传信息大多储存在DNA分子上，一个DNA分子直径约为0.0000002cm，这个数量用科学记数法可表示为（ ） A. 0.2×10－6cm B. 2×10－6cm C. 0.2×10－7cm D. 2×10－7cm 【答案】D 【解析】 【详解】0.0000002＝2×10－7cm． 故选：D． 4. 已知点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴图象在一三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 ，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． （山东菏泽期末） 5. 下列说法正确的是（ ） A. 分式的值为零，则的值为 B. 根据分式的基本性质，可以变形为 C. 分式中都扩大倍，分式的值不变 D. 分式是最简分式 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用分式的值为零的条件以及分式的基本性质、最简分式的定义分别分析得出答案． 【详解】A、分式的值为零，则x的值为−2，故此选项错误； B、根据分式的基本性质，等式=（x≠0），故此选项错误； C、分式中的x，y都扩大3倍，分式的值扩大为3倍，故此选项错误； D、分式是最简分式，正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件以及分式的基本性质、最简分式的定义，正确掌握相关定义和性质是解题关键． 6. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，两点，当一次函数大于反比例函数的值时，的取值范围是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形，一次讨论当，，，，时，反比例函数与一次函数的大小，即可得到答案． 【详解】解：由图象可知： 当时，反比例函数大于一次函数的函数值， 当时，反比例函数等于一次函数的函数值， 当时，一次函数大于反比例函数的函数值， 当时，反比例函数等于一次函数的函数值， 当时，反比例函数大于一次函数的函数值， 即当一次函数大于反比例函数的值时，的取值范围是：， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确掌握数形结合思想是解题的关键． 7. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，设规定时间为天，则慢马需要的实际为天，快马需要的实际为天，再根据速度路程时间，结合快马的速度是慢马的倍列出方程即可． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马需要的实际为天，快马需要的实际为天， 由题意得，， 故选：B． 8. 硫酸钠（）是一种主要的日用化工原料，主要用于制造洗涤剂和牛皮纸制浆工艺．硫酸钠的溶解度y（）与温度t（）之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 当温度为时，硫酸钠的溶解度为 B. 硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C. 当温度为时，硫酸钠的溶解度最大 D. 要使硫酸钠的溶解度大于，温度只能控制在 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象对应的横坐标和纵坐标以及图象的增减性解答即可． 【详解】解：由图象可知： 当温度为时，碳酸钠的溶解度小于，故选项A说法错误，不符合题意； 至时，碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大，至时，碳酸钠的溶解度随着温度的升高而减小，故选项B说法错误，不符合题意； 当温度为时，碳酸钠的溶解度最大，说法正确，故选项C符合题意； 要使碳酸钠的溶解度大于，温度可控制在接近至，故选项D说法错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 9. 已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的所有整数的和为（ ） A. 2 B. 5 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，利用不等式组的解为，确定的取值范围，解分式方程，当解为正整数时求得值，将符合条件的值相加即可得出结论． 【详解】解：不等式组的解集为， ． ． 关于的分式方程的解为． 是原分式方程的增根， ． ． 关于的分式方程的解为正整数， 为正整数． ，4，7． ， ，4． 所有满足条件的所有整数的和为：． 故选：C． 10. 如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线（x＞0）上，连接BC交AD于P，连接OP，则图中是（ ） A. B. 3 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】先根据△AOB和△ACD均为正三角形可知，故可得出ADOB，所以，故，过点B作BE⊥OA于点E，由反比例函数系数k的几何意义即可得出结论． 【详解】解：如图： ∵△AOB和△ACD均为正三角形， ∴， ∴ADOB， ∴， ∴， 过点B作BE⊥OA于点E，则， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查的是反比例函数，等边三角形的性质及反比例函数系数k的几何意义等知识，综合运用以上知识是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 使得分式有意义的条件是________． 【答案】x≠﹣3 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件可得：x+3≠0，再解即可． 【详解】解：由题意得：x+3≠0， 解得：x≠﹣3， 故答案为：x≠﹣3． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分母不为零是解题的关键． 12. 点与点关于y轴对称，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】关于y轴对称，y不变，x变号，根据这个知识，即可完成题目．本题主要考查了学生对点关于坐标轴对称问题认识：关于y轴对称，y不变，x变号，难度适中． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称，， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 【学科素养·创新意识】 13. 定义[p，q]为一次函数y=px+q的特征数，若特征数是[2，k-2]的一次函数为正比例函数，则k的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据特征数的定义及待定系数法即可求解． 【详解】根据题意，特征数是的一次函数表达式为∶y=2x+(k-2)． 因为此一次函数为正比例函数，所以k-2=0， 解得∶k=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了新定义、待定系数法的应用以及一次函数，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 14. 若关于的分式方程无解，则______． 【答案】3或4 【解析】 【分析】先把分式方程化为整式方程，再根据方程无解分情况讨论即可求解． 【详解】解 当3-m=0时，即m=3时，原分式方程无解； 当m≠3时， ∵原分式方程无解 ∴=2 ∴ 解得m=4 综上，m=3或m=4 故答案为：3或4． 【点睛】此题主要考查分式方程无解的情况求解，解题的关键是熟知解分式方程的方法． 15. 如图，直线与反比例函数交于两点，且为中点，过的直线交反比例函数图象的另一点，连接交轴于点，连接，若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，设，则，，求出直线解析式为，则，求出直线解析式为，则，由此得到，再由，，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：设， ∵为中点， ∴点C的坐标为， 由反比例函数的对称性可得点E的坐标为， 设直线解析式为， ∴， ∴ ∴直线解析式， 在中，当时，， ∴， 同理可得直线解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解分式方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可； （2）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 【小问1详解】 解：， 去分母得：， ∴， 解得：； 经检验：是原方程的解． 【小问2详解】 ， 去分母得：， ∴，即， 解得：， 经检验：是原方程的解． 【点睛】本题考查的是分式方程的解法，掌握分式方程的解法步骤是解本题的关键． 17. 如图，已知函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数的图象交于点C，点C的横坐标为2，求线段的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数交点问题及勾股定理，根据点C的横坐标为2代入正比例函数得到纵坐标，代入一次函数解析式求出解析式，求出与坐标轴交点，结合勾股定理即可得到答案； 【详解】解∵点C在直线的图象上，且点C的横坐标为2， ∴点C的坐标为， 把代入得，解得， ∴一次函数的解析式为， 把代入得，解得， ∴A点坐标为， 把代入得， ∴B点坐标为， ∴． 18. 先化简：，再从不等式组的解集中选一个合适的整数作为a的值代入求值． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，解不等式组；先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，求出不等式组的解集，从中选取符合条件的值，然后代值计算，即可求解；掌握分式化简的步骤是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 解不等式组得：， 不能取、， 当时， 原式 ． 19. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C，交正比例函数的图像于点D． （1）求a的值及正比例函数的表达式； （2）若，求的面积． 【答案】（1）a=2；y=2x；（2） 【解析】 【分析】（1）已知反比例函数解析式，点A在反比例函数图象上，故a可求；求出点A的坐标后，点A同时在正比例函数图象上，将点A坐标代入正比例函数解析式中，故正比例函数的解析式可求． （2）根据题意以及第一问的求解结果，我们可设B点坐标为(b，0)，则D点坐标为(b，2b)，根据BD=10，可求b值，然后确认三角形的底和高，最后根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）已知反比例函数解析式为y=，点A(a，4)在反比例函数图象上,将点A坐标代入，解得a=2，故A点坐标为(2，4)，又∵A点也在正比例函数图象上，设正比例函数解析为y=kx，将点A(2，4)代入正比例函数解析式中，解得k=2，则正比例函数解析式为y=2x． 故a=2；y=2x． （2）根据第一问的求解结果，以及BD垂直x轴，我们可以设B点坐标为(b，0)，则C点坐标为(b，)、D点坐标为(b，2b)，根据BD=10，则2b=10，解得b=5，故点B的坐标为(5，0)，D点坐标为(5，10)，C点坐标为(5，)，则在△ACD中，=． 故△ACD的面积为． 【点睛】（1）本题主要考查求解正比例函数及反比例函数解析式，掌握求解正比例函数和反比例函数解析式的方法是解答本题的关键． （2）本题根据第一问求解的结果以及BD垂直x轴，利用待定系数法，设B、C、D三点坐标，求出B、C、D三点坐标，是解答本题的关键，同时掌握三角形面积公式，即可求解． 20. 已知，． （1）当时，判断与0的大小关系，并说明理由； （2）设，若是整数，求的正整数值． 【答案】（1）当时，．理由见解析； （2）4或3或1． 【解析】 【分析】（1）通分化简结合有理数乘除法法则求解即可得到答案； （2）将M，N代入，结合x取值求解即可得到答案； 小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， ∴y可能是：4或3或1； 【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键正确代入化简，结合有理数乘除法法则判断与0的关系． 21. 某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： （1）求这天的温度y与时间x的函数关系式； （2）解释线段BC实际意义； （3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？ 【答案】（1）y＝； （2）线段BC表示恒温系统设定恒温为20℃； （3）恒温系统最多可以关闭10小时，才能使蔬菜避免受到伤害． 【解析】 【分析】（1）应用待定系数法分段求出函数解析式即可； （2）根据函数图象结合题意回答即可； （3）把y＝10代入y＝中，即可求得结论． 【小问1详解】 解：设线段AB解析式为y＝k1x＋b（k1≠0）， ∵线段AB过点（0，10），（3，15）， 代入得，解得：， ∴线段AB的解析式为：y＝x＋10（0≤x＜6）， ∵B在线段AB上，当x＝6时，y＝20， ∴点B坐标为（6，20）， ∴线段BC的解析式为：y＝20（6≤x＜10）， 设双曲线CD解析式为：y＝（k2≠0）， ∵C（10，20）， ∴k2＝200， ∴双曲线CD的解析式为：y＝（10≤x≤24）； ∴y关于x的函数解析式为：y＝； 【小问2详解】 线段BC表示恒温系统设定恒温为20℃； 【小问3详解】 把y＝10代入y＝中，解得：x＝20， ∴20−10＝10， 答：恒温系统最多可以关闭10小时，才能使蔬菜避免受到伤害． 【点睛】本题是以实际应用为背景的函数综合题，主要考查求一次函数、反比例函数和常数函数的关系式．解答时应注意临界点的应用． 22. 阅读：对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解分别为，． 应用上面的结论解答下列问题： （1）方程的两个解中较小的一个为______； （2）解关于x的方程首先我们两边同加1成，设两个解分别为，（），则______，______； （3）关于x的方程的两个解分别为，（），求的值． 【答案】（1）2 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据x的方程有两个解分别为，，故在方程中，可得到，，即可得到，的值，比较大小即可得到答案， （2）根据题意可得到在中，，，即或，即可得到的值， （3）将变形成为已知条件中的形式，可得到，，进而得到，，由，可得到，的值，从而可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得，，， ∴，， ∴较小的解是2； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴，， ∴或， ∴或； 【小问3详解】 解：由， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法并理解题中给定的运算方法是解题的关键． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，过点A作y轴的垂线，垂足为M． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）在y轴上求一点P，使最小． 【答案】（1），y=-x+5； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，值的几何意义，坐标与轴对称： （1）待定系数法求函数解析式即可； （2）根据值的几何意义，求解即可； （3）作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，点即为所求，求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：， ∴反比例函数的解析式为，， ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵在函数的图象上， ∴． ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，点即为所求，如图： 则：， 设直线的解析式为：，则： ，解得：， ∴， ∴当时，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$