精品解析：2025年江苏省盐城市阜宁县九年级中考一模数学试题

2025年春学期九年级第一次学情调研 数学试题 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 2025的绝对值是（ ） A. 2025 B. ﹣2025 C. D. 2. 如下图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 截至3月14日，电影《哪吒2》全球总票房突破150亿元，数字15000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后，与“明”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 会 B. 更 C. 美 D. 好 6. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角 ，则摩擦力与重力G方向的夹角β的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图， 是正方形的外接圆，若 ，则 的半径是（ ） A. B. 2 C. D. 8. 网络是第五代移动通信网络，它将推动我国数字经济发展迈上新台阶．据预测，2020年到2030年中国直接经济产出和间接经济产出的情况如图所示，根据如图提供的信息，下列推断不合理的是（ ） A. 2024年直接经济产出比间接经济产出少3万亿元 B. 2020年到2030年，直接经济产出和间接经济产出都是逐年增长 C. 2030年间接经济产出大约为2020年间接经济产出的9倍 D. 2024年到2025年，间接经济产出的增长率和直接经济产出的增长率相同 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 若式子在实数范围内有意义，则 的取值范围是________． 10. 因式分解：______． 11. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 12. 若扇形的圆心角为，半径为6，则该扇形的面积为__________． 13. 已知方程，用含x的代数式表示y，则 ______． 14. 中国古代数学名著《孙子算经》中有个问题，原文：今有四人共车，二车空；三人共车，五人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余2辆车，若每3人共乘一车，最终剩余5个人无车可乘，问共有_____________辆车． 15. 如图，某数学实践小组测量一棵垂直于地面的树的高度．在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A、D、B三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点D为x轴负半轴上的点，点F为y轴正半轴上的点，以、 为边，在第二象限内作矩形 ，且矩形 的面积为，将矩形 翻折，使点E与原点O重合，折痕为 ，点D的对应点落在第三象限，过点N的反比例函数的图象恰好过 的中点，则点的坐标为______． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 解不等式组： 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 将数、、0分别写在三张完全相同的不透明空白卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀后置于桌面，甲同学从中随机抽取一张卡片后（不放回），乙同学从剩余的卡片中随机抽取一张． （1）甲同学抽到的卡片上数字是0的概率是______； （2）用画树状图或列表的方法，求甲、乙两个同学抽到的卡片上的数字都是负数的概率． 21. 如图，在四边形中，，点O是对角线 的中点，过点O的直线分别交 于点M、N，且，求证：______ 给出下列信息：① ；② ；③ ，请从中选择适当的信息，将对应序号填入横线上方，并写出证明过程． 22. 三月是文明礼貌月，我市某校以“知文明礼仪，做文明少年”为主题开展了一系列活动，并在活动后期对七、八年级学生进行了文明礼仪知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于75分（满分100分）． 【收集数据】随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）． 【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用x表示成绩，分成五组：A．，B．，C．，D．，E．）． ①七年级学生成绩在D组的具体数据是：91，92，94，94，94，94，94； ②将七年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）． 【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 92.6 m 100 49.2 八年级 92.6 92 100 57.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取七年级学生的样本容量是______；频数分布直方图中，C组的频数是______；表格中， ______． （2）分析两个年级样本数据的对比表，你认为______年级的学生测试成绩较整齐（填“七”或“八”）． （3）若该校七年级2000名学生都参加了此次测试，估计该校七年级学生此次测试成绩不低于90分的学生有多少人？ 23. 如图，在 中，O是边 上的一点，以点O为圆心，的长为半径的 恰好与边 相切于点A，与边 交于点E，连接． （1）求证： ； （2）若 的半径为 ， ，求 的长． 24. 如图，二次函数图象与x轴交于B、C两点，与y轴交于点A，点C的坐标为，顶点D的坐标为． （1）求二次函数的表达式； （2）判断的形状，并说明理由． 25. 如图，在 中，，请利用无刻度直尺和圆规，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）． （1）过点B作 的垂线，垂足为点M； （2）过点A作一条射线分别交线段、边 于点E、点F，且使得 ； （3）在（1）、（2）条件下，若，，求的长． 26. 【生活观察】数学来源于生活，生活中处处有数学．在生活中，我们常用盐的质量与盐水的质量的比表示盐水的浓度． （1）现有m克盐水中含n克盐，则盐水的浓度为．加入a克水，则盐水浓度为．生活经验告诉我们，盐水加水后会变淡，由此得到不等式：______（填“”、“”或“ ”）． 【数学思考】 （2）将（1）中的“加入a克水”改为“加入a克盐”，充分搅拌后全部溶解，感觉盐水变得更咸了，此时盐水浓度为______，由此得到新的不等式______（用含a、m、n的式子表示），试证明你发现的新的不等式． 【结论运用】 （3）在 中，三条边的长度分别为x、y、z，试运用（1）、（2）中的不等式，证明： ． 27. 如图，在中，，点E是斜边 上的动点（点E与点A不重合），连接，以为直角边在的左侧构造 ， ，连接 ，． 【特例感知】 （1）如图1，当时， 与之间的位置关系是______，数量关系是______． 【类比迁移】 （2）如图2，当 时，猜想 与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点D与点B关于 对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形 的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当 时，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期九年级第一次学情调研 数学试题 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 2025的绝对值是（ ） A. 2025 B. ﹣2025 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，理解绝对值的定义是解题的关键，根据绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：的绝对值是 故选： A． 2. 如下图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念．根据轴对称图形与中心对称图形的概念，作答即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可知：A、B选项为轴对称图形， 根据中心对称图形的定义可知：B选项为中心对称图形． 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，合并同类项，根据同底数幂乘除法计算法则可判断B、C，根据幂的乘方计算法则可判断D，根据合并同类项法则可判断A． 【详解】解；A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 截至3月14日，电影《哪吒2》全球总票房突破150亿元，数字15000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 5. 一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后，与“明”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 会 B. 更 C. 美 D. 好 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答即可． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “明”与“更”是相对面， “会”与“好”是相对面， “天”与“美”是相对面． 故选：B． 6. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角 ，则摩擦力与重力G方向的夹角β的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，如解析图中，根据受力分析图结合三角形内角和定理分别求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，根据受力分析图可知，， ∵斜面的坡角 ， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图， 是正方形 的外接圆，若 ，则 的半径是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，90度的圆周角所对的弦是直径，先根据正方形的性质和勾股定理求出 的长，再由90度的圆周角所对的弦是直径得到 是 的直径，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接 ， ∵四边形 是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴ 是 的直径， ∴ 的半径为， 故选：A． 8. 网络是第五代移动通信网络，它将推动我国数字经济发展迈上新台阶．据预测，2020年到2030年中国直接经济产出和间接经济产出的情况如图所示，根据如图提供的信息，下列推断不合理的是（ ） A. 2024年直接经济产出比间接经济产出少3万亿元 B. 2020年到2030年，直接经济产出和间接经济产出都是逐年增长 C. 2030年间接经济产出大约为2020年间接经济产出的9倍 D. 2024年到2025年，间接经济产出的增长率和直接经济产出的增长率相同 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图，根据折线统计图的数据逐一选项进行分析即可得到答案． 【详解】解：A、2024年直接经济产出比间接经济产出少万亿元，原推断合理，不符合题意； B、2020年到2030年，直接经济产出和间接经济产出都是逐年增长，原推断合理，不符合题意； C、2030年间接经济产出大约为2020年间接经济产出的倍，原推断合理，不符合题意； D、2024年到2025年，间接经济产出的增长率为，直接经济产出的增长率为，二者不相同，原推断不合理，符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 若式子在实数范围内有意义，则 的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式等知识，利用二次根式的被开方数是非负数得出关于x的不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 10. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题关键．提公因式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用可求得边数． 【详解】解： 多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是， 即该正多边形的边数是8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形外角和以及多边形的边数，解题的关键是掌握正多边形的各个内角相等，各个外角也相等． 12. 若扇形的圆心角为，半径为6，则该扇形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】由题意得，n=150°，r=6， 故可得扇形的面积． 故答案为：． 【点睛】此题考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式，难度一般． 13. 已知方程，用含x的代数式表示y，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数，将x看做已知数求出y即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 中国古代数学名著《孙子算经》中有个问题，原文：今有四人共车，二车空；三人共车，五人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余2辆车，若每3人共乘一车，最终剩余5个人无车可乘，问共有_____________辆车． 【答案】 【解析】 【分析】设共有 人，根据不同的乘车方案中车的数量相同建立等量关系，求出人数后即可算出车辆数． 【详解】解：设共有 人， 根据题意得：， ， ， ， 解得：， 共有：， 故答案是： ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：理清题意，列出方程，再求解即可． 15. 如图，某数学实践小组测量一棵垂直于地面的树的高度．在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A、D、B三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用．设米，，根据三角形函数得出，，根据，得出，求出，据此计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得： ， 设米， 在中，， ∴， 在中， ， ∴， ， ∴， 解得：， ∴， 这棵树的高度约为米． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点D为x轴负半轴上的点，点F为y轴正半轴上的点，以、 为边，在第二象限内作矩形 ，且矩形 的面积为，将矩形 翻折，使点E与原点O重合，折痕为 ，点D的对应点落在第三象限，过点N的反比例函数的图象恰好过 的中点，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接 ，交 于，过作于，过作于，证明，可得是 的中点，反比例函数过点，证明，可得，求解，可得反比例函数，即，可得，，设 ，则，，由，解得：（舍去），再进一步解答即可． 【详解】解：如图，连接 ，交 于，过作于，过作于， ∵矩形 翻折， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴是 的中点，反比例函数过点， ∵， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴反比例函数，即， ∵是反比例函数图象上的点， ∴， ∴， 设 ，则，， 由对折可得：， ∴， ∴， 解得：（舍去）， ∵矩形 ，结合对折， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，矩形的性质，反比例函数的应用，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂和负整数指数幂，最后根据实数的运算法则即可求出答案． 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，先计算括号内的分式的减法，再计算除法运算得到化简的结果，最后把代入化简后的代数式进行计算即可. 【详解】解： ； 当时， 原式； 20. 将数、、0分别写在三张完全相同的不透明空白卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀后置于桌面，甲同学从中随机抽取一张卡片后（不放回），乙同学从剩余的卡片中随机抽取一张． （1）甲同学抽到的卡片上数字是0的概率是______； （2）用画树状图或列表的方法，求甲、乙两个同学抽到的卡片上的数字都是负数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到甲、乙两个同学抽到的卡片上的数字都是负数的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有3张卡片，且写有数字0的卡片只有一张， ∴甲同学从中抽取一张卡片，抽到的卡片上数字是0的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有6种等可能性的结果数，其中甲、乙两个同学抽到的卡片上的数字都是负数的结果数有2种， ∴甲、乙两个同学抽到的卡片上的数字都是负数的概率为． 21. 如图，在四边形 中，，点O是对角线 的中点，过点O的直线分别交 于点M、N，且，求证：______ 给出下列信息：① ；② ；③ ，请从中选择适当的信息，将对应序号填入横线上方，并写出证明过程． 【答案】 求证处填写③，证明如下： ∵， ∴ ， ∵点O是对角线 的中点， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， 又∵， ∴四边形 是矩形， ∴ ， 根据现有条件无法证明 ． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，全等三角形的性质与判定，证明得到 ，则可进一步证明四边形 是矩形，得到 ，根据现有条件无法证明 ，据此可得结论． 【详解】略 22. 三月是文明礼貌月，我市某校以“知文明礼仪，做文明少年”为主题开展了一系列活动，并在活动后期对七、八年级学生进行了文明礼仪知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于75分（满分100分）． 【收集数据】随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）． 【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用x表示成绩，分成五组：A．，B．，C．，D．，E．）． ①七年级学生成绩在D组的具体数据是：91，92，94，94，94，94，94； ②将七年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）． 【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 92.6 m 100 49.2 八年级 92.6 92 100 57.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取七年级学生的样本容量是______；频数分布直方图中，C组的频数是______；表格中， ______． （2）分析两个年级样本数据的对比表，你认为______年级的学生测试成绩较整齐（填“七”或“八”）． （3）若该校七年级2000名学生都参加了此次测试，估计该校七年级学生此次测试成绩不低于90分的学生有多少人？ 【答案】（1）， ， （2）七 （3）该年级成绩不低于 分的学生约有人 【解析】 【分析】（1）根据样本容量是抽取的个数求解即可得到答案；利用总数减去其它频数即可得到答案；找到最中间两个数求平均即可得到答案； （2）根据方差越大波动越大，方差越小波动越小即可得到答案； （3）利用七年级总人数乘以符合的频率即可得到答案 【小问1详解】 解：∵随机从七、八年级各抽取名学生的测试成绩，进行整理和分析， ∴本次抽取七年级学生的样本容量是， ∵， ∴C组的频数是 ； ∵，， ∴中位数落在D组上， ∴ ，两个数是：，， ∴中位数是：； 【小问2详解】 解：∵， ∴七年级的学生测试成绩较整齐； 【小问3详解】 解：由题意可得，（人）， 答：该年级成绩不低于 分的学生约有人 【点睛】本题考查中位数，方差，样本容量，利用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握几个定义． 23. 如图，在 中，O是边 上的一点，以点O为圆心，的长为半径的 恰好与边 相切于点A，与边 交于点E，连接． （1）求证： ； （2）若 的半径为 ， ，求 的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， 由题意得，为 的直径， ∴， ∴ ， ∵ 与边 相切于点A， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，等边对等角等等，熟知圆的相关性质是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角可得 ， ，则可证明 ，进一步可证明 ，再由相似三角形的判定定理即可证明结论； （2）利用相似三角形对应边成比例建立比例式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ 的半径为 ， ∴， ∵ ， ∴，即， ∴ 或 （舍去）． 24. 如图，二次函数图象与x轴交于B、C两点，与y轴交于点A，点C的坐标为，顶点D的坐标为． （1）求二次函数的表达式； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） 是直角三角形，理由如下： 当时，， ， ，， ，， ， ， ， 是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数与坐标轴交点，勾股定理及其逆定理，求出二次函数表达式是解题关键． （1）根据顶点坐标设二次函数顶点式，再将点代入求出的值，即可求解； （2）先求出点坐标，再根据勾股定理及其逆定理得出 ，即可求解． 【小问1详解】 解： 顶点D的坐标为， 设二次函数顶点式， 将点代入得：， 解得：， 二次函数的表达式为； 【小问2详解】 略 25. 如图，在 中，，请利用无刻度直尺和圆规，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）． （1）过点B作 的垂线，垂足为点M； （2）过点A作一条射线分别交线段、边 于点E、点F，且使得 ； （3）在（1）、（2）条件下，若，，求的长． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 线段即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查的作垂线，作角平分线，锐角三角函数的应用； （1）作出斜边 边上的高交 于点M即可； （2）作的角平分线交线段、边 于点E、点F即可； （3）过作于，证明，再求解， ，再利用面积法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由作图可得：， ， ∴， ∴， 由作图可得：， ∵，， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：如图，过作于， ∵ ， ， ∴， ∵，，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴ ， ∴； 26. 【生活观察】数学来源于生活，生活中处处有数学．在生活中，我们常用盐的质量与盐水的质量的比表示盐水的浓度． （1）现有m克盐水中含n克盐，则盐水的浓度为．加入a克水，则盐水浓度为．生活经验告诉我们，盐水加水后会变淡，由此得到不等式：______（填“”、“”或“ ”）． 【数学思考】 （2）将（1）中的“加入a克水”改为“加入a克盐”，充分搅拌后全部溶解，感觉盐水变得更咸了，此时盐水浓度为______，由此得到新的不等式______（用含a、m、n的式子表示），试证明你发现的新的不等式． 【结论运用】 （3）在 中，三条边的长度分别为x、y、z，试运用（1）、（2）中的不等式，证明： ． 【答案】（1）； （2）；； 由题意得，此时盐水浓度为， ∵盐水变得更咸了， ∴； （3）证明 :∵在 中，三条边的长度分别为x、y、z， ∴ ， ∴，，， ∴ ； ∵，，， ∴ ， ∴ ． 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，正确得到，是解题的关键。 （1）根据盐水加水后会变淡可知加水后的盐水浓度小于未加水时盐水的浓度，据此可得答案； （2）根据盐水浓度等于盐的质量除以盐水的质量可得第一空答案，根据加盐后会变咸可知加盐后的盐水浓度大于未加盐时盐水的浓度，据此可得答案； （3）根据（1）（2）可得，，，，，，再由不等式的性质证明即可． 【详解】解：（1）由题意得，， 故答案为：； （2）略 （3）略 27. 如图，在 中， ，点E是斜边 上的动点（点E与点A不重合），连接，以为直角边在的左侧构造 ， ，连接 ，． 【特例感知】 （1）如图1，当时， 与之间的位置关系是______，数量关系是______． 【类比迁移】 （2）如图2，当 时，猜想 与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点D与点B关于对称，连接，，，如图3．已知 ，设，四边形 的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当 时，请直接写出的长度． 【答案】（1）， ；（2）与 之间的位置关系是，数量关系是；（3）①，当时，的最小值为 ；②当 时，为或． 【解析】 【分析】（1）先证明，，，，可得；再结合全等三角形的性质可得结论； （2）先证明，，结合，可得；再结合相似三角形的性质可得结论； （3）①先证明四边形 为正方形，如图，过B作于，可得，，再分情况结合勾股定理可得函数解析式，结合函数性质可得最小值；②如图，连接，，，证明，可得在 上，且为直径，则，过作于，过作 于，求解正方形面积为，结合，再解方程可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴； ∴ ，， ∴， ∴， ∴与 之间的位置关系是，数量关系是 ； （2）与 之间的位置关系是，数量关系是；理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与 之间的位置关系是，数量关系是； （3）由（1）得：，，， ∴ ， 都为等腰直角三角形； ∵点B与点D关于对称， ∴为等腰直角三角形；， ∴四边形 为正方形， 如图，过作于， ∵ ， ， ∴，， 当时， ∴， ∴， 如图，当时， 此时， 同理可得：， ∴y与x的函数表达式为， 当时，的最小值为 ； ②如图，∵，正方形 ，记正方形的中心为， ∴， 连接，，， ∴， ∴在 上，且， 为直径， ∴， 过作于，过作 于， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形面积为， ∴， 解得：，，经检验都符合题意， 如图， 综上：当 时，为或． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，二次函数的性质，圆的确定及圆周角定理的应用，本题难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $