精品解析：云南省楚雄彝族自治州民族中学2024-2025学年高二上学期期末考试 数学试卷

楚雄州民族中学2024-2025学年高二上学期期末考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 平面α内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足，，则x＋3y等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论． 【详解】空间向量共面定理，，若，，不共线，且共面，则其充要条件是； 由点A，B，C，D共面得① 又由点B，C，D，E共面得② 联立①②，解得 所以 故选：B 2. 与轴平行且过点的直线的一般式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出直线的斜率，从而写出直线方程. 【详解】过点且平行轴的直线的斜率为0，所以直线方程为，即. 故选：B. 3. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，的面积为，过点的直线交于点，，且的周长为8．则的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知所给的面积公式，结合椭圆的定义进行求解即可. 【详解】因为周长为8， 所以， 由椭圆的定义可知： 所以， 由题意可得：，解得， 因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为． 故选：C 【点睛】本题考查了椭圆定义的应用，考查了数学阅读能力和数学运算能力. 4. 已知空间中三个点组成一个三角形，分别在线段上取三点，当周长最小时，直线与直线的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当为三角形的垂足三角形时候周长最小，此时与的交点即为三角形的垂心. 【详解】如图所示： 先固定D不动，分别作D关于和的对称点，连接，设分别与和交于点， 利用几何关系可知与的交点即为三角形的垂心， 从而，即， 不妨设垂心，坐标原点为， 则， 所以有，即垂心的坐标满足, 又四点共面， 从而由四点共面的充要条件可知， ， 从而，结合， 解得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决问题的关键是分析出当周长最小时，与的交点即为三角形的垂心，再求垂心时，除了利用垂直转换为数量积为0以外，还要注意四点共面的充要条件的应用，否则只能算出比例. 5. 若直线与直线交于点M，则M到坐标原点距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两直线的方程判断两直线的位置关系，得到交点在以为直径的圆上，将点到原点的距离转化为圆上的点到定点的距离问题. 【详解】两直线满足，所以两直线垂直， 由得，斜率存在且过定点， 由得，过定点， 故交点在以为直径的圆上但不包含点，其中，则线段的最小值为. 故选：C. 6. 已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用点到面的距离的向量求法求解即可 【详解】因为， 所以， 因为平面的法向量， 所以点到平面的距离. 故选：B 【点睛】此题考查利用向量求点到面的距离，属于基础题 7. 函数的导数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数定义求解得结果. 【详解】 ．选C. 【点睛】本题考查导数定义及其计算,考查基本分析求解能力,属基础题. 8. 已知数列满足，，，则数列的前10项和为（ ） A. 48 B. 49 C. 50 D. 51 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的递推公式，分别计算前项的值，可得答案. 【详解】由题意得，，，，， ，，，， 所以前10项和为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一百零八塔，位于宁夏回族自治区吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，总面积为6980平方米.一百零八塔，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下，前六层依次建1，3，3，5，5，7座塔，从第六层起，后面的每一层所建塔的座数依次比上一层多2座，总计一百零八座，因塔数而得名.将塔进行编号.第一层的一座塔编号为001号塔；第二层从左至右依次编号为002，003，004；第三层从左至右依次编号为005，006，007；…；依此类推.001号塔比较高大，残高为5.04米、塔底直径为3.08米，具有塔心室，其余107座皆为实心塔，大小基本相近，一般残高约为2.2米、塔底直径约为2米，塔底座间距相同约为1.2米（例如：002号塔底座右侧与003号塔底座左侧之间的距离为1.2米），记第层的宽度（以最左侧塔身和最右侧塔身最远距离计算）为米，则以下说法正确的是（ ） A. 一百零八塔共有12层塔 B. 088号塔在第11层 C. D. 的值约为53.2 【答案】ABD 【解析】 【分析】由等差数列的求和公式可判断A；可先求出第12层有19座塔，进而可判断B；由题意，从第六层起，后面的每一层所建塔的座数依次比上一层多2座，所以宽度上会多出2个塔底直径的长和两个间距的长，即可判断C；由等差数列通项公式计算即可判断D. 【详解】设数列1，3，3，5，5，7…为， 由题意，构成等差数列，公差，， 设塔共有层，则， 解得，故A正确； 由于第12层有座塔，， 所以088号塔在11层最后第二个，故B正确； 由题意，从第六层起，后面的每一层所建塔的座数依次比上一层多2座， 所以宽度上会多出2个塔底直径的长和两个间距的长，即有，故C错误； 由C的分析可知，构成等差数列，公差，， 所以，故D正确 故选：ABD 10. 若是等差数列，则下列数列为等差数列的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列的定义，逐项判断，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为d. 对于A，，所以是以为公差的等差数列； 对于B，，因为不一定为常数，所以不一定是等差数列； 对于C，因为，所以为等差数列； 对于D，因为，所以为等差数列. 故选：ACD. 11. 已知线段是圆的一条动弦，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆恒相交 C. 直线，的交点在定圆上 D. 若为中点，则最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由直线过定点即可判断A，由直线过定点以及点与圆的位置关系即可判断B，联立直线方程，然后消去即可得到点的轨迹方程，即可判断C，先求得点的轨迹方程，再由点的轨迹方程，即可得到的最小值，即可判断D. 【详解】对于选项A，因为直线，即， 令，解得，则直线恒过定点，故A正确； 对于选项B，因为直线，即， 令，解得，所以直线恒过定点， 将点代入圆可得， 即点在圆外，所以直线与圆不一定相交，故B错误； 对于选项C，联立两直线方程可得，解得， 消去可得，即，故C正确； 对于选项D，设，因为，且为中点，所以， 而圆的圆心，半径为， 则圆心到弦的距离为，即， 即点的轨迹方程为，圆心，半径为， 由选项C可知，点的轨迹方程为，圆心，半径为， 两圆圆心距为， 所以的最小值为，故D正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间中的三个点，则点到直线的距离为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意求出和在上的投影，根据勾股定理计算即可求解. 【详解】由题意知，， 所以， 得，， 所以点A到直线BC的距离为 . 故答案为： 13. 设点为圆上任意一点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用表示的几何意义，作图先求出两条切线的斜率，再结合图形理解即得其范围. 【详解】 如图，作出圆，因点是圆上一点，故可看成圆上的点与原点连线的斜率. 考虑直线与圆相切时，设切线斜率为，则圆心到直线的距离为， 解得，由图知要使过原点的直线与圆有公共点， 需使直线倾斜角不小于切线的倾斜角，或不超过切线的倾斜角， 故直线的斜率或，即的范围为. 故答案为：. 14. 南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，二阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有二阶等差数列，其前5项分别为1，3，6，10，15，设数列的前n项和为，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】结合题意可得数列是以为公差，为首项的等差数列，即可得其通项公式，再借助裂项相消法求和即可得解. 【详解】因为是二阶等差数列， 由题意可得， 故数列是以为公差，为首项的等差数列， 即， 则有时 ,，，，， 则， 即，也适合，故， 故， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，动点满足，记其轨迹为，与轴交于点，过（异于点）作直线的垂线． （1）求曲线的方程； （2）记到的距离为，到的距离为，证明：为定值． 【答案】（1）且； （2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）利用向量加法、模长的坐标运算，即可求曲线方程； （2）根据题设，且，应用点线距离公式求、，并求出的坐标，得到关于的表达式，即可证结论. 【小问1详解】 由题设，则， 所以所求曲线方程为且. 【小问2详解】 由题设及圆的性质，显然直线斜率必存在， 如下图，不妨设，且， 则到的距离为，到的距离为， 令且，则，故， 所以，则， 综上，，为定值. 16. 已知椭圆左右顶点为A、B，直线l：.已知O为坐标原点，圆G过点O、B交直线l于M、N两点，直线AM、AN分别交椭圆于P、Q. （1）记直线AM，AN的斜率分别为、，求的值； （2）证明直线PQ过定点，并求该定点坐标. 【答案】（1） （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）首先设出点的坐标，根据，利用斜率公式表示； （2）当直线PQ的斜率存在时，设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，从而得到与的关系，计算定点坐标，并验证当直线的斜率不存在时，也过此定点. 【小问1详解】 由已知可得MN为圆G的直径，所以，则， 根据题意不妨设，， 则，所以，所以. 【小问2详解】 证明：当直线PQ的斜率存在时， 设直线PQ的方程为，，， 联立，得，所以，， ， 所以， 所以， 即，或， 当时，直线l的方程为，过定点， 当时，直线l的方程为，过定点，舍去. 当直线PQ斜率不存在时，，，， 直线方程是与椭圆方程联立得，同理得，此时直线PQ方程是，过定点， 综上可知，直线PQ过定点，该定点坐标是. 17. 已知椭圆：（）的离心率，且椭圆过点. （1）求的方程： （2）过点直线与椭圆有两个交点，，已知轴上点，求证：. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用给定的离心率及所过的点求出即得. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算得证. 【小问1详解】 由椭圆：的离心率，得，则， 由椭圆过点，得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 依题意，直线的斜率存在，设直线的方程：， 由消去，得， 设，显然， 则，， 所以 . 18. 已知数列满足：，，（）． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)结合递推公式利用等比数列的定义证明即可； (2)结合(1)中结论，利用累加法和等比数列求和公式即可求解. 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，∴， ∴数列{}是以为首项，4为公比的等比数列． 【小问2详解】 由（1）知，， 当时， 当n=1时，满足上式． 所以，． 19. 定义运算：，已知函数，． （1）若函数的最大值为0，求实数a的值； （2）若函数存在两个极值点，，证明：； （3）证明：． 【答案】（1）1 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导后，分类讨论单调性，进而得到最值，求出a的值即可； （2）条件等价于有两个不等的正根，结合判别式非负，以及韦达定理求出a的范围，要证， 即证，令求导确定函数的单调性，证明结论． （3）利用（1）结论可得则当时，，进而利用裂项相消求和证明结论. 【小问1详解】 由题意知： ， ①当时，，在单调递减，不存在最大值． ②当时，由得， 当，；，， 函数的增区间为，减区间为． ， ． 【小问2详解】 “函数存在两个极值点，”等价于 “方程有两个不相等的正实数根”； 故，解得． 要证，即证， ，不妨令，故 由得，令 在恒成立， 所以函数在上单调递减，故． 成立． 【小问3详解】 由（1）知，，即， 当时， ． 【点睛】知识点点睛：本题以新定义为载体，考查了利用导数研究函数单调性和最值，考查了不等式的放缩，裂项相消求和知识，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 楚雄州民族中学2024-2025学年高二上学期期末考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 平面α内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足，，则x＋3y等于（ ） A B. C. D. 2. 与轴平行且过点的直线的一般式方程为（ ） A. B. C. D. 3. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，的面积为，过点的直线交于点，，且的周长为8．则的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间中三个点组成一个三角形，分别在线段上取三点，当周长最小时，直线与直线的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 若直线与直线交于点M，则M到坐标原点距离最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的导数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，，，则数列的前10项和为（ ） A. 48 B. 49 C. 50 D. 51 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一百零八塔，位于宁夏回族自治区吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，总面积为6980平方米.一百零八塔，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下，前六层依次建1，3，3，5，5，7座塔，从第六层起，后面的每一层所建塔的座数依次比上一层多2座，总计一百零八座，因塔数而得名.将塔进行编号.第一层的一座塔编号为001号塔；第二层从左至右依次编号为002，003，004；第三层从左至右依次编号为005，006，007；…；依此类推.001号塔比较高大，残高为5.04米、塔底直径为3.08米，具有塔心室，其余107座皆为实心塔，大小基本相近，一般残高约为2.2米、塔底直径约为2米，塔底座间距相同约为1.2米（例如：002号塔底座右侧与003号塔底座左侧之间的距离为1.2米），记第层的宽度（以最左侧塔身和最右侧塔身最远距离计算）为米，则以下说法正确的是（ ） A. 一百零八塔共有12层塔 B. 088号塔在第11层 C. D. 的值约为53.2 10. 若是等差数列，则下列数列为等差数列的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知线段是圆的一条动弦，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆恒相交 C. 直线，的交点在定圆上 D. 若为中点，则最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间中的三个点，则点到直线的距离为__________． 13. 设点为圆上任意一点，则的取值范围是______. 14. 南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，二阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有二阶等差数列，其前5项分别为1，3，6，10，15，设数列的前n项和为，则________. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，动点满足，记其轨迹为，与轴交于点，过（异于点）作直线的垂线． （1）求曲线的方程； （2）记到的距离为，到的距离为，证明：为定值． 16. 已知椭圆的左右顶点为A、B，直线l：.已知O为坐标原点，圆G过点O、B交直线l于M、N两点，直线AM、AN分别交椭圆于P、Q. （1）记直线AM，AN斜率分别为、，求的值； （2）证明直线PQ过定点，并求该定点坐标. 17. 已知椭圆：（）的离心率，且椭圆过点. （1）求的方程： （2）过点直线与椭圆有两个交点，，已知轴上点，求证：. 18. 已知数列满足：，，（）． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式． 19. 定义运算：，已知函数，． （1）若函数的最大值为0，求实数a的值； （2）若函数存在两个极值点，，证明：； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$