2025年上海市中考数学一轮复习专题26：概率初步

专题26：概率初步 一、选择题：本题共13小题，每小题3分，共39分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一个不透明的盒子中装有个白球，个红球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性是(    ) A. B. C. D. 2.“一个不透明的袋中装有三个球，分别标有，，这三个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球，摸出球上的号码小于”是必然事件，则的值可能是(    ) A. B. C. D. 3.一个不透明的盒子中装有个红球和个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是(    ) A. 摸到红球是必然事件 B. 摸到白球是不可能事件 C. 摸到红球和摸到白球的可能性相等 D. 摸到红球比摸到白球的可能性大 4.下列事件中属于必然事件的是(    ) A. 任意画一个三角形，其内角和是 B. 打开电视机，正在播放新闻联播 C. 随机买一张电影票，座位号是奇数号 D. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 5.一个不透明的袋子中装有个小球，其中个红球、个黄球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是(    ) A. B. C. D. 6.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 “射中九环以上”的次数 “射中九环以上”的频率结果保留两位小数 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是(    ) A. B. C. D. 7.下列成语所反映的事件中，是确定事件的是(    ) A. 十拿九稳 B. 守株待兔 C. 水中捞月 D. 一箭双雕 8.哥德巴赫提出“每个大于的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果在质数，，中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是(    ) A. B. C. D. 9.甲、乙两位同学相约打乒乓球现有款式完全相同的个乒乓球拍，分别记为、、、，如果甲同学先从中随机选取个，乙再从余下的球拍中随机选取个，那么乙同学选中号球拍的概率是(    ) A. B. C. D. 10.如图，在扇形中，，点是的中点过点作交于点，过点作，垂足为点在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是(    ) A. B. C. D. 11.如图所示，平整的地面上有一个不规则图案图中阴影部分，小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果，他将若干次有效实验的结果绘制成了所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为(    ) A. B. C. D. 12.下列说法正确的是(    ) A. “打开电视机，正在播放新闻联播”是必然事件 B. “明天下雨概率为”，是指明天有一半的时间可能下雨 C. 一组数据“，，，，”的中位数是，众数也是 D. 甲、乙两人在相同的条件下各射击次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则甲的成绩更稳定 13.下列说法错误的是(    ) A. 必然事件发生的概率为 B. 不可能事件发生的概率为 C. 随机事件发生的概率介于和之间 D. 不确定事件发生的概率为 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 14.一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是         ． 15.一只不透明的袋中装有个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球______个 16.如图，在网格中放置了三枚棋子，在其余格点处再放置枚棋子，则这四枚棋子构成的图形是轴对称图形的概率是______． 17.如果甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏，游戏的规则如下：同时抛出两个正面，乙得分抛出其他结果，甲得分谁先累积到分，谁就获胜你认为          填“甲”或“乙”获胜的可能性更大． 18.在一张边长为的正方形纸上做扎针随机试验，纸上有一个半径为的圆形区域，则针头扎在圆形区域的概率为           19.罚球是篮球比赛中得分的一个组成部分，罚球命中率的高低对篮球比赛的结果影响很大．下图是对某球员罚球训练时命中情况的统计： 下面三个推断：当罚球次数是时，该球员命中次数是，所以“罚球命中”的概率是；随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚球命中”的概率是；由于该球员“罚球命中”的频率的平均值是，所以“罚球命中”的概率是其中合理的是          填序号 20.从，，，，这五个数中任取一个数作为的值，则抛物线开口向下的概率是          ． 21.已知线段，，从，，，，，，，这八个数中任意选取一个数作为线段的长度，那么，，不能组成三角形的概率是          ． 三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 22.本小题分 有两个可以自由转动的均匀转盘、，分别被分成等份、等份，并在每份内均标有数字，如图所示王扬和刘菲同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下： 分别转动转盘与． 两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止． 如果和为，王扬获胜；否则刘非获胜． 用列表法或树状图求王扬获胜的概率； 你认为这个游戏对双方公平吗？若不公平，请制定一个新的游戏规则． 23.本小题分 在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字，，，甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜． 请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． 这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． 24.本小题分 某校一年级开设人数相同的，，三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． “学生甲分到班”的概率是______； 请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 25.本小题分 在月日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间单位：小时把调查结果分为四档，档：；档：；档：；档：根据调查情况，给出了部分数据信息： 档和档的所有数据是：，，，，，，，，，，，； 图和图是两幅不完整的统计图． 根据以上信息解答问题： 求本次调查的学生人数，并将图补充完整； 已知全校共名学生，请你估计全校档的人数； 学校要从档的名学生中随机抽取名作读书经验分享，已知这名学生名来自七年级，名来自八年级，名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的名学生来自不同年级的概率． 26.本小题分 根据国家体质健康标准规定，七年级男生、女生米短跑时间分别不超过秒、秒为优秀等次．某校在七年级学生中挑选男生、女生各人进行集训，经多次测试得到名学生的平均成绩单位：秒记录如下： 男生成绩：，，，， 女生成绩：，，，， 根据以上信息，解答下列问题： 男生成绩的众数为______，女生成绩的中位数为______； 判断下列两位同学的说法是否正确． 教练从成绩最好的名男生设为甲，乙，丙中，随机抽取名学生代表学校参加比赛，请用画树状图或列表的方法求甲被抽中的概率． 27.本小题分 有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字，，；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字，，的三个完全相同的小球．小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字若指针指在分界线上则重转，小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字． 请用列表或画树状图的方法选其中一种表示出所有可能出现的结果； 若得到的两数字之和是的倍数，则小杰贏；若得到的两数字之和是的倍数，则小玉赢，此游戏公平吗？为什么？ 28.本小题分 在张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”将这张小纸条做成支签，放在不透明的盒子中搅匀． 从盒子中任意抽出支签，抽到“石头”的概率是______； 甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”甲先从盒子中任意抽出支签不放回，乙再从余下的支签中任意抽出支签，求甲取胜的概率． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：根据题意可得：一个不透明的盒子中装有个白球，个红球，共个， 摸到红球的概率为：． 故选：． 根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 此题考查可能性的大小，用到的知识点是概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率． 2.【答案】  【解析】解：根据题意可得，的值可能为如果的值是、、，那么与摸出球上的号码小于”是必然事件相矛盾． 故选：． 根据必然事件的意义，进行解答即可． 本题考查随机事件、必然事件，理解必然事件的意义是正确判断的前提，结合问题情境判断事件发生的可能性是正确解答的关键． 3.【答案】  【解析】提示：摸到红球是随机事件，故选项A错误；摸到白球是随机事件，故选项B错误；根据不透明的盒子中装有个红球和个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故选项C错误，选项D正确． 4.【答案】  【解析】解：任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，因此选项A符合题意； B.打开电视机，有可能播放新闻联播，也有可能不是，是个随机事件，因此选项B不符合题意； C.随机买一张电影票，座位号有可能是奇数号，也有可能是偶数号，是随机事件，因此选项C不符合题意； D.掷一枚质地均匀的硬币，可能正面朝上，也可能正面朝下，是随机事件，因此选项D不符合题意； 故选：． 根据必然事件的意义，结合具体的问题情境逐项进行判断即可． 本题考查随机事件、必然事件，理解必然事件的意义是正确判断的前提，结合问题情境判断事件发生的可能性是正确解答的关键． 5.【答案】  【解析】解：从袋子中随机摸出一个小球共有种等可能结果，摸出的小球是红球的结果数为， 摸出的小球是红球的概率为， 故选：． 用红球的个数除以球的总个数即可． 本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键． 根据大量的实验结果稳定在左右即可得出结论． 【解答】 解：从频率的波动情况可以发现频率稳定在附近， 这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是． 故选：． 7.【答案】  【解析】解：、十拿九稳，是不确定事件，不符合题意 B、守株待兔，是不确定事件，不符合题意 C、水中捞月，是不可能发生的，属于确定事件，符合题意 D、一箭双雕，是不确定事件，不符合题意 故选：． 8.【答案】  【解析】解：列表如下： 共有种等可能的结果，其中和是偶数的结果有：，，共种， 和是偶数的概率为． 故选：． 列表可得出所有等可能的结果数以及和是偶数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 9.【答案】  【解析】本题主要考查了用列表法或画树状图法求概率，用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，再用乙选中号球拍的结果数除以总的结果数即可； 【详解】解：画树状图如下： 一共有种等可能的结果，其中乙选中号球拍种可能的结果， 乙选中号球拍的概率；． 故选：． 10.【答案】  【解析】解：设的半径为， ， ， 点是的中点， ， 在中，， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， 阴影部分的面积， 点落在阴影部分的概率． 故选：． 设的半径为，先利用余弦的定义求出，则，再证明四边形为矩形得到，所以阴影部分的面积，然后根据几何概率的求法得到点落在阴影部分的概率． 本题考查了几何概率：某事件的概率该事件所占有的面积与总面积之比．利用面积和差用扇形的面积表示阴影部分的面积是解决问题的关键． 11.【答案】  【解析】解：假设不规则图案面积为， 由已知得：长方形面积为， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：， 当事件实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为， 综上有：，解得． 故选：． 本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高 12.【答案】  【解析】解：、“打开电视机，正在播放新闻联播”是随机事件，故错误，不符合题意； B、“明天下雨概率为”，是指明天可能下雨，故错误，不符合题意； C、一组数据“，，，，”的中位数是，众数是和，故错误，不符合题意； D、甲、乙两人在相同的条件下各射击次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则甲的成绩更稳定，正确，符合题意， 故选：． 利用随机事件的定义、概率的意义、中位数及众数的定义、方差的意义分别判断后即可确定正确的选项． 考查了概率的意义及统计的知识，解题的关键是了解概率是反映事件发生可能性大小的量，难度不大． 13.【答案】  【解析】解：，，C正确，不符合题意；不确定事件发生的概率大于且小于，故说法错误，符合题意．故选D． 14.【答案】  【解析】解：若将每个方格地砖的面积记为，则图中地砖的总面积为，其中阴影部分的面积为， 所以该小球停留在黑色区域的概率是． 故答案为． 本题考查几何概率． 15.【答案】  【解析】解：由题意可得， 袋中约有红球： 个， 故答案为：． 根据白球个数和频率，可以估算出球的总数，然后即可计算出红球个数． 本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，利用频率的知识估算出红球的个数． 16.【答案】  【解析】解：如图所示：当棋子放到空心小圆位置都可以构成轴对称图形， 故这四枚棋子构成的图形是轴对称图形的概率是：． 故答案为：． 直接利用轴对称图形的性质结合概率公式得出答案． 此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 17.【答案】甲  【解析】【分析】 本题考查了可能性的大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比；事件的可能性主要看事件的类型，事件的类型决定了可能性及可能性的大小．分别求出甲乙两人得分的可能性大小，再作比较即可． 【解答】 解：同时抛掷两枚硬币有以下情况： 同时抛出两个正面； 一正一反； 一反一正； 同时掷出两个反面； 乙得分的可能性为；甲得分的可能性为． 故甲获胜的可能性更大． 故答案为甲． 18.【答案】    【解析】本题考查几何概率的求法：注意圆、正方形的面积计算．用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比． 根据题意，求得正方形与圆的面积，相比计算可得答案． 【详解】解：根据题意，针头扎在阴影区域内的概率就是圆与正方形的面积的比值； 由题意可得：正方形纸边长为，其面积为， 圆的半径为，其面积为， 故其概率为． 故答案为：． 19.【答案】  【解析】【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：当罚球次数是时，该球员命中次数是，所以此时“罚球命中”的频率是：，但“罚球命中”的概率不一定是，故错误； 随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚球命中”的概率是故正确； 虽然该球员“罚球命中”的频率的平均值是，但是“罚球命中”的概率不是，故错误． 综上，合理的推断是． 故答案为：． 本题考查了利用频率估计概率，算术平均数，解题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答． 20.【答案】    【解析】使抛物线的开口向下的条件是，据此从所列个数中找到符合此条件的结果，再利用概率公式求解可得． 【详解】解：在所列的个数中任取一个数有种等可能结果，其中使抛物线的开口向下的有，共种结果， 使抛物线的开口向下的概率为， 故答案为：． 21.【答案】  【解析】先根据三角形三边关系确定不能组成三角形的的取值范围，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：，， 线段，，组成三角形时的取值范围，即 当或时，线段，，不能组成三角形， 在，，，，，，，这八个数中任意选取一个数作为线段的长度，不能组成三角形的是，、这三个数， 所以，，，不能组成三角形的概率是， 故答案为： 22.【答案】解：列表如下：         共有种等可能的结果，其中和为的结果有种， 王扬获胜的概率； 这个游戏对双方不公平，理由如下： 由可知，王扬获胜的概率为，刘菲获胜的概率为，， 二人获胜的概率不相等，因此游戏不公平， 新的游戏规则如下：分别转动转盘与；两个转盘停止转动后，将两个指针所指份内的数字相加如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止；如果和为，王扬获胜，和为刘菲获胜．  【解析】用列表法列举出所有可能出现的结果情况，再根据概率的意义求解即可； 根据获胜概率的大小判断游戏规则不公平，新的游戏规则合理即可． 本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法与树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 23.【答案】解：画树状图得： 共有种等可能的结果，其中甲获胜的结果有种， 甲获胜的概率为； 不公平． 由树状图可知，乙获胜的结果有种， 乙获胜的概率为， ， 游戏不公平．  【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，利用概率公式求出甲获胜的概率即可； 根据树状图计算乙获胜的概率，比较作出判断即可． 本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 24.【答案】 ． 列表如下：     共有种等可能的结果，其中甲、乙两位新生分到同一个班的结果有种， 甲、乙两位新生分到同一个班的概率为．  【解析】解：由题意知，共有种等可能的结果，其中学生甲分到班的结果有种， “学生甲分到班”的概率是． 故答案为：． 列表如下：     共有种等可能的结果，其中甲、乙两位新生分到同一个班的结果有种， 甲、乙两位新生分到同一个班的概率为． 由题意知，共有种等可能的结果，其中学生甲分到班的结果有种，利用概率公式可得答案． 列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两位新生分到同一个班的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 25.【答案】解：由于档和档共有个数据，而档有个， 因此档共有：人， 随机抽取的总人数为人， 所以档人数为人 补全图形如下： 人， 答：全校档的人数为． 用表示七年级学生，用表示八年级学生，用和分别表示九年级学生，画树状图如下， 因为共有种等可能的情况数，其中抽到的名学生来自不同年级的有种， 所以．  【解析】用档和档所有数据数减去档人数即可得到档人数，用档人数除以所占百分比即可得到总人数；用总人数减去档，档和档人数，即可得到档人数，从而可补全条统计图； 先求出档所占百分比，再乘以即可得到结论； 分别用，，，表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数，再用概率公式求解即可． 本题考查条形统计图以及树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏． 26.【答案】， 解：用时越少，成绩越好， 是男生中成绩最好的，故小星的说法正确； 女生秒为优秀成绩，， 有一人成绩达不到优秀，故小红的说法错误； 列表为： 甲 乙 丙 甲 甲，乙 甲，丙 乙 乙，甲 乙，丙 丙 丙，甲 丙，乙 由表格可知共有种等可能结果，其中抽中甲的有种， 故甲被抽中的概率为．   【解析】【分析】本题考查用树状图或列表法求概率，众数和中位数的定义，掌握列表法或树状图求概率是解题的关键． 利用中位数和众数的定义解题即可； 根据优秀等次的要求进行比较解题即可； 列表格得到所有可能的结果数，找出符合要求的数量，根据概率公式计算即可． 详解：解：男生成绩出现的次数最多，即众数为， 女生成绩排列为：，，，，，居于中间的数为，故中位数为， 故答案为：，； 27.【答案】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 公平，理由如下： 由的表格可知，共有种可能出现的结果，其中“和为的倍数”的有种，“和为的倍数”的有种， 小杰胜，小玉胜， 小杰胜和小玉胜的概率是一样的，因此游戏是公平的．  【解析】利用列表法表示所有可能出现的结果情况； 根据的表格，得出“和为的倍数”“和为的倍数”的概率即可． 本题考查列举法求概率，以及游戏公平性． 28.【答案】解：； 列表如下： 石头 剪子 布 石头 石头，剪子 石头，布 剪子 剪子，石头 剪子，布 布 布，石头 布，剪子 共有种等可能的结果，其中甲取胜的结果有：石头，剪子，剪子，布，布，石头，共种， 甲取胜的概率为．  【解析】解：由题意知，共有种等可能的结果，其中抽到“石头”的结果有种， 从盒子中任意抽出支签，抽到“石头”的概率是． 故答案为：． 见答案． 由题意知，共有种等可能的结果，其中抽到“石头”的结果有种，利用概率公式可得答案． 列表可得出所有等可能的结果数以及甲取胜的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$