第18章　勾股定理 单元测试卷 2024-2025学年沪科版八年级数学下册

第18章　勾股定理 题号 一 二 三 总分 分数 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意) 1.(2022·广西河池期末)如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍,那么斜边长扩大到原来的 (　　) A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍 2.(2022·安徽合肥期中)若3,4,a为勾股数,则a的值为 (　　) A. B.5 C.5或7 D.5或 3.(2023·安徽合肥庐阳区期中)若一个三角形的三边长分别为2,和,则这个三角形的面积是 (　　) A. B.2 C. D.2 4.(2023·天津和平区期中)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=2,BC=4,四边形ADEC是正方形,则正方形ADEC的面积是 (　　) A.8 B.16 C.20 D.25 　　　　　 (第4题) (第6题) 5.(2023·安徽宿州期中)下列条件中,不能判定△ABC为直角三角形的是 (　　) A.a∶b∶c=1∶∶2 B.a=9k,b=40k,c=41k(k>0) C.∠A∶∠B∶∠C=1∶4∶5 D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 6.[课标理念|关注数学文化]《九章算术》是我国古代的数学名著,书中的“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何.意思是:如图,一根竹子,原高一丈(一丈=10尺),一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部3尺远,问折断处离地面的高度是多少.设折断处离地面的高度为 x尺,则可列方程为 (　　) A.x2-3=(10-x)2 B.x2-32=(10-x)2 C.x2+3=(10-x)2 D.x2+32=(10-x)2 7.(2023·陕西西安段考)如图,某超市为吸引顾客,在超市门口离地高4.5 m的墙上装有一个由传感器控制的门铃A,人只要移至该门周围5 m 及 5 m以内,门铃就会自动发出语音“欢迎光临”.一个身高为1.5 m 的学生要走到离门多远的地方,门铃恰好自动响起? (　　) A.4 m B.3 m C.5 m D.7 m 　 　 (第7题)　 (第8题) 　(第10题) 8.(2023·安徽芜湖期中)如图,阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形,面积分别记为S1,S2.若S1+S2=9,且AC+BC=10,则AB的长为 (　　) A.6 B.7 C.8 D. 9.(2023·安徽合肥蜀山区期中)在学习“勾股数”的知识时,爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数,并将它们记录在如下的表格中.则当a=24时,b+c的值为 (　　) a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … A.250 B.288 C.300 D.574 10.(2023·湖南娄底模拟)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,则PD+PE的长是 (　　) A.3.8 B.4.8或3.8 C.4.8 D.5 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,满分16分) 11.(2023·江苏南京鼓楼区期中)在△ABC中,∠C=90°,若AB=,则AB2+BC2+AC2=　　　　.  12.(2023·河南洛阳期中)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,有AB,CD,EF,GH四条线段,其中能构成直角三角形的三条线段是　　　　.  　　　 (第12题) (第13题) (第14题) 13.(2022·福建泉州丰泽区模拟)如图,是由6个边长均为1的小正方形构造的网格图,则∠α+∠β=　　　　°.  14.(2023·安徽合肥庐阳区期中)如图,一个圆柱形食品盒,高为10 cm,底面的周长为32 cm(盒子的厚度忽略不计). (1)如图(1),若在盒外DE的中点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在盒外,且与蜂蜜相对的盒底A处,则蚂蚁想吃到蜂蜜需要爬行的最短距离是　　　　cm(假设蜂蜜不会下滑) .  (2)如图(2),若该食品盒是无盖的,在盒内DE的中点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在盒外,离盒底3 cm且与蜂蜜相对的点C处,则蚂蚁想吃到蜂蜜需要爬行的最短距离是　　　　cm(假设蜂蜜不会下滑).  三、解答题(本大题共6小题,满分54分) 15.(7分)(2023·安徽合肥蜀山区期中)某中学有一块四边形的空地ABCD,如图所示,学校计划在空地上种植草皮.经测量,∠ABC=90°,BC=6 m,AB=8 m,AD=26 m,CD=24 m. (1)求这块空地的面积. (2)如果每种植1 m2草皮需要花费100元,那么总共需花费多少元? 16.(8分)(2023·安徽池州期末)如图,在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发,现有一C处需要爆破,已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米,与公路上另一停靠站B的距离为400米,且CA⊥CB.为了安全起见,爆破点C周围半径250米范围内不得进入,问在进行爆破时,公路AB段是否有危险而需要暂时封锁.请通过计算进行说明. 17.(8分)(2023·安徽合肥四十五中期中)如图,在一条东西走向的河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC.由于某些原因,由C到A的路现在已经不通了,该村为方便村民取水,决定在河边新建一个取水点H(A,H,B在一条直线上),并新修一条路CH,测得CB=3千米,CH=2.4千米,HB=1.8千米. (1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路,请通过计算加以说明. (2)求新路CH比原路CA少多少千米. 18.(9分)[中考创新题型|新概念类阅读理解题](2023·安徽滁州期中)阅读下面的材料,然后解答问题:我们新定义一种三角形,两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形. (1)理解并填空: ①根据奇异三角形的定义,可知等边三角形　　　　　奇异三角形.(填“是”或“不是”)  ②若某三角形的三边长分别为1,,2,则该三角形　　　　　(填“是”或“不是”)奇异三角形.  (2)探究:若Rt△ABC的三边长分别是a,b,c,且a2=50,c2=100,则这个三角形是奇异三角形吗?请说明理由. 19.(10分)[中考创新题型|类比探究题]勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小明灵感,他发现,当两个全等的直角三角形如图(1)或图(2)摆放时,都可以用“面积法”来证明勾股定理.下面是小明利用图(1)证明勾股定理的过程. 如图(1),△ACB≌△DEA,∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2. 证明:连接DB,DC,过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F,则DF=EC=b-a,则=S△ACD+S△ABC=b2+ab. 又=S△ADB+S△DCB=c2+a(b-a),∴b2+ab=c2+a(b-a),∴a2+b2=c2. 将两个全等的直角三角形按图(2)所示摆放,连接BE,其中∠DAB=90°.请参照上述证法,利用图(2)求证:a2+b2=c2. 　　　 图(1)　　　　　　　　图(2) 20.(12分)(2023·河南南阳宛城区期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动,设运动的时间为t s. (1)求BC边的长; (2)当△ABP为直角三角形时,求t的值; (3)当△ABP为等腰三角形时,求t的值. 第18章　勾股定理 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B A C D D A C B C 11.6 12.AB,CD,GH 13.45 14.(1)　(2)20 1.B 2.B　①当a最大时,a==5.②当4最大时,a==,此时不是勾股数. 3.A　∵该三角形的三边长分别为2,和,22+()2=()2,∴这个三角形是直角三角形,其中两条直角边长为2,,∴这个三角形的面积为×2×=. 4.C　由勾股定理得,AC2=AB2+BC2=4+16=20,∴正方形ADEC的面积为20. 5.D　A选项中,因为a∶b∶c=1∶∶2,设a=x,b=x,c=2x(x>0),所以x2+(x)2=(2x)2,所以△ABC是直角三角形.B选项中,因为(9k)2+(40k)2=(41k)2(k>0),所以△ABC是直角三角形.C选项中,∠A∶∠B∶∠C=1∶4∶5,且∠A+∠B+∠C=180°,所以∠C=180°×=90°,所以△ABC是直角三角形.D选项中,∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,且∠A+∠B+∠C=180°,所以∠C=180°×=75°,所以△ABC不是直角三角形. 6.D　【关键】利用勾股定理构造方程 7.A　如图,设身高为1.5 m的学生走到D处(CD=1.5 m),门铃恰好自动响起,即AC=5 m.过点C作CE⊥AB于点E.由题意可知,BE=CD=1.5 m,AE=AB-BE=4.5-1.5=3(m).由勾股定理得CE2=52-32=16,所以CE=4 m,所以BD=CE=4 m,故一个身高为1.5 m的学生要走到离门4 m远的地方,门铃恰好自动响起. 8.C　由勾股定理得AC2+BC2=AB2,∵S1+S2=9,∴π×()2+π×()2+AC×BC-π×()2=9,∴AC×BC=18.∵AC+BC=10,∴AB====8. 9.B　解法一 从题表可知,b=()2-1,c=()2+1,即当a=24时,b=122-1=143,c=122+1=145,所以b+c=143+145=288.　解法二 由题表可得如下规律:当a=6时,b+c=18=3a,当a=8时,b+c=32=4a,当a=10时,b+c=50=5a,…,所以当a=24时,b+c=(24÷2)a=12×24=288. 10.C　如图,过点A作AF⊥BC于点F,连接AP.在△ABC中,∵AB=AC=5,BC=8,∴BF=4.在Rt△ABF中,由勾股定理,得AF==3.∵S△ABC=S△ABP+S△APC,∴×8×3=×5PD+×5PE,即12=×5(PD+PE),则PD+PE=4.8.故选C. 11.6　【关键】由勾股定理得AB2=BC2+AC2,∴AB2+BC2+AC2=2AB2=6 12.AB,CD,GH　 由勾股定理得AB==5,CD==2,EF==2,GH==,∵(2)2+()2=52,∴能构成直角三角形的线段是AB,CD,GH. 13.45　如图,连接EB,EC,由勾股定理得,EB2=12+22=5,EC2=12+22=5,BC2=12+32=10,∴EB2+EC2=BC2,EB=EC,∴△EBC是等腰直角三角形,∴∠EBC=45°.由题意得△BME≌△ANC,∴∠α=∠EBA,∴∠α+∠β=∠EBA+∠β=∠EBC=45°. 14. (1)　(2)20　将食品盒抽象成几何图形(圆柱),并将该圆柱的侧面展开.(1)示意图如图(1),在Rt△AEB中,∵AE=16 cm,BE=5 cm,∴AB= ==(cm).(2)示意图如图(2),作点B关于PD的对称点B',连接CB'交PD于点E,连接EB,过点C作CN⊥B'E于点N,可得CN=16 cm,B'N=12 cm,则最短距离为CB'===20(cm). 15.【参考答案】(1)连接AC. 在Rt△ABC中, ∵∠ABC=90°,BC=6,AB=8, ∴AC==10. 在△ACD中,∵AC2+CD2=102+242=676=AD2, ∴∠ACD=90°, ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=×6×8+×10×24=144. 答:这块空地的面积是144 m2. (5分) (2)144×100=14 400(元). 答:总共需花费14 400元. (7分) 16.【参考答案】过点C作CD⊥AB于点D, ∵BC=400米,AC=300米,∠ACB=90°, ∴根据勾股定理易得AB=500米. (3分) ∵AB·CD=BC·AC,∴CD=240米. ∵240米<250米, ∴公路AB段有危险而需要暂时封锁. (8分) 17.【参考答案】(1)是.理由如下: (1分) 在△CHB中,∵CH2+BH2=2.42+1.82=9,BC2=9, ∴CH2+BH2=BC2,∴CH⊥AB, ∴CH是从村庄C到河边的最近路. (4分) (2)设AC=x千米,则AH=(x-1.8)千米. 由(1)及勾股定理得AC2=AH2+CH2, ∴x2=(x-1.8)2+2.42,解得x=2.5, ∴AC-CH=2.5-2.4=0.1(千米), ∴新路CH比原路CA少0.1千米. (8分) 18.【参考答案】(1)①是(2分) ②是 (4分) (2)当c为斜边长时,Rt△ABC不是奇异三角形; 当b为斜边长时,Rt△ABC是奇异三角形. (6分) 理由:当c为斜边长时,b2=c2-a2=100-50=50, 则a2+c2≠2b2,b2+c2≠2a2, ∴Rt△ABC不是奇异三角形. 当b为斜边长时,b2=a2+c2=150, 则a2+b2=50+150=200=2c2, ∴Rt△ABC是奇异三角形. 综上所述,当c为斜边长时,Rt△ABC不是奇异三角形;当b为斜边长时,Rt△ABC是奇异三角形. (9分) 19.【参考答案】证明:证法一 如图,连接BD,过点B作BF⊥DE交DE的延长线于点F,则BF=b-a. (2分) ∵S四边形ABED=S△ABE+S△ADE=b2+ab, S四边形ABED=S△ABD+S△BDE=c2+a(b-a),(6分) ∴b2+ab=c2+a(b-a), (9分) ∴a2+b2=c2. (10分) 证法二 连接BD,过点B作DE边上的高BF,可得BF=b-a, (2分) ∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab, (4分) 且S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a(b-a), (6分) ∴ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a), (9分) ∴a2+b2=c2. (10分) 20.【参考答案】(1)在Rt△ABC中,BC2=AB2-AC2=52-32=16, ∴BC=4 cm. (3分) (2)由题意知BP=t cm, ①如图(1),当∠APB为直角时,点P与点C重合,BP=BC=4 cm,∴t=4. (5分) ②如图(2),当∠BAP为直角时,CP=(t-4) cm, 在Rt△ACP中,AP2=32+(t-4)2, 在Rt△BAP中,AB2+AP2=BP2, 即52+[32+(t-4)2]=t2,解得t=. 综上所述,当△ABP为直角三角形时,t=4或t=. (8分) 　 图(1)　　　　　　　图(2) (3)①如图(3),当BP=AB时,t=5; ②如图(4),当AB=AP时,BP=2BC=8 cm, ∴t=8; ③如图(5),当BP=AP时,AP=BP=t cm,CP=(4-t)cm, 在Rt△ACP中,AP2=AC2+CP2,即t2=32+(4-t)2,解得t=. 综上所述,当△ABP为等腰三角形时,t=5或t=8或t=.(12分) 　 图(3)　　　　　　　图(4)　　　　图(5) 学科网（北京）股份有限公司 $$