精品解析：安徽省合肥市庐江县联考2024-2025学年九年级下学期4月月考数学试题

2025年中考模拟考试九年级数学试卷 注意事项：1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 在中，最小的实数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 年是安徽省高考综合改革落地之年，全省高考报名考生为万人，数据万可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某港口有200吨货物需要运输，若平均每趟运力为 吨，则运输完这批货物共需次．下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 随着 的增大而增大 C. 若实际每趟运力是原计划的一半，则实际运输次数是原计划的两倍 D. 若实际每趟运力是原计划的两倍，则实际运输次数是原计划的一半 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 12 7. 一个不透明的盒子里有红、黄、蓝三个小球，它们只有颜色不同，先摸一个小球，记录下颜色后放回，摇匀后再摸一次，并记录摸出小球的颜色，则至少有一次摸到红色小球的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将扇形沿 折叠，使得点和点重合，已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 有甲、乙两个品种的新能源汽车，充满电均为80度，在出厂测试时两车行驶和剩余电量（度）的函数图象如图所示，则图中的值是（ ） A. B. 16 C. 20 D. 24 10. 如图，在中，，是 边上的动点，将沿翻折得，当取最小值时，的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：______． 12. 若关于 的不等式只有负数解，则的取值范围是___________． 13. 安徽建省于清朝康熙六年（公元1667年），省名取当时安庆、徽州两府首字合成．如图，这是“安”字在正方形米字格中的书写形态，已知正方形的边长为，笔画横钩“”与正方形对角线交于 点，点 为线段 的黄金分割点，，则 的长为___________．（结果保留根号） 14. 抛物线的系数满足，且经过点，其中． （1）该抛物线的对称轴为直线___________（用含有的式子表示）； （2）当时，函数顶点纵坐标的最大值为___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中， 的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将 绕点逆时针旋转得到（其中，的对应点分别为），请画出； （2）连接，则直线 和直线的位置关系是___________（填“平行”或“相交”），并说明理由． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 综合与实践： 【发现】数学兴趣小组在讨论对于一个个位数和9相乘的问题时，发现可以用10个手指直观地展示出来，如计算，将两手平伸，手心向上，从左边开始数至第3个手指，将它弯起，此时它的左边有2个手指，右边有7个手指，27正是的结果． 【应用】（1）填空：若计算，从左边开始数至第___________个手指，将它弯起，此时它的左边手指个数为___________，右边手指个数为___________，结果为___________； 【探究】（2）从左边开始数至第个手指，将它弯起，此时它的左边手指个数为___________，右边手指个数为___________，用所学的数学知识证明上面的发现． 18. 乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表： 农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元） 3 5 5 9 已知农作物种植人员共40位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金不超过68万元，问：种农作物的种植面积最少是多少公顷？ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某小区有处斜坡较陡，有一定的安全风险，为提高安全性能，小区物业准备对该斜坡进行改造，并制定了如下改造方案，请你帮小区物业解决方案中的问题． 方案名称 斜坡安全改造预算 测量工具 测角仪、卷尺等 方案设计 如图，将斜坡的上端由拓宽为，下端由 拓宽为 ，其中，原斜坡由改为，其中上下两条水平路面拓宽部分工程造价为500元/米，斜坡 的造价为600元/米，．（图中所有点均在同一平面内，点在同一水平直线上，点在同一水平直线上） 测量数据 【步骤一】利用卷尺测得； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得． 解决问题 求斜坡改造工程的总预算． （参考数据：） 20. 如图，在中， ，为 延长线上一点，且，． （1）尺规作图：作出的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若的直径为6，求 的长． 六、 21. 某果园今年种植的苹果喜获丰收，该果园种植了甲、乙两种品种的苹果，现随机选取两种品种的苹果树各10棵，对苹果个数进行统计并记录如下： 甲品种： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 个数 68 76 65 47 65 71 65 78 70 75 乙品种； （1）填空： 品种 平均数 众数 中位数 不低于80个的频率 方差 甲 68 ②___________ 69 0 69.4 乙 ①___________ 45 ③___________ ④___________ 329 （2）根据上述材料分析： ①如果果园计划扩大种植面积，在两种品种苹果销量和价格一致的情况下，增加哪个品种的苹果种植面积更好？请说明理由； ②如果农科所要选取其中一个品种研究以获得更高产量，应该选取哪个品种？请说明理由． 七、 22. 如图，在正方形中，对角线 ， 交于点，是的外角平分线，平分 ，交 于点． （1）求的度数； （2）求证：； （3）如图2，连接，若正方形的边长为2，求的长． 八、 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于点和点，点是轴上一定点． （1）求的值； （2）若点在抛物线上，，当时，始终存在，求的取值范围； （3）将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移9个单位长度得到新抛物线，点为平移后新抛物线上任一点，过点作 轴的垂线，垂足为，交直线于 点． ①求证：； ②若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中考模拟考试九年级数学试卷 注意事项：1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 在中，最小的实数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数比较大小，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键，将题中实数按大小顺序排列后，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴最小的实数是， 故选：D． 2. 年是安徽省高考综合改革落地之年，全省高考报名考生为万人，数据万可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键，根据科学记数法的表示方法：，将万写成的形式即可得到答案． 【详解】解：由题可得：， 故选：B． 3. 如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，熟知主视图是从物体的正面看到的视图是解题的关键．按照主视图的定义逐项判断即可． 【详解】解：从正面看该几何体，下面是一个大长方形，上面叠着一个小长方形， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键； 根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、积的乘方逐项运算即可判断求解．， 【详解】解：A．，原式计算错误，故该选项不符合题意； B．，原式计算错误，故该选项不符合题意； C．，原式计算正确，故该选项不符合题意； D．原，式计算错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 某港口有200吨货物需要运输，若平均每趟运力为吨，则运输完这批货物共需次．下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 随着的增大而增大 C. 若实际每趟运力是原计划的一半，则实际运输次数是原计划的两倍 D. 若实际每趟运力是原计划的两倍，则实际运输次数是原计划的一半 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了反比例函数的应用，根据题意可得，根据反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：根据题意可得， 若，则，故A正确，不符合题意； 根据题意可得，且， ∴随着的增大而减小，故B错误，符合题意； 若实际每趟运力是原计划的一半，即，则，则实际运输次数是原计划的两倍，故C正确，不符合题意； 若实际每趟运力是原计划的两倍，即，则，则实际运输次数是原计划的一半，故D正确，不符合题意； 故选：B． 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，最后利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 7. 一个不透明的盒子里有红、黄、蓝三个小球，它们只有颜色不同，先摸一个小球，记录下颜色后放回，摇匀后再摸一次，并记录摸出小球的颜色，则至少有一次摸到红色小球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是利用列表法或画树状图法求概率，熟练应用列表法或画树状图法是解题的关键； 先画出树状图，根据树状图得出所有等可能的结果，然后得出至少有一次摸到红色小球的情况数，再利用概率公式，即可解答． 【详解】解：画树状图如图所示： 通过树状图可以清晰看到，总共有种等可能的结果，， 至少有一次摸到红色小球的情况有：（红，红）、（红，黄）、（红，蓝）、（黄，红）、（蓝，红），共5种． ∴至少有一次摸到红色小球的概率是． 故选：D． 8. 如图，将扇形沿 折叠，使得点和点重合，已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接 ，由折叠的性质证明为等边三角形，则，然后解求出半径，再由弧长公式求解． 【详解】解析：连接 ，如图．由折叠性质可知，． 又， 为等边三角形， ． ， 的长为． 故选：A． 【点睛】本题考查了弧长公式，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，正确添加辅助线是解题的关键． 9. 有甲、乙两个品种的新能源汽车，充满电均为80度，在出厂测试时两车行驶和剩余电量（度）的函数图象如图所示，则图中的值是（ ） A. B. 16 C. 20 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取正确信息是解题的关键． 设续航里程较长的车为甲，续航里程较短的车为乙，甲行驶需要24度电，乙行驶需要40度电，得到甲消耗40度电可行驶的距离为：，即，此时乙需要消耗的电量为：度，此时，即可得到答案 【详解】解析：设续航里程较长的车为甲，续航里程较短的车为乙， 由图可知，甲行驶需要24度电，乙行驶需要40度电， 甲行驶需要度电，乙行驶需要度电， 甲消耗40度电可行驶的距离为：，即， 此时乙需要消耗的电量为：度， 此时． 故选：A． 10. 如图，在中，，是 边上的动点，将沿翻折得，当取最小值时，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题和相似三角形应用、勾股定理、折叠性质，连接 ，可得当落在 边上时，最小，此时，再延长，交点，证明，过点作，垂足为点，求出，代入比例式即可求解． 【详解】解：如图，连接 ， ∵ ∵， ∴当落在 边上时，最小，此时． 延长，交点，过点作，垂足为点，如图． ∵， ∴，， ∴， ∴， ， ，， ， ，， ， ∴， ， 解得． 故选C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式乘法运算，平方差公式，利用平方差公式进行运算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 若关于的不等式只有负数解，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据不等式的解集的情况求参数的范围，先求出不等式的解集，根据不等式的解集的情况，得到关于的不等式，进行求解即可． 【详解】解：由，得：， ∵的不等式只有负数解， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 安徽建省于清朝康熙六年（公元1667年），省名取当时安庆、徽州两府首字合成．如图，这是“安”字在正方形米字格中的书写形态，已知正方形的边长为，笔画横钩“”与正方形对角线交于点，点为线段 的黄金分割点，，则 的长为___________．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割点的定义，勾股定理，正方形的性质；根据勾股定理和正方形的性质求出 ，在根据黄金分割点的定义即可求出结果． 【详解】解：， ∵点为线段 的黄金分割点， 故答案为：． 14. 抛物线的系数满足，且经过点，其中． （1）该抛物线的对称轴为直线___________（用含有的式子表示）； （2）当时，函数顶点纵坐标的最大值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）将变形为，则可得抛物线经过点和点，故抛物线的对称轴为直线． （2）当时，得出，即，得出函数解析式为：，函数顶点的纵坐标为：，根据对称轴为直线，且，得出，求出，得出当时，顶点纵坐标有最大值为． 【详解】解：（1）由题意可知，即， 抛物线经过点和点， 故抛物线的对称轴为直线． （2）当时，由题意可知，， ， 函数解析式为：， 函数顶点的纵坐标为：， 对称轴为直线，且， 对称轴的取值范围为：， ， ， 当时，顶点纵坐标有最大值为． 故答案为：；． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查含锐角三角函数的实数运算，熟练掌握有理数的运算、二次根式化简和特殊角三角函数值是解题的关键，根据以上相关知识点分别进行化简计算即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 16. 如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中， 的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将 绕点逆时针旋转得到（其中，的对应点分别为），请画出； （2）连接，则直线 和直线的位置关系是___________（填“平行”或“相交”），并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）相交，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转和直线位置的判断， （1）先画出三角形各顶点绕着点A逆时针旋转 后的位置，再用线段依次连接各顶点，得到旋转后的三角形； （2）根据旋转的性质和网格的特点判定，与不是垂直关系，即可得出结论； 【小问1详解】 解：如图所示． 【小问2详解】 相交． 理由如下：有旋转可知，，由图可知，与的交点不是的中点， 又∵， ∴与不是垂直关系， ∴直线 和直线的位置关系是相交. 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 综合与实践： 【发现】数学兴趣小组在讨论对于一个个位数和9相乘的问题时，发现可以用10个手指直观地展示出来，如计算，将两手平伸，手心向上，从左边开始数至第3个手指，将它弯起，此时它的左边有2个手指，右边有7个手指，27正是的结果． 【应用】（1）填空：若计算，从左边开始数至第___________个手指，将它弯起，此时它的左边手指个数为___________，右边手指个数为___________，结果为___________； 【探究】（2）从左边开始数至第个手指，将它弯起，此时它的左边手指个数为___________，右边手指个数为___________，用所学的数学知识证明上面的发现． 【答案】（1）5，4，5，45；（2），，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律，整式加减法的应用，读懂手指的操作方法找出规律是解题关键． （1）根据题中的操作求解即可得； （2）根据题中的操作求解即可得，根据整式混合运算即可证明； 【详解】（1）根据题意，若计算，从左边开始数至第5个手指，将它弯起，此时它的左边有4个手指，右边有5个手指，45正是的结果． 故答案为∶5；4；5；45． （2）设从左边开始数至第个手指（，且为正整数），将它弯起， 它的左边有个手指，它的右边有个手指数， 故答案为：，． 证明：设从左边开始数至第个手指（，且为正整数），将它弯起， 它的左边有个手指，它的右边有个手指数， 则作为十位数，作为个位数， 双手指表示的运算结果为： ． 18. 乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表： 农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元） 3 5 5 9 已知农作物种植人员共40位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金不超过68万元，问：种农作物的种植面积最少是多少公顷？ 【答案】种农作物的种植面积最少是10公顷 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，设种农作物的种植面积为公顷，则种农作物的种植面积为公顷，根据种植两种农作物投入资金不超过68万元，可列出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论，找准数量关系，正确列出一元一次不等式是解决此题的关键． 【详解】解：设种农作物的种植面积为公顷，则所需人数为人，则参与种农作物的人数为人，种农作物的种植面积为公顷． 由题意列出方程，，解得． 的最小值为10． 答：种农作物的种植面积最少是10公顷． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某小区有处斜坡较陡，有一定的安全风险，为提高安全性能，小区物业准备对该斜坡进行改造，并制定了如下改造方案，请你帮小区物业解决方案中的问题． 方案名称 斜坡安全改造预算 测量工具 测角仪、卷尺等 方案设计 如图，将斜坡的上端由拓宽为，下端由 拓宽为 ，其中，原斜坡由改为，其中上下两条水平路面拓宽部分工程造价为500元/米，斜坡 的造价为600元/米，．（图中所有点均在同一平面内，点在同一水平直线上，点在同一水平直线上） 测量数据 【步骤一】利用卷尺测得； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得． 解决问题 求斜坡改造工程的总预算． （参考数据：） 【答案】斜坡改造工程的总预算约为3905元 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，在中，根据正切定义求出 ，在中，根据正切定义求出，根据正弦定义求出，即可求解． 【详解】解：作，垂足为，如图． ， ， ， 又， ， 在中， ， ， ， ， ． 故总造价约为：（元）． 答：斜坡改造工程的总预算约为3905元． 20. 如图，在中， ，为 延长线上一点，且，． （1）尺规作图：作出的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若的直径为6，求 的长． 【答案】（1） 如图所示， （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可知 为外角圆的直径，作出 的垂直平分线即可得到圆心O，再以为半径画圆即可； （2）先证明，从而得到，根据，得到，设，则，列式求出x的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知， ， 为的直径， ． ， ． ， ． 设，则． ，即，解得． 的长为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂直平分线的作法，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 六、 21. 某果园今年种植的苹果喜获丰收，该果园种植了甲、乙两种品种的苹果，现随机选取两种品种的苹果树各10棵，对苹果个数进行统计并记录如下： 甲品种： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 个数 68 76 65 47 65 71 65 78 70 75 乙品种； （1）填空： 品种 平均数 众数 中位数 不低于80个的频率 方差 甲 68 ②___________ 69 0 69.4 乙 ①___________ 45 ③___________ ④___________ 329 （2）根据上述材料分析： ①如果果园计划扩大种植面积，在两种品种苹果销量和价格一致的情况下，增加哪个品种的苹果种植面积更好？请说明理由； ②如果农科所要选取其中一个品种研究以获得更高产量，应该选取哪个品种？请说明理由． 【答案】（1）①68，②65，③68，④0.4 （2） ①甲品种平均产量和乙品种一致，但甲品种方差更小，稳定性更好，同时它的众数和中位数均高于乙品种，大面积种植风险更小，故选甲． ②应该选取乙品种，因为乙品种不低于80个的高产苹果频率为40%，甲品种为0，故乙品种更容易出现高产苹果． 【解析】 【分析】本题考查求平均数，众数，中位数和频率，利用方差作决策： （1）根据平均数，众数，中位数和频率的计算方法进行计算即可； （2）①利用方差做决策即可；②根据频率作决策即可． 【小问1详解】 解：乙的平均数为：； 甲的数据中出现次数最多的是，故众数为65； 乙的数据排序后，中位数为：； 乙品种中不低于80个的频率为：； 填表如下： 品种 平均数 众数 中位数 不低于80个的频率 方差 甲 68 65 69 0 69.4 乙 68 45 68 0.4 329 【小问2详解】 ①略 ②略 七、 22. 如图，在正方形中，对角线 ， 交于点，是的外角平分线，平分 ，交 于点． （1）求的度数； （2）求证：； （3）如图2，连接，若正方形的边长为2，求的长． 【答案】（1） （2） 证明：如图1，连接． 为正方形的对角线， 点和点关于 对称，， ， ， 平分 ， ， ， ． 由（1）可知， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）先证得，可得，即可得出答案； （2）连接．由 为正方形的对角线，可得点和点关于 对称，得出，根据等腰三角形性质可得，从而求得．可证得，再证明即可； （3）连接．由，可得出四点共圆，可求得，再由可得，可得出．再求解即可． 【小问1详解】 解：， 又平分平分 ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图2，连接． ， 四点共圆， ， 点和点关于 对称， ， ， ， 由（2）可知 在正方形中，， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，四点共圆等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关性质解决问题． 八、 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，点是轴上一定点． （1）求的值； （2）若点在抛物线上，，当时，始终存在，求的取值范围； （3）将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移9个单位长度得到新抛物线，点为平移后新抛物线上任一点，过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点． ①求证：； ②若，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）的取值范围为 （3）①见解析；②当时，点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、函数图象的平移变换、以及利用函数性质求解参数范围和点的坐标，解题关键是熟练运用二次函数的相关知识，根据点的位置、平移规律来建立等式或不等式求解． （1）将这点A，B的坐标代入抛物线，得到一个关于未知系数的方程组，通过解方程组求出系数的值． （2）先根据（1）得出抛物线解析式，进而确定对称轴．然后分三种情况讨论点、的位置与函数值大小关系：当，都在对称轴左侧时不符合要求；当，都在对称轴右侧时满足条件，得出，需大于对称轴对应的横坐标；当点在对称轴左侧，点在对称轴右侧时，根据点到对称轴距离关系，综合三种情况，确定取值范围． （3）①根据抛物线平移规律得到平移后的抛物线解析式．设出点坐标，分别表示出、的长度，通过计算证明结论．②分点在轴右侧和左侧两种情况求解．在轴右侧时，将点坐标代入抛物线方程求解，舍去不符合条件的解；在轴左侧时，利用抛物线对称性得出点坐标 ． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和点， ∴ 解得 ∴，． 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线解析式为， ∴ ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， 当M，N都在对称轴左侧时，若，则，不符合题意； 当M，N都在对称轴右侧时，若，则，符合题意， 此时，即； 当点在对称轴左侧，点在对称轴右侧时，若，则点与对称轴的水平距离小于点与对称轴的水平距离， 即，化简后可得，即． 综上所述，的取值范围为． 【小问3详解】 ①证明：∵抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移9个单位长度 ∴平移后抛物线的解析式为即． 设点坐标为，则， ， ， ． ②解：若，由①可知，， ． 当在轴右侧时，设点横坐标为，过点作于点，则， ， 点纵坐标为． 点在抛物线上， ， 解得，（舍去）， 此时点坐标为． 同理，当点在轴左侧时，由对称性可知，点坐标为． 综上所述，当时，点的坐标为或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $